Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek

Transkrypt

1 Ćwiczenie 4 Wyzncznie ogniskowych soczewek Wstęp teoretyczny: Krzyszto Rębils. utorem ćwiczeni w Prcowni izycznej Zkłdu izyki Uniwersytetu Rolniczego w Krkowie jest Józe Zpłotny. ZJWISK ZŁMNI ŚWITŁ Świtło, przechodząc z jednego ośrodk do drugiego, np. z powietrz do wody, n grnicy tych ośrodków zmieni gwłtownie kierunek biegu - Rys.. Zjwisko to nzy v Rysunek. Zjwisko złmni świtł. v gdzie n i n oznczją bezwzględne współczynniki złmni świtł odpowiednio dl ośrodk pierwszego i drugiego. Poniewż prędkość świtł w próżni c jest zwsze większ od prędkości w jkimkolwiek innym ośrodku, ztem współczynnik złmni jest dl kżdego ośrodk liczb większą od jeden. Mmy tkże związek: n = n n. (4) Zwróćmy uwgę, że w optyce obowiązuje tzw. zsd odwrclności biegu świtł, co nleży rozumieć w ten sposób, że jeżeli promień świtł biegnie z punktu do punktu B po pewnej drodze, to w kierunku przeciwnym będzie biegł po tej smej drodze. Wynik stąd, iż jeżeli promień świetlny pd n grnicę ośrodków i od strony ośrodk drugiego pod kątem pdni α, to w ośrodku pierwszym biec będzie pod kątem złmni α i w dlszym ciągu słuszne będzie prwo () - Rys.. wmy zjwiskiem złmni świtł. Przyczyną tego zjwisk jest różn prędkość świtł w ośrodkch. Biorąc pod uwgę kt, iż częstotliwość li świetlnej nie zmieni się przy zminie ośrodk, możn pokzć, iż zjwiskiem złmni rządzi prwo złmni lub inczej prwo Snell: Promień złmny, promień pdjący i normln poprowdzon w punkcie złmni leżą w jednej płszczyźnie, stosunek sinus kąt pdni α do sinus kąt złmni α jest wielkością stłą i jest równy stosunkowi prędkości świtł v i v w tych ośrodkch: v v sin α sin α = const = v v. () Stł, o której mówi prwo złmni, oznczn jest jko n i nosi nzwę względnego współczynnik złmni świtł ośrodk drugiego względem pierwszego. Mmy ztem: n = v v. () Jeżeli pierwszym ośrodkiem jest próżni, w której prędkość świtł wynosi c, wówczs współczynnik złmni dnego ośrodk względem próżni nzywmy bezwzględnym współczynnikiem złmni świtł. Spełnione są przy tym relcje: n = c v, n = c v, (3) Rysunek. Zsd odwrclności biegu świtł. Zuwżmy, że z prw złmni świtł () wynik iż kąt, jki tworzy z normlną ulegjący złmniu promień świetlny, jest większy w tym ośrodku, w którym jest większ prędkość świtł (tj. w ośrodku o mniejszej gęstości optycznej), i to niezleżnie od kierunku biegu promieni, czyli: v > v α > α. SCZEWK Soczewk to ciło przezroczyste, ogrniczone dwiem powierzchnimi kulistymi o promienich krzywizny r i

2 r. Soczewk może być również płsk z jednej strony, wtedy r =. Rysunek 3 pokzuje sposób gricznego ) b) r oœ optyczn r r r promieñ krzywizny Rysunek 4. Bieg promieni świetlnego przez soczewkę. wypukłej otoczonej powietrzem. Zgodnie z prwem złmni: sin α = sin α sin α sin α = v. (5) v Jeżeli soczewk zrobion jest ze szkł i otoczon jest powietrzem, wówczs v > v, ztem n mocy prw złmni α > α orz α > α. W eekcie promienie przechodzące przez tką soczewkę kierowne są ku jej osi optycznej. Soczewk dwuwypukł jest ztem soczewką skupijącą. W podobny sposób możn pokzć, że soczewk dwuwklęsł jest soczewką rozprszjącą. Symbolicznym gricznym przedstwieniem soczewki skupijącej jest odcinek zkończony n obu końcch strzłkmi skierownymi n zewnątrz, soczewki rozprszjącej - odcinek ze strzłkmi skierownymi do środk. GNISK I GNISKW SCZEWKI oœ optyczn Jeżeli n soczewkę skupijącą pd przyosiow wiązk promieni równoległych do osi optycznej soczewki, wówczs po przejściu przez soczewkę promienie te przecinją się w jednym punkcie zwnym ogniskiem soczewki - Rys. 5. Jeśli przyosiow wiązk promieni równoległych Rysunek 3. Środki krzywizny i, promienie krzywizny r i r orz oś optyczn soczewki ) dwuwypukłej, b) dwuwklęsłęj. wyznczeni środków krzywizny i orz osi optycznej dowolnej soczewki: ) dwuwypukłej, b) dwuwklęsłej. Promień świetlny biegnący przez soczewkę uleg dwukrotnemu złmniu n powierzchni soczewki. Rys. 4 przedstwi bieg promieni świetlnego w soczewce dwu- wi¹zk równoleg³ do osi optycznej ognisko v ' v ' v Rysunek 5. gnisko i ogniskow soczewki skupijącej. do osi optycznej przechodzi przez soczewkę rozprszjącą, wówczs przedłużeni promieni wychodzących z soczewki przecinją się w jednym punkcie, który nzywmy ogniskiem soczewki rozprszjącej - Rys. 6. Soczewk cienk m dw położone symetrycznie po obu jej stronch ognisk. Środek optyczny soczewki to punkt wewnątrz soczewki leżący n jej osi optycznej chrkteryzujący się tym, że wszystkie promienie przechodzące przez ten punkt wychodzą z soczewki bez zminy swego pierwotnego kierunku. gniskową soczewki nzywmy odległość ognisk soczewki od środk optycznego soczewki. gniskowej so-

3 3 BRZY TWRZNE PRZEZ SCZEWKI wi¹zk równoleg³ do osi optycznej ognisko Rysunek 6. gnisko i ogniskow soczewki rozprszjącej. czewki skupijącej przypisujemy wrtość dodtnią, dl soczewki rozprszjącej - ujemną. gniskow soczewki zleży od promieni krzywizn r i r ogrniczjących soczewkę i od względnego współczynnik złmni świtł mteriłu soczewki względem otczjącego ośrodk. Przedstwi to poniższy wzór: = ( n n ) ( r + r ), (6) gdzie n to bezwzględny współczynnik złmni ośrodk otczjącego soczewkę, n - bezwzględny współczynnik złmni mteriłu, z którego zrobion jest soczewk. Nleży pmiętć tkże o regule znków: promień krzywizny r jest dodtni dl powierzchni wypukłej i ujemny dl powierzchni wklęsłej, orz równy nieskończoności dl powierzchni płskiej. Ze wzoru (6) wynik, że np. soczewk dwuwypukł (r > 0, r > 0) wykonn ze zwykłego szkł, któr w powietrzu jest soczewką skupijącą ( > 0), po znurzeniu jej np. w nilinie, której bezwzględny współczynnik złmni świtł jest większy niż szkł (n > n ), będzie w niej soczewką rozprszjącą ( < 0). Wielkością używną często do chrkteryzowni soczewek jest ich zdolność skupijąc D: jest to odwrotność ogniskowej wyrżonej w metrch, D = [m]. Jej jednostką jest dioptri. Zdolność skupijącą dioptrii m soczewk skupijąc o ogniskowej m, więc soczewk o ogniskowej 5 cm m zdolność skupijącą 0 dioptrii. Zdolność skupijąc ukłdu cienkich soczewek stykjących się ze sobą jest równ sumie zdolności skupijących tych soczewek: D u = D + D Jeżeli dwie soczewki cienkie umieszczone są w odległości d od siebie, to zdolność skupijąc tkiego ukłdu jest wyrżon nstępującym wzorem: D u = D + D dd D Kżdy przedmiot wysył ze swej powierzchni świtło (włsne lub odbite) we wszystkich kierunkch. kzuje się, że promienie świetlne wychodzące z jkiegoś punktu przedmiotu, po przejściu przez soczewkę lbo: przecinją się w jednym punkcie ( nzywmy obrzem rzeczywistym punktu ), lbo przedłużeni promieni wychodzących z soczewki przecinją się w jednym punkcie (wówczs nzywmy obrzem pozornym punktu ). N ekrnie możn obserwowć jedynie obrzy rzeczywiste. brzy pozorne obserwujemy bezpośrednio gołym okiem. Griczną konstrukcję obrzów w soczewkch wykonuje się kreśląc bieg dwóch z trzech nstępujących promieni (Rys. 7 i 8): ) b) B ' B' B Rysunek 7. Konstrukcj obrzu tworzonego przez soczewkę skupijącą gdy przedmiot B umieszczony jest wzgledem soczewki w odległości: ) większej, b) mniejszej niż ogniskow soczewki. ) promieni biegnącego z wierzchołk przedmiotu równolegle do osi optycznej soczewki, który po złmniu w niej przechodzi przez ognisko (soczewk skupijąc) lub jego przedłużenie przechodzi przez ognisko (soczewk rozprszjąc); b) promieni biegnącego z wierzchołk przedmiotu przez środek optyczny soczewki bez złmni; c) promieni biegnącego z wierzchołk przedmiotu przez ognisko soczewki (lub którego przedłużenie przechodzi przez ognisko), który po złmniu w soczewce biegnie równolegle do osi optycznej soczewki. B' '

4 4 B ' B' n soczewkę pod większym kątem niż promienie przyosiowe, i po złmniu w niej przecinją oś optyczną soczewki bliżej środk optycznego niż promienie przyosiowe (Rys. 0). gnisko jest więc rozmyte. Rozmyte będą Ekrn Rysunek 8. Konstrukcj obrzu tworzonego przez soczewkę rozprszjącą. RÓWNNIE SCZEWKI CIENKIEJ Powstwniem obrzów otrzymywnych z pomocą soczewek cienkich rządzi tzw. równnie soczewki cienkiej: = + b, (7) gdzie: - ogniskow soczewki cienkiej, - odległość przedmiotu od środk optycznego soczewki, b - odległość obrzu od środk optycznego soczewki. (por. Rys. 9) b Rysunek 0. berrcj seryczn. Promienie skrjne przecinją się bliżej soczewki niż promienie przyosiowe. W miejscu ognisk (dl promieni przyosiowych) obserwujemy n ekrnie, zmist punktu, rozmytą plmkę. również obrzy przedmiotów, bowiem równnie soczewki (7) spełnione jest jedynie dl promieni przyosiowych. Zjwisko to nzywmy berrcją seryczną soczewki. Możemy ją ogrniczyć stosując przysłony lub ukłdy soczewek o odpowiednio dobrnych promienich krzywizn i współczynnikch złmni. dminą berrcji serycznej jest tzw. kom. Gdy źródło świtł nie jest usytuowne n osi optycznej soczewki, wówczs, z powodu większego złmywni się promieni skrjnych w stosunku do tych biegnących blisko środk optycznego soczewki, otrzymujemy obrz rozmyty w ormie nkłdjących się n siebie plmek o stopniowo zwiększjącej się średnicy (Rys. ). Cły obrz ksztłtem przypomin kometę i stąd pochodzi nzw tego eektu. Wdę tę likwiduje się stosując odpowiednie ukłdy soczewek. Ekrn Rysunek 9. Położenie przedmiotu i jego obrzu tworzonego przez soczewkę powiązne są ze sobą poprzez równnie soczewki (7). Równnie (7) stosuje się również do soczewek rozprszjących, którym przypisujemy ujemną wrtość ogniskowej. Nleży pmiętć tkże o nstępujących zsdch dotyczących znków: jest dodtnie dl kżdego przedmiotu rzeczywistego, b jest dodtnie dl obrzów rzeczywistych i ujemne dl obrzów pozornych. brz WDY SCZEWEK RZECZYWISTYCH Jeżeli n soczewkę pd szerok wiązk promieni świetlnych, to promienie odległe od osi optycznej pdją Rysunek. Kom. Gdy źródło świtł nie leży n osi optycznej soczewki, z powodu berrcji seryczej zmist obrzu punktowego obserwujemy n ekrnie obrz rozmyty przypominjący kometę.

5 5 Innym zjwiskiem znieksztłcjącym powstwnie obrzów w soczewce, nwet dl promieni przyosiowych, jest berrcj chromtyczn, wynikjąc z zleżności współczynnik złmni świtł od częstotliwości li świetlnej. (Rys. ). gniskow dl promieni ioletowych P S E b œwit³o bi³e P S' E Rysunek. berrcj chromtyczn. Promienie o różnych długościch li (brwch) przecinją się w różnych miejscch. nie jest równ ogniskowej dl promieni czerwonych. brz biłego przedmiotu świecącego nie będzie biły, le będzie złożony z obrzów brwnych. Wdę tę usuwmy budując ukłd przylegjących do siebie soczewek, wykonnych z różnych rodzjów szkł, o różnych ksztłtch. Gdy przedmiot nie leży n osi optycznej soczewki, wówczs obrzem punktowego przedmiotu nie będzie punkt, le odcinek: pionowy, lbo poziomy, zleżnie od odległości ekrnu od soczewki (Rys. 3). Eekt ten nosi nzwę stygmtyzmu soczewki. Możn go zmniejszyć poprzez zstosownie ukłdów soczewek o odpowiednim ksztłcie, rozmieszczeniu, przysłonch i współczynniku złmni. oœ optyczn Rysunek 3. stygmtyzm. Gdy przedmiot punktowy nie znjduje się n osi optycznej soczewki, powstją dw obrzy orz mjące ormę odcinków usytuownych w różnych odległościch od soczewki. Przyczyną tego eektu jest to, że z perspektywy przedmiotu soczewk wydje się być pogrubion w płszczyźnie poziomej w stosunku do płszczyzny pionowej. ZSD PMIRU GNISKWEJ Soczewk skupijąc gniskową soczewki skupijącej możn wyznczyć z pomocą łwy optycznej (Rys. 4). N jej początku znj- ' '' ' Rysunek 4. Łw optyczn. duje się przedmiot P, którym jest żrówk znjdując się w osłonie z wyciętym otworem w ksztłcie strzłki. N łwie umieszczmy ekrn E, pomiędzy nim i przedmiotem soczewkę skupijącą S. Soczewkę przesuwmy tk, by n ekrnie otrzymć ostry obrz przedmiotu. dczytujemy odległość przedmiotu od soczewki i odległość b obrzu od soczewki. trzymne wrtości wstwimy do wzoru: = b' b + b, (8) który powstł z przeksztłceni wzoru (7). Jeżeli odległość ekrnu o przedmiotu + b = L > 4, to przy stłej pozycji ekrnu istnieją dw położeni soczewki skupijącej S i S, dl których uzyskmy n ekrnie ostry obrz (powiększony i pomniejszony). Możn wykzć, że: = L d 4L, (9) gdzie d = = b b (Rys. 4). Pomir ogniskowej oprty n wzorze (9) nosi nzwę metody Bessel. Metod t lepiej ndje się do wyznczni ogniskowej soczewki rzeczywistej, gdyż pozwl pominąć problemy wynikjące z nieznjomości położeni środk optycznego soczewki rzeczywistej z jką mmy przewżnie do czynieni. Soczewk rozprszjąc Poniewż soczewk rozprszjąc nie dje obrzów rzeczywistych możliwych do zobserwowni n ekrnie, jej ogniskowej nie możn wyznczyć w tki sm sposób,

6 6 S E E' WYKNNIE ĆWICZENI Metod I. Ustwić ekrn w odległości L od przedmiotu równej cm. Znotowć wrtość L.. Umieścić n łwie optycznej soczewkę skupijącą i włączyć do prądu żrówkę w obudowie, spełnijącą rolę źródł świtł. 3. Uzyskć n ekrnie ostry obrz przedmiotu, czyli strzłki orz znotowć odległość soczewki od przedmiotu. Ustwieni ostrości obrzu dokonć pięciokrotnie, nie zmienijąc przy tym odległości przedmiotu od ekrnu (tj. nie zmienijąc pozycji ekrnu). Z kżdym rzem notujemy wrtości (tzn.,,..., 5 ). 4. Powtórzyć pomiry z punktu 3 dl innej soczewki skupijącej. jk ogniskową soczewki skupijącej. Musimy posłużyć się dodtkową soczewką skupijącą, któr wrz z bdną soczewk rozprszjącą wytworzy n ekrnie obrz rzeczywisty. Zsd postępowni jest nstępując: njpierw umieszczmy smą soczewkę skupijącą tk, by w odległości y od przedmiotu uzyskć n ekrnie E ostry obrz przedmiotu, njlepiej pomniejszony. Nstępnie wstwimy soczewkę rozprszjącą S między ekrn soczewkę skupijącą - obrz n ekrnie nie będzie już ostry (Rys. 5). Nie zmienijąc położeni soczewki skupijącej przez y u Rysunek 5. Metod pomiru ogniskowej soczewki rozprszjącej S. Gdyby przedmiot był umieszczony w pozycji u, wówczs soczewk rozprszjąc dłby obrz pozorny tego przedmiotu w miejscu y (por. Rys. 8). suwmy ekrn i soczewkę rozprszjącą tk, by znowu otrzymć ostry obrz n ekrnie, tym rzem w pozycji E. Niech w tej sytucji odległość soczewki rozprszjącej od przedmiotu wynosi z, now odległość ekrnu od przedmiotu u. Zwróćmy uwgę, że u > y, bowiem w wyniku rozproszeni promieni świetlnych przez soczewkę rozprszjącą, obrz musi terz powstć dlej niż uprzednio, gdy mieliśmy jedynie soczewkę skupijącą. by znleźć związek między ogniskową soczewki rozprszjącej odległościmi y, u, z nleży odwrócić bieg promieni świetlnych i przyjąć jko przedmiot dl soczewki rozprszjącej uzyskny włśnie w odległości u obrz n ekrnie. Pozorny obrz tego przedmiotu tworzony przez soczewkę rozprszjącą otrzymujemy w miejscu y, gdzie uprzednio powstwł rzeczywisty obrz, wytwrzny przez smą soczewkę skupijącą. Równnie soczewki rozprszjącej m ztem postć: = + b = u z + (y z), (0) gdzie u z to odległość przedmiotu od soczewki rozprszjącej, (y z) to odległość obrzu od soczewki rozprszjącej (zstosowno regułę znków dl obrzów pozornych). Po prostych przeksztłcenich otrzymmy: = (y z) (u z). () y u Metod II (Bessel). dczytj odległość ekrnu od przedmiotu L.. Dl jednej soczewki skupijącej znotowć te jej odległości od przedmiotu, w których przy tym smym położeniu ekrnu otrzym się obrz powiększony (odległość ) i pomniejszony (odległość ). Pomiry te powtórzyć pięciokrotnie, otrzymując serie pomirów (,,..., 5 ) orz (,,..., 5). Metod III dl soczewki rozprszjącej. Umieścić n łwie optycznej pomocniczą soczewkę skupijącą w tkim położeniu, by n ekrnie uzyskć obrz pomniejszony. Znotowć odległość ekrnu od przedmiotu y.. Nie zmienijąc położeni soczewki skupijącej wstwić między nią i ekrn soczewkę rozprszjącą. Przesuwć ekrn i soczewkę rozprszjącą ż do uzyskni ostrego obrzu n ekrnie. Znotowć odległość od przedmiotu soczewki rozprszjącej z i nową odległość ekrnu od przedmiotu u. PRCWNIE WYNIKÓW. Dl kżdej soczewki skupijącej obliczyć średnią wrtość. bliczyć ogniskową z wzoru (8) przeksztłconego, dzięki zleżności b = L, do postci: = L. ()

7 7. Do wzoru Bessel (9) podstwić wrtości L i d =, gdzie i to średnie wrtości serii pomirów uzysknych w metodzie II. bliczyć ogniskową soczewki. Jeżeli jedną i drugą metodą wyznczno ogniskową tej smej soczewki, porównć otrzymne wyniki. 3. Do wzoru () wstwić wrtości y, u orz z i obliczyć ogniskową soczewki rozprszjącej. 4. Dl metody I obliczyć metodą różniczki zupełnej błąd ogniskowej dl jednej soczewki skupijącej, korzystjąc z ogólnego wzoru: = + L L. (3) Jko błąd pomiru wziąć błąd mksymlny średniej rytmetycznej dl n=5 i poziomu uności -α = 0,997. W Tbeli w książeczce prcownie i prezentcj wyników pomirów odnjdujemy wrtość współczynnik t 5,(0.997) = 6.435, wzór n mksymlny błąd przyjmuje wówczs postć: 5 ( i ā) i= = 6, 435. (4) 5(5 ) Z błąd pomiru L przyjąć dokłdność podziłki łwy optycznej (0, cm). 5. Dl metody II błędu ogniskowej nie obliczmy. 6. Dl metody III błąd ogniskowej soczewki rozprszjącej obliczyć metodą różniczki zupełnej: = y y + u u + z z. (5) Jko błędy pomiru odległości y, u i z przyjąć dokłdność podziłki łwy optycznej, tj. 0, cm. LITERTUR. J.Blinowski, J. Trylski, izyk dl kndydtów n wyższe uczelnie, PWN K. Chyl, izyk dl ZSZ, WSiP C. Crword, le, PWN R. P. eynmn, eynmn wykłdy z izyki T., część, PWN M. Hermn i in., Podstwy izyki, PWN W-w W.. Łobodiuk i in., izyk elementrn, W-w M. i J. Msslscy, izyk dl kl. IV, WSiP S. Przestlski, izyk z elementmi bioizyki i groizyki, UW R. Resnick, izyk T., wyd. 8, PWN 994.