Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Transkrypt

1 Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć wszystkie rozwiązaia a płaszczyźie zespoloej wykorzystując zamieszczoy iżej rysuek, a którym arysowao okrąg jedostkowy oraz proste przechodzące przez pukt, co 5. Dae w zadaiu rówaie jest spełioe przez liczbę z i, a pozostałe dwa rozwiązaia tego rówaia leża a okręgu jedostkowym co. Iaczej: liczba i ma moduł i argumet π/, a zatem jej pierwiastki sześciee mają moduł i argumety π/6+kπ/ dla k,,, czyli odpowiedio π/6, 5π/6, π/. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

2 Odpowiedź: Dae rówaie ma rozwiązaia: i oraz ± + i. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

3 Zadaie. puktów) Udowodić zbieżość szeregu ) ) +) ) +) +5). Aby udowodić zbieżość szeregu daego w treści zadaia, skorzystamy z kryterium Leibiza o szeregach aprzemieych. W tym celu musimy zweryfikować prawdziwość trzech założeń tego kryterium. W szeregu a przemia występują wyrazy dodatie i ujeme - oczywiste. Ciąg wartości bezwzględych wyrazów jest zbieży do zera. Sprawdzamy to astępująco: ) ) +) lim ) +) +5) lim + ) ) + ) + 5 ). Ciąg wartości bezwzględych wyrazów jest ierosący. Te waruek jest ajmiej oczywisty. Aby go udowodić, powiiśmy wykazać, że dla dowolej liczby aturalej zachodzi ierówość ) +) ) +) +5) +) +) +) +5) +8), co kolejo jest rówoważe ierówościom + +8, ) +8) +) ), , 6 5, skąd wyika, że dowodzoa ierówość jest prawdziwa dla każdej liczby aturalej. W kosekwecji szereg day w treści zadaia jest zbieży a mocy kryterium Leibiza o szeregach aprzemieych. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

4 Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

5 Zadaie. puktów) Obliczyć wartość całki ozaczoej całkowitej. Wykoujemy podstawieie i formalie t x+, 5x x+ dx podając wyik w postaci liczby dx t dt. x t Poadto x odpowiada t, a x odpowiada t, przy czym zależość t od x jest mootoicza. Stąd wyika, że przedział całkowaia x [, ] odpowiada przedziałowi t [, ]. Otrzymujemy 5x x+ dx 5 t ) t t dt t 4 t dt t5 5 t 8 ) Odpowiedź: Podaa całka ozaczoa ma wartość 6. t Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

6 Zadaie 4. puktów) dx Obliczyć całkę ieozaczoą x x. Rozkładamy fukcję podcałkową a sumę ułamków prostych: x x x ) x A x + B x + D x, A x +B x )+D x ) x, Ax +Bx B +Dx Dx, A+D B D B, skąd B, D i A. W kosekwecji dx x x x x x dx l x + l x +C. x Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

7 Zadaie 5. puktów) Wyzaczyć taką liczbę aturalą, że krzywa o rówaiu y x dzieli zbiór { x,y) : x [,] x 5 y x } a dwa obszary o rówych polach. Waruki zadaia będą spełioe, jeżeli co możemy przepisać kolejo jako x x+ + x x dx x x 5 dx, ) x x + + x , + 6 +, +, +,. ) Odpowiedź: Waruki zadaia są spełioe przez liczbę. x, Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

8 Zadaie 6. puktów) Wyzaczyć promień zbieżości szeregu potęgowego )! x. )! Stosujemy kryterium d Alemberta do szeregu ) traktowaego jako szereg liczbowy z parametrem x. Otrzymujemy +)! x + +)! +)! + )! x +) + +) +) x ) +) +) + x + ) 4 x e. Tak więc zastosowaie kryterium d Alemberta prowadzi do graicy ilorazów kolejych wyrazów szeregu ) rówej 4 x e. Jeżeli 4 x e <, czyli x <, to szereg ) jest zbieży. e Jeżeli zaś 4 x e >, czyli x >, to szereg ) jest rozbieży. e e Stąd wiosek, że promień zbieżości szeregu potęgowego ) jest rówy. e Odpowiedź: Day w zadaiu szereg potęgowy ma promień zbieżości. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

9 Zadaie. puktów) x dx Obliczyć wartość całki ozaczoej. Pamiętać o uproszczeiu wyiku. x x+ Przekształcamy miaowik fukcji podcałkowej x dx x x+ a astępie wykoujemy podstawieie i formalie x dx x x++ t x, x t+ dx dt. x dx x ) +, Poadto x odpowiada t, a x odpowiada t, przy czym zależość t od x jest mootoicza. Stąd wyika, że przedział całkowaia x [, ] odpowiada przedziałowi t [, ]. Otrzymujemy x dx x ) + l t +) t+) dt t + t + arctg t t dt t + + t dt t + l l l π +arctg arctg ) + 4 l + π 4. Odpowiedź: Podaa całka ozaczoa ma wartość l + π 4. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

10 Zadaie. puktów) Obliczyć całkę ieozaczoą e x six dx. Ozaczamy daą całkę przez Ix) i całkujemy dwukrotie przez części: Ix) e x six dx ex six e x ex six e x cosx dx ex six e x cosx six) dx ) e x cosx dx ex six ex cosx e x six dx ex six ex cosx Ix), co prowadzi do 4 Ix) e x six e x cosx 9 Ix), skąd Ix) ex six e x cosx +C. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

11 Zadaie. puktów) Udowodić zbieżość całki iewłaściwej Dzieląc przedział całkowaia otrzymujemy x π dx x 5 +x 4. x π dx x 5 +x x π dx 4 x 5 +x + 4 x π dx x 5 +x 4. Wykażemy, że każda z dwóch całek występujących w powyższej sumie jest zbieża. W tym celu zauważymy, że fukcja podcałkowa jest dodatia i skorzystamy z kryterium porówawczego dla całek iewłaściwych. Otrzymujemy bo 4 π <. Podobie bo 5 π >. x π dx x 5 +x 4 x π dx x 5 +x 4 x π dx +x 4 x π dx x 5 + dx < +, x4 π dx < +, x5 π Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

12 Zadaie 4. puktów) Wyzaczyć promień zbieżości szeregu potęgowego x. )!) Stosujemy kryterium Cauchy ego do szeregu ) traktowaego jako szereg liczbowy z parametrem x. Otrzymujemy x!) x b.! Następie stosujemy kryterium d Alemberta do ciągu b ): ) b + +)+ x + +! b +)! x +) x + ) x e x. + Tak więc zastosowaie kryterium d Alemberta prowadzi do graicy ilorazów kolejych wyrazów ciągu b ) rówej e x. Jeżeli e x <, czyli x < e, to ciąg b ) jest zbieży do <, a w kosekwecji szereg ) jest zbieży. Jeżeli zaś e x >, czyli x > e, to ciąg b ) jest rozbieży do + >, a w kosekwecji szereg ) jest rozbieży. Stąd wiosek, że promień zbieżości szeregu potęgowego ) jest rówy e. Odpowiedź: Day w zadaiu szereg potęgowy ma promień zbieżości e. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

13 Zadaie 5. puktów) Obliczyć wartość graicy ciągu) lim Przekształceie daej w zadaiu graicy prowadzi do gdzie lim k k +k lim k ) k ) + k k +k lim f ) k ) k, fx) x +x. Poieważ uzyskaa graica jest graicą ciągu sum Riemaa dla fukcji ciągłej f a przedziale [, ] odpowiadających podziałom tego przedziału a przedziałów długości /, możemy zapisać jej wartość w postaci podaej iżej całki ozaczoej. Korzystając ze wzoru g x) dx l gx) +C gx) obliczamy wartość tej całki: x dx x + x dx x + l x + x Odpowiedź: Podaa graica ma wartość l. l 9 l ) l. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

14 Zadaie 6. puktów) Udowodić zbieżość szeregu si 7 6 / + /. Skorzystamy z kryterium zbieżości bezwzględej oraz z kryterium porówawczego: bo / >. si 7 6 / + / si 7 6 / + / / + / + / < +, / Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

15 Zadaie. puktów) Obliczyć wartość całki ozaczoej π cos 6 x dx. Korzystając z liczb zespoloych wyprowadzimy odpowiedią tożsamość trygoometryczą. Przyjmijmy z cosx+isix. Wówczas z cosx+isix, z cosx isix, cosx z +z. Zatem z +z cos 6 ) 6 x z6 +6z 4 +5z ++5z +6z 4 +z 6 64 cos6x + cos4x + 5cosx Pamiętając, że całka ozaczoa z cosiusa po pełym okresie jest rówa, otrzymujemy π cos 6 x dx π cos6x + cos4x + 5cosx π 6 dx Odpowiedź: Daa w zadaiu całka ma wartość 5π dx π 5π 6 5π 8. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

16 Zadaie. puktów) Obliczyć wartość całki ozaczoej Z rówości oraz otrzymujemy π π si 6 x cos 6 x dx. cosx si x+ π ) six+π) six π cos 6 x dx si 6 x+ π ) π/ dx si 6 x+ π ) dx+ π/ si 6 x+ π ) dx+ π π/ si 6 x π ) π dx si 6 x dx, skąd wyika, że daa w zadaiu całka ma wartość zero. π π/ π π/ si 6 x dx+ Odpowiedź: Daa w zadaiu całka ozaczoa ma wartość. si 6 x+ π ) dx π/ si 6 x dx Uwaga: Idea powyższych rachuków jest astępująca: Fukcje si 6 i cos 6 są całkowae po pełym okresie rówym π, a przy tym jest to ta sama fukcja, tylko przesuięta o π/. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

17 Zadaie. puktów) Fukcja f :, + ) R jest określoa wzorem x fx) log t ) 7 dt. Wyzaczyć pukt, w którym f osiąga ajmiejszą wartość. Poieważ f x)log x ) 7, mamy f x)< dla x, 8) oraz f x)> dla x>8. Stąd wiosek, że fukcja f jest malejąca w przedziale, 8) i rosąca w przedziale 8, + ), a zatem osiąga ajmiejszą wartość w pukcie 8. Odpowiedź: Daa w zadaiu fukcja osiąga ajmiejszą wartość w pukcie 8. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

18 Zadaie 4. puktów) Day jest szereg fukcyjy f o sumie F, gdzie fukcje f są dae wzorami f x) si x. Wyzaczyć ajwiększą liczbę aturalą m, dla której prawdziwe jest astępujące zdaie: Fukcja F jest m-krotie różiczkowala, a poadto dla każdej liczby całkowitej dodatiej k m zachodzi rówość F k) f k). Wykażemy, że m 8. Dla liczb całkowitych ieujemych k 8 otrzymujemy f k) x) k jakiśsius x, gdzie f ) f, a jakiśsius ozacza jedą z fukcji ±si, ±cos. Zatem f k) k k 56 skąd wyika jedostaja zbieżość szeregów fukcyjych ) < +, f k), a w kosekwecji możliwość 8-krotego różiczkowaia daego w zadaiu szeregu fukcyjego wyraz za wyrazem. Poadto f 9) x) 9 cos ) x 5 cos x, co dla x daje szereg rozbieży ) 5. Zatem szereg fukcyjy f 9) ie jest zbieży awet puktowo), co dowodzi, że liczba m 9 ie spełia waruków zadaia. W rozwiązaiu wykorzystaliśmy zbieżość szeregu geometryczego o ilorazie 56/ bezwzględie miejszym od i rozbieżość szeregu geometryczego o ilorazie 5/ większym od. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

19 Zadaie 5. puktów) Obliczyć wartość sumy. Wolo skorzystać z gotowych wartości calek: + π π π π e x dx eπ, e x dx e4π e x cosx dx e x six dx ) e π +, ) e π +. Dla czytelości przeprowadzaych rachuków oraz podaej odpowiedzi moża użyć ozaczeń: A e π oraz B e π +. Na wstępie zauważmy, że a mocy podaych rówości szereg Fouriera fukcji f okresowej z okresem π i określoej a przedziale [, π) wzorem ma współczyiki fx) e x dla x, π) e π + dla x a eπ π, a ) π e π, +, b ) π e π +, a poadto jest o puktowo zbieży do fukcji f, gdyż f ma w pukcie ieciągłości wartość rówą średiej arytmetyczej graic jedostroych. Sposób I Porówując wartość fukcji f w pukcie x z sumą jej szeregu Fouriera w tym pukcie otrzymujemy f) a, czyli e π + eπ ) π + π e π +. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

20 Stąd otrzymujemy kolejo: e π + eπ π π e π ) π e π +π e π + π π e π +π e π + 6 e π ) π B A 6A Sposób II Korzystając z rówości Parsevala: π otrzymujemy e 4π e π ) + 6π π co przepisujemy kolejo jako: e π ) e π + ) e π + e π + π e π fx) dx πa +π eπ 6π e π e π ) 6π ) +. a +b ) + + π e π +, ) +, +, ) + e π + ) π e π +, ) +, eπ 6π π e π ) +, π e π +π e π + 6π π e π +π e π + 6 e π ) π B A 6A π e π ) +, +. +, ), + Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

21 Zadaie 6. puktów) Dowieść. że jeżeli szereg a o wyrazach dodatich jest zbieży, to szereg też jest zbieży. Z ierówości między średią geometryczą i arytmetyczą otrzymujemy a a +, czyli Poieważ wiemy, że a z założeń zadaia dostajemy ierówości a a a + ) a +. < +, a < +, a + < +. a Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia