1 Przestrzenie Hilberta

Transkrypt

1 M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie, : H H IR spełniajace następujące warunki dla x, y, z H (i) x, x > 0 dla x 0, (ii) x + y, z = x, z + y, z, (iii) ax, y = a x, y, a IR, (iv) x, y = y, x. Powyższe odwzorowanie nazywa się iloczynem skalarnym, a parę (H,, ) przestrzenią unitarną. Dla iloczynu skalarnego w przestrzeni unitarnej zachodzi tzw. nierówność Schwarza x, y 2 x, x y, y, x, y H. Wiadomo również, że w przestrzeni unitarnej można określić normę wzorem h := h, h, h H. Jeśli przestrzeń unitarna (H,, ) jest zupełna w powyższej normie, to nazywamy ją przestrzenią Hilberta. Od tej pory H będzie zawsze przestrzenią Hilberta. Mówiny, że h, g H są ortogonalne jeśli h, g = 0. Piszemy wtedy h g. Jeśli h, g H są ortogonalne, to h + g 2 = h 2 + g 2. Jeśli H 0 H jest podprzestrzenią liniową, to oznaczmy przez H 0 := {h H : h g dla każdego g H 0 }. Zauważmy, że H0 jest domkniętą podprzestrzenią H. Nazywa się ją dopełnieniem ortogonalnym podprzestrzeni H 0. Twierdzenie 1.1 (Twierdzenie o rzucie ortogonalnym) Jeśli H 0 H jest domkniętą podprzestrzenią liniową, to H = H 0 H 0. Z twierdzenia o rzucie ortogonalnym wynika, że każdy element h H możemy (jednoznacznie) przedstawić w postaci h = h 0 + h 1, gdzie h 0 H 0, h 1 H 0 oraz h 0 h 1. Element h 0 nazywamy rzutem ortogonalnym elementu h na podprzestrzeń H 0. Z twierdzenia o rzucie ortogonalnym dostajemy również

2 M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 2 Lemat 1.2 Podprzestrzeń H 0 H jest gęsta w H wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym elementem z H ortogonalnym do H 0 jest zero. Twierdzenie 1.3 Niech {h n } n 1 H będzie ciągiem ortogonalnych wektorów. Wtedy następujące warunki sa równoważne: (i) Szereg h n jest zbieżny w H, (ii) h n 2 <, (iii) Szereg h n, g jest zbieżny dla każdego g H. Układ ortogonalny {e n } n 1 H nazywamy układem ortonarmalnym jeśli e n = 1 dla n 1. Wtedy e n, e m = δ n,m, gdzie δ n,m jest symbolem Kroneckera. Jeśli {a n } n 1 l 2 wtedy z twierdzenia 1.3 szereg (1.1) jest zbieżny oraz a n e n a n e n = a 2 n. W drugą stronę. Jeśli dla pewnego ciągu {a n } n 1 szereg (1.1) jest zbieżny, to z twierdzenia 1.3 {a n } n 1 l 2. Zauważmy, że jeśli przez h oznaczymy sumę szeregu (1.1), to Wystarczy w tym celu zauwazyć, że a k = h, e k, k 1. m a k = a n e n, e k, dla m k i przejść do granicy dla m. Liczby h, e k, k 1 nazywamy współczynnikami Fouriera elementu h H względem układu ortonormalnego {e n } n 1, a szereg (1.2) h, e n e n szeregiem Fouriera elementu h H względem tego układu. Z następującej tożsamości dostajemy h m 2 h, e n e n = h 2 m h, e n 2, m = 1, 2, 3,...

3 M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 3 Twierdzenie 1.4 Jeśli {e n } n 1 jest układem ortonormalnym w H, to dla dowolnego elementu h H szereg h, e n 2 jest zbieżny oraz zachodzi nierówność Bessla tj. h, e n 2 h 2, która przechodzi w równość wtedy i tylko wtedy, gdy h = Jeśli dla każdego h H mamy h = h, e n e n. h, e n e n, to układ {e n } n 1 nazywamy bazą ortonormalną w Przestrzeni Hilberta H. Twierdzenie 1.5 W każdej ośrodkowej przestrzeni Hilberta istnieje co najwyżej przeliczalna baza ortonormalna. Mamy następującą charakteryzację baz ortonormalnych. Lemat 1.6 (O bazach ortonormalnych) Niech {e n } n 1 będzie układem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta H. Następujące warunki są równoważne: (a) Układ {e n } n 1 jest bazą ortonormalną w H. (b) Dla każdego h H mamy h 2 = h, e n 2. (c) Dla każdego h H, jeśli h, e n = 0 dla n 1, to h = 0 (zupełność układu). (d) span{e n : n 1} = H. Dowód. (a) (b) wynika natychmiast z twierdzenia 1.4. (b) (c) jest natychmiastowy. (c) (d): Oznaczmy H 1 = span{e n : n 1} i załóżmy, że H 1 H. Ponieważ H 1 H, więc z twierdzenia o rzucie ortogonalnym H = H 1 H1, gdzie H 1 {0}. Zatem istnieje h 0 i h H1. Stąd h e n dla n 1, więc z (c) mamy h = 0 co daje sprzeczność, bo załóżyliśmy, że h 0.

4 M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 4 (d) (a) wynika z następujacej własności rzutu ortogonalnego m h m, h h, e n e n a n e n dla an IR, n = 1, 2,..., m, m 1. Niech {e n } n 1 będzie bazą ortonormalną w Przestrzeni Hilberta H. Zbiór E H jest zbiorem zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony i szereg Fouriera h, e n e n, h E jest na zbiorze E zbieżny jednostajnie (do h E). Np. domknięta kula jednostkowa w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hiberta H nie jest zbiorem zwartym. 1.2 Operatory liniowe ograniczone Operator liniowy A : H H nazywamy operatorem ograniczonym jesli istnieje stała M > 0 taka, że (1.3) A(h) M h, h H. Najmniejszą stałą M > 0 spełniającą (1.3) nazywamy normą operatora i będziemy ją oznaczać przez A. Jak wiadomo ograniczoność operatora A jest równoważna jego ciągłości. Zbiór operatorów liniowych i ograniczonych A : H H tworzy przestrzeń liniową, którą będziemy oznaczać przez L(H) := L(H, H). Przestrzeń ta z normą A, A L(H) jest przestrzenią Banacha. Można udowodnić, że norma operatora A L(H) jest równa A = sup A(h) = sup A(h). h 1 Dla przypomnienia kilka twierdzeń o ciągach operatorów ograniczonych (w ogólnej postaci) Twierdzenie 1.7 (Banacha-Steinhausa) Niech {A n } n 1 będzie ciągiem operatorów liniowych ograniczonych określonych na przestrzeni Banacha X, o wartościach w przestrzeni unormowanej Y. Wtedy ciąg { A n } n 1 norm tych operatorow jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla kazdego x X ciąg {A n (x)} n 1 jest ograniczony. Dwa bezpośrednie wnioski z tego twierdzenia Wniosek 1.8 Jeśli {A n } n 1 jest ciągiem operatorów liniowych ograniczonych określonych na przestrzeni Banacha X, o wartościach w przestrzeni unormowanej Y i ciąg {A n (x)} n 1 jest zbieżny dla każdego x X, to operator określony wzorem A(x) = lim n A n(x), jest operatorem liniowym ograniczonym. x X

5 M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 5 Wniosek 1.9 Niech {A n } n 1 będzie ciągiem operatorów liniowych ograniczonych określonych na przestrzeni Banacha X, o wartościach w przestrzeni Banacha Y. Załóżmy, że ciag norm { A n } n 1 jest ograniczony. Jeśli zbiór E X jest gęsty w przestrzeni X i ciąg {A n (x)} n 1 jest zbieżny dla każdego x E, to stąd wynika zbieżność tego ciągu dla każdego x X. Twierdzenie 1.10 (Banacha o operatorze odwrotnym) Jeżeli A jest operatorem liniowym ograniczonym odwzorowującym wzajemnie jednoznacznie przestrzeń Banach X na przestrzeń Banacha Y, to operator odwrotny A 1 też jest ograniczony. Twierdzenie 1.11 Jeżeli A jest operatorem liniowym ograniczonym odwracalnym odwzorowującym przestrzeń Banach X w przestrzeń Banacha Y, to następujace warunki są równoważne: (i) Operator odwrotny A 1 jest ograniczony. (ii) Istnieje stała m > 0 taka, że A(x) m x dla każdego x X. (iii) Zbiór wartości operatora A jest domknięty. Kolejne twierdzenie mówi, że operator liniowy ograniczony określony na podprzestrzeni gęstej można rozszerzyć na całą przestrzeń z zachowaniem normy, dokładniej Twierdzenie 1.12 Niech X będzie przestrzenią unormowaną, a Y przestrzenią Banacha, a A 0 operatorem liniowym ograniczonym określonym na podprzestrzeni gęstej X 0 X (tzn. X 0 = X). Wtedy istnieje (jedyny) operator liniowy ograniczony określony na X, o wartościach w Y taki, że A(x) = A 0 (x) dla x X 0 oraz A = A 0. Niech X przestrzeń unormowana. Operator liniowy ograniczony f : X IR nazywamy ciągłym funkcjonałem liniowym. Przez X oznaczamy przestrzeń wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych na X. Można wykazać, że jest to przestrzeń Banacha (z normą operatorową). W przypadku przestrzeni Hilberta mamy równość H = H (z dokładnością do izometrii), co wynika z twierdzenia Twierdzenie 1.13 (Riesza) Jeżeli f H, to istnieje dokładnie jeden element a H, taki, że f(h) = h, a, h H oraz f = a.

6 M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 6 Niech H jak zawsze będzie przestrzenia Hilberta i A L(H). Dla każdego elementu h H określmy funkcjonał liniowy wzorem f h (x) = A(x), h, x H. Jest to oczywiście funkcjonał ograniczony. Na mocy twierdzenia Riesza istnieje h H taki, że f h (x) = x, h dla każdego x H. Zatem przyjmując A (h) = h definiujemy pewien operator A : H H spełniajacy związek A(x), h = x, A (h), x, h H. Operator A jest oczywiście operatorem liniowym. Można udowodnić, że jest on ograniczony oraz A = A. Nazywamy go operatorem sprzężonym z operatorem A. Ponadto jeśli A 1, A 2 L(H), to (A 1 A 2 ) = A 2 A 1. Operator A L(H) nazywamy samosprzężonym (symetrycznym) jeśli A = A tzn. A(x), y = x, A(y), x, y H. Twierdzenie 1.14 Niech A L(H) będzie operatorem samosprzężonym. Wtedy A = sup A(h), h. Operator A L(H) nazywamy dodatnio określonym jeśli A(h), h 0 dla każdego h H. Twierdzenie 1.15 Niech A L(H) będzie operatorem samosprzężonym, dodatnio określonym. Wtedy istnieje jedyny operator B L(H) samosprzężony, dodatnio określony taki, że B 2 := B B = A. Ponadto B C = C B, jeśli A C = C A, gdzie C L(H). Operator B nazywamy pierwiastkiem operatora A i oznaczamy A := A 1/2 := B. Zauważmy, że jeśli A jest odwracalny, to B jest rownież, bo a stąd B A = A B A 1 B A = B A 1 B = B A 1 (A 1 B) B = I, B (A 1 B) = B (B A 1 ) = I. Zatem B jest odwracalny oraz B 1 = A 1 B = B A 1.

7 M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek Operatory zwarte Niech X, Y będą przestrzeniami unormowanymi. Operator liniowy A : X Y nazywamy operatorem zwartym, jeśli dla każdego zbioru ograniczonego U X obraz A(U) jest warunkowo zwarty w Y tzn. A(U) jest zbiorem zwartym w Y. Równoważnie, gdy dla każdego ciągu {x n } n 1 ograniczonego w X z ciągu {A(x n )} n 1 można wyjąć podciąg zbieżny do pewnego elementu z Y. Zauważmy, że każdy liniowy operator zwarty A jest operatorem ograniczonym. Rzeczywiście, załóżmy, że nie jest ograniczony. Wtedy intnieje ciąg {x n } n 1 taki, że x n 1, n 1 oraz A(x n ), gdy n. Stąd ciąg {A(x n )} n 1 nie zawiera podciągów zbieżnych, mimo że ciąg {x n } n 1 jest ograniczony. Przeczy to zwartości operatora A. Istnieją operatory liniowe ograniczone, które nie są operatorami zwartymi np. operator identycznościowy w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta (czy unormowanej). Jeśli A, B L(H) oraz A jest operatorem zwartym, to złożenia A B i B A są operatorami zwartymi. Operator liniowy A : X Y nazywamy skończenie wymiarowym jeśli dim A(X) <. Każdy operator liniowy ograniczony skończenie wymiarowy jest operatorem zwartym, bo gdy U X jest ograniczony, to z nierówności A(x) A x dla x X wynika, że A(U) A(X) jest zbiorem ograniczonym. Ponieważ A(X) jest skończenie wymiarowa, więc jest zbiorem domkniętym, zatem A(U) A(X). Zbiory ograniczone i domknięte w przestrzeniach skończenie wymiarowych są zbiorami zwartymi, wiec A(U) jest zbiorem zwartym. Nietrudno zauważyć, że operatory zwarte A : X Y tworzą podprzestrzeń liniową w L(X, Y ), a jeśli Y jest przestrzenią Banacha to jest to podprzestrzeń domknięta tzn. mamy Twierdzenie 1.16 Jeśli X jest przestrzenią unormowaną, Y przestrzenią Banacha, a operatory A n L(X, Y ), n 1 operatorami zwartymi oraz A n A, gdy n tzn. A n A 0, gdy n, to A jest operatorem zwartym. Z twierdzenia tego wynika, że granica w normie operatorowej ciągu operatorów skończenie wymiarowych ograniczonych jest operatorem zwartym. Gdy Y jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, to każdy operator liniowy zwarty jest granicą w normie operatorowej ciągu operatorów skończenie wymiarowych. Rzeczywiście, niech A L(X, Y ) będzie operatorem zwartym. Określmy n A n (x) = A(x), e k e k, x X, n 1, k=1 gdzie {e k } k 1 jest dowolną bazą ortonormalną w Y. Zauważmy, że A n = P n A,

8 M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 8 gdzie P n jest rzutem ortogonalnym Y na span{e 1,..., e n } tzn. P n (y) = n y, e k e k, y Y, n 1. k=1 Niech U = {x X : x = 1}, Zbiór A(U) jest zwarty w Y, więc P n (y) y jednostajnie na A(U) tzn. dla każdego ε > 0 istnieje n 0 IN takie, że jeśli n n 0, to Stąd jeśli x = 1, to czyli P n (y) y < ε dla dowolnego y A(U). (A n A)(x) = P n (A(x)) A(x) < ε dla n n 0, A n A = sup (A n A)(x) ε dla n n 0. x =1 Z dowolności ε > 0 dostajemy A n A 0, gdy n. Twierdzenie 1.17 (Schauder) Niech H będzie przestrznią Hilberta (Banacha) oraz A L(H). Wtedy A jest operatorem zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy A jest operatorem zwartym. 1.4 Elementy analizy widmowej Niech A L(X), gdzie X jest przestrzenią Banacha (rzeczywistą). Liczbę rzeczywistą λ nazywamy wartością regularną operatora A, jeśli operator A λi : X X jest odwracalny (na X). Przez widmo operatora A rozumiemy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych λ nie będacych wartościami regularnymi tego operatora. Mówimy, że λ IR jest wartością własną operatora A, Jeżeli operator A λi nie jest różnowartościowy tzn. istnieje x 0 takie, że A(x) λx = 0. Wtedy x nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ. Dla danej wartości własnej λ zbiór X λ (A) = {x X : A(x) = λx} nazywamy podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej λ. Zauważmy, że każda wartość własna należy do widma. Twierdzenie 1.18 Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią Banacha i niech A L(X). Widmo operatora A jest zbiorem domkniętym zawartym w przedziale [ A, A ].

9 M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 9 Twierdzenie 1.19 (Widmo operatora zwartego) Niech X będzie przestrzenią Banacha i niech A L(X) będzie operatorem zwartym. Wtedy: (i) Każda liczba λ 0 należąca do widma jest wartością własną. (ii) Dla każdej wartości własnej λ 0 odpowiednia przestrzeń własna X λ (A) jest skończenie wymiarowa. (iii) Zbiór wszystkich wartości własnych operatora A jest co najwyżej przeliczalny. Punktem skupienia tego zbioru może być jedynie punkt λ = 0. Twierdzenie 1.20 (Alternatywa Fredholma) Niech X będzie przestrzenią Banacha, A : X X operatorem zwartym oraz λ 0. Wtedy ker(a λi) = {0} (A λi)(x) = X. W przypadku operatorów liniowych samosprzężonych w przestrzeni Hilberta twierdzenie 1.18 ma postać (nawet w przpadku zespolonym, bo każda liczba zespolona nie będąca liczbą rzeczywistą jest wartością regularną operatora samosprzężonego). Twierdzenie 1.21 Niech H będzie przestrzenią Hilberta i niech A L(H) będzie operatorem samosprzężonym. Widmo operatora A jest zawarte w przedziale [λ, λ ], gdzie λ = inf A(h), h, λ = sup A(h), h. Obie liczby λ i λ należą do widma. Z tego twierdzenia mamy natychmiastowy wniosek: Widmo operatora samosprzężonego w przestrzenia Hilberta jest zbiorem niepustym. Zauważmy również, że przestrzenie własne odpowiadajace różnym wartościom własnym operatora samosprzężonego A L(H) są ortogonalne. Rzeczywiście, niech λ 1 λ 2 będą wartosciami własnymi operatora A oraz niech h 1 H λ1 (A), h 2 H λ2 (A) tj. A(h 1 ) = λ 1 h 1 oraz A(h 2 ) = λ 2 h 2. Wtedy z samosprzężoności operatora A mamy czyli λ 1 h 1, h 2 = λ 1 h 1, h 2 = A(h 1 ), h 2 = h 1, A(h 2 ) = h 1, λ 2 h 2 = λ 2 h 1, h 2, (λ 1 λ 2 ) h 1, h 2 = 0, ale λ 1 λ 2, więc h 1, h 2 = 0 tzn. h 1 i h 2 są ortogonalne. Stąd w szczególności wynika, że zbiór wartości własnych operatora samosprzężonego w ośrodkowej przestrzeni Hilberta jest co najwyżej przeliczalny.

10 M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 10 Lemat 1.22 Niech H będzie rzeczywistą ośrodkowa przestrzenią Hilberta, a A : H H liniowym operatorem samosprzężonym. Wtedy Stąd mamy następujący wniosek. A(H) = H kera = {0}. Wniosek 1.23 Niech H będzie rzeczywistą ośrodkowa przestrzenią Hilberta, A : H H liniowym operatorem samosprzężonym, a λ IR. Wtedy (i) Jeśli (A λi)(h) H, to λ jest wartością własną. (ii) Jeśli (A λi)(h) = H oraz (A λi)(h) H, to λ należy do widma i nie jest wartością własną. (iii) Jeśli (A λi)(h) = H, to λ jest wartością regularną. Zobaczmy jak wygląda widmo operatora zwartego samosprzężonego w ośrodkowej przestrzeni Hilberta. W tym celu musimy skorzystać z twierdzenia 1.19 o widmie operatorów zwartych w przestrzeniach Banacha (teoria Riesza). Z tego twierdzenia i twierdzenia 1.21 wynika, że każdy operator samosprzężony zwarty A L(H), A 0, ma przynajmniej jedną różną od zera wartość własną (taką, że λ = A ). Niech A L(H) będzie samosprzężonym operatorem zwartym na przestrzeni Hilberta H. Z twierdzenia o widmie operatora zwartego wynika, że wartości własne operatora A tworzą zbiór co najwyżej przeliczalny. Możemy wszystkie różne od zera ustawić w ciąg {η n } n 1 (skończony lub nieskończony zbieżny do zera). Można przyjąć, że η 1 η 2... η n.... Jak już wiemy odpowiadające im przestrzenie własne H ηn (A), n 1 są skończenie wymiarowe. Niech {e 1,..., e i1 } będzie bazą ortonormalną w H η1 (A), {e i1 +1,..., e i1 +i 2 } bazą ortonormalną w H η2 (A), itd. Ponieważ wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne, więc określony w ten sposób ciag wektorów {e k } k 1 jest układem ortonormalnym. Nazywać będziemy go pełnym układem ortonormalnym wektorów własnych operatora A. Przez {λ k } k 1 oznaczać będziemy ciąg odpowiednich wartości własnych tj. λ k = η 1 dla k = 1, 2,..., i 1, λ k = η 2 dla k = i 1 + 1, i 1 + 2,..., i 1 + i 2 itd. Stąd każda wartość własna η n powtarza się w ciągu {λ k } k 1 tyle razy, ile wynosi wymiar przestrzeni H ηn (A). Lemat 1.24 Niech A L(H) będzie operatorem samosprzężonym zwartym, a {e k } k 1 pełnym układem ortonormalnym wektorów własnych operatora A. Wtedy dla każdego h H istnieje dokładnie jeden wektor h 0 H taki, że A(h 0 ) = 0 oraz h = h 0 + k 1 h, e k e k

11 M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 11 Dowód. Oznaczmy H 1 = span{e k : k 1}. Z twierdzenia o rzucie ortogonalnym mamy h = h 1 + h 0, gdzie h 1 H 1, h 0 H1. Z lematu o bazach ortonormalnych wynika, że h 1 = k 1 h 1, e k e k. Ale h 1, e k = h h 0, e k = h, e k h 0, e k = h, e k, więc h 1 = k 1 h, e k e k. Pozostaje wobec tego udowodnić, że A(h 0 ) = 0. Zauważmy, że A(H 1 ) H 1. Rzeczywiście, jeśli y A(H1 ) tzn. istnieje x H 1 takie, że y = A(x), to x, e k = 0 dla k 1. Wobec tego, że A(e k ) = λ k e k i λ k 0, k 1, dostajemy x, A(e k ) = 0, a stąd A(x), e k = 0 dla k 1. każdego g H 1 tzn. y = A(x) H1, czyli A(H 1 ) H 1. Zatem A(x), g = 0 dla H1 jest przestrzenią Hilberta i operator A H1 odwzorowuje ją w siebie. Jeśli założymy, że A(h 0 ) 0, to A H 0, a ponieważ jest to operator samosprzężony i zwarty, więc 1 posiada różną od zera wartość własną i niezerowy wektor własny h λ H1. Z drugiej strony h λ H 1. Zatem h λ = 0, co daje sprzeczność, więc A(h 0 ) = 0. Twierdzenie 1.25 (Hilberta) Jeżeli H jest ośrodkową przestrzenia Hilberta, a {e k } k 1 pełnym układem ortonormalnym wektorów własnych samosprzężonego zwartego operatora A L(H), to w przestrzeni H istnieje baza ortonormalna złożona z układu {e k } k 1 i pewnego układu {e k,0 } k 1 wektorów własnych operatora A odpowiadających wartości własnej λ = 0 (jeżeli λ = 0 jest wartością własną). Dowód. Jeżeli zero nie jest wartością własną, to z lematu 1.24 wynika, że układ ortonormalny {e k } k 1 jest bazą (bo wtedy h 0 = 0). Przypuśćmy, że zero jest wartością własną. Wtedy z twierdzenia 1.5 przestrzeń własna H 0 (A) posiada bazę ortonormalną {e k,0 } k 1. Suma mnogościowa {e k } k 1 {e k,0 } k 1 tworzy układ ortonormalny. Aby wykazać, że jest bazą ortonormalną wystarczy z lematu o bazach ortonormalnych wykazać jego zupełność. Niech więc h {e k } k 1 {e k,0 } k 1.

12 M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 12 Z lematu 1.24 wektor h ma przedstawienie h = h 0 + k 1 h, e k e k, gdzie h 0 H 0 (A). Ponieważ h, e k = 0 dla k 1, więc h = h 0. Ale h {e k,0 } k 1, więc z zupelności {e k,0 } k 1 dostajemy h = 0, co kończy dowód. Wniosek 1.26 Niech {e k } k 1 pełnym układem ortonormalnym wektorów własnych samosprzężonego zwartego operatora A L(H), {λ k } k 1 ciągiem odpowiednich wartości własnych, to A(h) = k 1 λ k h, e k e k, h H. Dowód. Wynika bezpośrednio z lematu 1.24 i tego, że A(e k ) = λ k e k, k 1. Wniosek 1.27 Operator samosprzężony zwarty A L(H) ma skończoną ilość wartości własnych wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowy. Dowód. Wynika bezpośrednio z wniosku Wniosek 1.28 Niech A L(H) będzie operatorem samosprzężonym zwartym, a {e k } k 1 pełnym układem ortonormalnym wektorów własnych operatora A. Następujące warunki są równóważne: (a) Układ ortonormalny {e k } k 1 jest bazą. (b) Operator A jest odwracalny (na obrazie A(H)). (c) A(H) = H. Dowód. (a) (b): Niech A(h) = 0 dla pewnego h H. Z wniosku 1.26 mamy 0 = A(h) 2 = k 1 λ 2 k h, e k 2. Stąd h, e k = 0 dla k 1, bo λ k 0 dla k 1. Zatem z założenia (a) mamy h = 0 tzn. A jest różnowartościowy, czyli odwracalny na obrazie. (b) (c): Załóżmy, że A jest odwracalny oraz A(H) H. Wtedy istnieje (z twierdzenia o rzucie ortogonalnym) 0 h A(H), a stąd h e k, dla k 1, bo e k = A(e k /λ k ). Z drugiej strony z założenia i lematu 1.24 mamy h = k 1 h, e k e k.

13 M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 13 Zatem h = 0 co daje sprzeczność, bo założyliśmy, że h 0, więc A(H) = H. (c) (a): Z lematu o bazach ortonarmalnych wystarczy wykazać zupełność układu {e k } k 1. Niech więc h e k dla k 1. Z wniosku 1.26 mamy h A(H), a stąd h A(H) = H. Zatem h = 0, czyli układ {e k } k 1 jest zupełny tzn. jest bazą ortonormalną. Wniosek 1.29 Niech {e k } k 1 pełnym układem ortonormalnym wektorów własnych zwartego samosprzężonego operatora A L(H), {λ k } k 1 ciągiem odpowiednich wartości własnych, to A(h), h = k 1 λ k h, e k 2, h H. Dowód. Wynika bezpośrednio z wniosku 1.26 i lematu Z ostatniego wniosku mamy Wniosek 1.30 Operator samosprzężony zwarty A L(H) jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy ma nieujemne wartości własne. Wniosek 1.31 Dla każdego samosprzężonego zwartego operatora dodatniego A L(H) zachdzi wzór A = sup A(h), h = A(e), e = λ, gdzie λ jest największą wartością własną operatora A, a e dowolnym unormowanym wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ. Dowód. Z twierdzenia 1.14, dodatniości operatora A i wniosku 1.29 mamy A = sup A(h), h = sup λ k h, e k 2 λ sup k 1 k 1 h, e k 2 = λ, gdzie λ jest osiągana np. dla h = e 1, gdy λ = λ Operatory śladowe Niech H będzie ośrodkową rzeczywistą przestrzenią Hilberta. Operator liniowy A : H H nazywamy operatorem śladowym (nuklearnym, jądrowym) jeśli istnieją ciągi {a k } k 1 H i {b k } k 1 H takie, że a k b k <. k 1

14 M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 14 oraz A(h) = k 1 h, a k b k, h H Zauważmy od razu, że ograniczone operatory skończenie wymiarowe są operatorami śladowymi, bo gdy dima(h) = m i {e 1,..., e m } jest bazą ortonormalną w A(H), to dla każdego h H mamy m m A(h) = A(h), e k e k = h, A (e k ) e k. k=1 Możemy, wiec przyjąć a k = A (e k ) i b k = e k dla k = 1, 2,..., m. Z wniosku 1.8 po twierdzeniu Banach-Steinhausa wynika, że operatory śladowe są operatorami ograniczonymi, co więcej są operatorami zwartymi. Rzeczywiście, określmy A n (h) = k=1 n h, a k b k, h H. k=1 Jak widać operatory A n są ograniczonymi operatorami skończenie wymiarowymi, a więc zwartymi. Pokażemy, że A jest granicą (w normie operatorowej) operatorów A n, więc z twierdzenia 1.16 dostaniemy zwartość operatora A. Dla h H mamy A(h) A n (h) = h, a k b k h a k b k. Stąd A A n = sup A(h) A n (h) a k b k 0. n Jeśli A jest operatorem śladowym, to ślad operatora A określa się wzorem tra = k 1 A(e k ), e k, gdzie {e k } k 1 jest dowolną bazą ortonormalną w H. Pokażemy teraz, że ślad operatora A jest dobrze określony (tzn. szereg powyższy jest zbieżny bezwzglednie) oraz nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej. Niech więc A(h) = a j b j, h H oraz a j b j <. j 1 h, j 1 Mamy dla k 1 A(e k ), e k = j 1 e k, a j e k, b j. Korzystając teraz z tej równości i z nierówności Schwarza dostajemy

15 M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 15 A(e k ), e k e k, a j e k, b j k 1 j 1 k 1 ( e k, a j 2) 1/2( e k, b j 2) 1/2 = a j b j <. j 1 k 1 k 1 Stąd ślad jest dobrze określony (szereg jest zbieżny bezwzględnie). Ślad nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej, bo k ), e k = k 1 A(e e k, a j e k, b j = k 1 j 1 k, a j e k, b j = j 1 k 1 e a j, b j. j 1 Na zakończenie twierdzenie charakteryzujące operatory śladowe wśród operatorów liniowych samosprzężonych dodatnio określonych. Twierdzenie 1.32 (O operatorze śladowym) Niech A L(H) będzie operatorem samosprzężonym dodatnio określonym. Wtedy A jest operatorem śladowym wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej bazy ortonormalnej {e k } k 1 mamy k 1 A(e k), e k < Ponieważ operator A jest dodatnio określony, więc A(e k ), e k 0 dla k 1. Dowód. " " Jest oczywisty. " " Niech T = A. Pokażemy najpierw, że T jest operatorem zwartym. Określmy operatory skończenie wymiarowe T n wzorem Dla h H mamy bo T 2 = A. Stąd T (h) T n (h) 2 = T n (h) = T (h) j 1 n T (h), e k e k, h H. k=1 n 2 2 T (h), e k e k = T (h), e k e k = k=1 T (h), e k 2 = h, T (e k ) 2 h 2 T (e k ) 2 = h 2 T (e k ), T (e k ) = h 2 k ), e k, A(e T T n 2 = sup T (h) T n (h) 2 A(e k ), e k 0. n

16 M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 16 Stąd T jest zwarty, więc A = T 2 też jest operatorem zwartym. Ponieważ A jest operatorem samosprzężonym i dodatnio określonym, więc A możemy przedstawić w postaci (1.4) A(h) = j 1 λ j h, f j f j, h H, gdzie {λ j } j 1 jest ciągiem wartości własnych (nieujemnych) operatora A, a {f j } j 1 odpowiadającym mu ciągiem unormowanych ortogonalnych wektorów własnych tzn. A(f j ) = λ j f j, j 1. Ponieważ A(e k ), e k = j 1 λ j e k, f j 2, więc k ), e k = k 1 A(e λ j e k, f j 2 = λ j <, k 1 j 1 j 1 bo na mocy założenia k 1 A(e k), e k <. Przyjmijmy teraz a j = f j oraz b j = λ j f j dla j 1. Wtedy a j b j = λ j < j 1 j 1 oraz z (1.4) mamy A(h) = a j b j, h H, j 1 h, tzn. A jest operatorem śladowym. Literatura 1. G. Da Prato, Introduction to stochastic analysis and Malliavin calculus, Piza W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN 2001.