Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Transkrypt

1 Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć wszystkie rozwiązaia a płaszczyźie zespoloej wykorzystując zamieszczoy iżej rysuek, a którym arysowao okręgi o środku w zerze i promieiach dla =,,3,4 oraz proste przechodzące przez pukt, co 5. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

2 Liczba zespoloa 4 ma moduł 4 i argumet π, w związku z czym jej pierwiastki czwartego stopia mają moduł 4 4=, a jede z ich ma argumet π/4. Tym pierwiastkiem jest więc (cos π 4 +i si π 4 ) = +i. Pozostałe trzy rozwiązaia daego w zadaiu rówaia leżą a okręgu o promieiu co 9. Iaczej: liczba 4 ma moduł 4 i argumet π, a zatem jej pierwiastki czwartego stopia mają moduł i argumety π/4+kπ/ dla k =,,,3, czyli odpowiedio π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4. Odpowiedź: Dae rówaie ma 4 rozwiązaia: ± ± i. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

3 Zadaie. ( puktów) Udowodić zbieżość szeregu = ( ) (+) (+) (3+) (3+4) (3+7) (3+). Aby udowodić zbieżość szeregu daego w treści zadaia, skorzystamy z kryterium Leibiza o szeregach aprzemieych. W tym celu musimy zweryfikować prawdziwość trzech założeń tego kryterium. W szeregu a przemia występują wyrazy dodatie i ujeme - oczywiste. Ciąg wartości bezwzględych wyrazów jest zbieży do zera. Sprawdzamy to astępująco: (+) (+) lim (3+) (3+4) (3+7) (3+) = ( ) ( + + = lim ( ) ( ) ( ) ( ) = =. 3 Ciąg wartości bezwzględych wyrazów jest ierosący. Te waruek jest ajmiej oczywisty. Aby go udowodić, powiiśmy wykazać, że dla dowolej liczby aturalej zachodzi ierówość (+) (+) (3+) (3+4) (3+7) (3+) (+) (+) (+3) (3+4) (3+7) (3+) (3+3), co kolejo jest rówoważe ierówościom , (3+3) (+3) (3+), , 3 3,, skąd wyika, że dowodzoa ierówość jest prawdziwa dla każdej liczby aturalej. W kosekwecji szereg day w treści zadaia jest zbieży a mocy kryterium Leibiza o szeregach aprzemieych. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

4 Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

5 Zadaie 3. ( puktów) Wyzaczyć promień zbieżości szeregu potęgowego 4 ) ()! x ( =!. () Stosujemy kryterium d Alemberta do szeregu () traktowaego jako szereg liczbowy z parametrem x. Otrzymujemy ( ) (+)! x + (+)! (+) + = ( ) + + ( = (+) + (! ) ()! x 4 ) (+) (+ (+) (+) x 4 ) = (+) (+) + x 4 ( + = ) 6 x4 e. Tak więc zastosowaie kryterium d Alemberta prowadzi do graicy ilorazów kolejych wyrazów szeregu () rówej 6 x4 e. 4 Jeżeli 6 x4 e e <, czyli x <, to szereg () jest zbieży. 4 Jeżeli zaś 6 x4 e e >, czyli x >, to szereg () jest rozbieży. Stąd wiosek, że promień zbieżości szeregu potęgowego () jest rówy Odpowiedź: Day w zadaiu szereg potęgowy ma promień zbieżości 4 e. 4 e. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

6 Zadaie 4. ( puktów) 6 Obliczyć wartość całki ozaczoej. Zapisać wyik w postaci l w, gdzie x 3 +3x +x w jest liczbą wymierą. Rozkładamy fukcję podcałkową a sumę ułamków prostych: x 3 +3x +x = x (x+) (x+) = A x + B x+ + C x+, = A (x+) (x+)+b x (x+)+c x (x+). ( ) W tym miejscu moża wymożyć iloczyy po prawej stroie rówości ( ), a astępie porówując współczyiki występujące po obu jej stroach uzyskać układ trzech rówań liiowych z trzema iewiadomymi A, B, C. My jedak wybierzemy ią drogę, a miaowicie podstawimy w rówości ( ) kolejo x =, x =, x = otrzymując odpowiedio Wobec tego 6 = l 6 6 x 3 +3x +x = = A, skąd A =, = B, skąd B =, = C, skąd C =. / x x+ + / l x l x+ = l x+ + x+ 6 x= l 8 l 7+ l l 3 +l = l + l 3 3 l l 7+ +l l 3 = = 3 l l 7 = l 8 l 7 = l 8 7. = Odpowiedź: Podaa całka ma wartość l 8 7. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

7 Zadaie 5. ( puktów) Obliczyć wartość całki ozaczoej całkowitej. Wykoujemy podstawieie i formalie 7 t = 3 x+, 4x podając wyik w postaci liczby 3 (x+) = 3t dt. x = t 3 Poadto x = odpowiada t =, a x = 7 odpowiada t =, przy czym zależość t od x jest mootoicza. Stąd wyika, że przedział całkowaia x [, 7] odpowiada przedziałowi t [, ]. Otrzymujemy 7 4x = (x+) 3 ( 6 = ( ) 4 4 (t 3 ) 3t dt = t ) = Odpowiedź: Podaa całka ozaczoa ma wartość 33. t 3 dt = t4 4 t ( ) = 4 4 = 33. t= = Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

8 Zadaie 6. ( puktów) Obliczyć wartość całki ozaczoej π Sposób I: (rzemieśliczy) Wykoujemy całkowaie przez części: π xcosx = x six π x= x cos x. Pamiętać o uproszczeiu wyiku. π six = gdyż całka z siusa po pełym okresie jest rówa. Odpowiedź: Podaa całka ozaczoa ma wartość. Sposób II: (pomysłowy) Wykoując podstawieie x = t+π, czyli t = x, otrzymujemy: π xcosx = (t+π)cos(t+π) dt = π (t+π)cost dt = Dla zakończeia rozwiązaia wystarczy zauważyć, że całka six =, tcost dt cost dt. tcost dt jest rówa jako całka z fukcji ieparzystej po przedziale symetryczym względem zera, a całka jest rówa jako całka z cosiusa po pełym okresie. cos tdt Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

9 Zadaie 7. ( puktów) Obliczyć wartość całki ozaczoej. Pamiętać o uproszczeiu wyiku. x x+ Przekształcamy miaowik fukcji podcałkowej x x+ = a astępie wykoujemy podstawieie i formalie x x++ = t = x, x = t+ = dt. (x ) +, Poadto x= odpowiada t=, a x= odpowiada t=, przy czym zależość t od x jest mootoicza. Stąd wyika, że przedział całkowaia x [, ] odpowiada przedziałowi t [, ]. Otrzymujemy (x ) + = dt t + = arctg t t= Odpowiedź: Podaa całka ozaczoa ma wartość π. = arctg arctg ( ) = π 4 4 = π. Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia

10 Zadaie 8. ( puktów) Obliczyć wartość całki iewłaściwej lub wykazać, że całka ta jest rozbieża. x +x Rozkładając fukcję podcałkową a sumę ułamków prostych otrzymujemy: x +x = = lim x l x (x+) = x x+ x x+ l = l lim = l x l x+ x x= = l x x+ x +l = l +l = l. x+ Odpowiedź: Podaa całka iewłaściwa jest zbieża i ma wartość l. x= = Egzami Odpowiedzi i rozwiązaia