MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

Transkrypt

1 MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0

2 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość (z umerem obszaru stadardów) II Wykorzystywaie i iterpretowaie reprezetacji II Wykorzystywaie i iterpretowaie reprezetacji III Modelowaie matematycze III Modelowaie matematycze III Modelowaie matematycze Uczeń: Sprawdzaa czyość (z umerem stadardu) rozwiązuje proste rówaia i ierówości z wartością bezwzględą (er) stosuje wzór a logarytm potęgi i wzór a zamiaę podstawy logarytmu (br) rozwiązuje rówaia i ierówości z parametrem, przeprowadza dyskusję i wyciąga z iej wioski (br) rozwiązuje rówaia i ierówości wielomiaowe (cr) rozwiązuje ierówości kwadratowe z parametrem, przeprowadza dyskusję i wyciąga z iej wioski (br) Maksymala liczba puktów 6 V Rozumowaie i argumetacja stosuje wzory Viète a (ar) 7 IV Użycie i tworzeie strategii wyzacza związki miarowe w bryłach obrotowych z zastosowaiem trygoometrii (9b) 8 IV Użycie i tworzeie strategii stosuje wzór a sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetyczego (c) 9 IV Użycie i tworzeie strategii wykouje dzieleie wielomiau przez dwumia x a; stosuje twierdzeie o reszcie z dzieleia wielomiau przez dwumia x a (br) 0 III Modelowaie matematycze wykorzystuje własości prawdopodobieństwa i stosuje twierdzeie zae jako klasycza defiicja prawdopodobieństwa do obliczaia prawdopodobieństw zdarzeń (0d) IV Użycie i tworzeie strategii V Rozumowaie i argumetacja stosuje wzory a -ty wyraz i sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetyczego i ciągu geometryczego, rówież umieszczoe w kotekście praktyczym (c) rozwiązuje zadaia dotyczące wzajemego położeia prostej i okręgu a płaszczyźie kartezjańskiej (8bR) 6 0 Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo

3 UWAGA OGÓLNA Schemat oceiaia zadań otwartych Matematyka Poziom rozszerzoy Za prawidłowe rozwiązaie każdego z zadań ią metodą iż przewidziaa w schemacie puktowaia ależy przyzać zdającemu maksymalą liczbę puktów Za częściowe rozwiązaie zadaia ią metodą iż przewidziaa w schemacie rozwiązaia ależy przyzać zdającemu liczbę puktów adekwatą do wykoaych czyości Zadaie (0 ) Rozwiąż rówaie x + x = Rozwiązaie, w którym postęp jest wprawdzie iewielki, ale koieczy a drodze do Przekształceie daego rówaia do postaci: x + x = x + x = i uzasadieie, że rozwiązaiem drugiego rówaia jest zbiór pusty pukty Zastosowaie defiicji bezwzględej wartości do zapisaia x oraz x bez użycia symbolu modułu: x dla x 0 x dla x x = oraz x = x dla x < 0 + x dla x > Zapisaie rówaia x + x = w postaci: ( ;0) x x + x = x 0; x + x = ( ) x ; + x ( x) + + = pukty pukty Wyzaczeie zbioru rozwiązań rówaia: x 0; Zadaie (0 ) log log 7 + log0,0 9 Oblicz wartość wyrażeia Wykorzystaie wzoru a zamiaę podstaw logarytmów do zapisaia daego wyrażeia w postaci log 7 log 9 log + log log 0,0 Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo 0

4 Matematyka Poziom rozszerzoy Wykorzystaie defiicji logarytmu do zapisaia daego wyrażeia w postaci log log7 log9 pukty pukty Wykorzystaie twierdzeń o logarytmach do zapisaia daego wyrażeia w postaci log log log pukty log Obliczeie wartości wyrażeia: = Zadaie (0 ) m x x+ 8 Dae jest rówaie m Ile rozwiązań ma to rówaie w zależości od parametru m? = z iewiadomą x i parametrem ( 0) m m x m+ = m 6 Przekształceie daego rówaia do postaci ( ) m m 0 Rozróżieie przypadków ( ) m = oraz ( ) pukty pukty Określeie liczby rozwiązań rówaia x( m+ ) = m 6 w zależości od wartości parametru m: dla m = dae rówaie ma ieskończeie wiele rozwiązań, dla m m 0 dae rówaie ma dokładie jedo rozwiązaie Zadaie (0 ) pukty Liczby a, b, c, d ( a< b< c< d) są kolejymi dodatimi liczbami całkowitymi Wykaż, że wielomia W opisay wzorem W ( x) = ax bx cx + d ma trzy pierwiastki W x = ax a + x a + x + a +, gdzie a jest liczbą Zapisaie wielomiau W w postaci ( ) ( ) ( ) całkowitą dodatią 0 Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo

5 Matematyka Poziom rozszerzoy Zauważeie i zapisaie, że liczba jest pierwiastkiem wielomiau W Na przykład: W = 0 zapisaie, że ( ) Zapisaie wielomiau W w postaci W ( x) ( x )( ax x a ) = pukty pukty pukty Obliczeie wyróżika trójmiau ax x a i uzasadieie, że wielomia W ma trzy pierwiastki, bo wyróżik trójmiau jest dodati dla dodatiej liczby całkowitej a i liczba ie jest pierwiastkiem tego trójmiau Zadaie (0 ) m Daa jest ierówość < z iewiadomą x i parametrem m Wyzacz wszystkie wartości x + m, dla których rozwiązaiem tej ierówości jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych Przekształceie ierówości do postaci m< x + pukty Przekształceie ierówości m< x + i zapisaie waruku, dla którego jej rozwiązaiem jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych pukty pukty Wyzaczeie wszystkich wartości m, dla których rozwiązaiem ierówości są wszystkie liczby rzeczywiste: m < Zadaie 6 (0 ) Wykaż, że jeżeli rówaie x + bx + c = 0 ma dwa pierwiastki takie, że odwrotość jedego z ich jest rówa iloczyowi drugiego i liczby, to do wykresu fukcji f opisaej wzorem f ( x) = x + bx + c ależy pukt P = 0, Zapisaie waruku wyikającego z treści zadaia i przekształceie go do postaci x x = xx = Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo 0

6 Zastosowaie wzoru Viète a do wyzaczeia współczyika c: c = Matematyka Poziom rozszerzoy pukty pukty Wykazaie, że do wykresu fukcji f ależy pukt Zadaie 7 (0 ) P = 0, f = : ( 0) pukty Trójkąt o bokach długości, i 6 obraca się wokół ajdłuższego boku Oblicz objętość powstałej bryły Obliczeie cosiusa kąta α leżącego aprzeciw ajdłuższego boku: 6 = 6 + cosα, stąd cosα = 8 7 Obliczeie siusa α: siα = 8 Obliczeie h wysokości trójkąta poprowadzoej do ajdłuższego boku z rówaia: P trójkąta = 7 7 = 6 h Stąd h = ( pukt) 8 Zauważeie, że bryła powstała przez obrót trójkąta jest sumą dwóch stożków, każdego 7 o podstawie będącej kołem o promieiu długości h = i wysokościach odpowiedio rówych x oraz 6 x ( pukt) pukty puktów Obliczeie objętości powstałej bryły: V = π x+ π ( 6 x ) = π 6= π 8 Zadaie 8 (0 ) Day jest ciąg ( a ), w którym wyraz ( a = + ( + ) + ( + ) + + ) Oblicz ajmiejszy wyraz ciągu ( a ) od 0 a jest sumą kolejych liczb aturalych od do, który jest większy 6 0 Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo

7 Matematyka Poziom rozszerzoy Zauważeie i zapisaie, że każdy wyraz ciągu ( ) aturalych, począwszy od a jest sumą + składików kolejych liczb pukty Obliczeie sumy + składików kolejych liczb aturalych, począwszy od : S= ( + ) = a pukty Zapisaie ierówości, za pomocą której moża obliczyć, który wyraz ciągu ( a ) jest większy od 0, czyli ( ) 0 + > i N, oraz przekształceie jej do postaci + > 0 Wyzaczeie ajmiejszego, dla którego a > 0, czyli = 7 Obliczeie a 7 = 09 ( pukt) ( pukt) puktów Zadaie 9 (0 ) Day jest wielomia W opisay wzorem W ( x) = x + ax + bx + cx + 0 Liczba jest pierwiastkiem wielomiau W i reszta z dzieleia wielomiau W przez trójmia x x jest rówa x + 6 Wyzacz współczyiki a, b, c wielomiau W Zapisaie wielomiau W w postaci ( ) ( )( ) W x = P x x x x+ 6 Obliczeie pierwiastków trójmiau x x x x : =, = pukty Zauważeie, że W( ) W( ) W( ) Ułożeie układu rówań = 7 i = i = 0 ( pukt) a+ b c+ 0 = a+ 9b+ c+ 0 = ( pukt) 6 + 8a+ b+ c+ 0 = 0 Rozwiązaie układu: a=, b=, c = 8 puktów Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo 0 7

8 Matematyka Poziom rozszerzoy Zadaie 0 (0 ) W pojemiku są kule białe, kule zieloe i kul czarych Z pojemika losujemy rówocześie kule Prawdopodobieństwo, że ie wylosujemy kuli białej jest rówe 6 Oblicz Podaie liczby elemetów zbioru zdarzeń elemetarych w zależości od iewiadomej: Ω = 7 + ( ) Podaie A, gdzie A ozacza zdarzeie ie wylosowao kuli białej : A + ( ) ( + )( + ) Zapisaie P( A) : P( A) = ( )( ) ( + )( + ) 6 Rozwiązaie rówaia =, N ( )( ) + : = 6 = pukty pukty Zadaie (0 6) Suma trzech pierwszych wyrazów ciągu geometryczego jest rówa 6 Te trzy liczby są rówież pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetyczego Podaj wzory a -te wyrazy tych ciągów Zapisaie aalizy zadaia Na przykład: ( ) a ciąg geometryczy: a+ a + a = 6 oraz q iloraz tego ciągu b ciąg arytmetyczy: b+ b + b7 = 6 oraz r różica tego ciągu ( ) a pierwszy wyraz tych ciągów a aq aq + + = 6 ( ) ( ) a+ a+ r + a+ 6r = 6 Zapisaie związku między ciągami w postaci układu rówań: a + aq + aq = 6 a + ( a + r) + ( a + 6r) = 6 aq = a + r pukty 8 0 Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo

9 Matematyka Poziom rozszerzoy układu rówań (zalezieie obydwu rozwiązań układu): q = a = 0 ( pukt) lub q = a = ( pukt) r = 0 r = 8 puktów Gdy a = 0, q =, 0 r =, to ciągi ( a ) i ( ) b są ciągami stałymi i a 6 puktów = b = 0 ( pukt) Gdy a =, q =, r = 8, to a = 0,, b = 8 6 ( pukt) Zadaie (0 ) Day jest okrąg o rówaiu ( x ) + ( y ) = Wykaż, że stycze do tego okręgu przechodzące przez początek układu współrzędych są prostopadłe Zapisaie układu rówań, za pomocą którego moża wyzaczyć rówaia styczych: ( x ) + ( y ) = y = mx Zapisaie rówaia kwadratowego, wyikającego z układu rówań: m + x + m 6 x+ = 0 ( ) ( ) pukty Obliczeie wyróżika rówaia ( ) ( ) m + x + m 6 x+ = 0 i zapisaie waruku wyikającego z faktu, że układ ma mieć dokładie jedo rozwiązaie: ( m m ) = 8 i = 0 ( pukt) Wyzaczeie wartości m spełiających te waruki: m =, m = ( pukt) pukty pukty Wykazaie, że proste o rówaiach y = x oraz y = x są prostopadłe: m m = Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo 0 9