ĆWICZENIE 6. Komputerowe wspomaganie analizy i syntezy układów sterowania Liniowe układy jedno- oraz wielowymiarowe

Transkrypt

1 ĆWIZENIE 6 Kompuerowe wspomagaie aaliz i sez układów serowaia Liiowe układ jedo- oraz wielowmiarowe 6. el ćwiczeia odsawowm celem ćwiczeia jes ugruowaie wiadomości z zakresu projekowaia sez oraz smulacji układów serowaia jedo- oraz wielowmiarowmi obiekami opiswami odpowiedimi modelami liiowmi z czasem ciągłm. Rozważae są asępujące zagadieia: - seza serowików korekorów w oparciu o całkowe kreria jakości w m sraojeie serowików z rodzi ID z wkorzsaiem reguł Zieglera-Nicholsa - pozcjoowaie bieguów zamkięego układu serowaia - seza obserwaorów sau obserwaor o pełm rzędzie oraz obserwaor zredukowae - seza serowaa ze sprzężeiem od esma sau - sez serowaia opmalego ze względu a kwadraowe wskaźiki jakości. Ćwiczeie polega a wkoaiu projeku wzaczeie srukur i paramerów układu oraz smulacja pocesów serowaa a podsawie dach model serowaego obieku oraz cel serowaia przgoowach przez prowadzącego ćwiczeie. Obliczeia oraz eksperme smulacje realizowae są prz pomoc programu. Drugorzędm chociaż akże isom celem ćwiczeia jes zaem zapozaie się z zaawasowami możliwościami ego programu kompuerowego wspomagaia projekowaia układów serowaia auomaczego. 6. odsawowe iformacje o programie rogram opracowa przez firmę Ssems echolog Ic. jes programem uławiającm aalizę oraz projekowaie liiowch układów serowaia auomaczego. Zaleami ego programu dosępego i sosowaego obecie w wielu ośrodkach akademickich są iewielkie wmagaia sprzęowe oraz prosoa obsługi. Komuikacja z programem odbwa się w rbie dialogowm - użkowik wprowadzając zleceia programowe obserwuje a ekraie kompuera wiki działaia programu w posaci dach liczbowch doczącch p. rasmiacji operaorowch lub modeli obieków damiczch w przesrzei sau bądź eż w posaci odpowiedich wkresów doczącch p. odpowiedzi skokowch lub charakersk częsoliwościowch badach układów serowaia. odsawowmi obiekami przewarzami przez program są rasmiacje operaorowe oraz modele saowe idefikowae w programie poprzez uikalą azwę adaą przez użkowika. rzkładowo wprowadzeie iformacji o rasmiacji daej wzorem s G p s ss s osiaga się w sposób asępując >gps/s*s^*s Od ego momeu użcie azw gp ozacza iż odpowiedie działae określoe semaką daego zleceia programu docz ej właśie rasmiacji. Najprosszm zleceiem będzie po prosu wświeleie posaci obieku o daej azwie uzskiwae poprzez wprowadzeie ej azw idefikaora >gp 6.

2 s f ss s 6.. Uiwersale fukcje programu rogram udosępia szereg uiwersalch fukcji maemaczch kórch zesawieie podao w abeli 6.. BS OS SIN N DIM OS OSH DER DE EX IDEN IN LOG LOG NORM NO ONES RDIM RND SGN SIN SINH SQR N NH RE ZERO abela 6.. Uiwersale fukcje programu Zaczeie większości azw wsępującch w powższej ablic jes oczwise pozosałch przpadków doczą wjaśieia dae iżej: DER - wzaczaie pochodej daej fukcji wmierej zmieej zespoloej s DE - obliczaie wzaczika macierz IDEN - uworzeie macierz jedoskowej NORM - obliczae orm macierz ONES - uworzeie macierz o elemeach rówch ZERO - uworzeie macierz zerowej. 6.. aliza własości obieków damiczch rogram umożliwia aalizę własości obieku damiczego w dziedziie czasu częsoliwości oraz a płaszczźie zespoloej. Dosepe są poado zleceia programowe doczące aaliz sabilości badaego układu serowaia. Lisę wbrach zleceń zamieszczoo w abeli 6. zaś dalej podao iformacje doczące sposobu wwołaia ch zleceń. SYM BODE FREQ LOGNYQ MRGINS NIHOLS NYQUIS OIN ROO ROUH SBILIY IME abela 6.. Zleceia programu służące aalizie obieku damiczego. SYMGopcjaauo Wkreślaie asmpoczch charakersk częsoliwościowch obieku damiczego opisaego rasmiacja operaorową G; opcja: - charakerska ampliudowa - charakerska fazowa 3 - charakerska ampliudowa i fazowa. BODEopcjaauo Wkreślaie charakersk częsoliwościowch obieku damiczego a rzecz kórego uprzedio wkoao zleceie FREQ opcja - jak w przpadku zleceia SYM. - -

3 FREQGFFNopcja Obliczaie charakersk częsoliwościowch obieku damiczego opisaego rasmiacją operaorową G dla dskreego zbioru N warości częsoliwości z przedziału [FF]. aramer opcja docz sposobu wzaczaia ch częsoliwości podział liiow lub logarmicz przedziału [FF]. LOGNYQauo Wkreślaie charakerski Nquisa obieku damiczego a rzecz kórego uprzedio wkoao zleceie FREQ zakres logarmiczego opisu osi układu współrzędch dobiera jes auomaczie. MRGINSG Szacowaie zapasu sabilości układu serowaia o orze główm opisam rasmiacją operaorową G oraz jedoskowm sprzężeiu zwrom. NIHOLSauo Wkreślaie charakerski Nicholsa obieku damiczego a rzecz kórego uprzedio wkoao zleceie FREQ. NYQUISauo Wkreślaie charakerski Nquisa obieku damiczego a rzecz kórego uprzedio wkoao zleceie FREQ. OINGpuls Wzaczeie warości charakerski częsoliwościowej obieku damiczego opisaego rasmiacją operaorową G dla pulsacji określoej paramerem puls. ROOGauo Wkreślaie liii pierwiaskowch układu serowaia o orze główm opisam rasmiacją operaorową G oraz jedoskowm sprzężeiu zwrom. ROUHG aliza sabilości zamkięego układu serowaia o orze główm opisam rasmiacją operaorową G oraz jedoskowm sprzężeiu zwrom okresla jes zbiór warości wzmocieia w orze główm kórm odpowiada sabil ukłąd zamkię. SBILIYG aliza sabilości zamkięego układu serowaia o orze główm opisam rasmiacją operaorową G oraz jedoskowm sprzężeiu zwrom. IMEGopcja auo Wkreślaie charakersk czasowch obieku układu damiczego opisaego rasmiacja operaorową G; - 3 -

4 opcja: - układ zamkię o jedoskowm sprzężeiu zwrom odpowiedź skokowa - układ zamkię o jedoskowm sprzężeiu zwrom odpowiedź impulsowa 3 - układ owar odpowiedź skokowa 4 - układ owar odpowiedź impulsowa. rz wspomagam działaiem programu wkreślaiu charakersk badaego obieku damiczego docz o zaem akich przkładowch zleceń jak BODE ROO lub IME użkowik orzmuje poado bogaą oferę meu paramerzacji uzskaego wkresu skalowaie wbór zakresów zobrazowaia ip Seza prosch rasmiacji operaorowch W abeli 6.3 podao zleceia programu pozwalające a uzskaie rasmiacji operaorowch założoego pu dla zadach warości paramerów. Sposób wwołaia ch zleceń opisao iżej. OLE OLES ZERO ZEROS LEDLG DE abela 6.3. Zleceia sez rasmiacji operaorowch. OLEGp Uzskuje się rasmiację operaorową posaci a G s a. 6. OLESGdzeaomega Uzskuje się rasmiację operaorową posaci G s^ omega^ *dzea*omega*s ZEROGz Uzskuje się rasmiację operaorową posaci G. 6.3 omega^ s z. 6.4 z ZEROSGdzeaomega Uzskuje się rasmiację operaorową posaci s^ *dzea*omega*s omega^ G. 6.5 omega^ LEDLGGomegahea Uzskuje się rasmiację operaorową dla kórej przesuięcie fazowe prz pulsacji omega wosi hea gd hea> odpowiada o rasmiacji serowika pu 'lead' zaś dla hea< orzmujem rasmiację serowika pu 'lag': G b s a * b>a 'lead' 6.6 a s b - 4 -

5 DEG G s a b<a 'lag'. 6.7 s b Seza wmierej rasmiacji operaorowej G aproksmującej rasmiację e s modelującą opóźieie rasporowe. Uzskuje się rasmiację ofilru wszechprzepusowego rzędu. Użcie zleceia DELY powoduje iż wszskie rasmiacje operaorowe dosępe w dam momecie przewarzaia możoe są przez czik e s gdzie Zleceia pozwalające a zmiaę reprezeacji modeli obieków damiczch W abeli 6.4 wmieioo zleceia programu pozwalające a żądaą kowersję reprezeacji modeli obieków damiczch. Dalej opisao sposób wwołaia ch zleceń. IL FE ZF SINGLE F UNIRY abela 6.4. Zleceia kowersji reprezeacji modeli obieków damiczch. ILG Odwroa rasformaa Laplace'a daej rasmiacji operaorowej G. FEG Rozkład a ułamki prose daej rasmiacji operaorowej G. ZFG Daa rasmiacja operaorowa G reprezeowaa jes w posaci czikowej. SINGLEG Daa rasmiacja operaorowa G reprezeowaa jes w posaci w kórej wielomia liczika i miaowika mają posać rozwiięę i uporządkowaą. SFG Wświelaa jes reprezeacja rasmiacji operaorowej G w kórej wielomia liczika i miaowika maja wróżioe sałe czasowe. UNIRYG Daa rasmiacja operaorowa G reprezeowaa jes w posaci w kórej wielomia liczika i miaowika są wielomiaami moiczmi. 6.3 Eleme sez jedowmiarowch układów serowaia - 5 -

6 W pukcie m podao uzupełiające wiadomości doczące prosch reguł projekowaia jedowmiarowch układów serowaia. Rozważoo reguł opare o całkowe kreria jakości serowaia w m reguł Zieglera-Nicholsa Wzaczaie całkowch wskaźików jakości serowaia Niech r ozacza wejście zaś c wjście rozważaego układu serowaia rs. 6.. r e G c s G p s c Defiiując uchb serowaia jako zakłada się iż Rs. 6.. Srukural schema układu serowaia e r c 6.8 lim e. 6.9 Nasępujące wskaźiki całkowe ależą do ajczęściej sosowach w prakce:. ałka z kwadrau uchbu ozaczaa zazwczaj skróem ISE iegral square error ISE e d. 6.. ałka ważoa z bezwzględej warości uchbu ozaczaa zazwczaj skróem IE iegral of ime muliplied absolue error IE e d Ważoa całka z kwadrau uchbu ozaczaa zazwczaj skróem ISE iegral of ime muliplied square error ISE e d Zmodfikowaa całka z kwadrau uchbu ozaczaa zazwczaj skróem MISE modified iegral square error MISE [ e λ e ] d 6.3 gdzie λ - określoa sała wagowa. Wzaczaie wskaźika ISE Niech E s ozacza rasformaę Laplace'a uchbu serowaia e. Zakładając iż ISE przjmuje warość skończoą orzmuje się ISE e d E jω E jωd jω πj. 6.4 j j Niech E s będzie asępującą fukcją wmierą - 6 -

7 b E s s as bs b a s a W abeli 6.5 podae warości ISE dla i ISE b aa ab ab aaa aab aa b bb aab aa aa aa abela 6.5. Warości ISE Wzaczaie wskaźika IE Wskaźik e - posiadając licze zale - bardzo rudo wzaczć aaliczie chociaż może bć względie ławo wzaczo ekspermaalie. Zakładając że rasmiacja operaorowa zamkięego układu serowaia ma asępującą posać fukcją s R s a s s a s a a s a a ω 6.6 moża posłużć się abelą 6.6 w kórej podaa jes posać ej rasmiacji miimalizująca wskaźik IE. Zgodie ze wzorem 6.9 odpowiedź skokowa rozważaego układu serowaia ie wkazuje uchbu usaloego. s s ω s 4. ωs ω 3 3 s 7. 5 ω3s. 5ω3 s ω s. ω s 34. ω s 7. ω s ω abela 6.6. rasmiacja układu serowaia opmala ze względu a krerium IE. Wzaczaie wskaźika ISE W przpadku ISE posępuje się aalogiczie jak dla ISE. Zakładając iż odpowiedia całka przjmuje warość skończoą sosuje się wzór ISE e d πj j j de jω E jωd jω. 6.7 d jω rasformacie E s określoej wzorem 6.5 odpowiadają warości ISE dae w abeli

8 3 ISE b 4a b ab abb ab 4a aa b abb abb 4a a a a a a 3 a a b a a a b b b a a a b a a a a a a a a abela 6.7. Warości ISE Wzaczaie wskaźika MISE daje się sprowadzić do wzaczaia wskaźika ISE. rzkład rasmiacja operaorowa zamkięego układu serowaia z jedoskowm sprzężeiem zwrom rs. 6. wraża się wzorem Grc s / s R s ω ω ζω s / s prz czm biegu ej rasmiacji leżą w lewej półpłaszczźie płaszczz zespoloej. Zakładając że do wejścia ego układu przłożoo sgał zadając w posaci skoku jedoskowego zaś ISE - całka z kwadrau uchbu jes krerium koszów serowaia zajdź warość współczika łumieia ζ zapewiającą miimalizację ISE. Oszacuj przeregulowaie κ % oraz czas usalaia s5% odpowiedzi skokowej ak zaprojekowaego układu zamkięego. Odpowiedź rasformaa uchbu wraża się wzorem Es Es / Rs ζω s/ ω ζω s s. Z abeli całek ISE abela 6.5 wika iż w m przpadku zachodzi ISE 4ζ / 4ζ ω. rzrówując do zera pochodą ISE względem ζ orzmuje się rówaie 8ζ 4ζ 4 4ζ. zaem ζ op.5 czemu odpowiada ISE op op op κ% 6%. Wiki e ławo jes sprawdzić prz pomoc programu. op ζ ζ op ω oraz rzkład Da jes układ serowaia z jedoskowm sprzężeiem zwrom opisa operaorową rasmiacją Grc s ω / ω as s. Wzacz opmalą warość ζ op współczika łumieia ζ ego układu prz kórej wskaźik IE e e d osiaga warość miimalą gdzie e jes uchbem owarzszącm skokowemu pobudzeiu. Odpowiedź Z abeli 6.6 wika iż opmalą formą rasmiacji jes Grcop s ω ω. ω s / 4 s. o ozacza że w rozważam przpadku ζ op 7.. Na ej podsawie oszacować moża warość przeregulowaia odpowiedzi skokowej opmalego układu serowaia: κ ζop 46%

9 rzkład 3 rasmiacja operaorowa owarego układu serowaia z jedoskowm sprzężeiem zwrom daa jes wzorem G s ki /[ s s ]. Należ wzaczć warość asaw k i dla kórej asępująco zdefiiowa wskaźik MISE zmodfikowae krerium ISE przjmuje warość miimalą MISE e e λ e d gdzie e jes uchbem serowaia dla skokowego sgału zadającego. Odpowiedź W rozparwam przpadku zachodzi e zaem całkę MISE moża wrazić wzorem wikającm z przekszałceia MISE [ e λ e ] d λe 6.8 [ e λ e λe e ] d [ e λe ] d λ e e d. 6.9 rasformaa sgału uchbu daa jes wzorem E s s/ k s s. 6. i zaem e. rasformaę Laplace'a fukcji e λe określa wzór z kórego orzmujem L[ e λe ] E s λse s λe 6. L[ e λ e ] λk s / k s s. 6. i i Na podsawie powższego wzoru wzaczam poszukiwaą warość całki MISE k i i i i i MISE k k λ k / k. 6.3 Opmala warość parameru k i wosi zaem k i op / λ. rzkład 4 W pewm zamkięm układzie serowaia z jedoskowm ujemm sprzężeiem zwrom rasformaa uchbu prz pobudzeiu ego układu skokiem jedoskowm wraża się wzorem Es a as s/ as as s 3 gdzie a i a są asawialmi paramerami ego układu. rzjmując wielkość ISE jako krerium koszów działaia owego układu zajdź warości paramerów a i a zapewiające miimalizację ego wskaźika a asępie wzacz im odpowiadajacą rasmiację układu zamkięego. Odpowiedź Opmalmi warościami paramerów a i a są asępujące: a op oraz a op. oieważ w rozważam przpadku zachodzi G s / se s gdzie G s jes rasmiacją operaorową układu owarego dla opmalch warości paramerów a i a układu orzmujem G op s / [ s s s ]. Na ej podsawie rasmiacja Grcop s opmalego układu zamkięego wraża się wzorem Grcop s s s 3 / s

10 rzkład 5 Układ serowaia wkoując zadaie serwomechaizmu przedsawia się jak a rs. 6.. rasmiacja układu owarego ma posać G s G s G s k /[ s s s ]. 6.4 c p v Należ określić warość wzmocieia prędkościowego k v odpowiadającego miimum ISE prz założeiu że a wejście ego układu przkłada się skok jedoskow. Odpowiedź Opmale wzmocieie prędkościowe rozważaego układu serowaia wosi kvop /[ ]. 6.5 rzkład 6 rasmiacja operaorowa zamkięego układu serowaia z jedoskowm sprzężeiem zwrom ujemm daa jes wzorem Grc s s / ζ s ζ. Zakładając że sgał r przłożo do wejścia ego układu jes skokiem jedoskowm r a krerium jakości serowaia jes całka z bezwzględej warości uchbu IE zajdź zależość owej wielkości od warości współczika łumieia ζ. Odpowiedź Szukaą zależością jes fukcja liiowa IE ζ ζ. rzkład 7 Dla układu serowaia o schemacie srukuralm jak a rs. 6. ależ wzaczć warość sałej całkowaia k i miimalizującej ISE dla jedoskowego skokowego sgału zakłócającego d. d r e G c s G p s c Rs. 6.. Srukural schema układu serowaia Oszacuj warości przeregulowaia κ oraz czasu usalaia s5% odpowiedzi skokowej ak opmalizowaego zamkięego układu serowaia.. Odpowiedź W rozważam przpadku warość całki z kwadrau błędu serowaia daa jes wzorem ISE k /[ k k ]. 6.6 i i i Ozaczając szukaą warość parameru k i przez k i op zajdujem kiop /. 6.7 Warości κ oraz czasu usalaia s5% odpowiedzi skokowej rozważaego układu serowaia podao w abeli

11 k i op κ s5% 54.4% % % 7. abela 6.8. Wskaźiki odpowiedzi skokowej układu serowaia rzkład 8 rasmiacja operaorowa owarego układu serowaia z jedoskowm sprzężeiem zwrom daa jes wzorem G s k sσ /[ s s]. 6.8 Zakładając iż zamkię układ serowaia jes układem sabilm oraz warości paramerów k i σ są usaloe wzacz warość sałej czasowej ego układu dla kórej całka z kwadrau uchbu prz jedoskowm pobudzeiu skokowm przjmuje warość miimalą. Odpowiedź rz uczioch założeiach całka ISE wraża się wzorem ISE k σ /[ k σ ]. 6.9 Opmalą warością parameru jes zaem op / kσ. rzkład 9 rasmiacja operaorowa pewego owarego układu serowaia z jedoskowm ujemm sprzężeiem zwrom wosi G s kp ski/[ s s ] >. 6.3 Należ dobrać warości asaw k p oraz k i ego układu ak ab w układzie zamkięm całka z kwadrau odpowiedzi impulsowej g przjmowała warość miimalą. Odpowiedź ałka z kwadrau odpowiedzi impulsowej ego układu daa jes wzorem g d kp ki /[ ki ] 6.3 z kórego orzmuje się opmalą warość asaw k i k iop k p 6.3. Reguł Zieglera-Nicholsa Reguł dae przez Zieglera i Nicholsa saowią podsawę dwóch bardzo prosch meod srojeia serowików z rodzi ID dla daego procesu. Reguł e zosał wprowadzoe a podsawie empirczego srojeia akich serowików dla powch procesów prz zasosowaiu wskaźika IE iegral absolue error. ierwsza meoda opiera się a aalizie kszału począkowego fragmeu odpowiedzi skokowej obieku serowaia. Druga meoda korzsa z iformacji uzskaej a graic sabilości zamkięego układu serowaia ze serowikiem proporcjoalm. - -

12 W obu przpadkach zakłada się asępującą idealizowaą posać operaorowej rasmiacji serowika ID G s k [ / s s s] c c i d Reguł pierwszego rodzaju: asawiaie serowików ID według kszału odpowiedzi skokowej obieku. W meodzie ej przjmuje się iż o damice serowaego obieku decdują lko dwa paramer rs. 6.3: α - maksmale achleie sczej do odpowiedzi skokowej obieku w począkowm fragmecie jej przebiegu - mome w kórm owa scza przecia oś czasu. c α Rs Model począkowego fragmeu odpowiedzi skokowej Zakłada się zaem że rasmiacja operaorowa serowaego obieku może bć aproksmowaa za pomocą asępującej rasmiacji proopowego człou rzędu pierwszego z opóźieiem G s k e / s k p gα a p s Dla akiego uproszczoego modelu obieku asaw serowików ID usala się według reguł podach w abeli 6.9. Serowik k c i d k p I 9. k p 33. ID. k p 5. abela 6.9. Reguł Zieglera-Nicholsa - pierwszego rodzaju. Reguł drugiego rodzaju: asawiaie serowików ID według paramerów drgań graiczch. Zakłada się że w układzie serowaia ze serowikiem pu poprzez asawieie warości wzmocieia ego serowika wzbudzoe zosają okresowe drgaia. Niech k g będzie odpowiadającą emu warością wzmocieia serowika zaś g - okresem owch drgań graiczch. Wed asaw serowików ID usala się według reguł podach w abeli 6.. Jak ławo zauważć w przpadku serowika ID obowiązuje zasada 4. lerawą propozcją asawiaia serowika ID w sosuku do reguł Zieglera-Nicholsa jes meoda essea: k k /5 /3 /. c g i g d g - - i d

13 Serowik k c i d 5. k g I.45k g g ID 6. k g 5. g.5 g abela 6.. Reguł Zieglera-Nicholsa - drugiego rodzaju. rzkład Da jes zamkię układ serowaia o schemacie srukuralm jak a rs. 6.. Serowa obiek posiada rasmiację Gp s / [ s s 5 s]. Sosując drugi rodzaj reguł Zieglera- Nicholsa ależ wzaczć asaw serowika ID. Nasępie prz pomoc programu ależ oszacować przeregulowaie κ % odpowiedzi skokowej w układzie zamkięm z akim serowikiem. Okaże się iż przeregulowaie o ma admierą warość. z zadowalającą odpowiedż skokową moża uzskać meodą dosrojeia wzmocieia serowika ID? Odpowiedź Jak ławo sprawdzić rs. 6.4 w rozważam przpadku orzmuje się: k g 3 oraz g 8. s a zaem serowik ID o rasmiacji operaorowej 6.34 asawia się asępująco: k 6. k s.5. 35s. c g i g d g Rs rzkładowa sesja obliczeń prz pomoc programu Ozacza o iż ak orzma serowik ID ma biegu w zerze oraz podwóje zero w pukcie s akim asawom owarzsz przeregulowaie odpowiedzi skokowej κ % 6% co jes warością admierą. Zmiejszając dwukroie warość wzmocieia k c bez zmia położeia podwójego zera osiąga się dwukroe zmiejszeie przeregulowaia oraz przspieszeie odpowiedzi skokowej; o osaie moża objaśić m że domiujące biegu układu zamkięego leżą wówczas w pobliżu zer ego układu moża się o m przekoać aalizując prz pomoc programu obraz liii pierwiaskowch układu zamkięego. rzkład Obiek o rasmiacji operaorowej daej wzorem Gp s /[ s s 3 s] jes serowa w układzie z jedoskowm sprzężeiem zwrom prz użciu serowika ID o rasmiacji operaorowej osługując się programem wzaczć asaw odpowiadające obdwu wersjom meod Zieglera-Nicholsa: a dla serowika I d b dla serowika ID

14 Oszacować przeregulowaie κ odpowiedzi skokowej układu zamkięego i czas usalaia s5% ej odpowiedzi dla każdego z rozważach przpadków Odpowiedź a Serowik I I- rodzaj reguł Zieglera-Nicholsa k p s: k c. 34 i 4. 9s κ % 689%. s5 % 7. 4s; II-gi rodzaj reguł Zieglera-Nicholsa: k c 5. i 5. 7s κ % 63% s5 % 3.6s. a Serowik ID I- rodzaj reguł Zieglera-Nicholsa k g 5 g 894. s: k c 3. i 8. 66s d 7s. κ % 5% s5 % 49. s; II-gi rodzaj reguł Zieglera-Nicholsa: k c 3 i 9. 47s d. 37s κ % 44% s5 % 38. s. 6.4 Eleme sez wielowmiarowch układów serowaia W pukcie m przedsawioo wsępe iformacje doczące wbrach elemeów sez wielowmiarowch układów serowaia liiowmi obiekami z czasem ciągłm. Rozważoo asępujące zagadieia: pozcjoowaie bieguów zamkięego układu serowaia meodą sprzężeia od sau seza obserwaorów oraz serowaie opmale ze względu a kwadraowe kreria jakości. Wskazao a możliwości wkorzsaia programu do rozwiązwaia odpowiedich zadań projekowaia Seza auoomiczego układu serowaia ze sprzężeiem od sau: Bu Br obiek SISO: 6.36 Dr meoda ckermaa: para B serowala R B R u uf F F R serowaie: 6.37 r Φr s s a s as a - wielomia charakerscz układu zamkięego F [ ][ B B B] Φ model zamkięego układu: BF. r F R D r si - - B F Rs Srukural schema układu serowaia ze sprzężeiem od sau - 4 -

15 6.4. Seza auoomiczego układu serowaia ze sprzężeiem od wjścia: obiek SISO: Br u Dr meoda ckermaa: para serowala H R R 6.4 serowaie: u H H H R r 6.4 Φ a - wielomia charakerscz układu zamkieego o s s a s as H Φ o model zamkięego układu: H R 6.4 H D r B. si - - H Rs. 6.6.Srukural schema układu ze sprzężeiem od wjścia Seza regulaora i obserwaora meoda ckermaa obiek SISO: obiek: Bu 6.44 s si B 6.45 obserwaor: regulaor: szeregow kompesaor ˆ ˆ Bu H r r ˆ ˆ H R u Fˆ F R K s F si BF H H BF H H K s K. F r ˆ ˆ

16 - 6 - K s s r Rs Model wejściowo-wjściow układu serowaia Seza serowaia w oparciu o odworzo esmowa wekor sau Rozważa się obserwaor o pełm oraz zredukowam rzędzie. Obserwaor o pełm rzędzie Sezę obserwaora o pełm rzędzie prowadzi się w oparciu o asępujące wzor: model serowaego obieku: m p R R R B Bu 6.49 model obserwaora: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ m m p R R R R H B H Bu 6.5 błąd esmacji sau: ˆ m R H e H e e e 6.5 regulaor: ˆ p R F F u 6.5 model zamkięego układu: ˆ ˆ ˆ e e H BF BF e H BF H BF 6.53 szeregow kompesaor: F H H BF K K H H BF I F K s s s 6.54 serowaie z sgałem odiesieia: ˆ r p p R R L F Lr F u 6.55 modele zamkięego układu: saow model: ˆ ˆ ˆ r BL BL H BF H BF 6.56 rasmiacj model:

17 BF BL s H BF H BL Obserwaor o zredukowam rzędzie Model serowaego obieku ma posać Bu 6.58 p m R B R R m <. m m Niech z z R gdzie R jes ak dobraą macierzą iż macierz E określoa wzorem E E R 6.59 jes kwadraową macierzą o pełm rzędzie rak E. Warukiem koieczm ieosobliwości macierz E jes peł rząd wierszow macierz : rak m. rzedsawm macierz odwroą E w asępującej posaci z wróżiomi podmacierzami oraz M : m m E M R M R. Na podsawie zależości [ ] E z 6.6 moza zapisać iż E Mz z. 6.6 Z powższego rówaia wika iż dla wzaczeia esma ˆ wekora sau iezbęde jes określeie pewego oszacowia z ˆ wekora z. W m celu ależ zdefiiować odpowiedi model rówaie różiczkowe opisując ewolucję sgału z oraz model obserwacji ego sgału 'sacze' rówaie obserwacji. Na podsawie rówaia sau Bu zapisać moża iż E E EBu co pozwala a wkoaie asępującch przekszałceń z kórch wika iż E [ M] Bu z z 6.6 M B u z M z B m m m m o wprowadzeiu ozaczeń R M R m m m m m p R M R B B B R B B m p B orzmujem R - 7 -

18 B u z z B 6.64 skąd wika różiczkowe rówaie dla zmieej z : z z B u. Sprawdźm cz w rozważam przpadku moża przjąć sadardow model obserwaora opisa rówaiem z zˆ B u H ˆ 6.65 ˆ m m gdzie H R jes macierzą sprzężeń obserwaora zaś ˆ Mzˆ ozacza poszukiwaą esmaę sau określoą a podsawie wjścia oraz oszacowaia z ˆ. Z rówości I m oraz M m m wika że ˆ Mzˆ 6.66 co ozacza iż propoowaa wżej srukura obserwaora sgału z jes srukurą iewsarczającą - ie zapewia oa bowiem możliwości sabilizacji obserwaora sprzężeie zwroe z macierzą H jes w rzeczwisości sprzężeiem ieefekwm. Rozważm zaem koleją srukurę w kórej jako podsawę sabilizacji obserwaora przjmuje się sprzężeie zwroe wkorzsujące sgał różicow ˆ zdefiiowa dla pochodej wjścia obieku oraz esma ˆ zˆ Bu ej pochodej. Rozważm zaem model obserwaora opisa wzorem Niech e z zˆ z zˆ zˆ Bu H zˆ Bu m e z R ozacza błąd esmacji z. Zachodzi prz m ˆ Mzˆ M z e Me 6.68 co ozacza iż błęd odpowiedich oszacowań e ˆ oraz e z z zˆ powiązae są w asępujac sposób: e Me z. Jak ławo pokazać ewolucję błędu e z opisuje jedorode rówaie różiczkowe e z H e z e z. Sabile rozwiązaie ego rówaia uzskać moża rozważając sadardowe zadaie sez obserwaora dla par macierz. Jeżeli zaem para jes całkowicie m m obserwowala wówczas isieje aka sabilizująca macierz H R dla kórej wszskie warości włase macierz przejścia saów H zredukowaego obserwaora leżą w zadach miejscach owarej lewej półpłaszczz płaszczz zespoloej. W prakce zwkle uika się różiczkowaia sgałów pomiarowch spóbujm zaem ak zmodfikować srukurę zredukowaego obserwaora ab welimiować z iej jawą obecość sgału. m Rozważm w m celu asępującą rasformację zmiech w zˆ H w R. Wzaczm różiczkowe rówaie kórego rozwiązaie saowi ak zdefiiowaa pomocicza zmiea w w zˆ H z z zˆ B u H zˆ Bu H 6.69 H w B HB u H HH H. Oszacowaie ˆ wekora sau przjmuje zaem posać ˆ Mzˆ Mw MH

19 m m Niech poszczególe smbole zaczą: w H w R B HB m p m m R H HH H wh H R oraz u M MH M R m u orzmujem asępując model zredukowaego obserwaora w ww uu ˆ Mw M. w Zakładając serowaie w posaci sprzężeia od esma sau ˆ 6.7 u Fˆ 6.7 p F R orzmujem asępując model zamkięego układu serowaia BF BFM e z He z e z Z kolei przjmując w rówaiu w ww uu założoą posać serowaia u Fˆ FMw FM uzskujem rówaie w FM w FM 6.74 w u z kórego orzmujem model szeregowego kompesaora odpowiadającego rozważaemu układowi serowaia w ufm ufm K r s K r FM FM r Zakładając serowaie z sgałem odiesieia r R u u Fˆ Lr m r L R ławo wzaczć moża asępujące modele zamkięego układu serowaia: model w przesrzei saów 6.76 BFM w ufm model rasmiacj: BFM BL r 6.77 w ufmw ul w BFM BFM BL r s r ufm w ufm ul uoomicz układ serowaia r opisa jes saowm modelem BFM BFM w ufm w ufmw w Jak już powiedziao sgał w wsępując w powższch modelach ma charaker pomociczego sgału wprowadzoego w celu uikięcia różiczkowaia wjścia obieku

20 Smulacją aalizę jakości esmacji oraz jakości serowaia w rozważam układzie zamkięm dogodie jes prowadzić opierając się międz imi a porówaiu sgałów oraz ˆ. W m celu iezbęde jes odwzorowaie par w w parę ˆ co osiąga się sosując asępujące liiowe przekszałceie I. 6.8 ˆ M Mw Zauważm poado iż z rówości w zˆ H ˆ H wika iż po założeiu w smulacjej procedurze waruków począkowch ˆ iezbęde jes przjęcie waruku począkowego w zgodie ze wzorem w ˆ H. W przpadku w kórm współrzęde wekora sau wsępują w wekorze wjścia w sposób 'bezpośredi' o zacz gd w macierz moża wróżić podmacierz jedoskową oraz podmacierz zerową I ] macierze E oraz M przjmują asępujące prose posacie: [ m m m [ m m I m ] E I 6.8 I m m m M..6.8 m m I m Seza serowaia w oparciu o kwadraow wskaźik jakości zadaie LQR Model serowaego obieku da jes wzorem Bu p m R B R R odsawow problem serowia LQR Dla asępująco zdefiiowaego kwadraowego wskaźika jakości serowaia prz czm Q R p p R R J u Q u ρ R u d ρ > 6.84 Q Q R R > poszukuje się opmalego serowaia u Q - smercza macierz dodaio półokreśloa p u R R - smercza macierz dodaio określoa u argmi J u Rozwiazaie: zakładając iż dosępe są wszskie współrzęde wekora sau para B jes sabilizowala para jes wkrwala Q Q Q Q Q Q - -

21 orzmuje się opmale serowaie u w posaci saczego liiowego sprzężeia od sau u F 6.86 F ρr B p F R 6.87 gdzie smercza dodaio półokreśloa macierz R jes jedozaczm rozwiązaiem asępującego algebraiczego rówaia Riccaiego RE Q Bρ R B W przpadku gd para jes obserwowala jes macierzą dodaio określoą Q >. Zamkię układ serowaia BF 6.89 jes układem asmpoczie sabilm zachodzi prz m J u. W przpadku w kórm sraegia serowaia zakłada obecość zmieej odiesieia r orzmujem Bu u r F 6.9. r u si - - B F Rozszerzoe problem LQR Rs Srukura opmalego układu serowaia oszukuje się opmalego serowaia u dla uogólioej posaci wskaźika jakości serowaia prz czm Q R p p R R Q N J u d ρ > 6.9 u N ρru Q Q R R > Q - smercza macierz dodaio półokreśloa R - smercza macierz dodaio określoa Q N ρ R N - smercza macierz dodaio półokreśloa. Rozwiązaie: zakładając iż dosępe są wszskie współrzęde wekora sau para B jes sabilizowala - -

22 para B ρ R N W Q jes wkrwala WQ Q N ρr N orzmuje się opmale serowaie u w posaci saczego liiowego sprzężeia od sau u F 6.9 F ρ R B N p F R 6.93 gdzie smercza dodaio półokreśloa macierz R jes jedozaczm rozwiązaiem asępującego algebraiczego rówaia Riccaiego B ρr N B ρr N Q N ρr N B ρr B oszukuje się opmalego serowaia u dla zmodfikowaej posaci wskaźika jakości serowaia prz czm Q u ρr u α J u e d Q R p p R R Q Q R R > α ρ > 6.95 Q - smercza macierz dodaio półokreśloa R - smercza macierz dodaio określoa. Rozwiązaie: zakładając iż dosępe są wszskie współrzęde wekora sau para B jes sabilizowala para Q jes wkrwala Q Q Q Q Q orzmuje się opmale serowaie u w posaci saczego liiowego sprzężeia od sau u F 6.96 F ρ R B p F R 6.97 gdzie smercza dodaio półokreśloa macierz R jes jedozaczm rozwiązaiem asępującego algebraiczego rówaia Riccaiego αi αi Q B ρr B Biegu opmalego zamkięego układu serowaia BF mają części rzeczwise miejsze od α a zaem zamkię układ charakerzuje się zapasem sabilości określom przez projekow paramer α. oszukuje się opmalego serowaia u w zmodfikowaej srukurze zamkięego układu z dodakowmi człoami całkującmi przedsawioej a rsuku

23 r s - I u. si - - B F F Rs Srukural schema układu serowaia z dodakowmi człoami całkującmi oieważ w rozważam zamkięm układzie sgał serując u podawa a obiek saowi wjście iegraora iegraorów we wskaźiku jakości ależ uwzględić lko składową przejściową u u ego sgału prz założeiu iż isieje skończoa usaloa warość u bądź eż jak się o propouje iżej pochodą u sgału u. Zauważm iż w rozważam przpadku zachodzi u e gdzie e jes odpowiedim różicowm sgałem [ u ] e r F r [ F F ] 6.99 u u ozacza rozszerzo wekor sau zaś F jes poszukiwaą macierzą sprzężeń zwroch R p p F R p F oraz Rozszerzo model serowaego obieku: R p p F. B e u u I p u p m R B R R. Zmodfikowa wskaźik jakości serowaia: Q J u u ρ R u d ρ > 6. u u prz czm podobie jak poprzedio: Q R p p R R Q Q R R > Q - smercza macierz dodaio półokreśloa R - smercza macierz dodaio określoa. oszukuje się opmalego serowaia u dla zmodfikowaego wskaźika krerialego w kórm wsępuje sgał wjściow serowaego obieku prz czm m m Q R J u Q u ρ R u d ρ > 6. Q Q - smercza macierz dodaio półokreśloa Q

24 p p R R R R > R - smercza macierz dodaio określoa Q Q D D Q D ρ R D Q - smercza macierz dodaio półokreśloa Jak ławo pokazać saowemu modelowi serowaego obieku B 6.3 D odpowiada asępująca rówoważa posać wskaźika J u Q Q D J u d. 6.4 u D Q D Q D ρr u 6.5 Zaawasowae możliwości programu W pukcie m omówioo fukcje programu doczące saowch reprezeacji obieków damiczch wbrae algebraicze fukcje ego programu a akże przekszałceia saowch modeli. Omawiae fukcje dosępe są w rbie SE programu Operacje doczące reprezeacji saowch - kwadrupol BD F G - przporządkowaie macierzowej rasmiacji operaorowej G s serowalej kaoiczej reprezeacji saowej ; ONMRIX c - worzeie macierz serowalości c odpowiadającej modelowi parze B; ONROLLBILIY - es serowalości obieku opisaego modelem serowalość par B DF G - przporządkowaie macierzowej rasmiacji operaorowej G s diagoalej kaoiczej reprezeacji saowej ; GE G - kowersja modelu saowego a model rasmiacj G s si B D; FEEDBK opcja lisa modeli saowch ±r - realizacja różch srukur ze sprzężeiem zwrom: : I : 3: 4F: I I BF B D sprzężeie od sau poprzez macierz F - 4 -

25 5H: 6H: H B D sprzężeie od wjścia poprzez macierz H powsaje z poprzez sprzężeie r-ego wjścia z r-m wejściem sprzężeie ujeme prz r< sprzężeie dodaie prz r< - aalogicze efek uzskać moża w asępując sposób: : I : I 3: 4: &-B*F 5: &-H*; LQR opcja lisa kwadrupoli macierz ρ p - seza serowaia u F F R opmalego ze względu a kwadraow wskaźik jakości; opcje: Q R F H R F 3 E F 4 F; obiek serowaia B D para B sabilizowala wskaźik jakości serowaia Bu Du p m R B R R J u E d R u u prz czm: Q : E para Q wkrwala ρr D R m p 6.5 p p E 6.6 : H H E H H R para H wkrwala ρr 3: Q N p E N R para B ρ R N Q N ρr N N ρr wkrwala 4: E para wkrwala ρr

26 zaś ρ> - dodai współczik ważąc Q R p p R R R p p E Q Q R R > Q - smercza macierz dodaio półokreśloa R - smercza macierz dodaio określoa E E E - smercza macierz dodaio półokreśloa. NUMEROR - wzaczaie liczika rasmiacji operaorowej obieku opisaego modelem ; OBSMRIX o - worzeie macierz obserwowalości o odpowiadającej modelowi parze ; OBSERVBILIY - es obserwowlości obieku opisaego modelem obserwowalość par ; OF G - przporządkowaie macierzowej rasmiacji operaorowej G s obserwowalej kaoiczej reprezeacji saowej ; K B D - worzeie kwadrupola a podsawie składowch macierz B oraz D; OLELE K opcja - pozcjoowaie bieguów układu SISO meodą ckermaa: - saow model obieku K - wekor sprzężeń opcja i lub saow kwadrupolow K model szeregowego korekora opcja 3 opcja: - seza regulaora - seza obserwaora 3 seza obserwaora i regulaora: OLES - wzaczaie bieguów warości własch macierz odpowiadającch modelowi ; SIMULION opcje waruki począkowe ma dela - smulacja procesów przejściowch w układzie damiczm opisam saowm modelem : - saow model obieku waruki począkowe: ma - mome zakończeia - zerowe waruki począkowe X - zada wekor waruków poczakowch ma procesu smulacji sar: dela - okres dskrezacji smulacjej procedur opcje doczą sposobu pobudzaia układu opisaego saowm modelem : m h: m e wejście jes pobudzae sgałem skokowm h m h: m e wejście jes pobudzae sgałem impulsowm h δ 3 m h l: m e wejście jes pobudzae sgałem prosokąm h l 4 m s b: m e wejście jes pobudzae gaussowskim sgałem pseudolosowm o zerowej warości średiej oraz sadardowm odchleiu σs puk - 6 -

27 sarow geeraora losowego określo jes paramerem b prz czm dla b sar ma charaker przpadkow 5 m plik: m e wejście jes pobudzae sgałem reprezeowam w pliku 6: sgał pobudzając jes sgałem zerowm. - wiki smulacji zapiswae są do pliku o azwie.y; dae e moża zobrazować korzsając z isrukcji LO.Y r a. UNK B D - eksrakcja elemeów modelu odpowiedie żądaie wrazić moża jako p. ; ZEROS - wzaczaie zer ssemu damiczego opisaego saowm modelem lgebraicze fukcje dosępe w EIGEN D X - wzaczaie warości własch oraz wekorów własch macierz : D - macierz dwukolumowa zawierająca części rzeczwise i urojoe warości własch macierz X - macierz kórej kolum są odpowiedimi wekorami własmi macierz ; LYUNOV F G - rozwiązaie rówaia Lapuowa F F G 6.7 w kórm: F R oraz G R G G macierz smercza są macierzmi wejściowmi R macierz smercza jes rozwiązaiem; RII F G H - rozwiązaie rówaia Riccaiego F F G H 6.8 w kórm: F R G R G G macierz smercza oraz H R H H macierz smercza są macierzmi wejściowmi R macierz smercza jes rozwiązaiem; RNK r - r rak rząd macierz rzekszałcaie saowch opisów modeli obieków damiczch Niech - 7 -

28 B 6.9 D będzie saowm kwadrupolowm modelem pewego obieku damiczego. Rozważm asępujące działaia doczące ego modelu: egacja iwersja raspozcja : B 6. D I / lub \ I lub BD BD ^ : 6. D D : 6. B D sprzężeie z jedoskowm orem główm rs. 6. I : BE BE gdzie E E E I D 6.3 Rs. 6.. Sprzężeie z jedoskowm orem główm jedoskowe sprzężeie zwroe rs. 6. I : BE BE gdzie E ED E I D 6.4 Rs. 6.. Jedoskowe sprzężeie zwroe sprzężeie zwroe rs. 6. BFD BF BF : E I DD BE BED BED gdzie 6..5 F I DD E ED ED - 8 -

29 Rs. 6.. Sprzężeie zwroe sprzężeie zwroe od sau rs. 6.3 BF B & B * F : 6.6 D D si - - B F Rs Sprzężeie zwroe od sau sprzężeie zwroe od wjścia rs. 6.4 H B & H * :. 6.7 D D B si - - H Niech poado Rs Sprzężeie zwroe od wjścia B D. 6.8 Rozważm z kolei asępujące działaia doczące modeli oraz : dodawaie : B B 6.9 D D odejmowaie - 9 -

30 - 3 - : D D B B 6. możeie : DD D B BD B 6. złożeie modeli saowch: rozszerzeie liczb wejść rs. 6.5 : D D B B 6. Rs Złożeie modeli saowch złożeie modeli saowch: rozszerzeie liczb wjść rs. 6.6 ; : D D B B 6.3 Rs Złożeie modeli saowch złożeie modeli saowch z zachowaiem auoomii składowch podssemów rs. 6.7 # : D D B B. 6.4 Rs Złożeie modeli saowch 6.6 Zadaia do wkoaia

31 W ramach ćwiczeia realizowae są dwa zadaia doczące sez jedowmiarowch oraz wielowmiarowch układów serowaia liiowmi obiekami procesami z czasem ciągłm. W zadaiu pierwszm wkowa jes projek serowika pracujacego a rzecz obieku jedowmiarowego opisaego modelem wejściowo-wjściowm rasmiacjm. Model obieku oraz cel serowaia podaje prowadząc ćwiczeie. Zaleca się sosowaie wcześiej pozach meod projekowaia meoda modelu meoda liii pierwiaskowch meod częsoliwościowe uzupełioch wżej opisami regułami Zieglera-Nicholsa. Zadaie drugie ma charaker projeku wielowmiarowego układu serowaia w oparciu o modele określoe przesrzei sau. odobie jak poprzedio model obieku oraz cel serowaia podaje prowadząc ćwiczeie. W ramach projeku rozwiązuje się zagadieia doczące m.i. pozcjoowaia bieguów zamkięego układu serowaia sez obserwaorów sau obserwaor o pełm rzędzie oraz obserwaor zredukowae sez serowaia ze sprzężeiem od esma sau oraz sez serowaia opmalego ze względu a kwadraowe wskaźiki jakości Wszskie obliczeia oraz eksperme smulacje ależ wkować prz pomoc programu

32 Zalecaa lieraura Władsław Fideise: echika regulacji auomaczej. WN Warszawa 978. Jausz Nowakowski: rojekowaie układów auomaczej regulacji..g. Gdańsk 979. adeusz Kaczorek: eoria układów regulacji auomaczej. WN Warszawa 977. adeusz Kaczorek: eoria serowaia. om I: układ liiowe ciągłe i dskree. WN Warszawa 977. adeusz Kaczorek: eoria serowaia i ssemów. WN Warszawa 996. Friedrich Frohr Friz Oreburger: Wprowadzeie do elekroiczej echiki regulacji. WN Warszawa 977. Herk Górecki: aliza i seza układów regulacji z opóźieiem. WN Warszawa 97. Jakub Guebaum: roblem eorii regulaorów. WN Warszawa 975. W.. Biesiekierskij: Diamiczieskij siiez sisiem awomaiczieskowo riegulirowaija. Wd. Nauka Moskwa 97. hilippe De Lermia Yves homas: uomaka - Układ liiowe. cz. 3 - Serowaie. WN Warszawa 983. oi Niederliński: Ssem cfrowe auomaki przemsłowej cz. - Zasosowaia. WN Warszawa 977. oi Niederliński: Ssem i serowaie. Wsęp do auomaki i cbereki echiczej. WN Warszawa 983. Mariusz Nieiewski: frowa smulacja układów regulacjch. WN Warszawa 978. Jerz ułaczewski Krsa Szacka drzej Maiius: Zasad auomaki. WN Warszawa 974. Karol Rumaowski drzej Królikowski drzej Kasiński: Opmalizacja układów serowaia. Zadaia. WN Warszawa 984. Ja Selmach: rojekowaie przemsłowch układów auomaki. WN Warszawa 98. Ludger Szklarski Rszard Kozioł: frowe serowaie w ukadach apędów elekrczch. WN Warszawa 986. Jes obszar fragme o sezie serowików z czasem ciągłm. Zbigiew Szopliński: Badaie i projekowaie układów regulacji. WN Warszaawa 975. Maciej Szmka: Kompuerowe wspomagaie w projekowaiu układów regulacji. WN Warszawa 993. Yasudo akahashi Michael J. Rabis David M. uslader: Serowaie i ssem damicze. WN Warszawa 976. Herk uia Maria. Każmierkowski: odsaw auomaki apędu elekrczego. WN Warszawa ozaań 983. Karol Wais: Liie pierwiaskowe w auomace. roblem i zasosowaia. WN Warszawa 973. Maciej Szmka: Kompuerowe wspomagaie w projekowaiu układów regulacji. omiar uomaka Korola z.3 ss WN Warszawa Frak D'Sousa: Desig of orol Ssems. reice Hall Ic. Eglewood liffs NJ

33 aul H. Lewis hag Yag: Basic corol ssem egieerig. reice Hall Upper Saddle River NJ 997. Someshwar. Gupa Lawrece Hasdorff: Fudameals of uomaic orol. Joh Wile & Sos Ic. New York 97. Jack Gole d Verwer: orol ssem desig ad simulaio. McGraw-Hill Book ompa Lodo 99. Vicor J. Bucek: orol ssems. reice Hall Eglewood liffs NJ 989. eer M. hompso: rogram versio 4. Ssem echolog Ic. 988/9. harles L. hilips Roce D. Harbor: Feedback corol ssems. reice Hall Ieraioal Ic. Kasuhiko Ogaa: Moder corol egieerig. reice Hall Ieraioal Ic. Sefai Sava Shahia Hoseer: Desig of feedback ssems. Sauders ollege ublishig For Worh hiladelphia