Prognozowanie i symulacje

Transkrypt

1 Progozowaie i smulacje Ramow pla wkładu. Wprowadzeie w przedmio. rafość dopuszczalość i błąd progoz 3. Progozowaie a podsawie szeregów czasowch 4. Progozowaie a podsawie modelu ekoomerczego 5. Heurscze modele progoscze 6. Smulacje

2 Wbraa lieraura. Progozowaie gospodarcze. Meod i zasosowaie red. M. Cieślak PWN Warszawa. Zeliaś A. Pawełek B. Waa S. Progozowaie ekoomicze. eoria przkład zadaia PWN Warszawa 3 3. Gajda J. Progozowaie i smulacja a deczje gospodarcze Wd. C.H. Beck Warszawa 4. Progozowaie gospodarcze red. E. Nowak AW Place Warszawa Progozowaie i smulacja red. W. Milo Wd. UŁ Łódź Przewidwaie przszłości Przewidwaie przszłości Racjoale Nieracjoale Zdroworozsądkowe Naukowe PROGNOZOWANIE o przewidwaie przszłości w sposób racjoal z wkorzsaiem meod aukowch PREDYKCJA o progozowaie a podsawie modelu ekoomerczego

3 Progoza jako wik progozowaia PROGNOZA o sąd sformułowa z wkorzsaiem dorobku auki odosząc się do określoej przszłości werfikowal empirczie iepew (ale akcepowal) Eap progozowaia: I. Sformułowaie zadaia progosczego II. Podaie przesłaek progosczch III. Wbór meod progozowaia IV. Ocea dokładości lub dopuszczalości progoz V. Werfikacja progoz Fukcje progoz Wróżia się rz podsawowe fukcje progoz: I. PREPARACYJNA (do podejmowaia deczji swarza dodakowe przesłaki do podejmowaia racjoalch deczji) II. AKYWIZUJĄCA (pobudzeie do działań sprzjającch realizacji korzsej progoz przeciwdziałającch progozie iekorzsej) III. INFORMACYJNA (dosarcza iformacji o badam zjawisku) 3

4 Meoda progozowaia MEODA PROGNOZOWANIA o sposób przeworzeia dach z przeszłości wraz ze sposobem przejścia od przeworzoch dach do progoz. Isieją więc dwie faz: faza diagozowaia przeszłości - odbwa się przez budowę modelu formalego (model ekoomercz) lub mślowego (w umśle ekspera) faza określaia przszłości polega a zasosowaiu odpowiediej reguł progoz Reguł progoz reguła podsawowa progoza posawioa a podsawie modelu prz założeiu że będzie o akual w progozowam okresie reguła podsawowe z poprawką progoza posawioa a podsawie modelu z poprawką uwzględiającą że osaio zaobserwowae odchleia od modelu urzmają się w przszłości reguła ajwiększego prawdopodobieńswa (dla zmiech losowch kórch rozkład prawdopodobieńswa jes za) progozą jes warość zmieej kórej odpowiada ajwiększe prawdopodobieńswo dla zmiech skokowch lub maksmala warość fukcji gęsości prawdopodobieńswa dla zmiech ciągłch reguła miimalej sra przjmuje się że wielkość sra jes fukcją błędu progoz i poszukuje się miimum ej fukcji. Progozą jes warość dla kórej a fukcja przjmuje miimum. 4

5 Meod progozowaia Meod progozowaia Meod maemaczo-sascze Meod iemaemacze Meod opare a modelach ekoomerczch Modele jedorówaiowe Klascze modele redu Adapacje modele redu Modele przczowo-opisowe Modele auoregresje Meod opare a modelach deermiisczch Modele wielorówaiowe: pros rekurecj o rówaiach współzależch Meod akieowe Meod iuicje Meod kolejch przbliżeń Meoda eksperz Meoda delficka Meoda refleksji Meod aalogowe Ie Meod progozowaia Progozowaie a podsawie modelu maemaczo-sasczego o progozowaie ilościowe Progozowaie a podsawie modeli iemaemaczch o zwkle progozowaie jakościowe Progoz ilościowe dzielim a: pukowe gdzie dla zmieej progozowaej wzacza się jedą warość dla > przedziałowe w kórch wzacza się przedział w kórm zajdzie się rzeczwisa warość zmieej progozowaej w progozowam okresie >. 5

6 Progozowaie Bazą dach do modelu zmieej progozowaej () F(ε ) lub () F(x x...x k ε ) jes szereg czasow w posaci: x x... x k x x... x k x x... x k x x... x k Progoz zmieej progozowaej wzaczam a okres > Progozę a okres będziem ozaczać Y Horzo czasow progoz Progoza krókookresowa o progoza a aki przedział czasow w kórm zakłada się isieie lko zmia ilościowch. Progoz akie wzacza się przez eksrapolację dochczasowch związków (a podsawie modeli ekoomerczch lub redów) Progoza średiookresowa docz okresów czasu w kórch oczekuje się zmia ilościowch oraz eweualie iewielkich zmia jakościowch. Progoza musi uwzględiać oba p zmia musi przajmiej umiarkowaie odchodzić od eksrapolacji Progoza długookresowa docz przedziału czasu w kórm mogą wsępować zmia ilościowe oraz zaczące zmia jakościowe 6

7 Modele ilościowe Progozę a okres > moża posawić wkorzsując model F () lub() jeśli spełioe są asępujące założeia:. fukcja F wraża pewą prawidłowość ekoomiczą kóra jes sabila w czasie (ie spodziewam się żadch zmia jakościowch). składik losow ε jes sabil 3. w przpadku modelu ekoomerczego zae są warości zmiech objaśiającch w okresie > czli zae są warości progoz... k 4. dopuszczala jes eksrapolacja modelu poza próbę czli poza obszar zmieości zmiech objaśiającch jak i zmieej (zmiech) objaśiaej. Aaliza dach w szeregu czasowm Aaliza dach polega a:. Wodrębieiu obserwacji odsającch. Swierdzeiu braku lub isieia redu 35 Y 3 A

8 Obserwacje odsające Po wodrębieiu obserwacji odsającch ależ usalić:. Cz daa obserwacja pojawiła się w skuek k błędu rejesracji ji dach. Cz obserwacja pojawiła się w skuek jedokroego zjawiska zewęrzego wpłwu (p. realizacja pewego dużego jedokroego zamówieia o kórm wiem że ie asąpi już w przszłości) 3. Cz obserwacja pojawiła się jako ormale wahaie losowe (przpadkowe) w próbie. W przpadku. oraz. obserwację A moża pomiąć a brakującą warość uzupełić średią armeczą z obserwacji poprzediej i asępej. W przpadku 3. obserwacja powia pozosać w bazie dach sasczch. Błąd progoz Po wborze modelu progosczego F moża wzaczć progoz dla >: () Y F() lub () Y F(x x...x k ) wraz z progozą Y ależ wzaczć mierik dokładości progoz Prz wborze modelu progosczego ależ dążć do osiągięcia zadowalającego poziomu mierika dokładości Wróżiam dwa p mierików:. błąd ex pos. błąd ex ae Błąd progoz moża zapisać jako B Y gdzie Y o warość progoz zmieej Y a okres wzaczoa a podsawie modelu F a o rzeczwisa warość zmieej progozowaej w okresie. 8

9 Dopuszczalość progoz: błąd ex ae Błąd ex ae wzacza się dla modeli liiowch kórch paramer oszacowao Meodą Najmiejszch Kwadraów (MNK). Niech model ma posać: dla. o po oszacowaiu MNK jego paramerów model eorecz przjmuje posać: dla. w zapisie macierzowm: α α α... α ε Ŷ a a a... a Ŷ a k k k k Dopuszczalość progoz () Gdzie w zapisie macierzowm: oraz a a a (... ak Ŷ a ) Y Y k k... k 9

10 Dopuszczalość progoz (3) Progozę a okres > moża wzaczć ze wzoru: Y α α α... αk k gdzie: k o progoz zmiech objaśiającch ś j k w okresie > co w zapisie macierzowm: Y ( ) a gdzie:... k Błąd ex ae Błąd ex ae o odchleie sadardowe błędu B progoz Y a okres. Błąd ex ae ozacza się przez V : V Se ( ) ( ) gdzie S e o odchleie sadardowe resz modelu liiowego. Względ błąd ex ae progoz Y : W V Y ( %) kór iformuje jaką część progoz saowi błąd ex ae

11 rafość progoz błąd ex pos () Błąd ex pos może bć wzaczo dla wszskich modeli ilościowch. Jeśli będzie okresem a kór posawioo progozę Y i okres e już miął o zaa jes warość rzeczwisa Y zmieej progozowaej. aką progozę Y azwać będziem progozą wgasłą. Dla progoz wgasłch moża wzaczć błąd ex pos. Rozróżiam:. względ błąd progoz (proceow): PE ( %). absolu błąd progoz: AE 3. względ ę absolu błąd ą progoz (proceow): APE 4. kwadraow błąd progoz: SE ) ( 5. względ kwadraow błąd progoz: ( ) PSE ( %) rafość progoz błąd ex pos () Do oce rafości progoz wgasłch (a a więc dopasowaia modelu progosczego F do dach o zmieej progozowaej Y moża wkorzsać asępujące błęd: ę. średi absolu błąd ex pos progoz wgasłch. średi względ absolu błąd ex pos progoz wgasłch 3. średi błąd ex pos progoz wgasłch 4. średi względ błąd ex pos progoz wgasłch 5. średi kwadraow błąd ex pos progoz wgasłch 6. pierwiasek i średiego d i kwadraowego błędu ex pos progoz wgasłchł 7. współczik heila Do badaia akualości modelu progosczego możem użć współczika Jausowego

12 Ozaczm przez M {... } zbiór umerów okresów/momeów w kórch werfikujem rafość progoz wgasłch wzaczoch za pomocą modelu card M liczebość zbioru M. Średi absolu błąd ex pos progoz wgasłch MAE MAE M card Y M

13 Średi względ absolu błąd ex pos progoz wgasłch MAPE(proceow) MAPE M card Y M ( %) Średi błąd ex pos progoz wgasłch ME ME M ( card Y ) M 3

14 Średi względ błąd ex pos progoz wgasłch MPE MPE M card M Średi kwadraow błąd ex pos progoz wgasłch MSE MSE M ( Y card ) M 4

15 Pierwiasek średiego kwadraowego błędu ex pos progoz wgasłch RMSE RMSE MSE Współczik heila () I M ( M YY ) ) I I I I 3 5

16 Współczik heila () I ( Y M Y ) card Wraża wielkość błędu z powodu ieodgadięcia średiej warości zmieej progozowaej (ieobciążoości progoz). YY M Warości średie wzaczae są dla warości akich że Iˆ I I % M Współczik heila (3) ( Y ) M S Y card M M Y Y card M ( ) M SY card M ( SY SY ) I Wraża wielkość błędu z powodu ieodgadięcia wahań zmieej progozowaej (iedosaeczej elasczości) Iˆ I I % 6

17 Współczik heila (4) I 3 S Y S Y M card ( M r Y Y ) Wraża wielkość błędu z powodu ieodgadięcia kieruku edecji rozwojowej zmieej progozowaej (iedosaeczej zgodości progoz z rzeczwism kierukiem zmia zmieej progozowaej) r YY o współczik korelacji pomiędz warościami i Y dla Iˆ 3 I I % M Współczik Jausow J P K ( card ( card P zbiór umerów okresów/momeów dla kórch posawioo progoz za pomocą modelu i sał się oe progozami wgasłmi card dp liczebość zbioru P K {... } o zbiór umerów okresów/momeów dla kórch zbudowao model i wzaczoo progoz wgasłe Card K liczebość zbioru K Jeżeli J o model jes adal akual i może bć uż do progozowaia a asępe okres. Y P Y K ) ) 7

18 Progozowaie a podsawie szeregów czasowch Składowe szeregu czasowego: I. Składowa ssemacza II. Składowa przpadkowa Składowa ssemacza:. red (edecja rozwojowa) długookresowa skłoość do jedokierukowch zmia warości badaej zmieej. Sał przecię poziom progozowaej zmieej warości osclują wokół sałego poziomu 3. Wahaia cklicze długookresowe powarzające się rmiczie w przedziałach czasu dłuższch iż rok wahaia warości zmieej wokół redu lub sałego poziomu 4. Wahaia sezoowe wahaia warości zmieej wokół redu lub sałego poziomu w przedziałach czasu ie przekraczającch roku. Dekompozcja szeregu czasowego Proces wodrębiaia poszczególch składowch szeregu czasowego Ocea wzrokowa sporządzoego wkresu Idefikacja poszczególch składowch szeregu czasowego a podsawie wkresów szeregu czasowego Aaliza auokorelacji Oblicza się warości współczików korelacji międz oraz -i (dla i...k) czli współcziki auokorelacji różch rzędów. Bada się sasczą isoość ch współczików. Jeśli współcziki dla kilku pierwszch rzędów są duże i sasczie isoe o wskazuje o a wsępowaie redu. Jeśli wsępuje sasczie iso współczik auokorelacji rzędu rówego liczbie faz cklu sezoowego o wskazuje o a wsępowaie wahań sezoowch. 8

19 Ocea wzrokowa () Ocea wzrokowa ()

20 Ocea wzrokowa (3) Ocea wzrokowa (4)

21 Modele szeregów czasowch ze sałm poziomem zmieej progozowaej bez wahań okresowch () Meoda aiwa Y meodę moża sosować w przpadku iskiej zmieości zmieej progozowaej zazwczaj w suacjach gd współczik zmieości ie przekracza % Meoda średiej ruchomej ważoej k-elemeowej k Y i wi k wi wi > dlai... k i k i Sałą wgładzaia k usala się a podsawie ajmiejszego błędu progoz wgasłch wagi w i usala progosa a podsawie wiedz o zmieej progozowaej Y. Jeśli przjmie się o w i meodę azwam meodą średiej ruchomej k-elemeowej. k. Modele szeregów czasowch ze sałm poziomem zmieej progozowaej () Pros model wgładzaia wkładiczego Y α ( α) Y α (]. dla 3. model moża sosować jeśli szereg ie cechuje zb sila zmieość (wahaia przpadkowe ie są zb duże). Sałą wgładzaia α wzacza się ekspermealie a podsawie wbraego krerium jakie powi spełiać progoz wgasłe. Do wboru modelu progosczego (progoz) moża wkorzsać aalizę błędów ex pos progoz wgasłch

22 Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej bez wahań okresowch() Modele aalicze Y f () sosuje się do progozowaa zjawisk kóre charakerzował się w przeszłości regularmi zmiaami kóre moża opisać za pomocą fukcji czasu i wobec kórch zakłada się iezmieość kieruku redu. Wbór posaci aaliczej modelu dokouje się a podsawie: przesłaek ł keoreczch hdoczącch mechaizmu rozwojowego progozowaego zjawiska oce wzrokowej wkresu przeszłch warości zmieej dopasowaia modelu do warości rzeczwisch zmieej progozowaej. Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej () Do oce dopasowaia modelu liiowego kórego paramer oszacowao MNK do warości empirczch moża się posłużć: a) współczikiem deermiacji: R ϕ ( ˆ ) ( ˆ ) R SY ( ) [ ] b) sadardowm błędem szacuku modelu (odchleiem sadardowm resz): S e k ( ˆ ) gdzie: k ozacza liczbę zmiech objaśiającch w modelu

23 Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej (3) Model redu liiowego (lub zliearzowaego) przedsawia się w asępując sposób: Y a a Paramer srukurale modelu moża oszacować meodą ajmiejszch kwadraów : a cov( Y ) S ( ) ( ( ) Progozę a okres > wzacza się z wzoru: ) Y a a a a Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej (4) Do oce dopuszczalości zbudowach progoz użwa się błędów ex ae: a) dla modelu liiowego: V S e ( ) ( ) b) dla modeli ieliiowch sprowadzalch do liiowch poprzez rasformację g: ~ V V d ~ d ~ ~ zmiea określoa rasformacją liiową ~ g() V o błąd ex ae progoz zmieej ~ a okres a pochoda jes liczoa w pukcie 3

24 4 Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej (5) Model redu wielomiaowego: k k... Model redu wielomiaowego: Przekszałceie do posaci liiowej: podsawieie: Progoza: k k a... a a a k k a a a a Y... ) ( ) ( 4 S e V k k k M L M O M M M L L Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej (6) Model redu wkładiczego: ξ Przekszałceie do posaci liiowej: e a a ξ ~ ~ Y e Y b b Y a l b la b l ~ l ) ( ) ( ~ l l ~ 3 S Y V e M M M

25 Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej (7) Model redu poęgowego: a ξ a e Przekszałceie do posaci liiowej: ~ b b l l l l l3 ~ l 3 V M M M l l ~ l l b l a b a ~ ~ Y Y Y e ~ ~ S ~ [( ~ ( ~ ) ~ Y e ) ~ ] Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej (8) Przekszałceie do posaci liiowej: l l l 3 3 V M M M l Model redu logarmiczego: Y a a l ~ l ~ Y a a ~ [( ~ ( ~ ) ~ Se ) ~ ] 5

26 Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej (9) Model redu hiperboliczego: a a ~ Przekszałceie do posaci liiowej: a a ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3 V Se [( ) ( ) 3 M M M ] Przkład obliczeiow () Wielkość sprzedaż rowerów sacjoarch firm Weler u przedsawiciela a Gór Śląsk w osaich kwarałach przedsawiała się asępująco [w sz.]: Przjmując że cziki kszałujące sprzedaż ie ulegą zmiaie: a) posawić progozę sprzedaż a kolej kwarał (3)

27 Przkład obliczeiow (red liiow) () x 767 R Przkład obliczeiow (red logarmicz) (3) L(x) 4 R

28 Przkład obliczeiow (4) l Y l W kolejm kwarale progozowaa sprzedaż wosi 9 szuk rowerów. Przkład obliczeiow (błąd ex ae) (5) b) przjmując że błąd progoz ie może saowić więcej iż % jej warości zbadaj dopuszczalość progoz l Y l 475 ( -Y )

29 Przkład obliczeiow (błąd ex ae) (6) S e ( k Y ) ~ 5649 ~ Przkład obliczeiow (błąd ex ae) (7) V S e ~ [( ) ~ ( ~ ) ~ ] 548 ( ) 85 V η % 633% Progozę a kolej kwarał (3) moża uzać za dopuszczalą. 9

30 Przkład obliczeiow (8) c) posaw progoz a asępe dwa kwarał (4 i 5) oraz oceń ich dopuszczalość l Y l Przkład obliczeiow (9) ~ 4 ~ ~ ~ ~ ~ V4 Se [( ) ( ) ] 548 (34 ) 84 ~ ~ ~ ~ V5 Se [( ) ( ) ] 548 (563 ) 898 η 635% η 5 637% 4 Obie progoz (a kwarał 4 oraz 5) moża uzać za dopuszczale. 3

31 Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej () Jeżeli zaobserwuje się odchodzeie warości zmieej progozowaej od dochczasowej edecji rozwojowej j (spowodowae zmiaą ą jakościową) o moża wkorzsać progozę w formie reguł podsawowej z poprawką: ( w) Y Y p Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej () Progozę przedziałową dla z gór zadaej wiargodości p (dla z gór zadaego prawdopodobieńswa że warość rzeczwisa zmieej progozowaej w okresie > zajdzie się w dam przedziale) kosruuje się w asępując sposób: { } p P Y u V Y u V u współczik związa z wiargodością progoz p rozkładem resz modelu oraz długością szeregu czasowego. Jeśli rozkład resz modelu ie jes zgod z rozkładem ormalm lub hipoeza o ormalości ie bła werfikowaa o u zależ włączie od wiargodości progoz a obliczając u korzsa się z ierówości Czebszewa: u p Jeśli rozkład resz modelu jes zgod z rozkładem ormalm o u odczuje się z ablic rozkładu ormalego dla dużej prób dla prawdopodobieńswa p lub z ablic rozkładu -Sudea dla małej prób (<3) dla prawdopodobieńswa (-p) oraz -k- sopi swobod. 3

32 Przkład obliczeiow () Wielkość sprzedaż rowerów sacjoarch firm Weler u przedsawiciela a Gór Śląsk w osaich kwarałach przedsawiała się asępująco [w sz.]: Przjmując że cziki kszałujące sprzedaż ie ulegą zmiaie posawić progozę przedziałową a kolej kwarał a poziomie wiargodości 95. a) rozkład resz modelu ie jes bada lub ie jes zgod z rozkładem ormalm u b) jeśli rozkład resz jes zgod z rozkładem ormalm o u 3 Przkład obliczeiow () a) rozkład resz modelu ie jes bada lub ie jes zgod z rozkładem ormalm wed 3 [ ; ] [5;33] 3 b) jeśli rozkład resz jes zgod z rozkładem ormalm o 3 [9 385;9 385] z prawdopodobieńswem p [7;3] 3

33 Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej () gdzie F Model liiow Hola F ( ) S α ( α ) ( F S S β (F F ) ( β ) S dla 3. Paramer wgładzaia α i β dobiera się ekspermealie a podsawie wbraego krerium kóre powi spełiać progoz wgasłe. Poado α i β ależą do przedziału [;]. Model wmaga warości począkowch F oraz S. Moża przjąć: ) lub F lub a F F S a S S z modelu liiowego Przkład obliczeiow () Wielkość sprzedaż pralek auomaczch firm Kolar u jedego z przedsawicieli w osaich miesiącach przedsawiała się asępująco [w sz.]: Przjmując że cziki kszałujące sprzedaż ie ulegą zmiaie: a) posaw progozę a asęp miesiąc

34 Przkład obliczeiow () Począkowe rozwiązaie dla α5 oraz β5 F S F - S - ( - ) Przkład obliczeiow (3) α oraz β F S F - S - ( - )

35 Przkład obliczeiow (4) α oraz β F S F - S - ( - ) Przkład obliczeiow (5) α oraz β F a oraz S a a podsawie wszskich obserwacji F S F - S - ( - )

36 Przkład obliczeiow (6) α oraz β F a oraz S a a podsawie 3 pierwszch obserwacji F S F - S - ( - ) Przkład obliczeiow (7) α oraz β F oraz S a podsawie ajmiejszego błędu progoz wgasłch F S F - S - ( - )

37 Model redu pełzającego z wagami harmoiczmi Procedura meod jes asępująca: I. Usaleie sałej wgładzaia k < ; II. Oszacowaie a podsawie kolejch fragmeów szeregu o długości k liiowch fukcji redu III. Obliczeie i warości ś ieoreczch wikającch z poszczególch fukcji redu; IV. Obliczeie warości redu pełzającego dla każdego okresu (średia armecza z warości eoreczch adekwach fukcji redu dla daego okresu); w V. Obliczeie przrosów fukcji redu: w w VI. Nadaie wag poszczególm przrosom: C i i VII. Określeie średiego przrosu redu jako średiej ważoej wszskich obliczoch przrosów w C w VIII. Wzaczeie progoz pukowej a okres : Y w ( ) w Przkład obliczeiow () Na podsawie dach z poprzediego przkładu (sprzedaż pralek firm Wolar ) posaw progozę a asęp miesiąc prz zasosowaiu modelu redu pełzającego z wagami harmoiczmi. I. Niech k3 im wższa warość sałej k m większe wgładzeie szeregu i m słabsze reagowaie a zmia zachodzące w szeregu czasowm a a "-3" "-4" 36 3 "3-5" "4-6" "5-7" "6-8" "7-9" "8-" "9-" "-"

38 Przkład obliczeiow () Warości eorecze Przkład obliczeiow (3) Warości wgładzoe- red pełzając średie waroście eorecze

39 Przkład obliczeiow (4) Przros fukcji redu pełzającego przros Przkład obliczeiow (5) Nadaie wag przrosom Wagi realizują posula posarzaia iformacji ajowsze przros mają ajwiększe zaczeia. Suma wag wosi. wagi

40 Przkład obliczeiow (6) wagi przros ilocz Y3 97 (3 ) Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej () Meoda wskaźików gd wsępują wahaia sezoowe wraz z edecją rozwojową lub sałm przecięm poziomem progozę wzacza się a podsawie warości fukcji redu skorgowaej o wskaźik sezoowości prz wahaiach bezwzględie sałch (gd ampliud wahań w aalogiczch okresach są sałe) może bć model addw: c i ( w) prz wahaiach względie sałch (wielkości ampliud zmieiają się miej więcej w m samm sosuku) może bć model muliplikaw: i ( w) (w) gdzie o wielkość progoz wzaczoa z fukcji redu lub sałego przecięego poziomu c i i 4

41 Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej ().Oblicza się asępujące warości (elimiacja redu): i z i i ŷ lub zi ŷ.oblicza się surowe wskaźiki sezoowości (elimiacja oddziałwaia składika losowego): k zi z i j r i k k liczba jedoimiech faz w szeregu; r liczba faz w cklu 3.Wzacza się czse wskaźiki sezoowości (iformują o aężeiu wahań sezoowch): z r i ci zi q lb lub ci gdzie di q zi q r 4.Wzacza się warość progoz: i ( w) c i lub i j ( w) i c i Przkład obliczeiow () Firma Czar diame prowadzi sprzedaż paliwa opałowego klieom idwidualm. Dochod firm zależą prakczie od wielkości sprzedaż miału opałowego. Dae doczące kwaralej wielkości sprzedaż miału [] z osaich la przedsawioo w poiższej abeli. Należ wzaczć progozę a koleje kwarał

42 Przkład obliczeiow () Aaliza ampliud wahań dopuszcza sosowaie modelu addwego jak i muliplikawego. Przkład obliczeiow (3) Model addw ^ -^ i z i c i ( 38 5) ( )

43 Przkład obliczeiow (4) Model muliplikaw ^ /^ i z i c i Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej (3) Meoda redów jedoimiech okresów gd wsępują wahaia sezoowe wraz z edecją rozwojową lub sałm przecięm poziomem polega a szacowaiu paramerów aaliczej fukcji redu oddzielie dla poszczególch faz cklu progozę sawia się przez eksrapolację odpowiediej fukcji redu 43

44 Przkład obliczeiow Należ wzaczć progozę sprzedaż miału przez firmę Czar diame a koleje kwarał meodą redów jedoimiech okresów. I II III IV Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej (4) Model Wiersa gd wsępują wahaia sezoowe wraz z edecją rozwojową lub sałm przecięm poziomem jes modelem z rzema rówaiami może bć muliplikaw wed progoza wosi: [ F S ( )] C może bć addw wed progoza wosi: F S ( ) C r r 44

45 45 Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej (5) Model Wiersa muliplikaw )S ( ) F F ( S ) S F )( ( C F r β β α α ] ; [ )C ( F C r γ β α γ γ Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej (6) Model Wiersa addw )C ( ) F ( C )S ( ) F F ( S ) S F )( ( ) C ( F r γ γ β β α α ] ; [ )C ( ) F ( C r γ β α γ γ

46 Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej (7) Propozcje warości począkowch F S C (w pierwszm cklu) I II Warość zmieej z pierwszej faz drugiego cklu Średia warość zmieej progozowaej z pierwszego cklu Różica średich warości z drugiego i pierwszego cklu Iloraz warości rzeczwisch do warości średiej (w pierwszm cklu) Dowole kombiacje Przkład obliczeiow () Firma Save Lock prowadzi sprzedaż wkładek bębekowch wsokiej klas bezpieczeńswa. Dae doczące miesięczej wielkości sprzedaż [j.p.] z osaich la przedsawioo w poiższej abeli. Należ wzaczć progozę a koleje kwarał

47 Przkład obliczeiow () Przkład obliczeiow (3) szereg cechuje sezoowość osaie obserwacje wskazują a zmiaę edecji ajlepiej wkorzsać model adapacj moża wkorzsać model Wiersa Zosaie wkorzsa muliplikaw model Wiersa 47

48 Przkład obliczeiow (4) Rozwiązaie począkowe dla αβγ5 F S C ( -^ ) Przkład obliczeiow (5)

49 Przkład obliczeiow (6) α8; β53; γ F S C ( -^ ) Przkład obliczeiow (7)

50 5 Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej (8) Aaliza harmoicza gd wsępują wahaia sezoowe wraz z edecją rozwojową lub sałm przecięm poziomem model buduje się w posaci sum zw. harmoik fukcji siusoidalch lub cosiusoidalch o dam okresie pierwsza harmoika ma okres rów druga / rzecia /3 id.. liczba wszskich harmoik wosi / progozę sawia się a podsawie modelu: / i i i w ) ( i cos i si π β π α Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej (9). Jeśli wsępuje red o oblicza się asępujące warości (elimiacja redu): ŷ '. Szacuje się paramer α α i β i modelu: korzsając z zależości: ' a / i i i i cos i si ' π β π α α... i i cos ' b... i i si ' a i i dla dla π π

51 Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej () 3. Z modelu moża welimiować harmoiki kórch udział wwjaśiaiu wjaśiaiu wariacji rozparwaej zmieej jes ajmiejsz. Udział w wariacji zmieej progozowaej dla wszskich oprócz osaiej harmoiki wosi: aomias dla osaiej: gdzie: i c i ω i s c i ω i s c a b s jes szacukiem wariacji zmieej progozowaej i i Przkład obliczeiow () Firma Save Lock prowadzi sprzedaż wkładek bębekowch wsokiej klas bezpieczeńswa. Dae doczące miesięczej wielkości sprzedaż [j.p.] z osaich la przedsawioo w poiższej abeli. Należ wzaczć progozę a koleje kwarał za pomocą aaliz harmoiczej

52 Przkład obliczeiow () Wsępuje red wielomiaow Przkład obliczeiow (3) elimiacja redu ^ '( -^)

53 Przkład obliczeiow (4) Szacowaie warości paramerów α α β '(-^) x(p/6) six cosx si x cos x E E E E E-6 8E-4-46 Σ 7374E-3 Σ α 49E-4 α β Przkład obliczeiow (5) Szacowaie warości paramerów α β x six cosx si x cos x E E E E E E E E E E E E-4-46 Σ α β 53

54 Przkład obliczeiow (6) Szacowaie warości paramerów α 3 β 3 3x six cosx si x cos x E E E E E E-4-46 Σ α β 3 Przkład obliczeiow (7) Szacowaie warości paramerów α 4 β 4 4x six cosx si x cos x 57 63E E E E E E E E E E E E E E E E E-3 E E E E E E E E-3-46 Σ α β 4 54

55 Przkład obliczeiow (8) Szacowaie warości paramerów α 5 β 5 5x six cosx si x cos x E E E E E E-3-46 Σ α β 5 Przkład obliczeiow (9) Szacowaie warości paramerów α 6 β 6 6x six cosx si x cos x E E E E E E E E E E E E-3-46 Σ α β 6 55

56 Przkład obliczeiow () Szacowaie warości paramerów α 7 β 7 7x six cosx si x cos x E E E E E E-3-46 Σ α β 7 Przkład obliczeiow () Szacowaie warości paramerów α 8 β 8 8x six cosx si x cos x 34-9E E E E E E E E E E E E E E E E-3-46 Σ -6E α 8-35E-4-94 β 8 56

57 Przkład obliczeiow () Udział harmoik w wariacji Nr harmoiki a i b i c i c i ω i [%] % % % % % % % 8-35E % % Poieważ harmoika 4 wjaśia Σ 6496 prawie 94% zmieości zmieej s 348 progozowaej o do progozowaia wkorzsa będzie model lko z ą harmoiką Przkład obliczeiow (3) Model progoscz ( w ) Posać aalicza fukcji redu f ( ) Posać modelu π π ŷ si 5 3 cos 57

58 π π π π cos si cos si Przkład obliczeiow (4) Progoza π π π π cos si cos si