STEROWANIE MINIMALNOENERGETYCZNE SILNIKIEM PRĄDU STAŁEGO

Transkrypt

1 ELEKRYKA Zesz (7) Rok LVII Marek DŁUGOSZ Kaedra Auomaki, Akademia Góriczo-Huicza im. S. Saszica w Krakowie SEROWANIE MINIMALNOENERGEYCZNE SILNIKIEM PRĄDU SAŁEGO Sreszczeie. W prac jes rozważae serowaie miimalo eergecze silika prądu sałego. Zadie poszukiwaia akiego serowaia zosało sformułowae w odpowiedio dobraej przesrzei Hilbera z defiicją iloczu skalarego. Dzięki akiemu sformułowaiu zdaia serowaia, rozwiązaie moża wzaczć korzsając z wierdzeia o rzucie orogoalm. ak wzaczoe serowaie miimalizuje zada wskaźik jakości, ale jes o serowaie w pęli owarej. W prac zawaro wiki smulacji kompuerowch wzaczoch serowań miimalo eergeczch. Słowa kluczowe: silik prądu sałego, serowaie miimaloeergecze, opmalizacja MINIMAL ENERGY CONROL OF DC MOOR Sreszczeie. I his paper he miimum eerg corol of DC moor is cosidered. I order o solve he preseed problem he Hilber space ad he orhogoal projecio heorem are used. Mos compuaio for fidig he opimal corol ca be doe wih a compuer. Numerical experimes cofirmig accurac are also icluded i he paper Kewords: DC moor, miimum eerg corol, opmalizao. WSĘP Problem poszukiwań opmalch serowań w sesie zadach wskaźików jakości są jedmi z fudamealch problemów eorii serowaia i są emaem wielu prac aukowch. Wskaźiki jakości, w sesie kórch są poszukiwae serowaia opmale, mogą bć róże i zależą oe od celu, jaki chcem osiągąć. Jedm ze wskaźików jakości, dla kórch poszukuje się opmalch serowań, jes wskaźik miimaloeergecz. Serowaie opmale w sesie akiego wskaźika jakości charakerzuje się użciem miimalej eergii serowaia do osiągięcia zadaego celu. Praca zawiera opis sposobu wzaczaia serowaia miimaloeergeczego dla silika prądu sałego modelowaego za pomocą rówań () z macierzami układu dami jako

2 9 M. Długosz (5). Zadaie poszukiwaia serowaia opmalego w sesie wskaźika jakości (3) zosało sformułowae jako poszukiwaie wekora o miimalej ormie w przesrzei Hilbera (z odpowiedio zdefiiowam iloczem skalarm). Część obliczeń wkoao prz pomoc kompuera. Do poszukiwaia serowaia miimaloeergeczego moża akże wkorzsać zasadę maksimum, zob. p. []. Im pem zadaia, w kórch poszukuje się serowaia miimaloeergeczego, jes zadaie opmalego przesłu eergii rozważae p. w pracach [5], [6], [7], [8], [9], []. jakości: Da jes ssem damicz opisa asępującmi rówaiami: x ( Ax( B( () ( Cx( () O ssemie zakładam, że jes serowal [4, s. 69]. Rozważm asępując wskaźik J ( u) u ( d (3) Zadaie serowaia polega a przeprowadzeiu ssemu () z usaloego puku począkowego x( ) do końcowego x( ) xzad w skończom i usalom czasie, ak ab u miimalizowało (3): J ( u ) J ( u) (4) co jes rówoważe miimalemu zużciu eergii sgału serującego. Dla prosch ssemów damiczch serowaie miimaloeergecze daje się wzaczć aaliczie, zob. p. [], [7]. Okazuje się jedak, że serowaie akie ma charaker serowaia bez sprzężeia zwroego, a fukcja u( zależ jedie od czasu.. MODEL SILNIKA PRĄDU SAŁEGO Działaie silika elekrczego prądu sałego może bć opisae z wsarczającą dokładością układem rówań różiczkowch (), a odpowiedie macierze mają posać [, s. 7-7]: x ( a a b x (, A, B (5) x( a Wekor sau x ( składa się z asępującch współrzędch x i ( ), x ( ( ), ( u( u (. Przebiegi składowch wekora sau x x ( x ( ) dla zerowego waruku począkowego moża wzaczć z rówań: ( x( ( ) d (6)

3 Serowaie miimaloeergecze 9 x( ( ) u( ) d (7) gdzie fukcje, ( ), są składowmi macierz podsawowej [, s. 98, 33]: ( a ich rówaia są dae jako [, s. 93]: ( ( A e (8) ( ( s e s e s s ( (9) s s c e e e s s s M ( () J s s gdzie smbole s i s ozaczają warości włase macierz A modelu silika, J mome bezwładości wirika, c M współczik określo dla daego silika, cos srumień magecz. 3. SEROWANIE MINIMALNOENERGEYCZNE Zalezieie fukcji u ( miimalizującej (3) moża przeformułować do zadaia poszukiwaia wekora u ( w przesrzei Hilbera L, określom jako [3, s.78]: b a z iloczem skalarm x( ( x( ( d () Podsawiając za fukcje x ( i ( fukcję serowaia u ( i przjmując a i b = orzmujem: u( u( u ( d u( J ( u) () Przebiegi prądu worika x ( ) oraz prędkości kąowej x ( ) możem zapisać wed jako asępujące ilocz skalare wekorów: x x ( ( ) u( ) (3) ( ) u( ) d (4) ( ( ) u( ) (5) Szukam więc wekora u ( o miimalej ormie u ( rówań: ( ) u( ) d (6), kór spełia asępując układ

4 9 M. Długosz gdzie fukcje (, ) i (, ) są dae jako:, ) u( x ( ) (7) (, ) u( x ( ) (8) ( (, ) ( ) (9) ( Fukcję u ( rakowaą jako wekor w przesrzei L ;, ) ( ) (), kóra spełia rówaia (7) i (8) oraz jej orma () ma warość miimalą, moża wzaczć korzsając z wierdzeia o rzucie orogoalm [3, s.]: wierdzeie. Da jes zbiór liiowo iezależch wekorów,,, ależącch do przesrzei Hilbera -- H. Spośród wszskich wekorów jede wekor x o o ajmiejszej ormie, spełiając waruki: x c x H isieje lko dokładie x c () x c Poszukiwa wekor x o jes liiową kombiacją wekorów,, i : x () o Wsawiając () do układu rówań () oraz korzsając z podsawowch właściwości iloczów skalarch i po prosch przekszałceiach orzmujem układ rówań: i i c c (3) c z kórego moża wzaczć współcziki,,, wsępujące we wzorze (). 4. SYMULACJE KOMPUEROWE Zadaie serowaia polega a rozpędzeiu ( ) zadaej prędkości obroowej w określom czasie, x ( ) x ieobciążoego silika do ZAD, użwając do ego celu

5 Serowaie miimaloeergecze 93 jak ajmiej eergii, j. serowaie u ( musi miimalizować wskaźik jakości (3). Z wierdzeia wika, że fukcja u ( jes rówa kombiacji liiowej fukcji (7) i (8). u (, ) (, ) (4) ( Chcąc a podsawie wierdzeia wzaczć sałe i, fukcje ( ) i ( rakowae jako eleme przesrzei czli rówaie: L ; muszą bć wekorami liiowo iezależmi, s s s s s e s e e e (5) musi bć spełioe lko dla i [3, s. 6]. Po uporządkowaiu i prosch przekszałceiach (5) orzmujem układ rówań a współcziki i : s s Korzsając ze wzorów Cramera, orzmujem osaeczie, że jedm rozwiązaiem układu rówań (6) jes rozwiązaie zerowe, j. i, jeśli jes spełio waruek: (6) s s (7) Przjmując (, (, c x ( ), c x ( ) ZAD, rozwiązując układ rówań (3), kór saje się układem x, wzaczam jedozaczie współcziki i wsępujące we wzorze (4). Smulację przeprowadzoo dla przkładowego silika prądu sałego o macierzach modelu [, s. 77] rówch: 3,3 7,73 A,,97 Pozosałe dae przjęe w smulacji o 65,6 B,5 s, x( [ ], 5 rad/s. ZAD ZAD Współcziki i wsępujące we wzorze (4) dla ak przjęch dach mają warość, ,98 Na wkresach (a) i (b) przedsawioo wiki smulacji kompuerowch serowaia miimaloeergeczego przkładowego silika prądu sałego. Odpowiedie warości iloczów skalarch wekorów ( ) i ( ) w przesrzei L ; zosał policzoe umerczie. Silik osiągął zada puk x ( ) w zadam czasie serowaia, 5s.

6 94 M. Długosz (a) prąd i( liia - - i prędkość liia (b) serowaie u( Rs.. Przebieg prądu worika i(, prędkości obroowej ( - wkres (a) i apięcia worika u( - wkres (b) Fig.. Chage of armaure curre i(, agular veloci ( plo (a) ad armaure volage u( plo (b) Na wkresie pokazao, jak zmieia się warość wskaźika jakości (3) w fukcji czasu serowaia. Jak moża zaobserwować, dla począkowch warości warość wskaźika szbko maleje. Po przekroczeiu pewej warości dalsze zwiększaie ie przosi już popraw warości wskaźika jakości (3). Dalsze zwiększaie czasu serowaia zacza zwiększać warość wskaźika jakości (3).

7 Serowaie miimaloeergecze 95 Rs.. Warość wskaźika jakości (3) w fukcji czasu serowaia Fig.. Chage i quali idex (3) as fucio of ime corol 5. WNIOSKI Zadaie poszukiwaia serowaia miimaloeergeczego u ( zosało przeformułowae do zadaia poszukiwaia rzuu wekora u ( a podprzesrzeń geerowaą przez wekor i w przesrzei Hilbera L,. Dodakowo, rzu wekora u ( a podprzesrzeń geerowaą przez wekor i musi posiadać miimalą ormę. ak przeformułowae zadaie moża efekwie rozwiązać prz wkorzsaiu kompuerów, orzmując w efekcie serowaie (4) miimalizujące wskaźik jakości (3). ak orzmae serowaie u( jes serowaiem zależm jedie od czasu. Brak ujemego sprzężeia zwroego od zmiech sau x ( powoduje, że sgał serowaia u ( ie uwzględia iformacji o akualm saie ssemu damiczego. Rzeczwis sa silika, w kórm się o zajduje, może bć i od sau wikającego z rozwiązaia rówań (), () z powodu wsępującch zakłóceń lub błędów pomiarowch. Z ego powodu użcie regulaora miimaloeergeczego w ej posaci w rozwiązaiach prakczch ie jes sosowae. Do serowaia miimaloeergeczego moża wkorzsać kompuer, prz pomoc kórego moża zamkąć pęle sprzężeia zwroego. Kompuer, oprócz wzaczaia sgału serującego u (, może śledzić akuale warości zmiech sau x (. Serowaie miimaloeergecze jes wzaczae jako kombiacja liiowa fukcji ( ) i ( ), kóre są składowmi macierz podsawowej. Na ich podsawie moża akże wzaczć, jakie powi bć przebiegi zmiech sau x (. Kompuer może a bieżąco porówwać

8 96 M. Długosz rzeczwise (mierzoe) warości zmiech sau z warościami wliczomi. Jeśli różica pomiędz im przekrocz pewą zadaą warość, moża uruchomić jeszcze raz algorm wzaczaia serowaia miimaloeergeczego, wzaczając serowaie dla owch waruków, w jakich zajduje się serowa ssem. Sformułowaie zadaia poszukiwaia serowaia miimaloeergeczego u ( w przesrzei Hilbera z odpowiedio zdefiiowam iloczem skalarm umożliwia ławą modfikację zadaia, p. zadawaie ich waruków końcowch. Sam algorm posępowaia może bć sosowa do wzaczeia serowaia miimaloeergeczego ich ssemów damiczch. Na wkresach 3 i 4 przedsawioo przebieg zmieej sau x ( ) i sgału serowaia u ( drabiki RC, składającej się z 5 segmeów'', zob. p [, s. 94]. 5 Rs. 3. Przebieg zmieej sau x ( ) drabiki RC 5 Fig. 3. Chage of sae space variable x ( ) RC ladder 5 Rs. 4. Przebieg serowaia u( drabiki RC Rs. 4. Chage of corol sigal u( RC ladder

9 Serowaie miimaloeergecze 97 Zadaie serowaia polegało a akim serowaiu, ab w chwili czasu s, a osaim rezsorze rozparwaej drabiki RC apięcie wosiło V ( x ( ), a serowaie u ( miimalizowało wskaźik jakości (3). 5 Projek zosał sfiasowa ze środków Narodowego Cerum Nauki N N BIBLIOGRAFIA. Ahas M.: Serowaie opmale: wsęp do eorii i jej zasosowaie. WN, Warszawa Długosz M., Mikowski W.: Kompuerowe serowaie miimalo-eergecze. Proceedigs of he 9h Ieraioal Coferece o Fudameals of Elecroechics ad Circui heor, IC-SPEO 6, Gliwice-Usroń 6, p Lueberger Dawid G.: eoria opmalizacji. PWN, Warszawa Mikowski W.: Eerg - Opimal Corol. Proceedigs of he 5h Ieraioal Coferece o Fudameals of Elecroechics ad Circui heor IC-SPEO, Gliwice-Usroń,, p Mikowski W.: Miimalizacja koszów dosarczaia eergii elekrczej do oporowego urządzeia grzewczego. I: ed. J. Guebaum: Auomaka, serowaie, zarządzaie. Książka Jubileuszowa z okazji 7-lecia urodzi Prof. K. Mańczaka, IBS-PAN, Warszawa, p Mikowski W.: Opimal eerg rasfer. Proceedigs of he 4h Ieraioal Coferece o Fudameals of Elecroechics ad Circui heor, IC-SPEO, Gliwice-Usroń, p Mikowski W.: Opimal eerg rasfer i RC-ework. II Semiarium Wbrae Zagadieia Elekroechiki i Elekroiki - WZEE'. Zesz Naukowe Wdziału Elekroechiki i Auomaki Poliechiki Gdańskiej, Nr 6, p Mikowski W.: Remarks abou eerg rasfer i a RC ladder ework. Ieraioal. Joural of Applied Mahemaics ad Compuer Sciece 3, Vol. 3, No., p Mikowski W.: Sabilizacja ssemów damiczch. WN, Warszawa 99.. Mikowski W.: Serowaie miimalo-eergecze. PAN Oddział w Krakowie, Sprawozdaie z posiedzeń Komisji Naukowch. Wdawicwo i drukaria "Secesja",, p Ogaa K.: Meod przesrzei saów w eorii serowaia. WN, Warszawa Pełczewski W., Krke M.: Meoda zmiech sau w aalize damiki układów apędowch. WN, Warszawa urowicz A.: eoria macierz. Wdawicwo AGH, Kraków 996.

10 98 M. Długosz Receze: Prof. dr hab. iż. Berard Baro Wpłęło do Redakcji dia 8 wrześia r. Absrac Problems of searchig for opimal corol for damical ssems are sill acual problems. he miimum eerg corol problem is oe of hem. he opimal corol problems are ofe ver difficul ad complex problems. Proper formulaio of he problem allows o fid soluios. he orhogoal projecio heorem is he mos basic ad popular herem which is used for searchig opiamal soluios. I his paper he miimum eerg corol of DC moor is cosider. Mahemaical model of DC moor is give as wo differeial liear equaios. he quali idex is reformulaed as scalar produc of fucio i Hilber vecor space L,. Soluios of DC moor model are also expressed as scalar producs i he same vecor space. Usig a modified orhogoal projecio heorem ca be obaied soluio of problem, i our case his is a corol fucio u(. Aaliical soluios ca b calculaed ol for simple damical ssems. For more complex ssems is easer o obai umerical soluios ad his mehod is used. he proposed mehod is used o fid opimal corol sigal for DC moor which should be speedig o he desired value a he specified ime. Numerical experimes cofirm he correcess of he calculaios. Also i he case more complex damical ssems, such as RC ladder, he resul is valid. Disadvaage of his mehod is ha corol ssem is ope loop ssem wihou egaive feedback.