Definicja interpolacji

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Definicja interpolacji"

Transkrypt

1 INTERPOLACJA

2 Defiicja iterpolacji

3 Defiicja iterpolacji 3

4 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję W(x) spełiającą waruki: W ( x ) 0 0 W ( x ) y y 1 1 f ( x ) i y i W ( x ) i y i f ( x ) y W ( x ) y 4

5 Wyzaczeie fukcji W(x) Defiicja iterpolacji Dobór w postaci kombiacji liiowej + 1 fukcji bazowych Fukcje bazowe: 0 (x), 1 (x), 2 (x),..., i (x),..., (x) Wielomia uogólioy: W ( x) a ( x) i0 i i a i - współczyiki 5

6 Defiicja iterpolacji Wprowadzając: Macierz bazową: Macierz współczyików: Φ ( x), ( x), ( x),..., ( x) A T a0, a1, a2,..., a Wielomia uogólioy moża zapisać w postaci: W( x) Φ( x) A 6

7 Defiicja iterpolacji Waruek, który musi spełić wielomia iterpolacyjy, czyli: W ( x ) y i 0,1,2,..., i i Moża zapisać w postaci macierzowej: XA Y gdzie: A macierz kolumowa współczyików o ( + 1) wierszach Y macierz kolumowa wartości fukcji o ( + 1) wierszach X macierz o wymiarach ( + 1) ( + 1) 7

8 Defiicja iterpolacji Postać macierzy X i Y: X 0( x0) 1( x0)... ( x0) 0( x1 ) 1( x1 )... ( x1 ) ( x) 1( x)... ( x) y y Y y 0 1 8

9 Defiicja iterpolacji 1 Jeżeli det X 0 to: A X Y Podstawiając powyższy wzór do W( x) Φ( x) Wielomia iterpolacyjy: A otrzymuje się: 1 W ( x) Φ( x) X Y gdzie: (x) macierz bazowa X 1 macierz iterpolacyja wektor wartości fukcji w węzłach Y 9

10 Iterpolacja wielomiaowa (wielomiay w postaci aturalej)

11 Iterpolacja wielomiaowa Baza: x x x x x x x 2 0( ) 1, 1( ), 2( ),..., ( ) Postać wielomiau iterpolacyjego: W x a a x a x a x 2 ( )

12 Przy spełioym waruku: a a x a x... a x y a a x a x a x y Iterpolacja wielomiaowa a a x a x... a x y Te układ rówań, jeżeli wartości x 0, x 1,..., x są miedzy sobą róże posiada jedo rozwiązaie względem a i. Wyika to stąd, że wyzaczik macierzy X: 1 x x1 1 x... det X ( xi xj) x... x x i j 12

13 Iterpolacja wielomiaowa Wady: Iterpolacja wielomiaowa ie jest zbyt efektywa, poieważ macierz X jest macierzą pełą błędy przy odwracaiu (oraz czas odwracaia) Macierz X ie zawsze jest dobrze uwarukowaa może być osobliwa 13

14 Iterpolacja wielomiaowa Przykład Dla podaych węzłów zapisz: macierze układu rówań, z których wyzacza się współczyiki wielomiau iterpolacyjego dla iterpolacji wielomiaowej wielomia iterpolacyjy Węzły: (1,3) ( 2,5) (4,7) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y )

15 0 1 2 x0 x0 x 0 a0 y x1 x1 x 1 a 1 y x2 x2 x 2 a2 y a ( 2) ( 2) ( 2) a a a a a2 7 X A Y Iterpolacja wielomiaowa 15

16 Iterpolacja wielomiaowa det X 54 0 jest jedo rozwiązaie Korzystając z: 1 A X Y otrzymujemy: 1 1 a0 3, a1, a2 3 3 Wielomia iterpolacyjy: W ( x) a a x a x W ( x) 3 x x

17 Iterpolacja Lagrage a

18 Iterpolacja Lagrage a Baza: ( x) ( x x )( x x )( x x )...( x x ) ( x) ( x x )( x x )( x x )...( x x ) i ( x) ( x x0 ) x x1 x xi 1 x xi 1 x x ( )...( )( )...( )... ( x) ( x x )( x x )( x x )...( x x ) dla każdej i (x), i = 0, 1,..., brakuje składika (xx i ) 18

19 Iterpolacja Lagrage a Postać wielomiau iterpolacyjego: W ( x) a ( x) a ( x)... a ( x) a ( x x )( x x )...( x x ) a ( x x )( x x )...( x x ) a( x x0 )( x x1 )...( x x 1) 19

20 Iterpolacja Lagrage a Macierz X: X 0( x0) ( x1) ( x2) ( x) w pukcie x = x i wszystkie fukcje oprócz i (x) zerują się, bo występuje w ich składik (x x i ) 20

21 Iterpolacja Lagrage a Współczyiki wielomiau Lagrage a wyzacza się ze wzoru: XA Y Poieważ macierz X ma tylko główą przekątą iezerową to: a a 0 1 y0 y0 ( x x )( x x ) ( x x ) ( x ) y1 y1 ( x x )( x x ) ( x x ) ( x ) a y y ( x x )( x x ) ( x x ) ( x )

22 Czyli wielomia iterpolacyjy możemy zapisać jako: Iterpolacja Lagrage a W ( x) ( x) i yi i0 i xi ( ) lub: ( x x ) j ji i i0 xi xj ji W ( x) y, j 0,1,..., ( ) 22

23 Iterpolacja Lagrage a Przykład Dla podaych węzłów zapisać wielomia iterpolacyjy Lagrage a. Węzły: (1,3) ( 2,5) (4,7) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y )

24 Iterpolacja Lagrage a ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) W ( x) y y y ( )( ) ( )( ) ( )( ) x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1 ( x 2)( x 4) ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 2) W( x) (1 2)(1 4) ( 2 1)( 2 4) (4 1)(4 2) Licziki ułamków to fukcje bazowe, reszta to współczyiki wielomiau iterpolacyjego 24

25 Różice skończoe

26 Różice skończoe Dla fukcji stabelaryzowaej przy stałym kroku h = x i+1 x i wprowadza się pojęcie różicy skończoej rzędu k y y y i i1 i 2 yi yi yi 1 yi yi2 2yi 1 yi k k k 1 k 1 k 1 j k y i y i yi 1 y i ( 1) j yik 1 j0 26

27 Różice skończoe Na podstawie zbioru wartości fukcji y i = f(x i ), x i+1 x i = h = cost buduje się tablicę różic skończoych r x y y 2 y 3 y 0 x 0 y 0 y 0 2 y 0 3 y x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 1 2 y 1 2 y 2 3 y 3 x y 27

28 Różice skończoe Przykład Dla podaych węzłów zbudować tablicę różic skończoych Węzły: (0.2, 0.259) (0.4, 0.364) (0.6, 0.448) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) (0.8, 0.517) (1, 0.577) (1.2, 0.631) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y )

29 Różice skończoe r x y y 2 y 3 y 4 y 5 y

30 Różice skończoe Własości różic skończoych (wyikające z defiicji): y C y 0 y Cf ( x) y Cf ( x) y f ( x) y Cf ( x) k k k ( ) 1... y x y x h x hx h y a a x... a x y b b x... b x

31 Różice skończoe Twierdzeie (wyikające z ostatiej własości): Jeżeli f(x) jest wielomiaem stopia, to różica skończoa rzędu tej fukcji jest stała, a koleje zerami. Prawdziwe jest rówież twierdzeie odwrote. 31

32 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych

33 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Dla zbioru węzłów: x0, x1 x0 h, x2 x0 2 h,..., x x0 h dae są wartości fukcji: f ( x0 ), f ( x1 ), f ( x2),..., f ( x ) 33

34 Wielomia iterpolacyjy: Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych W ( x) a a q a q( q 1) a q( q 1)( q 2) a q( q 1)( q 2)...( q 1) q x x 0 h Dla: 0 x x : q 0 x x : q 1 1 x x : q 2 2 x x : q 34

35 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Fukcje bazowe: ( x) 1 ( x) q ( x) q( q 1) ( x) q( q 1)( q 2) ( x) q( q 1)( q 2)( q 3) ( q 1) 35

36 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Postać układu rówań, z którego wyzacza się współczyiki: a0 y a 1 y a y a3 y3 1 ( 1) ( 1)( 2)! a y 36

37 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych a y 0 0 a a y a y a 2a 2a y a a 3a 6a 6a y a y 2! 3 y 3! 0 0 a a ( 1) a! a y a y! 0 37

38 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych I. Wzór iterpolacyjy Newtoa q( q 1) q( q 1)...( q 1) W ( x) y qy y... y 2!!

39 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Przykład Zaleźć wielomia iterpolacyjy stopia 3. dla daych z poprzediego przykładu (różice skończoe). Wykorzystujemy tablicę różic skończoych zbudowaą w poprzedim przykładzie x0 0.2 x x0 x 0.2 q 5x1 h

40 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych q( q 1) q( q 1)( q 2) W ( x) y qy y y 2! 3! (5x1)(5 x2) W ( x) (5x 1) ( 0.021) 2 (5x 1)(5 x 2)(5x 3) W x x x x 3 2 ( )

41 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Przykład Oblicz wartość fukcji w pukcie pośredim tabeli (tablicy różic skończoych z poprzedich przykładów) dla x = 0.7 z dokładością do 2 Przyjmujemy: x0 0.6 q x x h

42 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych qq ( 1) W ( x) y qy y 2! ( 0.5) W( x) ( 0.009) Zadaie ie jest wykoywale p. dla x = 1.1 brakuje różic skończoych 42

43 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych I. wzór iterpolacyjy Newtoa iterpolacja w przód II. wzór iterpolacyjy Newtoa iterpolacji wstecz 43

44 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Wielomia iterpolacyjy: W ( x) a a q a q( q 1) a q( q 1)( q 2) a q( q 1)( q 2)...( q 1) q x x h Współczyiki wielomiau a 0,..., a wyzaczae są idetyczie 44

45 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych II. Wzór iterpolacyjy Newtoa q( q 1) q( q 1)...( q 1) W ( x) y qy y... y 2!!

46 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Przykład Oblicz wartość fukcji w pukcie pośredim tabeli (tablicy różic skończoych z poprzedich przykładów) dla x = 1.1 z dokładością do 2 Przyjmujemy: x 1.2 q x x h

47 Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych qq ( 1) W ( x) y qy y 2! ( 0.5) 0.5 W( x) ( 0.5) ( 0.006)

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

Podstawowe cechy podzielności liczb.

Podstawowe cechy podzielności liczb. Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań

Krzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań Krzysztof Rykaczewski Aaliza matematycza I Zbiór zadań Motto: Powiedz mi a zapomę Pokaż mi a zapamiętam Pozwól mi zrobić a zrozumiem. Cofucius : Zbiór zadań z aalizy matematyczej Uiwersytet Mikołaja Koperika

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup

1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup 1. Powtórzeie: określeie i przykłady grup Defiicja 1. Zbiór G z określoym a im działaiem dwuargumetowym azywamy grupą, gdy: G1. x,y,z G (x y) z = x (y z); G2. e G x G e x = x e = x; G3. x G x 1 G x x 1

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

Analiza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych

Analiza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych a prawach rękopisu Istytut Iżyierii Lądowej Politechiki Wrocławskiej Aaliza drgań wybraych dźwigarów powierzchiowych metodą elemetów brzegowych Raport serii PRE r 5/ Praca doktorska autor mgr iż. Jacek

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 9 (09.05.2007) Plan wykładu nr 9. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny

Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 9 (09.05.2007) Plan wykładu nr 9. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 odstawy iforatyki olitechika Białostocka - Wydział Elektryczy Elektrotechika, seestr II, studia stacjoare Rok akadeicki 006/007 la wykładu r 9 Obliczaie liczby π etodą

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R_P-072 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ ROK 2007 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

5 Nr (182) PROFESOR TADEUSZ KACZOREK DOKTOR HONORIS CAUSA POLITECHNIKI OPOLSKIEJ. kwiecień 2009

5 Nr (182) PROFESOR TADEUSZ KACZOREK DOKTOR HONORIS CAUSA POLITECHNIKI OPOLSKIEJ. kwiecień 2009 5 Nr (8) Politechika Opolska ISSN 47-89X Pismo iformacyje Politechiki Opolskiej kwiecień 9 wydaie specjale PROFESOR TADEUSZ KACZOREK DOKTOR HONORIS CAUSA POLITECHNIKI OPOLSKIEJ PROFESOR TADEUSZ KACZOREK

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

METODY GENEROWANIA ESTETYCZNYCH WZORÓW WIESŁAW KOTARSKI, KRZYSZTOF GDAWIEC, AGNIESZKA LISOWSKA

METODY GENEROWANIA ESTETYCZNYCH WZORÓW WIESŁAW KOTARSKI, KRZYSZTOF GDAWIEC, AGNIESZKA LISOWSKA METODY GENEROWANIA ESTETYCZNYCH WZORÓW WIESŁAW KOTARSKI, KRZYSZTOF GDAWIEC, AGNIESZKA LISOWSKA Zakład Modelowaia i Grafiki Komputerowej, Istytut Iformatyki, Uiwersytet Śląski e-mail: {kotarski, kgdawiec,

Bardziej szczegółowo

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Materiał ddaktcze Matematka Semestr II Ćwiczeia Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh - TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

Twoja firma. Podręcznik użytkownika. Aplikacja Grupa. V edycja, kwiecień 2013

Twoja firma. Podręcznik użytkownika. Aplikacja Grupa. V edycja, kwiecień 2013 Twoja firma Podręczik użytkowika Aplikacja Grupa V edycja, kwiecień 2013 Spis treści I. INFORMACJE WSTĘPNE I LOGOWANIE...3 I.1. Wstęp i defiicje...3 I.2. Iformacja o możliwości korzystaia z systemu Aplikacja

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarowe

Niepewności pomiarowe Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki

Bardziej szczegółowo

Wszystkie znaki występujące w tekście są zastrzeżonymi znakami firmowymi bądź towarowymi ich właścicieli.

Wszystkie znaki występujące w tekście są zastrzeżonymi znakami firmowymi bądź towarowymi ich właścicieli. Wszelkie prawa zastrzeżoe. Nieautoryzowae rozpowszechiaie całości lub fragmetu iiejszej publikacji w jakiejkolwiek postaci jest zabroioe. Wykoywaie kopii metodą kserograficzą, fotograficzą, a także kopiowaie

Bardziej szczegółowo

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać Przeczytaj, zaim zacziesz rozwiązywać Maturzysto! Zaim rozpocziesz rozwiązywaie zadań z aszych arkuszy: Przygotuj: u Arkusz I 5 kartek papieru podaiowego w kratkę a czystopis i a brudopis; Arkusz II 5

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Harmonogramowanie linii montażowej jako element projektowania cyfrowej fabryki

Harmonogramowanie linii montażowej jako element projektowania cyfrowej fabryki 52 Sławomir Herma Sławomir HERMA atedra Iżyierii Produkcji, ATH w Bielsku-Białej E mail: slawomir.herma@gmail.com Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia cyfrowej fabryki Streszczeie: W

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Opracował: dr hab. Mieczysław Kula, prof. WSBiF dr Michał Baczyński

Matematyka. Opracował: dr hab. Mieczysław Kula, prof. WSBiF dr Michał Baczyński Matematka Opracował: dr hab. Miecsław Kula, prof. WSBiF dr Michał Bacński I. Ogóle iformacje o predmiocie: Cel predmiotu: Celem główm kursu jest apoaie studetów wbrami diałami matematki stosowami w aukach

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

A.Z. Górski, S. Drożdż, J. Kwapień, P. Oświęcimka. Zakład Teorii Systemów Złożonych, Instytut Fizyki Jądrowej PAN, Kraków

A.Z. Górski, S. Drożdż, J. Kwapień, P. Oświęcimka. Zakład Teorii Systemów Złożonych, Instytut Fizyki Jądrowej PAN, Kraków COMPLEXITY CHARACTERISTICS OF CURRENCY NETWORKS A.Z. Górski, S. Drożdż, J. Kwapień, P. Oświęcimka Zakład Teorii Sstemów Złożoch, Isttut Fizki Jądrowej PAN, Kraków Układ o wielkiej złożoości moża przedstawiać

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Metody poprawy jakości obrazu (image enchancement)

Metody poprawy jakości obrazu (image enchancement) Metody poprawy jakości obrazu imae echacemet) Są to metody wstępeo przetwarzaia obrazu. Celem tych metod jest oóla poprawa jakości obrazu poprzez modyikację jeo jasości, kotrastu lub historamu. Metody

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

Składka ubezpieczeniowa

Składka ubezpieczeniowa Przychody zakładów ubezpieczeń Przychody i wydatki zakładów ubezpieczeń Składka ubezpieczeiowa 60-95 % Przychody z lokat 5-15 % Przychody z reasekuracji 5-30 % Wydatki zakładów ubezpieczeń Odszkodowaia

Bardziej szczegółowo

2. Równania nieliniowe i ich uk lady

2. Równania nieliniowe i ich uk lady Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?

Bardziej szczegółowo

profi-air 250 / 400 touch Nowoczesne centrale rekuperacyjne do wentylacji pomieszczeń mieszkalnych

profi-air 250 / 400 touch Nowoczesne centrale rekuperacyjne do wentylacji pomieszczeń mieszkalnych profi-air 250 / 400 touch Nowoczese cetrale rekuperacyje do wetylacji pomieszczeń mieszkalych SYSTEMY ODWADNIAJĄ CE SYSTEMY ELEKTRYCZNE INSTALACJE WEWNĘTRZNE PRODUKTY DLA PRZEMYSŁU Nowoczesa techologia

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW

Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW 1. Wstęp Pomiarem jest procesem pozawczm, któr umożliwia odwzorowaie właściwości fizczch obiektów w dziedziie liczb. Sam proces pomiarow jest ciągiem czości

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

O podzielności liczb

O podzielności liczb Spis treści: I. Rys historyczy... 2 II. Podzielość liczb całkowitych... 4 1. Podzielość... 4 2. Dzieleie liczb całkowitych... 5 3. Największy wspóly dzielik i ajmiejsza wspóla wielokrotość dwóch liczb

Bardziej szczegółowo

Gretl konstruowanie pętli Symulacje Monte Carlo (MC)

Gretl konstruowanie pętli Symulacje Monte Carlo (MC) Grel kosruowaie pęli Symulacje Moe Carlo (MC) W Grelu, aby przyspieszyć pracę, wykoać iesadardową aalizę (ie do wyklikaia ) możliwe jes użycie pęli. Pęle realizuje komeda loop, kóra przyjmuje zesaw iych

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Na podstawie art. 55a ustawy z dnia 7 lipca 1994 r. Prawo budowlane (Dz. U. z 2013 r. poz. 1409) zarządza się, co następuje:

Na podstawie art. 55a ustawy z dnia 7 lipca 1994 r. Prawo budowlane (Dz. U. z 2013 r. poz. 1409) zarządza się, co następuje: Projekt z dia 16.12.2013 r. Rozporządzeie Miistra Ifrastruktury i Rozwoju 1) z dia.. 2013 r. w sprawie metodologii obliczaia charakterystyki eergetyczej budyku i lokalu mieszkalego lub części budyku staowiącej

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fiasowy gospodarki Zajęcia r 5 Matematyka fiasowa Wartość pieiądza w czasie 1 złoty posiaday dzisiaj jest wart więcej iż 1 złoty posiaday w przyszłości, p. za rok. Powody: Suma posiadaa dzisiaj

Bardziej szczegółowo

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n Badaie efektu alla w ółrzewodiku tyu 35.. Zasada ćwiczeia W ćwiczeiu baday jest oór elektryczy i aięcie alla w rostoadłościeej róbce kryształu germau w fukcji atężeia rądu, ola magetyczego i temeratury.

Bardziej szczegółowo

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dnia 21 października 2011 r.

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dnia 21 października 2011 r. Dzieik Ustaw Nr 251 14617 Poz. 1508 1508 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dia 21 paździerika 2011 r. w sprawie sposobu podziału i trybu przekazywaia podmiotowej dotacji a dofiasowaie

Bardziej szczegółowo

PERSPECTIVES OF STATISTICAL METHODS IN DESIGN OF TRADING STRATEGIES FOR FINANCIAL MARKETS USING HIERARCHICAL STRUCTURES AND REGULARIZATION

PERSPECTIVES OF STATISTICAL METHODS IN DESIGN OF TRADING STRATEGIES FOR FINANCIAL MARKETS USING HIERARCHICAL STRUCTURES AND REGULARIZATION STUDIA INFORMATICA 2013 Volume 34 Number 2A (111) Alia MOMOT Politechika Śląska, Istytut Iformatyki Michał MOMOT Istytut Techiki i Aparatury Medyczej ITAM PERSPEKTYWY ZASTOSOWAŃ METOD STATYSTYCZNYCH W

Bardziej szczegółowo

KiNemAtyKA DyNAmiKA Bryła sztywna Drgania mechaniczne Fale mechaniczne PrAcA, moc i energia grawitacja

KiNemAtyKA DyNAmiKA Bryła sztywna Drgania mechaniczne Fale mechaniczne PrAcA, moc i energia grawitacja Spis treści Kiematyka Podstawowe pojęcia... 9 Podział ruchów... 11 Ruch prostoliiowy... 11 Ruch jedostajy prostoliiowy... 11 Ruch jedostajie przyspieszoy prostoliiowy... 13 Ruch jedostajie opóźioy prostoliiowy...

Bardziej szczegółowo

Spis treści. I. Wiadomości wstępne... 3

Spis treści. I. Wiadomości wstępne... 3 Spis treści I. Wiadomości wstępe... 3 II. Pojęcia ogóle wraz z twierdzeiami... 4 1. Jedostka urojoa... 4. Liczba zespoloa... 4 3. Iterpretacja geometrycza... 7 4. Moduł liczby zespoloej... 8 5. Liczba

Bardziej szczegółowo

Entropia w układach dynamicznych

Entropia w układach dynamicznych Etropia w układach dyamiczych Wstęp Środowiskowe studia doktorackie Uiwersytet Jagielloński Kraków, marzec-kwiecień 203 Tomasz Dowarowicz Część II Etropia topologicza i zasada wariacyja Zaczijmy od początku.

Bardziej szczegółowo

OCENA DOKŁADNOŚCI GLOBALNYCH MODELI GEOPOTENCJAŁU EGM96 I EGM08 NA OBSZARZE DOLNEGO ŚLĄSKA 1

OCENA DOKŁADNOŚCI GLOBALNYCH MODELI GEOPOTENCJAŁU EGM96 I EGM08 NA OBSZARZE DOLNEGO ŚLĄSKA 1 Acta Sci. Pol., Geodesia et Descriptio Terrarum 8(1) 2009, 19-30 OCENA DOKŁADNOŚCI GLOBALNYCH MODELI GEOPOTENCJAŁU EGM96 I EGM08 NA OBSZARZE DOLNEGO ŚLĄSKA 1 Marek Trojaowicz Uiwersytet Przyrodiczy we

Bardziej szczegółowo

Moment skrawania w procesie gwintowania PA6 a wybór medium obróbkowego DR HAB. INŻ. Ryszard Wójcik, PROF. PŁ, DR INŻ. Hieronim Korzeniewski,

Moment skrawania w procesie gwintowania PA6 a wybór medium obróbkowego DR HAB. INŻ. Ryszard Wójcik, PROF. PŁ, DR INŻ. Hieronim Korzeniewski, fot. Thikstock Momet skrawaia w procesie gwitowaia PA6 a wybór medium obróbkowego DR HAB. INŻ. Ryszard Wójcik, PROF. PŁ, DR INŻ. Hieroim Korzeiewski, INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN POLITECHNIKI

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

CHAOS A NIEOBLICZALNOŚĆ

CHAOS A NIEOBLICZALNOŚĆ FILOZOFIA I NAUKA Studia filozoficze i iterdyscypliare Tom 2, 214 Adrzej Wilk 1 Istytut Filozofii i Socjologii PAN CHAOS A NIEOBLICZALNOŚĆ STRESZCZENIE Tekst jest poświęcoy problemowi implemetacji ieobliczalości

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU

ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Dr iż. Staisław NOGA oga@prz.edu.pl Politechika Rzeszowska ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Streszczeie: W publikacji

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

Typy i wykonanie łapaczy tłuszczy: ASIO

Typy i wykonanie łapaczy tłuszczy: ASIO ŁAPACZE TŁUSZCZY Tłuszcz w kaalizacji powoduje problemy zarówo mechaicze, czyli zarastaie rur, jak i higieicze zapach. Dalej powoduje też problemy w samym procesie czyszczeia w oczyszczaliach ścieków gdzie

Bardziej szczegółowo

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI

Bardziej szczegółowo

OKREŚLENIE CHARAKTERYSTYK POMPY WIROWEJ I WYZNACZENIE PAGÓRKA SPRAWNOŚCI

OKREŚLENIE CHARAKTERYSTYK POMPY WIROWEJ I WYZNACZENIE PAGÓRKA SPRAWNOŚCI Ćwiczeie 5 OKREŚLENIE CARAKTERYSTYK POMPY WIROWEJ I WYZNACZENIE PAGÓRKA SPRAWNOŚCI Wykaz ważiejszych ozaczeń c 1 rędkość bezwzględa cieczy a wlocie do wirika, m/s c rędkość bezwzględa cieczy a wylocie

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)

3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM) 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym

Bardziej szczegółowo

BIULETYN MATURALNY NR 4 CENTRALNEJ KOMISJI EGZAMINACYJNEJ MATEMATYKA

BIULETYN MATURALNY NR 4 CENTRALNEJ KOMISJI EGZAMINACYJNEJ MATEMATYKA BIULETYN MATURALNY NR 4 CENTRALNEJ KOMISJI EGZAMINACYJNEJ MATEMATYKA SPIS TREŚCI Rozdział I O egzamiie... Rozdział II Elemety matematyki fiasowej dr hab. Michał Szurek... 6 Rozdział III Wzory... 9 Rozdział

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo