CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
|
|
- Adrian Włodarczyk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy ogródek Pierwszego dia przekopał 7 m Aby przyspieszyć prace, postaowił każdego astępego dia przekopywać o m więcej iż poprzediego W ciągu ilu di zakończy pracę, jeśli powierzchia ogródka wyosi 7, 8 a? Zadaie (6 pkt) Rozwiążemy rówaie: = 80 Możemy to robić w astępujący sposób Zauważmy ajpierw, że lewa stroa jest sumą pewej liczby wyrazów ciągu arytmetyczego Ozaczmy: t =, liczba składików sumy po lewej stroie rówaia Wówczas, korzystając ze wzorów dla ciągu arytmetyczego, mamy: t = + ( ), + t 80 = t = + ( ) Rozwiązując układ rówań: + t = 80 = 6 lub = - 6 otrzymujemy: t = 6 Zatem = 6, skąd = 6 Wykorzystując powyższe rozumowaie, rozwiąż rówaie: ( + ) = 968 Zadaie ( pkt) Dae są liczby: a =, b= ( ), c= ( ) Czy liczby a, b, c mogą być trzema pierwszymi wyrazami ciągu geometryczego? Zadaie ( pkt) Marek wpłacił do baku 000 zł a lokatę termiową Rocza stopa procetowa w tym baku wyosi, 6%, a bak kapitalizuje odsetki co kwartał Czy po latach od mometu wpłaceia suma, jaką wypłaci bak Markowi będzie większa od wpłacoej o, %? Odpowiedź uzasadij Nie uwzględiaj podatku od odsetek bakowych Zadaie 6 (6 pkt) Wyzaczymy te wyrazy ciągu o wyrazie ogólym całkowitymi a = + 0, które są wyrazami
2 Możemy to zrobić w astępujący sposób Zauważmy ajpierw, że = = + Aby ostatie wyrażeie było liczbą całkowitą, miaowik ułamka musi być rówy jedej z liczb:, -,, - Mamy zatem = lub = - lub = lub = - Oczywiście iteresują as tylko te rozwiązaia tych rówań, które ależą do zbioru liczb aturalych Są imi: = oraz = Tak więc tylko wyrazy a i a są liczbami całkowitymi Wykorzystując powyższe rozumowaie, wyzacz te wyrazy ciągu o wyrazie ogólym a =, które są liczbami całkowitymi Zadaie 7 ( pkt) W pewym ciągu arytmetyczym (a ) mamy: a + a = 6 oraz a + a 9 = 6 Czy liczba a + a+ a+ + a jest podziela przez? Zadaie 8 ( pkt) Day jest ciąg a = 7 a) Zajdź sety wyraz tego ciągu b) Którym wyrazem tego ciągu jest? c) Ile wyrazów dodatich ma te ciąg? Zadaie 9 ( pkt) a określoy wzorem = + Day jest ciąg ( ) a) Zbadaj mootoiczość tego ciągu b) Między którymi kolejymi wyrazami tego ciągu różica jest rówa 8? a Zadaie 0 ( pkt) Zajdź liczbę, dla której liczby, +, 6 są kolejymi wyrazami ciągu geometryczego Zadaie ( pkt) Liczby + 9, +, są kolejymi wyrazami ciągu arytmetyczego Oblicz Zadaie ( pkt) Dae są dwa ciągi ( a ) i ( b ) Ciąg ( ) atomiast b = Oblicz a b + a określoy jest wzorem ogólym a =, + Zadaie ( pkt) Liczby 0, 0, 08,,, są kolejymi początkowymi wyrazami pewego ciągu a Zapisz wzór ogóly a -ty wyraz tego ciągu Oblicz sumę szesastu arytmetyczego ( ) początkowych, kolejych wyrazów tego ciągu
3 Zadaie ( pkt) Wszystkie liczby aturale dwucyfrowe, podziele przez 6 są kolejymi wyrazami pewego ciągu rosącego a) Zapisz wzór ogóly a -ty wyraz tego ciągu b) Oblicz, ile wyrazów ma te ciąg c) Oblicz sumę piętastu początkowych kolejych wyrazów tego ciągu Zadaie ( pkt) Aby rozwiązać rówaie = 0, moża wykorzystać wiadomości dotyczące ciągu geometryczego Zauważmy ajpierw, że lewa stroa rówaia jest sumą sześciu początkowych kolejych wyrazów ciągu geometryczego, w którym a = i q= Stwierdzamy poadto, że liczba ie spełia tego rówaia Stosując wzór a sumę wyrazów ciągu geometryczego 6 ( ) przekształcamy rówaie wyjściowe do postaci = 0, stąd otrzymujemy rówaie ( ) 6 =, którego rozwiązaiami są liczby = oraz = Poieważ wiemy, że liczba ie jest rozwiązaiem daego rówaia, stwierdzamy ostateczie, że rozwiązaiem rówaia wyjściowego jest liczba Stosując aalogiczy sposób rozumowaia, rozwiąż rówaie: = 0 Zadaie 6 ( pkt) Bak przyzał Mieczysławowi Mieciowi 0000 zł kredytu oprocetowaego a 9% w stosuku roczym Kredyt ma być spłacay przez lata w rówych miesięczych ratach Oblicz wysokość comiesięczej raty Poziom rozszerzoy Zadaie ( pkt) a = 9 Day jest ciąg, określoy astępująco: dla > a = a + 8, Zajdź i udowodij wzór a wyraz ogóly tego ciągu Moża to zrobić astępująco Najpierw wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu: a =, a =, a = 7 Przypuszczamy więc, że dla każdego N+ zachodzi a = ( + ) Udowodimy to metodą idukcji matematyczej Na mocy określeia ciągu a = 9 = ( + ) więc wzór asz jest prawdziwy dla = Wykażemy, że dla dowolego k N i k z faktu, że a k = ( k+ ) wyika, że a k + = ( k+ )
4 Dowód (idukcyjy): Zauważmy, że LT = ak+ = ak + 8( k+ ) (z określeia ciągu) Dalej, a mocy założeia idukcyjego, mamy więc: L T = ( k+ ) + 8( k+ ) = k + k+ + 8k+ 8= k + k+ 9= (k+ ) = P T Na mocy zasady idukcji matematyczej wioskujemy, że dla dowolego N, zachodzi a = ( + ), co kończy dowód Wykorzystując powyższe rozumowaie zajdź i udowodij wzór a wyraz ogóly ciągu, a = określoego astępująco: dla > a = a Zadaie ( pkt) Oblicz graice: a) lim( ), + + b) lim Zadaie (6 pkt) Wyzacz zbiór rozwiązań ierówości < Zadaie ( pkt) Udowodij, że jeżeli miary trzech kolejych kątów czworokąta wpisaego w okrąg tworzą ciąg arytmetyczy, to co ajmiej dwa kąty tego czworokąta są proste Zadaie (6 pkt) Wyzacz wartości a i b tak, aby ciąg -, a, b, -0 miał te własość, że trzy jego pierwsze wyrazy staowią trzy koleje wyrazy pewego ciągu geometryczego, zaś trzy ostatie trzy koleje wyrazy pewego ciągu arytmetyczego Zadaie 6 (8 pkt) W pewym ciągu geometryczym różica kwadratów pierwszego i drugiego wyrazu wyosi, zaś różica kwadratów pierwszego i trzeciego wyrazu Zajdź piąty wyraz tego ciągu Zadaie 7 (7 pkt) Wyzacz wszystkie 0; π, dla których liczby si, si + cos, si + cos są trzema kolejymi początkowymi wyrazami ciągu arytmetyczego, w którym suma czterech pierwszych wyrazów jest rówa 6 Zadaie 8 (6 pkt) Wyzacz wszystkie wartości, dla których liczby: 9, wyrazami ciągu geometryczego +, 9 9 są trzema kolejymi
5 Zadaie 9 ( pkt) Wykaż, że jeżeli ( a ) jest ciągiem geometryczym o wyrazach dodatich, to ciąg ( b ) o wyrazie ogólym b log = a jest ciągiem arytmetyczym Zadaie 0 ( pkt) Wyzacz wszystkie wartości, dla których pierwszy, drugi i czwarty wyraz ieskończoego,, są trzema kolejymi wyrazami ciągu arytmetyczego ciągu geometryczego ( ) Zadaie (6 pkt) Udowodij stosując zasadę idukcji matematyczej że, dla każdego całkowitego, dodatiego zachodzi rówość: ( ) = + Zadaie ( pkt) Suma początkowych, kolejych wyrazów ciągu ( a ) S + + N Wykaż, że ciąg ( ) = ( ) a jest ciągiem arytmetyczym, jest obliczoa według wzoru Zadaie ( pkt) Rozwiąż ierówość , ( 9), gdzie lewa stroa tej ierówości jest 8 sumą ieskończoego ciągu geometryczego Zadaie ( pkt) Zbadaj mootoiczość ciągu o wyrazie ogólym: 7+ 0 a = + + +
6 SCHEMAT PUNKTOWANIA CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Numer zadaia Etapy rozwiązaia zadaia puktów + 0 Ułożeie rówaia = + Rozwiązaie rówaia Wyzaczeie wyrazu a + 6 Wyzaczeie a + a = Zamiaa arów a metry Określeie a i r Zapisaie sumy wyrazów ciągu arytmetyczego S = ( + ) Zapisaie ierówości i wyzaczeie jej dziedziy ( + ) 78, N+ Rozwiązaie ierówości Sformułowaie poprawej odpowiedzi: w ciągu di Przyjęcie ozaczeia t = + t = 90 Utworzeie układu rówań 86+ t, gdzie liczba 968= składików po lewej stroie Rozwiązaie układu: t = = Obliczeie Odp = lub = Zapisaie waruku wykorzystującego własość ciągu geometryczego b c Sprawdzeie, że zachodzi rówość: = a b Obliczeie kwartalego oprocetowaia: 0,9% = 0,009 Obliczeie kwoty, jaką wypłaci bak K = 000( + 0,009) 6 08,8 [zł] Obliczeie, % kwoty 000 zł i udzieleie poprawej odpowiedzi (tak) 7 Przekształceie do postaci a = Wskazaie, że w miaowiku ułamka mogą być liczby, -, 7, -7 (dzieliki liczby 7) 6 Utworzeie i rozwiązaie rówań Wyzaczeie szukaych wartości i sformułowaie poprawej odpowiedzi ( a i a )
7 Numer zadaia 7 Etapy rozwiązaia zadaia puktów Utworzeie układu rówań z iewiadomymi a i r Wyzaczeie a i r Wyzaczeie sumy wyrazów ciągu Wykazaie, że jest oa podziela przez Obliczeie setego wyrazu ciągu: a 00 = - Obliczeie wartości, dla której a = : = a 8 0 Zapisaie układu waruków: i podaie poprawej odpowiedzi: N + 7 wyrazów 9 0 Wyzaczeie wyrazu a = Wyzaczeie różicy a + a = + Zapisaie odpowiedzi uwzględiającej założeie N+ : baday ciąg jest rosący Zapisaie i rozwiązaie waruku a a 8 : = + = Podaie poprawej odpowiedzi: między a a a Wykorzystaie własości ciągu geometryczego i ułożeie rówaia: + 6 p = + Wyzaczeie dziedziy rówaia Doprowadzeie rówaia do postaci: 0+ 9= 0 Rozwiązaie otrzymaego rówaia: = lub = 9 Wykorzystaie własości ciągu arytmetyczego i ułożeie rówaia: p = + ( ) ( ) ( ) ( ) Doprowadzeie rówaia do postaci: ( )( + ) = 0 Rozwiązaie otrzymaego rówaia: = Wyzaczeie a : a = Wyzaczeie b : b = Obliczeie iloczyu a b : a b = 8 Wyzaczeie różicy r ciągu arytmetyczego: r = Wyzaczeie wzoru a -ty wyraz ciągu ( a ) : a = 99 dla N+ Obliczeie sumy: 6 Zauważeie, że pierwszy wyraz ciągu jest rówy, zaś różica rówa się 6 Zapisaie wzoru a -ty wyraz tego ciągu: a = dla N+ Wyzaczeie ajwiększej liczby dwucyfrowej podzielej przez 6: 96 Wyzaczeie ilości wyrazów ciągu spełiającego waruki zadaia: = Obliczeie sumy:
8 Numer zadaia 6 Etapy rozwiązaia zadaia Zauważeie, że lewa stroa rówaia jest sumą ośmiu początkowych kolejych wyrazów ciągu geometryczego, w którym a = i q= ( ) 8 puktów Przekształceie rówaia do postaci = 0 i zapisaie założeia Rozwiązaie rówaia: = lub = Wybraie odpowiedzi uwzględiającej założeie: = Obliczeie miesięczego oprocetowaia: % = 0,007 Wyzaczeie ilości rat =8 Zapisaie wzoru: 8 (,007) (,007) R = ,007 8 Obliczeie wysokości comiesięczej raty: R = 97,70 zł Poziom rozszerzoy Numer zadaia Etapy rozwiązaia zadaia puktów Wypisaie kilku pierwszych wyrazów Zapisaie hipotezy dotyczącej szukaego wzoru a = ( + ) dla dowolego N+ Udowodieie wzoru metodą idukcji matematyczej Rozszerzeie różicy (w pukcie a)) o sumę idetyczych pierwiastków Obliczeie graicy ( ) Przekształceie ułamka (w pukcie b)) z wykorzystaiem działań a potęgach Obliczeie graicy (-0) Zauważeie, że lewa stroa ierówości jest sumą szeregu geometryczego, obliczeie jej i zapisaie ierówości z wykorzystaiem obliczoej sumy < Wyzaczeie dziedziy ierówości, Wyzaczeie rozwiązaia ierówości Podaie rozwiązaia ierówości z uwzględieiem jej dziedziy (, )
9 Numer zadaia 6 7 Etapy rozwiązaia zadaia puktów Aaliza zadaia (rysuek i ozaczeia) Wykorzystaie własości czworokąta wpisaego w okrąg do utworzeia jedego z rówań α + r+ β = α + α + r, gdzie α, α + r, α + r miary trzech kolejych kątów, których mowa w zadaiu, β miara czwartego kąta Wykorzystaie własości sumy miar kątów czworokąta do utworzeia drugiego rówaia α + α + r + α + r+ β = 60 Zauważeie, że z powyższych rówań wyika, że β = α + r = 90 Uzasadieie, że istieją co ajmiej dwa kąty proste Dla r > 0 są dokładie dwa, a dla r = 0 są cztery Aaliza zadaia a 0 = b Ułożeie układu rówań a = b Rozwiązaie rówaia a + a 0= 0 a = a = Obliczeie b i podaie odpowiedzi: b = b = a Utworzeie układu rówań ( q a ( q ) = ) = Podaie założeń: q, q Rozwiązaie układu a = a = a = a = lub lub lub q = q= q= q = Obliczeie piątego wyrazu ciągu : lub Wykorzystaie własości ciągu arytmetyczego i ułożeie rówaia: si + si + cos si + cos = Podaie rozwiązaia rówaia uwzględiającego dziedzię: 0, π Wyzaczeie różicy ciągu arytmetyczego: r = si Wyzaczeie czwartego wyrazu ciągu arytmetyczego: a = si + cos Wyzaczeie sumy: S = ( si + cos ) Doprowadzeie rówaia ( si + cos ) = 6 do postaci si = 0 Rozwiązaie rówaia: = kπ k C Wybór rozwiązaia spełiającego waruki zadaia: = 0 = π
10 Numer zadaia 8 Etapy rozwiązaia zadaia Wykorzystaie własości ciągu geometryczego i ułożeie rówaia: + = Przekształceie rówaia wykładiczego do postaci: 6 ( ) 9 = 0 puktów Podstawieie: = t i zapisaie rówaia za pomocą t 9 0 Rozwiązaie rówaia: t = t = 8 9 Wybór rozwiązaia z uwzględieiem waruku, że t 0 : t = 9 Rozwiązaie rówaia = 9 i zapisaie odpowiedzi: = Zapisaie założeń: a 0, q 0 dla N+ i wyzaczeie b = + log a+ Zastosowaie defiicji ciągu geometryczego, twierdzeia dotyczącego działań a logarytmach i wyzaczeie różicy b+ b = log q Zauważeie, że log q R i apisaie wiosku Określeie dziedziy rówaia Wyzaczeie czwartego wyrazu ieskończoego ciągu geometryczego: Wykorzystaie własości ciągu arytmetyczego i ułożeie rówaia: + = Doprowadzeie rówaia do postaci: ( )( ) = 0 + Podaie odpowiedzi: = = = Sprawdzeie, że dla = zachodzi rówość Zapisaie założeia idukcyjego: ( k ) = k + k, gdzie k jest ustaloą liczbą aturalą większą lub rówą Zapisaie tezy idukcyjej: ( k ) + ( k+ ) = ( k+ ) + ( k+ ) Przeprowadzeie dowodu tezy idukcyjej Sformułowaie odpowiedzi Zapisaie, że a + = S + S + = + Wyzaczeie a Obliczeie -tego wyrazu ciągu: a = +
11 Numer zadaia Etapy rozwiązaia zadaia puktów Zapisaie różicy dwóch dowolych, kolejych wyrazów tego ciągu: r = a + a Obliczeie różicy ciągu i stwierdzeie, że ciąg jest arytmetyczy Obliczeie ilorazu q= Rozwiązaie ierówości : 0 Zapisaie lewej stroy ierówości jako sumy szeregu geometryczego: 0, 9 = Zamiaa ułamka ( ) Podstawieie = t t 0 Zapisaie ierówości za pomocą t: t t, t t, 0, Rozwiązaie ierówości: ( ) ( ) Wybór rozwiązaia spełiającego waruki zadaia: (,) Rozwiązaie ierówości < < i podaie odpowiedzi: ( 0,) Usuięcie iewymierości z miaowika Stwierdzeie i uzasadieie, że miaowik jest liczbą dodatią dla dowolego N+ Zbadaie zaku liczika Sformułowaie stąd wiosku: ciąg ie jest mootoiczy
Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoMateriał powtarzany w II etapie. II 4. Ciągi
Materiał powtarzay w II etapie II. Ciągi 3 1, dla parzystych 1. Wyzacz sześć początkowych wyrazów ciągu a = { +1, dla ieparzystych. Które wyrazy ciągu a = są rówe 1? 3. Pomiędzy liczby 7 i 5 wstaw 5 liczb
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.
FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoTematy zadań 2 razy 33 przykładowe zadania maturalne. Matura podstawowa
Tematy zadań razy przykładowe zadaia maturale Matura podstawowa Porówaj liczby: 54 + 5 oraz 4 W klasie jest 9 ucziów o średiej wieku 6 lat Średia wieku wzrośie o rok, jeżeli doliczy się wiek wychowawcy
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Klucz puktowaia
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 poziom podstawowy. Liczba punktów Wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: x.
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 05 poziom podstawowy ZESTAW A ZADANIA ZAMKNIĘTE 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A B D D A D B D A B C D C B A C A C B C A B D C ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI zadaia 5 6 7 puktów
Bardziej szczegółowoKURS MATURA PODSTAWOWA
KURS MATURA PODSTAWOWA LEKCJA 5 Ciągi ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa 1 Część 1: TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie 1 Piąty wyraz ciągu liczbowego o wzorze a a) 5 b)
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
585. Wskaż liczbę rzeczywistą k, dla której podaa graica istieje i jest dodatią liczbą rzeczywistą. Podaj wartość graicy dla tej wartości parametru k. Jeżeli odpowiedź jest liczbą wymierą, podaj ją w postaci
Bardziej szczegółowoPoziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:
PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoNOWA MATURA 2005 ( ) ( ) Matematyka Arkusz II treści zadań i rozwiązania zadań. 9 maja = + i zapisz ją w
NOWA MATURA 005 Matematyka Arkusz II treści zadań i rozwiązaia zadań 9 maja 005 ZADANIE ( pkt) Wyzacz dziedzię fukcji f ( x) log ( x x x ) postaci sumy przedziałów liczbowych = + i zapisz ją w x ROZWIĄZANIE
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoCiąg geometryczny i jego własności
Ciąg geometryczy Def: Ciągiem geometryczym (a) azywamy ciąg liczbowy co ajmiej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje z pomożeia wyrazu poprzediego przez stałą liczbę q, zwaą
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-RAP-06 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 0 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy zawiera 4 stro (zadaia
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D
Bardziej szczegółowoKlasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013
/7 I. FUNKCJA KWADRATOWA. Fukcja kwadratowa w postaci kaoiczej i ogólej. Napisz wzór fukcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołkiem paraboli będącej jej wykresem jest początek układu współrzędych oraz, że
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych
Bardziej szczegółowoGeometrycznie o liczbach
Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony
Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoModuł 4. Granica funkcji, asymptoty
Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ)
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Ciągi liczbowe 1.1. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowola fukcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym (ciąg skończoy), albo wszystkim (ciąg ieskończoy) liczbom aturalym.
Bardziej szczegółowoKLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zadaia Odpowiedzi Pukty Badae umiejtoci Obszar stadardu 1. B 0 1 plauje i wykouje obliczeia a liczbach
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoPrzykładowy arkusz z rozwiązaniami. Arkusz II poziom rozszerzony
Przykładowy arkusz z rozwiązaiai Arkusz II pozio rozszerzoy ( pkt) Pukt A( -, -) jest wierzchołkie robu, którego jede z boków zawiera się w prostej k o rówaiu x - y - 0 Środkie syetrii tego robu jest pukt
Bardziej szczegółowoKonspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)
Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.
Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,
Bardziej szczegółowoTytuł zajęć: Funkcja liniowa zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała
Szkoła Odkrywców Taletów Tytuł zajęć: Fukcja liiowa zajęcia dodatkowe dla gimazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała Opis zajęć: Ucziowie w gimazjum dobrze pozają własości fukcji Ucziowie przygotowujący
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).
Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 06/07 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Zasady oceiaia rozwiązań zadań Copyright by Nowa Era Sp z oo Próby egzami maturaly z Nową Erą Uwaga: Akceptowae są wszystkie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoszereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α,
.. si Poiewa» si < 1; 1 >, wi c zbadajmy szereg zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu: () si = si, ale si < 0; 1 > Zatem si 1 () Po prawej stroie powy»szej ierówo±ci mamy szereg
Bardziej szczegółowoWERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa
Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut
Bardziej szczegółowoP π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoRozmieszczenie liczb pierwszych
Rozmieszczeie liczb pierwszych Euler Pierwszy owoczesy wyik pochodzi od Eulera: TWIERDZENIE: Szereg p primes p est rozbieży. Szkic dowodu: Dla s > zachodzi rówość ( ) = s = i= ( + p s i ) + p 2s i +....
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5
Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie
Bardziej szczegółowoStruktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)
Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,
Bardziej szczegółowoOpowieści o indukcji
Obóz Naukowy Olimpiady Matematyczej Gimazjalistów Liga zadaiowa 0/03 Materiały dodatkowe 30 listopada 0 Opowieści o idukcji Wzoreczki w kropeczki I silia Liczbę! defiiujemy jako iloczy liczb aturalych
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.
Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.
Bardziej szczegółowo2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoTw. 1. Je»eli ci g {a n } ma granic a i ci g {b n } ma granic b, to ci g {a n b n } ma granic a b. Tw. 2. b n. Tw. 3. Tw. 4.
Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a + b } ma graic a+b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a-b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowowi c warunek konieczny zbie»no±ci szeregu jest speªniony. 12 = 9 12 = 3 4 k(k+1) k=1 ( k+1 k(k+1) n+1 = 1 1 n+1 = 1 0 = 1 36 = =
32 (+) Jest to szereg o wyrazach dodatich Poadto wyraz ogóly tego szeregu jest zbie»y do 0, wi c waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest speªioy s (+) 2 s 2 s + 2 (2+) 2 + 2 3 2 + 6 3 6 + 6 4 6 2 3 s 3 s
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach. Procety. Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala. 5 paździerika 008 r. 35. Uprościć wyrażeie
Bardziej szczegółowoProcent składany wiadomości podstawowe
Procet składay wiadomości podstawowe Barbara Domysławska I Liceum Ogólokształcące w Olecku Procet prosty to rodzaj oprocetowaia polegający a tym, że odsetki doliczae do złożoego wkładu ie podlegają dalszemu
Bardziej szczegółowoPoradnik maturzysty matematyka
Barbara Kaim-Gwier, Zdzisława Hojacka Poradik maturzysty matematyka stara matura Umiejętości wymagae a pisemym egzamiie dojrzałości z matematyki dla wszystkich profili poza matematyczo-fizyczym (zestawy
Bardziej szczegółowoa jest równa S 2 2 n 1 kn, był rosnący ), gdzie an ... , x4
I Ciągi stroa k Oblicz sumę: k Ciąg a określoy jest w astępujący sposób: a a a wzór a -ty wyraz tego ciągu i wykaż jego prawdziwość idukcyjie Suma początkowych wyrazów ciągu a a * a dla N a jest rówa S
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet
Bardziej szczegółowoKrzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań
Krzysztof Rykaczewski Aaliza matematycza I Zbiór zadań Motto: Powiedz mi a zapomę Pokaż mi a zapamiętam Pozwól mi zrobić a zrozumiem. Cofucius : Zbiór zadań z aalizy matematyczej Uiwersytet Mikołaja Koperika
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA
EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzoy ZBIÓR ZADAŃ Materiały pomocicze dla ucziów i auczycieli Cetrala Komisja Egzamiacyja 05 Zadaia 5 Zadaia Liczby rzeczywiste i wyrażeia algebraicze Rówaia i
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Techikum Nr 2 im. ge. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekoomiczych w Kaliszu Wymagaia edukacyje iezbęde do uzyskaia poszczególych śródroczych i roczych oce klasyfikacyjych z obowiązkowych zajęć
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych
Wyk lad W lasości cia la liczb zespoloych 1 Modu l, sprz eżeie, cz eść rzeczywista i cz eść urojoa Niech a, b bed a liczbami rzeczywistymi i iech z = a bi. (1) Przypomijmy, że liczba sprzeżo a do z jest
Bardziej szczegółowo