TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE)

Transkrypt

1 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE) Płyt jest to ukłd ogrniczony dwom płszczyznmi o młej krzywiźnie. Odległość między powierzchnimi ogrniczjącymi tę wysokość płyty h. Obciążenie jest prostopdłe do płszczyzny środkowej powoduje jej zkrzywienie. Rozptrywć będziemy płyty cienkie i o stłej grubości (nie wszystkie płyty muszą mieć stłą grubość). Cienkie czyli tkie których jeden wymir (wysokość, grubość) jest zncznie mniejszy od dwóch pozostłych: - h h 1 5 wymiru krótszego boku średnicy (dl płyt okrągłych). Cienkie płyty spełniją hipotezy Kirchhoff: - płszczyzn środkow nie doznje żdnych wydłużeń ni odksztłceń postciowych, - punkty płyty położone n normlnej do płszczyzny środkowej pozostją n niej również po odksztłceniu,(odcinek prostopdły do nieodksztłconej powierzchni środkowej pozostje prostoliniowy, niewydłużony i prostopdły do powierzchni środkowej), Rys nprężeni normlne prostopdłe do powierzchni środkowej są młe w porównniu z pozostłymi nprężenimi. 33 = z x, y (1.1)

2 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH Rys. 1. Decydujące są przemieszczeni pionowe (prostopdłe do płszczyzny środkowej) i nimi się zjmiemy. Przyjmijmy złożenie 33 = z 0 i przedstwmy u 1, u, u 3 z pomocą jednej zmiennej w. u 1 =u= u 3 1 = z 1 = z dw dx (1.) Anlogicznie po kierunku osi y (prostopdle do krtki): u =v= z = z dw dy (1.3) u 3 =w (1.4) Szukmy przemieszczeni w. Jest ono n funkcję ugięci płyty w=w(x,y). Odksztłceni 11 = x = z w x (1.5) = y = v y = z w y (1.6) 1 = xy = 1 u y r x (1.7) 13 = xz = 1 w x u z (1.8)

3 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 3 u= z dw dx ; u z = w x 13 = xz = 1 w x w (1.9) x =0 (1.10) Anlogicznie: 3 = yz =0 (1.11) 33 = z = w z (1.1) Ugięcie nie jest funkcją z poniewż po kierunku osi z wszystkie punkty przemieszczją się tk smo. w f z ztem: więc: w=w x, z w =0 (1.13) z z =0 (1.14) Jest to płski stn nprężeń w związku z tym obowiązują nstępujące związki fizyczne: x = 1 E x y (1.15) y = 1 E y x (1.16) xy = 1 E xy (1.17) Po wprowdzeniu wzorów (1.5),(1.6) i (1.7): x = E 1 x y = Ez y = E 1 y x = Ez w 1 w 1 x w y y w x (1.18) (1.19)

4 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 4 xy = E 1 = Ez w xy 1 x y (1.0) Przyjmujemy, że płyt jest niewżk (nie m sił msowych). Równni równowgi: Równnie to nie jest spełnione. W związku z tym: x x xy y xz z =0 (1.1) Po podstwieniu σ i τ do równni równowgi otrzymujemy: Anlogicznie: xz z = Ez 3 1 xz z 0 (1.) w x 3 w Ez 3 x y 1 3 w x y (1.3) xy x y y zy z =0 (1.4) yz z = Ez 3 1 w y 3 w Ez 3 y x 1 3 w x y (1.5) xz x yz y z z =0 (1.6) W celu wyznczeni τ zx cłkujemy (1.3) po z i dodjemy wrunki brzegowe: z=± h xz =0 (1.7) xz = E 1 h z 3 w x 3 w 3 x y (1.8) Cłkując po z równnie (1.5) i wykorzystując wrunek brzegowy otrzymujemy równnie n τ yz : yz = E 1 h z 3 w y 3 w 3 y x (1.9) Po podstwieniu τ zx orz τ yz do trzeciego równni równowgi, otrzymujemy wyrżenie określjące

5 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 5 z z, nstępnie cłkując obustronnie po z i uwzględnijąc wrunki brzegowe: - z= h z =0 z = E 4 1 h3 3 h z 4 z 3 4 w x 4 w 4 x y 4 w y 4 (1.30) z = E 4 1 h3 3 h z 4 z 3 4 w (1.31) - z= h z z = P x, y 4 w x, y = 4 w x 4 4 w x y 4 w y = P x, y D (1.3) Gdzie P(x,y) ozncz obciążenie zewnętrzne D- sztywność płyty n zginnie (sztywność giętn) Eh 3 D= (1.33) Rozkłd nprężeń n grubości płyty: nprężeni istotne ( decydujące), Rys. 1.3 Nprężeni decydujące nprężeni drugorzędn (tzn dosttecznie młe w porównniu z nprężenimi podstwowymi σ x, σ y, τ xy i mogą być pominięte przy obliczeniu odksztłceń).

6 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 6 Rys. 1.4 Nprężeni pomijlne Siły wewnętrzne dl płyty wyrżją się wzormi: Moment skręcjący: h M x = h h M y = h x zdz= D w (1.34) x y y zdz= D w (1.35) y x h M xy =M yx = h xy zdz= 1 D w x y (1.36) Siły mniej istotne: h Q xz =Q x =T x = h Q yz =Q y =T y = h Wrunki brzegowe płyt prostokątnych. h xz dz= D 3 w x 3 w (1.37) 3 x y yz dz= D 3 w y 3 w (1.38) 3 y x Rozwiąznie zdń w postci funkcji ugięci w(x,y) jest dostosowne do spełnieni tylko dwóch wrunków brzegowych:

7 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 7 - brzeg cłkowicie utwierdzony: x b y Rys 1.5 dl { x=0 0 y b 1. w 0, y =0. 0, y =0 w =0 x 0, y (1.39) dl { y=0 0 x 1. w x,0 =0. x,0 =0 w =0 y x,0 (1.40) dl { x= 0 y b 1. w, y =0., y =0 w =0 x, y (1.41) dl { y=b 0 x 1. w x,b =0. x,b =0 w =0 y x,b (1.4)

8 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 8 -krwędź przegubowo podprt: dl { y=0 0 x 1. w x,0 =0. M y x,b =0 (1.44) M y = D w y w x (1.45) -brzeg utwierdzony w =0 (1.46) x 0, y M xy =M yx = D 1 w x y (1.47) 1.1. Brzeg swobodny W wyniku przyjęci hipotezy prostoliniowego elementu musimy wrunki brzegowe wyrzić w postci dwóch tylko wielkości sttycznych (w przypdku trzech wrunków otrzymlibyśmy sprzeczność zdnie niewyznczlne). Dl wyeliminowni ndliczbowego wrunku brzegowego nleży trzy wielkości moment zginjący i skręcjący orz siłę poprzeczną sprowdzić do dwóch: momentu zginjącego i zstępczej siły poprzecznej, któr będzie wypdkową siły poprzecznej i siły od momentu skręcjącego. W tym celu zstąpimy brzegowy moment skręcjący prmi sił o rmionch dy rozmieszczonymi w sposób ciągły i dodmy do sił poprzecznych dziłjących w przekroju podporowym. Rozptrzmy brzeg płyty prostopdły do osi 0x i podzielmy go n równe, nieskończenie młe odcinki dy. N kżdy tki odcinek dził odpowiedni moment skręcjący, który możemy zstąpić prą sił o rmieniu dy, zgodnie z tym co pokzno n rysunku:

9 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 9 y z x (M xy + jm xy jy (M xy + jm xy jy dy) dy dy) dy M xy dy M xy dy dy dy M xy + jm xy jy dy M xy + jm xy jy dy Rys Zmin momentów skręcjących n siły poprzeczne Zjmijmy się terz ustleniem wrunków brzegowych dl rzutu płyty przedstwionego poniżej: x b y=b x= y Rys.1.6. Rzut płyty Po zsumowniu przeciwnie skierownych sił n grnicy dwóch elementrnych odcinków otrzymmy wypdkową Q xz = M xy y dy (1.48) Sumując otrzymną siłę z siłą poprzeczną dostniemy zstępczą siłę poprzeczną n krwędzi równoległej do osi 0y Wykorzystując znne zleżności Q xz =Q xz Q xz (1.49)

10 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 10 M xy = D 1 w x y (1.50) otrzymmy wzór n siłę zstępczą Q xz =Q x = D 3 w x 3 w D 1 3 x y Q xz = D 3 w x 3 3 w x y (1.51) 3 w x y = D [ 3 w x 3 3 w x y ] (1.5) Osttecznie otrzymujemy dw wrunki brzegowe postci Q x = D[ 3 w x 3 3 w x y ] (1.53) M x =0 (1.54) 1.. Zstosownie szeregów trygonometrycznych q(x,y) b x y Niech Rys.1.7. Płyt prostokątn z obciążeniem q(x,y) w=w x, y (1.55) D= Eh3 1 1 (1.56)

11 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 11 Równnie ugięci płyty przyjmuje postć 4 w x 4 w 4 x y 4 w y = f x, y 4 D (1.57) W zdniu tym posługujemy się rozwiązniem Nvier w x, y = C mn sin m m=1 n=1 xsin n b y (1.58) Znn funkcj przyjmuje postć: q x, y = p mn sin m m n xsin n b y (1.59) Rozwinięcie znnej funkcji w szereg Fourier przebieg w nstępujących etpch: 1) mnożymy lewą i prwą stronę równości (1.59) przez sin k b y i cłkujemy w grnicch (0,b) ) mnożymy lewą i prwą stronę przez sin i Otrzymujemy x i cłkujemy w grnicch (0,) b 0 0 q x, y sin k b y sin i xdxdy= (1.60) przy czym p mn =const (1.61) sin m 0 x sin i { 0, m i xdx=,m i (1.6) stąd = Możemy tkże wyliczyć współczynnik rozwinięci funkcji: b p ik (1.63) p mn = 4 b 0 0 b q x, y sin m x sin n b ydxdy (1.64)

12 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 1 Zd.1. Złóżmy, że q = const orz p mn = 16 q b b mn = 16 q mn (1.65) Podstwijąc w(x) w postci rozwinięci do lewej strony równni opisującego linię ugięci otrzymmy postć m n C mn[ 4 m ] n m sin b xsin n b y= m n p mn sin m ysin n b y 1 D (1.66) co prowdzi po uproszczeniu do równni D C mn[ 4 m n b ] = p mn (1.67) Dl obciążeni równomiernie rozłożonego niewidom wrtość współczynnik rozwinięci równ jest C mn = 16 q ] b 6 Dmn[ m n (1.68) Podstwijąc rezultt do (1.58) otrzymmy w x, y = 16 q sin m x sin n y b 6 D m=1 n=1 mn[ m n b ] (1.69) Powyższy ciąg jest szybkozbieżny, dje dobre rezultty już dl jednego wyrzu. Obliczmy mksymlne ugięcie kwdrtowej płyty o boku równym, przyjmując ν = 0,3: Wrtość momentu wynosi w, = 4 q4 q4 =0, D E h 3 (1.70) M MAX =0,048 q (1.71) Dl porównni: gdyby w środku płyty wyciąć belkę o szerokości 1m, powyższe wielkości

13 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 13 ksztłtowłyby się w nstępujący sposób: w q4 =0,1563 E h 3 (1.7) M y =0,15 q (1.73) 1.3. Płyt obciążon polem q x 0 x y 0 0 b 0 b y Rys.1.8. Płyt obciążon polem Przyjmijmy, że obciążenie stłe q dził n polu ( 0;b 0). Wzór n współczynnik p mn jest postci x 0 0 p mn = x 0 0 y 0 b 0 y 0 b 0 q sin m x sin n b y dxdy (1.74) stąd po scłkowniu otrzymujemy p mn = 16 q m sin mn x sin n 0 b y sin m 0 0 sin n b 0 b (1.75) Jeśli wymiry 0 i b 0 dążą do zer, to otrzymmy obciążenie siłą skupioną Korzystjąc z rchunku grnic orz wiedząc, że q= P 0 b 0 (1.76)

14 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 14 P b 0 0 (1.77) otrzymmy p mn = 4 p b sin m x 0 sin n y 0 b (1.78) Jeśli przyjmiemy, że = b, x 0 = y 0 =, ν = 0,3 to dl tkich wrtości w mx =0,111 P3 E h 3 (1.79) Dl porównni: gdyby w środku płyty wyciąć belkę o szerokości 1m, powyższ wielkość byłby nstępując: w mx =0,5 P3 E h 3 (1.80) 1.4. Płyt kołow Rys.1.9. Schemt płyty kołowej Niech w=w r (1.81) Równnie ugięci płyty jest postci

15 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 15 d dr 1 r d d w dr dr 1 r dw dr = q r D (1.8) Rozwinięcie funkcji ugięci w szereg wygląd nstępująco: w r =w 0 A 1 A r A 3 r lnr A 4 lnr (1.83) Poszczególne siły uogólnione opisne są wzormi: M r = D d w dr r M = D d w dr 1 r dw dr (1.84) dw dr (1.85) Q r = D d dr w (1.86) Z wrunków brzegowych wiemy, że Po podstwieniu wrunków brzegowych otrzymujemy: gdzie w r= =0 (1.87) M r r= =0 (1.88) w r =w 0 A 1 A r (1.89) w 0 =C r 4 (1.90) A 1 = 5 q D A = 3 q D (1.91) (1.9) Osttecznie wzór opisujący ugięcie płyty przyjmuje postć w r = q 64 D[ 4] r r (1.93) Jeśli płyt m brzeg utwierdzony to z wrunków brzegowych w r= =0 (1.94)

16 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 16 Co prowdzi do równni postci dw r= =0 (1.95) dr w r = q 64 D r (1.96)