ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

Transkrypt

1 Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do obliczaia sumy x a k k0 a?.. Kowecja sumacyja zmiaa wskaźika sumacyjego przemieość sumowaia. Obliczyć sumę sumacyjego k0 k x x S ( k) w astępujący sposób. Dokoując zamiay wskaźika k l k otrzymujemy ową postać sumy S ( ). Dodając oba wyrażeia a sumę obliczamy. Kowecja sumacyja dwumia Newtoa symbol Newtoa. ( wskaźiki sumacyje ozaczamy przy tym tą samą literą j ). S Przedstawić wyrażeie 0 x x w postaci sumy. Obliczyć współczyiki liczbowe przy x 5 i. Kowecja sumacyja symbol Newtoa zasada idukcji suma ciągu arytmetyczego. Wykazać metodą idukcji że ( k) k. k0 5. Relacja rekurecyja zasada idukcji. Wykazać metodą idukcji że ogóly wyraz ciągu określoego rekurecyjie: 6 a a 8a 8 ma postać a. 6. Dowód ie wprost ciąg arytmetyczy liczby wymiere i iewymiere. Czy liczby rzeczywiste abc mogą być wyrazami (iekoieczie kolejymi) ciągu arytmetyczego jeśli l0 a b c ; a i b są wymiere atomiast c iewymiere? 7. Dowód ie wprost ciąg geometryczy rozkład liczby aturalej a czyiki pierwsze. Czy liczby 7 7 mogą być wyrazami (iekoieczie kolejymi) ciągu geometryczego? 8. Iloczy kartezjański relacje. Zbadać właściwości astępujących relacji R w zbiorze 0 a) m m b) m A c) max 9. Relacja częściowy porządek. Niech 0 x. a a 8 A : ( m ) R A A jeśli m d) m e) m B. Wykazać że relacja w zbiorze B B określoa astępująco: ( m ) ~ ( k l) jeśli m k i l jest relacją porządku? Podać przykład ajdłuższego uporządkowaego ciągu elemetów zbioru B B. 0. Relacja rówoważości klasy rówoważości. Wykazać że relacja w R R taka że x y ~ x y jeśli x y x y jest relacją rówoważości. Opisać klasy rówoważości.. Relacja wykres fukcji. Czy relacja R N Z R ( x y) : x y może być wykresem fukcji f : N Z?. Fukcja ijekcja surjekcja obraz zbioru przeciwobraz zbioru. Czy fukcja f : Z Z Z f ( m ) m jest: a) ijekcją? b) surjekcją? Zaleźć f ( A{ }) oraz f ({0}) i f ({}).

2 Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita. Grupa elemet eutraly elemet odwroty. Wykazać że ( Z ) gdzie b a b e oraz elemetu odwrotego ZADANIA - Seria a jest grupą. Wyzaczyć postać elemetu eutralego a.. Grupa podgrupa. Zaleźć ajmiejszą podgrupę grupy ( Z ) zawierającą astępujące liczby: a) 6 b) 5. Grupa homomorfizm izomorfizm. Wykazać że przekształceie f : Z Z postaci f ( m) 5m jest homomorfizmem grupy ( Z ). Czy jest oo izomorfizmem?. Grupa podgrupa twierdzeie Lagrage a grupa abelowa. Wykazać a trzy róże sposoby że zbiór A={eabcd} z działaiem opisaym w tabelce e a b c d e e a b c d a a e c d b b b d a e c c c b d a e d d c e b a ie jest grupą. a) sprawdzając aksjomaty grupy b) korzystając z twierdzeia Lagrage a c) korzystając z faktu że każda grupa posiadająca ie więcej iż 5 elemetów jest abelowa. 5. Grupa przekształceń podgrupa grupa abelowa. Opisać grupę przekształceń symetrii trójkąta rówoboczego podając tabelkę możeia oraz wyzaczyć jej podgrupy. Czy jest to grupa abelowa? 6. Ciało rówaie kwadratowe. W ciele Q ( ) rozwiązać rówaie x ( ) x 0 7. Defiicja ciała.. Czy zbiór liczb A 0 5) z dwoma działaiami: dodawaiem i możeiem modulo 6 jest ciałem? 8. Defiicja przestrzei liiowej. Czy zbiór R z dodawaiem ( x y) ( x y) ( x x y y) i możeiem przez liczbę ( x y) ( x y) jest przestrzeią liiową ad ciałem liczb rzeczywistych. 9. Podprzestrzeń liiowa. Czy zbiór S R taki że jest podprzestrzeią liiową? S x R : x a tv su 0. Przekształceie liiowe. Które z poiższych odwzorowań są przekształceiami liiowymi? a) f R R x ) x : gdzie f ( x x b) f R R a v u R ustaloe t s R : f ( x x ) x x c) f : R R ( x) ( x x) f d) f : R R

3 Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita. Czy układ czterech wektorów z przestrzei : ZADANIA - Seria jest liiowo iezależy? Wybrać spośród tych wektorów takie które utworzą bazę. Wyzaczyć współrzęde wektora w tej bazie. W trakcie rozwiązywaia zadaia wektor pojawił się w trzech różych postaciach: elemet zbioru kombiacja liiowa wektorów bazy wektor kolumowy współrzędych. Podać te postaci.. Zae są współrzęde wektora w bazie: e ( ) e ( ) Wyzaczyć postać aturalą wektora. Obliczyć współrzęde wektora w bazie.. Dobrać wielomia ( ) w tak aby zbiór wielomiaów w w w x gdzie w x x ( ) x w ( x) x tworzył bazę w przestrzei liiowej R [ ] wielomiaów postaci.. Wyzaczyć macierz przekształceia liiowego f : R R. w bazach stadardowych. Korzystając z postaci macierzy przekształceia liiowego wyzaczyć obraz wektora. 5. Macierz przekształceia liiowego f : R R [ ] w bazach: e (0) e (0 ) oraz e ' ( x) e' ( x) x ma postać: e' ( x) x Zaleźć wielomia będący obrazem wektora. 6. Macierz przekształceia liiowego f : R R w bazach: e (0) e (0 ) oraz e ' (0 ) e ' (0 ) e ' ( 0 ) ma postać Wyzaczyć współrzęde wektora w bazie dla. Wyzaczyć postać aturalą wektora. Podać wzór określający to przekształceie.

4 Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Postać algebraicza liczby zespoloej moduł. Zaleźć część rzeczywistą urojoą oraz moduł liczby zespoloej z postaci: ( i) i (5 i)(7 6i) a) z b) z ( i) i i. Postać algebraicza liczby zespoloej sprzężeie. Rozwiązać rówaie z a) b) z z 0 z. Płaszczyza zespoloa. Odległość puktów a moduł różicy liczb zespoloych. Zazaczyć a płaszczyźie zespoloej zbiory liczb zespoloych spełiających podae waruki: z a) z i b) z i z. Płaszczyza zespoloa. Postać trygoometrycza liczby zespoloej. Zazaczyć a płaszczyźie zespoloej zbiory liczb zespoloych spełiających podae waruki: a) Re( z i) b) Arg iz / c) z i d) Im( iz i ) 5. Postać trygoometrycza liczby zespoloej. Wzór de Moivre a. Zapisać w postaci algebraiczej liczbę z: a) 0 i z b) i 6. Dwumia Newtoa. Wzór de Moivre a. Wyrazić fukcję si x przez fukcje si x i cos x. ( i) i z i 7. Postać trygoometrycza liczby zespoloej. Wzór de Moivre a. Zazaczyć a płaszczyźie zespoloej zbiory liczb zespoloych spełiających podae waruki: a) Im( z ) 0 b) Re( z ) 0 8. Postać wykładicza liczby zespoloej. Wzór Eulera. Rozwiązać rówaie a) ( z) z b) z iz z 9. Wzór Eulera. Pierwiastki z liczby zespoloej. Rozwiązać rówaie a) ( z i) ( z i) b) z z 0 0. Pierwiastki z liczby zespoloej. Obliczyć i arysować a płaszczyźie zespoloej pierwiastki: a) i b) ( 5 i). Pierwiastki z liczby zespoloej. Płaszczyza zespoloa. Odległość puktów. Jedym z wierzchołków kwadratu jest pukt z i. Wyzaczyć pozostałe wierzchołki jeśli środkiem tego kwadratu jest a) z0 i b) z 7 0 i

5 Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria 5 7. Podae są macierze Wyzaczyć macierze:. Uzasadić dlaczego ie moża wykoać działań algebraiczych: oraz. 8. Podae są macierze Wyzaczyć macierz. 9. Zapisać wektory jako wektory kolumowe we współrzędych w bazie stadardowej ( zero-jedykowej ):. Przedstawić kombiację liiową wektorów w postaci iloczyu odpowiedich macierzy. Sprawdzić słuszość tej rówości wykoując działaia algebraicze a wektorach oraz możąc tradycyjie macierze przez siebie. 0. Obliczyć wyzacziki astępujących macierzy:.. Obliczyć wyzaczik wykorzystując jego róże właściwości a) b). Sprawdzić obliczając odpowiedie wyzacziki czy wektory: są liiowo iezależe oraz wyzaczyć wymiar powłoki liiowej rozpiętej przez te wektory.. Wyzaczyć macierz odwrotą dla: a) b) - metodą operacji elemetarych a wierszach ( kolumach) macierzy dokoując przekształceia - metodą macierzy dopełień algebraiczych - metodą wektorów ortogoalych.. Obliczyć objętość rówoległościau w rozpiętego przez wektory:

6 Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria 6. Podać postać wektorową i macierzową układu rówań a) b) c) d) e) x y z x y z x y z x y z f) x y z 7 x y z t x t Sformułować twierdzeie Kroeckera-Capellego i określić ilość rozwiązań układu rówań. Podać liczbę parametrów opisujących zbiór rozwiązań. Czy zbiór rozwiązań staowi podprzestrzeń liiową? Czy kolumy macierzy układu rówań tworzą układ wektorów liiowo zależych? Rozwiązać układ rówań metodą elimiacji kolejych iewiadomych: - metodą wektorów ortogoalych - metodą elimiacji Gaussa. Dla jakich wartości parametrów a b układ rówań posiada jedo rozwiązaie? Określić liczbę rozwiązań w pozostałych przypadkach. a) x y z b 5x 8y 9z x y az b) x y z a x 5y az ax ay z a. Rozwiązać układ rówań metodą macierzy odwrotej oraz korzystając ze wzorów Cramera.. a) b) c). Zaleźć wielomia w R [ ] dla którego w ( ) w ( ) w ( ) w ( ) Zbiór wektorów x V R których współrzęde ( w bazie zero-jedykowej ) spełiają waruki: x x x x x x x 0 0 tworzy podprzestrzeń liiową. Podać wymiar i bazę tej podprzestrzei. 6. Zaleźć postać macierzy spełiającej układ rówań dwoma sposobami: możąc obie stroy rówaia przez odpowiedią macierz odwrotą lub rozwiązując iezależie rówaia jakie spełiają kolumy macierzy.

7 Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria 7. Macierz przekształceia liiowego f : R R w bazach stadardowych: e (00) e (00 ) e (00 ) oraz e ' ) (0 e ' (0 ) ma postać Zaleźć jądro tego przekształceia. Podać przykładową bazę podprzestrzei oraz jej wymiar. Zaleźć przeciwobraz wektora. Podać iterpretację geometryczą zbioru.. Podaa jest macierz przekształceia liiowego w bazach: oraz Podać postać wielomiau będącego obrazem wektora. Wyzaczyć podając ogólą postać wektorów ależących do jądra przekształceia oraz wymiar i bazę tej podprzestrzei. Wyzaczyć wymiar.. Wyzaczyć macierz przekształceia liiowego w bazach stadardowych zero-jedykowych. Przy tym przekształceiu prosta o rówaiu przechodzi a prostą. Podać układ rówań liiowych jaki spełiają współrzęde puktów leżących a prostej. Wyzaczyć wektory ormale i kierukowe prostych i. 5. Określić jaki płaski obiekt geometryczy w opisuje układ rówań liiowych Wyzaczyć wektory kierukowe i ormale oraz współrzęde dowolego puktu ależącego do tej płaszczyzy. 6. Podae jest rówaie parametrycze płaszczyzy w Wyzaczyć układ rówań liiowych jaki spełiają współrzęde puktów ależących do tej płaszczyzy. Wyzaczyć wektory kierukowe i ormale płaszczyzy oraz współrzęde dowolego puktu ależącego do tej płaszczyzy.