Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:

Transkrypt

1

2 Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami. Jeśli ck to rówaie () azywamy liiową relacją rekurecyją rzędu k, atomiast rówaia () azywamy warukami początkowymi rekurecji. 3 z warukami początkowymi =, = 5. Przykład: Zajdź -ty wyraz ciągu zdefiiowaego dla relacją rekurecyją = 5 6 Moża liczyć po kolei wszystkie potrzebe 98 wyrazy ciągu albo zauważyć, że ( ) ( ) ( ) ( 5 6) ( ) = = A = = A =... = A = ( 5 6) ( ) Diagoalizujemy macierz A: det ( A λ I ) = λ 5λ + 6 = λ = 3, λ = ( ) ( ) ( ) v 3 =, v = S = 3 ( ) - S AS = D = 3 Teraz już łatwo zajdujemy dowolą potęgę macierzy A: k k k + k + k + k + k k A ( SDS ) SD S S 3 k S = = = + k k k k = M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład -

3 A więc: Relacje rekurecyje ( ) ( ) ( ) A = = + = czyli ostateczie mamy: = 3 Twierdzeie: Niech będzie zadaa relacja rekurecyja = a + b oraz iech λ i λ będą wartościami własymi wyikającymi z rówaia charakterystyczego λ aλ b =. Wówczas: (a) Jeśli λ λ = cλ + cλ dla pewych stałych c, c. (b) Jeśli λ = λ = λ = c λ + c λ dla pewych stałych c, c. Dowód: a) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) a b = c λ + c λ a c λ + c λ b c λ + c λ = = c λ λ aλ b + c λ λ aλ b = λ aλ b = = a b = c λ + c λ a c λ + c λ b c λ + c λ = ( ) λ aλ b = a = cλ aλ + b = = cλ + b = = a + 4b = λ = a / M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład -3

4 Relacje rekurecyje 3 z warukami początkowymi =, = 5. Przykład (cd): Zajdź -ty wyraz ciągu zdefiiowaego dla relacją rekurecyją = 5 6 λ = 3 λ = = c λ + c λ = c + c Wiemy, że wartościami własymi w tym problemie są:, Szukamy rozwiązaia w postaci: 3 = = c 3 + c 3c + c = c = 5 = = c 3 + c 9c + 4c = 5 c = = 3 W przypadku zależości rekurecyjej a a ak ak rzędu k mamy: = 3 k+ a λ a a3 ak ak k λ λ k k k = ± ( λ + aλ + aλ ak λ + ak ) λ M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład -4

5 Twierdzeie: Niech będzie zadaa relacja rekurecyja = a + a a rzędu m. Załóżmy, że stowarzyszoy z ią wielomia charakterystyczy: faktoryzuje się do postaci gdzie Wówczas ma ogólą postać: Relacje rekurecyje m m a λ λ... a λ a = m m m m m ( λ λ ) ( λ λ ) ( λ λ ) k m m k k i= m i = m m mk (... )... (... ) = c λ + c λ + + c λ + + c λ + c λ + + c λ m k k k k km k z warukami początkowymi =, = 6. Przykład: Zajdź -ty wyraz ciągu zdefiiowaego dla relacją rekurecyją = 6 9 Zajdujemy wartości włase: det ( A λ I ) = λ 6λ + 9 = λ = 3, λ = 3 Szukamy rozwiązaia w postaci: = = c 3 6 = = c 3 + c 3 = c λ + c λ = c 3 + c 3 c = 3c + 3c = 6 k c = ( ) = = + 3 c M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład -5

6 Macierze hermitowskie i symetrycze macierz (aty)hermitowska: macierz (aty)symetrycza: A = ± A aij = ± a ji T A = ± A aij = ± a ji * wartości włase macierzy hermitowskiej (lub rz. symetryczej) są rzeczywiste: D : A = λ A = λ ( ) ( * A A = λ λ ) - * * A = λ A = λ ( * A = A λ λ ) = * λ = λ wektory włase odpowiadające różym wartościom własym macierzy hermitowskiej (lub rz. symetryczej) są wzajemie ortogoale: D : A = λ A = λ = ( λ ) - λ A = λ A = λ λ λ = Defiicja: Macierz kwadratową A azywamy ormalą wtedy i tylko wtedy gdy komutuje oa ze swoim sprzężeiem hermitowskim, tz. AA = A A. Wiosek: Wszystkie macierze (aty) hermitowskie (rz. (aty) symetrycze), uitare (rz. ortogoale) są macierzami ormalymi. M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład -6

7 Diagoalizacja macierzy hermitowskiej Twierdzeie: Macierz hermitowską (lub rz. symetryczą) moża zdiagoalizować za pomocą macierzy uitarej (lub ortogoalej). D: W przypadku wszystkich różych wartości własych macierz moża zdiagoalizować - za pomocą trasformacji podobieństwa S A S = L Pokażemy, że macierz hermitowską moża zdiagoalizować rówież w przypadku zdegeerowaych wartości własych. Niech λ będzie zdegeerowaą wartością własą macierzy hermitowskiej H â a wektorem własym do tej wartości własej. Kostruujemy układ ortoormalych wektorów i tak aby pierwszym z ich był Z wektorów tych budujemy uitarą macierz U = (... ) Trasformacja uitara ma dokładie te sam zestaw wartości własych co macierz H: U HU - - ( ) ( ( ) ) ( ) - ( ) ( ) ( ) = det U HU λ I = det U H λ I U = det U det H λ I det U = = det U U det H λ I = det H λ I Macierz U HU jest hermitowska: ( ) U HU = U H U = U HU M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład -7

8 Diagoalizacja macierzy hermitowskiej Mamy: * * UHU = H = * λ * * α α h h = λ = * α α ( ) ( ) det H λ I = det U HU λ I = λ λ α λ α α 3 α 3 α 33 λ α 3 = λ λ α α α λ 3 ( ) α λ α α α α λ α H = λ oz H i = h i, i = δ α α α λ M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład -8 i i bo jest U HU hermitowska

9 Diagoalizacja macierzy hermitowskiej Defiiujemy macierz H stopia -: H α α 3 α α α α = α α 3 α Wśród wartości własych H musi pojawić się λ. Kostruujemy układ - ortoormalych wektorów z których pierwszy jest wektorem własym macierzy H do wartości własej λ : y y3 y y y y 3 y 33, y 3 = =,..., y - = y y y 3 Defiiujemy uitarą macierz U stopia : U HU λ = H H y =λ y M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład -9 U y y = y y

10 Diagoalizacja macierzy hermitowskiej Wówczas uitara trasformacja podobieństwa za pomocą U daje: ( ) U U HU U = H y = λ y y y = δ λ λ * * y y λ y y β β = = 33 3 H * * y y y y β 3 β Jeśli λ jest m-krotie zdegeerowaą wartością własą to powyższy schemat powtarzamy m razy. Pozostała część macierzy może być zdiagoalizowaa przez wektory włase odpowiadające różym wartościom własym. Do zdiagoalizowaia macierzy stopia potrzeba - trasformacji uitarych: U HU U = UU U = Λ - Wiosek: Każda macierz hermitowska (lub rz. symetrycza) stopia posiada ortogoalych wektorów własych bez względu a degeeracje wartości własych. ( ) U HU U U HU U HU U = Λ = Λ = Λ M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład - i i

11 Diagoalizacja macierzy hermitowskiej Przykład: Zajdź uitarą macierz U diagoalizującą poprzez trasformację podobieństwa macierz hermitowską i H = i i i Wartości włase macierzy H są pierwiastkami jej rówaia charakterystyczego λ i 3 det ( H λ I ) = i λ i = λ + 6λ 9λ = λ ( λ 3) = i λ Mamy trzy wartości właseλ = 3 λ = 3 λ 3= v v v v ( ) T Niech będzie jedym z wektorów własych do wartości własej λ : = 3 i v i i v = i v 3 Wybieramy trzy liiowo iezależe wektory v iv v = v = 3 v = v = v 3 = M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład -

12 Diagoalizacja macierzy hermitowskiej Korzystając z metody Grama-Schmidta zajdujemy układ wektorów ortoormalych: v = = = v = v = v v v = ( ) = ( ) = = 3 3 = = 3 U = 3 i 3 UHU = i i = i i i Uitara trasformacja podobieństwa za pomocą macierzy ( ) M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład -

13 Diagoalizacja macierzy hermitowskiej U HU Poieważ H i mają te same wartości włase, więc λ = 3 i λ = muszą być wartościami własymi podmacierzy Zormalizowae wektory włase macierzy H do wartości własych λ = 3 i λ = to y i i = y = 3 3 A więc macierz diagoalizująca U ma postać M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład -3 H i = i U = i i U = UU = i i = i i

14 Diagoalizacja macierzy hermitowskiej Rzeczywiście mamy: 6 3 i 3 U HU = i i i i i = i 3 3 i Kolumy macierzy U są ortoormalymi wektorami własymi macierzy H: i / / Hu = λ u : i i = 3 i / / i / 6 / 6 Hu = λ u : i i i / 3 = 3 i / 3 i / / 6 6 i / 3 / 3 Hu 3 = λ u 3 : i i 3 i / 3 = i / 3 i / 3 / 3 M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład -4

15 Diagoalizacja macierzy hermitowskiej W praktyce korzystamy z udowodioego twierdzeia i kostruujemy macierz U ze zortoormalizowaych wektorów własych. Wektory włase do iezdegeerowaych wartości własych zajdujemy w zwykły sposób. Wektory włase do zdegeerowaej wartości własej λ = 3 muszą spełiać waruek i = = i W ogólości wektory włase dae są więc przez Jede z wektorów własych zajdujemy wybierając p. = : Drugi wektor wybieramy jako ortogoaly do : u u i + 3 i u = = u = u i + 3 = ( ) = i + 3 = = i3 3 u = i = i 3 6 Drugi wektor własy do wartości własej λ =3 to M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład -5

16 Rówoczesa diagoalizacja macierzy Twierdzeie: Dwie macierze A i B moża jedocześie zdiagoalizować poprzez trasformację podobieństwa wtedy i tylko wtedy gdy macierze A i B komutują tz. AB=BA. ( ) D : D = S AS DD = S ASS BS = S ABS D = S BS DD = S BSS AS = S BAS D D D D = S - ABS- S - BAS S - ABS = S - BAS AB = BA ( ) - - D : S AS = D S BS = B λ b λ b λ b S ABS = S ASS BS = DB = λ b λ b λ b λ b λ b λ b S BAS = S BSS AS = B D = λ b λ b λ b λb Dla λ i λ j AB = BA D B = B D B = D λ b M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład -6

17 Rówoczesa diagoalizacja macierzy Dla zdegeerowaych wartości własych (po uporządkowaiu) mamy (b ij = dla λ i λ j ): Poieważ - S AS = D λ I B λ I B = B = λk I k B k ( ) B = B B = S BS = S BS = B - - T T T = - - T BS T = D T k T S AS T = T D T = D T T = D Z drugiej stroy mamy ( ) więc istieje uitara macierz: ( S ) A więc istieje macierz uitara U=ST diagoalizująca jedocześie macierze A i B. Uwaga: W mechaice kwatowej operatory które moża jedocześie zdiagoalizować odpowiadają wielkościom fizyczym, których jedoczesy pomiar ie jest ograiczoy zasadą ieozaczoości. M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład -7

18 Rówoczesa diagoalizacja macierzy Przykład: Zajdź uitarą macierz U diagoalizującą jedocześie macierze A = B = 3 AB = = BA 7 8 Zajdujemy wartości włase i wektory włase macierzy A: ( ) λ det A λ I = = ( λ )( λ 3 ) = λ = λ = 3 λ v = v = A więc uitara macierz diagoalizująca to S S - = = Rzeczywiście mamy: - S AS = = 3-3 S BS = 3 = 5 Jedocześie widać, że wartościami własymi macierzy B są λ = i λ =5 M. Przybycień Matematycze Metody Fizyki I Wykład -8