OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

Transkrypt

1 OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010

2 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie rozłożoym i mometem skupioym. Ozaczeia: Dae: L - długość belki, a - odległość podpory przesuwej B od puktu A, P - siła skupioa, q - obciążeie rówomierie rozłożoe, M - momet skupioy, wielkości szukae: R A,R B - reakcje podpór, T - siła tąca w przekroju, M g - momet gący w przekroju, wykresy sił tących i mometów gących. 2 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010

3 Parametry zadaia: (1) Układ współrzędych zakładamy w lewym końcu belki, wartość x i y rośie w prawo i do góry. (2) Momet skupioy zgody z ruchem wskazówek zegara jest dodati. (3) Zak siły tącej i mometu gącego w przekroju przyjmujemy zgodie z poiższym schematem: (4) Pukt A zajduje się w lewym końcu belki, pukt B zależy od odległości a. (5) Wszystkie odległości są mierzoe od puktu A. Ilość możliwych obciążeń: := 5 Wartość zmieej i: i := 1.. Długość belki: L := 5 m Odległość podpory B: a := 4 m Odległość wzdłuż belki: x := 0 L, L.. L 3 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010

4 Obciążeie rówomierie rozłożoe: Zak dodati przy wartości obciążeia ozacza, że jest skierowae w dół, zak mius przy wartości ozacza przeciwy kieruek. Ideks doly ozacza koleją wartość obciążeia. Wartość obciążeia: q 1 := kn 1 m q 2 := kn 0 m q 3 := kn 0 m q 4 := kn 0 m q 5 := kn 0 m Odległość obciążeia od puktu A: a q1 := 1 m a q2 a q3 a q4 a q5 Długość a jakiej rozłożoe jest obciążeie: b 1 := 3 m b 2 b 3 b 4 b 5 Siła skupioa: Zak dodati przy wartości obciążeia ozacza, że jest skierowae w dół, zak mius przy wartości ozacza przeciwy kieruek. Ideks doly ozacza koleją wartość obciążeia. Wartość siły: P 1 := 2 kn P 2 := 0 kn P 3 := 0 kn P 4 := 0 kn P 5 := 0 kn Odległość siły od puktu A: a p1 := 3 m a p2 a p3 a p4 a p5 4 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010

5 Momet skupioy: Momet skupioy skieroway zgodie z ruchem wskazówek zegara przyjmujemy za dodati. Wartość mometu skupioego: M 1 := 1.5 knm M 2 := 0 knm M 3 := 0 knm M 4 := 0 knm M 5 := 0 knm Odległość mometu skupioego od puktu A: a M1 := 5 m a M2 a M3 a M4 a M5 Obliczeia: Reakcje: W aszym schemacie mamy do wyzaczeia trzy reakcje, w podporze stałej reakcję poziomą H A i pioową V A, dla podpory ruchomej reakcję pioową V B. Reakcja pozioma H A ze względu a to, że ie ma obciążeia poziomego jest rówa zero. Wartość pioowej reakcji R B wyzaczamy z sumy mometów względem puktu A: M A V B a ( P i a pi ) b i q i b i a qi 2 M i 0 i 1 V B := ( P i a pi ) = b i q i b i a qi a 2 M i 5 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010

6 V B = 3.75kN Reakcję pioową R A wyzaczymy z sumy rzutów sił a oś y: F y V A P i ( q i b i ) V B 0 V A := i 1 P i ( q i b i ) V B = V A = 1.25kN Wykresy sił wewętrzych: Siły tące: Wykres sił tących sporządzamy a podstawie rówaia, w którym uwzględiamy wszystkie siły poprzecze zajdujące się po lewej stroie rozpatrywaego przekroju określoego przez współrzędą x. F y V A T p ( x) T q ( x) T( x) V B ( x) 0 Wartość siły tącej od siły skupioej: T p ( x) := P i x a pi 6 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010

7 Wartość siły tącej od obciążeia rówomierie rozłożoego: T q ( x) := q i x a qi if x a qi b i, b i, x a qi Wartość siły tącej od reakcji V B : T RB ( x) := if x > a, V B, 0 V B Siły tące dla poszczególych przedziałów wyzaczymy a podstawie fukcji, która jest sumą algebraiczą powyższych wartości: T( x) := V A T p ( x) T q ( x) T RB ( x) Wykorzystując powyższą zależość możemy sporządzić wykres sił tących: 2 1 T( x) 0 1 ( kn) x ( m) Momety gące: Wykres mometów gących sporządzamy a podstawie rówaia, w którym uwzględiamy wszystkie siły powodujące zgiaie belki zajdujące się po lewej stroie rozpatrywaego przekroju określoego przez współrzędą x. 7 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010

8 M g M( x) M p ( x) M q ( x) M M ( x) R A x M RB ( x) 0 Wartość mometu gącego od siły skupioej: M p ( x) := P i x a pi x a pi Wartość mometu gącego od obciążeia rówomierie rozłożoego: M q ( x) := q i x a qi if x a qi b i, b i, x a qi if x a qi b i, x a qi b i x a b i qi, 2 2 Wartość mometu gącego od mometu skupioego: M M ( x) := M i x a Mi Wartość mometu gącego od reakcji V B : x a M RB ( x) := if x > a, V B, 0 V B Momety gące dla poszczególych przedziałów wyzaczymy a podstawie fukcji, która jest sumą algebraiczą powyższych wartości: M( x) := V A x M p ( x) M q ( x) M M ( x) M RB ( x) 8 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010

9 Wykorzystując powyższą zależość możemy sporządzić wykres mometów gących: M( x) ( knm) x ( m) Zestawieie wyików: Wartości reakcji: V A = 1.25kN V B = 3.75kN Wykorzystując fukcje opisujące siły tące i momety gące możemy obliczyć ich wartość w dowolym pukcie belki: Siły tące: T 2L 3 = 3.083kN Momety gące: M 2L 3 = 0.778kNm 9 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010

10 4 T( x) ( kn) M( x) 2 0 ( knm) x ( m) 10 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010