MECHANIKA OGÓLNA wykład 4

Transkrypt

1 MECHNIK OGÓLN wykład 4 D R I N Ż. G T M R Y N I K

2 Obliczanie sił wewnętrznych w układach prętowych. K R T O W N I C E

3 KRTOWNIC UKŁD PRĘTÓW PROSTOLINIOWYCH Przegubowe połączenia w węzłach Obciążenie węzłowe w postaci sił skupionych

4 KONSEKWENCJE WĘZEŁ DOZNJE PRZESUWU (DWIE SKŁDOWE) ORÓT JEST NIEISTOTNY W PRĘTCH OUSTRONNIE PRZEGUOWYCH, NIE OCIĄŻONYCH SIŁMI POPRZECZNYMI N DŁUGOŚCI, W PRĘTCH WYSTĘPUJE JEDYNIE SIŁ WEWNĘTRZN NORMLN (PODŁUŻN)

5 NZWY PRĘTÓW PS GÓRNY (G) PS DOLNY (D) SŁUPKI (S) KRZYŻULCE (K)

6 STTYCZN WYZNCZLNOŚĆ Najprostsza kratownica złożona z trzech prętów połączonych przegubowo tworzy tarczę sztywną i jest statycznie wyznaczalna Każda kratownica budowana przez dostawianie pól zamkniętych tworzonych za pomocą kolejnych dwóch prętów jest statycznie wyznaczalna.

7 STOPIEŃ STYCZNEJ WYZNCZLNOŚCI STTYCZN WYZNCZLNOŚĆ ZEWNĘTRZN możliwość policzenia reakcji n z r 3 WEWNĘTRZN możliwość policzenia sił w prętach n w p w + 3 CŁKOWIT n r + p w

8 METODY ROZWIĄZYWNI Metody analityczne Metoda równoważenia węzłów Metoda Rittera (przekrojów) Metody graficzne Wykreślna metoda Cremony

9 PRĘTY ZEROWE Dane są trzy zasady pozwalające na określić pręty zerowe czyli takie w których siła normalna wynosi zero. ZSD I Jeżeli w pewnym węźle schodzą się tylko dwa pręty pod pewnym katem α, i węzeł ten jest nieobciążony żadną siłą zewnętrzną (czynną ani bierną), to siły w obu prętach (N i N ) wynoszą zero. N0 N0

10 PRĘTY ZEROWE Dane są trzy zasady pozwalające na określić pręty zerowe czyli takie w których siła normalna wynosi zero. ZSD II Jeżeli w pewnym węźle schodzą się tylko dwa pręty pod pewnym katem α, i węzeł ten jest obciążony siłą zewnętrzną (czynną lub bierną) działającą na kierunku jednego z prętów to siła normalna w drugim pręcie wynosi zero. P N N0

11 PRĘTY ZEROWE Dane są trzy zasady pozwalające na określić pręty zerowe czyli takie w których siła normalna wynosi zero. ZSD II Jeżeli w pewnym węźle schodzą się tylko dwa pręty pod pewnym katem α, i węzeł ten jest obciążony siłą zewnętrzną (czynną lub bierną) działającą na kierunku jednego z prętów to siła normalna w drugim pręcie wynosi zero. P N0 N

12 PRĘTY ZEROWE Dane są trzy zasady pozwalające na określić pręty zerowe czyli takie w których siła normalna wynosi zero. ZSD III Jeżeli w pewnym węźle schodzą się trzy pręty z których dwa leżą na jednej prostej (są równoległe) i węzeł ten jest nieobciążony żadną siłą zewnętrzną (czynną ani bierną), to siła normalna w trzecim pręcie jest równa zero. N N N30

13 WYZNCZNIE REKCJI PODPOROWYCH ΣP ix ΣP iy 0 0 ΣM i 0

14 PRZYKŁD Policzyć wartości reakcji podporowych dla poniższej kratownicy P0kN 4 m P330kN P0kN 3 m 3 m 3 m 3 m

15 PRZYKŁD V V P0kN H 4 m P30kN P60kN 3 m 3 m 3 m 3 m

16 PRZYKŁD V V P0kN H 4 m P30kN P60kN Σ ix P 0 ΣP H P 0 ix 3 m 3 m 3 m 3 m H P 60kN

17 PRZYKŁD V V P0kN H 4 m P30kN P60kN Σ ix P 0 ΣP H P 0 ix 3 m 3 m 3 m 3 m H P 60kN ΣM 0 ΣM P + P 6 V P 4 0 i i 3 3 P 3 + P3 6 P P3 6 P V P V 40 V 0kN 40

18 PRZYKŁD V V P0kN H 4 m P30kN P60kN 3 m 3 m 3 m 3 m Σ iy P 0 ΣP V P V + P 0 iy 3 V P V + P3 0 ( 0) + 0 0kN

19 PRZYKŁD V 0kN V 0kN P0kN H 60kN 4 m C P30kN P60kN 3 m 3 m 3 m 3 m

20 PRZYKŁD V 0kN V 0kN P0kN H 60kN 4 m C P30kN P60kN 3 m 3 m 3 m 3 m ΣM 0 ΣM V 3 + P3 3 + V 9 H 4 0 ic ΣM ΣM ΣM ic ic ic ic L P

21 Wyznaczanie sił w prętach kratownicy M E T O D R Ó W N O W Ż E N I W Ę Z Ł Ó W

22 ZŁOŻENI METODY Metoda ta polega na rozpisaniu równań równowagi dla każdego myślowo wyciętego węzła kratownicy. Wycinając myślowo poszczególne węzły kratownicy otrzymujemy układy sił zbieżnych dla których dysponujemy dwoma równaniami równowagi: ΣP ix ΣP iy 0 0

23 ZŁOŻENI METODY Wycinając myślowo węzeł z kratownicy przecięte myślowo pręty zastępujemy siłami w nich występującymi. Zakładamy początkowo, że pręty te są rozciągane dlatego zwroty sił zakładamy na zewnątrz (od węzła). Jeżeli wartość siły w pręcie wyjdzie nam ujemna świadczy to o ty, że zwrot był źle założony czyli pręt jest prętem ściskanym (zwrot do węzła).

24 ZŁOŻENI METODY Kiedy w kolejnym węźle wycinanym myślowo z kratownicy przecinamy pręty których wartości sił już znamy to oznaczając te siły zaznaczamy ich faktyczne zwroty (od węzła jeżeli siła w pręcie jest rozciągająca i do węzła jeżeli siła w pręcie jest ściskająca). Trzy ostatnie równania jakie rozpisujemy dla kratownicy są sprawdzeniem, gdyż wówczas znane są już siły we wszystkich prętach.

25 PRZYKŁD Wyznaczyć siły w prętach poniższej kratownicy. P0kN 4 m P330kN P0kN 3 m 3 m 3 m 3 m

26 PRZYKŁD Wartości reakcji dla tej kratownicy zostały wyznaczone w poprzednim przykładzie. V 0kN V 0kN P0kN H 60kN 4 m C P30kN P60kN 3 m 3 m 3 m 3 m

27 PRZYKŁD V 0kN P0kN G G G3 G4 3 V 0kN H 60kN K S K S K3 S3 K4 4 m 4 D 5 P30kN D 6 P60kN 3 m 3 m 3 m 3 m

28 PRZYKŁD V 0kN P0kN G G G3 G4 3 V 0kN H 60kN K S K S K3 S3 K4 4 m 4 D 5 P30kN D 6 P60kN 3 m 3 m 3 m 3 m

29 PRZYKŁD WĘZĘŁ V 0kN K G P S V 0kN K G ΣP iy 0 ΣPiy V K sin( α) 0 V 0 50 K, 5kN sin( α) ΣP ix 0 4 Σ P ix G cos( α ) 0 + K 3 G K cos α 5 5 ( ) (,5) 7, kn 3 m

30 PRZYKŁD V 0kN P0kN G7,5kN G G3 3 G4 V 0kN H 60kN K,5kN S K S K3 S3 K4 4 m 4 D 5 P30kN D 6 P60kN 3 m 3 m 3 m 3 m

31 PRZYKŁD V 0kN G7,5kN P0kN G WĘZĘŁ G7,5kN P0kN G ΣP iy Σ 0 P iy P S P S 0kN 0 K,5kN S K S S ΣP ix Σ 0 P ix G + G G 7, kn G D 5 P 3 m 3 m

32 PRZYKŁD V 0kN V 0kN P0kN G7,5kN G7,5kN G3 3 G4 H 60kN K,5kN S0kN K S K3 S3 K4 4 m 4 D 5 P30kN D 6 P60kN 3 m 3 m 3 m 3 m

33 PRZYKŁD V 0kN G7,5kN K,5kN P0kN G7,5kN S0kN K WĘZĘŁ 4 K,5kN 4 S0kN K D ΣP iy 0 ΣP iy S K sin( α) + K sin( α) ,5 S + K sin( α) K 5 37, 5kN sin( α) m 3 m D ΣP ix Σ 0 cos( α ) + K cos( α ) 0 ( α ) cos( α ) P ix D + K K cos K D 3 3 D,5 37,5 7,5,5 30kN 5 5

34 PRZYKŁD V 0kN V 0kN P0kN G7,5kN G7,5kN G3 3 G4 H 60kN K,5kN S0kN K37,5kN K3 S3 K4 4 m S 4 D30kN 5 P30kN D 6 P60kN 3 m 3 m 3 m 3 m

35 PRZYKŁD 0kN K37,5kN D30kN 5 K3 S D P30kN WĘZĘŁ 5 D30kN 5 S P30kN D ΣP iy Σ 0 P iy S + P3 P3 0 S 0kN ΣP ix Σ 0 P ix D + D D 0 D 30kN 3 m 3 m

36 PRZYKŁD V 0kN V 0kN P0kN G7,5kN G7,5kN G3 3 G4 H 60kN K,5kN S0kN K37,5kN S0kN K3 S3 K4 4 m 4 D30kN 5 D30kN P30kN 6 P60kN 3 m 3 m 3 m 3 m

37 PRZYKŁD 0kN G7,5kN 0kN K37,5kN S0kN G3 K3 WĘZĘŁ G7,5kN K37,5kN S0kN G3 K3 ΣP iy 0 ΣP iy S K sin( α) K 3 sin( α) ,5 S K sin( α) K 5 3 5kN sin( α ) 4 5 ΣP ix 0 ΣP ix G K cos( α) + G3 + K3 cos( α) 0 G 3 G + K cos( α) K 3 cos( α) 3 3 G3 7,5 + 37,5 ( 5) 7,5 +, kN 5 5

38 PRZYKŁD V 0kN V 0kN P0kN G7,5kN G7,5kN G345kN 3 G4 H 60kN K,5kN S0kN K37,5kN S0kN K35kN S3 K4 4 m 4 D30kN 5 D30kN P30kN 6 P60kN 3 m 3 m 3 m 3 m

39 PRZYKŁD G345kN 3 G4 K35k S3 K4 WĘZĘŁ 3 ΣP iy 0 G345kN 3 G4 ΣP iy S3 0 S 3 0kN S3 ΣP ix Σ 0 P ix G3 + G4 4 G3 kn G 45 0

40 PRZYKŁD V 0kN V 0kN P0kN G7,5kN G7,5kN G345kN 3 G445kN H 60kN K,5kN S0kN K37,5kN S0kN K35kN S30kN K4 4 m 4 D30kN 5 P30kN D30kN 6 P60kN 3 m 3 m 3 m 3 m

41 PRZYKŁD V 0kN WĘZĘŁ ΣP iy 0 G445kN H 60kN G445kN V 0kN H 60kN ΣPiy V K 4 sin( α) 0 V 0 K 5kN 4 sin( α) 4 5 0kN K4 4 m K4 To równanie jest już sprawdzeniem P 0 Σ ix ΣPix G4 K 4 cos( α ) + H 0 G4 + H K 4 5kN cos( α) 3 5

42 PRZYKŁD V 0kN V 0kN P0kN G7,5kN G7,5kN G345kN 3 G445kN H 60kN K,5kN S0kN K37,5kN S0kN K35kN S30kN K45kN 4 m 4 D30kN 5 P30kN D30kN 6 P60kN 3 m 3 m 3 m 3 m

43 PRZYKŁD Oba równanie w tym węźle są sprawdzeniem K35kN D30kN 6 S30kN K45kN P60kN ΣP iy 0 ΣP iy K3 sin( α) + K 4 sin( α) ΣP iy ΣP ix 0 ΣP ix D + K 3 cos( α) P + K 4 cos( α) ΣP ix kN K35kN S30kN K45kN D30kN 0kN 6 P60kN 3 m 3 m

44 Wyznaczanie sił w prętach kratownicy M E T O D P R Z E K R O J Ó W ( R I T T E R )

45 ZŁOŻENI METODY Metoda ta polega na myślowym dokonywaniu przekroju kratownicy przez trzy pręty, nie zbiegające się w jednym węźle, w tym przez pręt lub pręty w których siły chcemy wyznaczy. Następnie rozpatrywana jest równowaga jednej z części kratownicy oddzielonej tym przekrojem i znajdującej się pod wpływem działania sił zewnętrznych, reakcji podporowych oraz sił w przeciętych prętach kratownicy.

46 ZŁOŻENI METODY W odniesieniu do wydzielonej części kratownicy zapisuje się równania momentów względem punktów przecięcia się dwóch z trzech przeciętych prętów (tak zwanych punktów Rittera) oraz w przypadku gdy dwa z trzech przeciętych prętów są równoległe zapisuje się równanie sumy rzutów na kierunku prostopadłym do równoległych prętów.

47 PRZYKŁD Wyznaczyć wartości sił wewnętrznych w zaznaczonych prętach poniższej kratownicy. P0kN P0kN P30kN m m m 3 m 3 m 3 m

48 PRZYKŁD V n S r + p w r liczba reakcji podporowych r3 p liczba prętów p w liczba węzłów w7 n S P0kN P0kN P30kN H m m m H 3 m 3 m 3 m

49 PRZYKŁD Σ iy P 0 ΣP P P P V 0 iy 3 V P P P kN 3 ΣM 0 ΣM P + P 6 + P 3 H 6 0 Σ ix i i P 6 + P P H P 0 ΣP H H 0 ix H H 30kN

50 PRZYKŁD V30kN H 30kN P0kN P0kN P30kN m m m H 30kN 3 m 3 m 3 m

51 PRZYKŁD V30kN H 30kN P0kN G P0kN S G K P30kN S G3 K S3 m m m D D D3 H 30kN 3 m 3 m 3 m

52 PRZYKŁD sin( α ) cos( α ) ,555 0,83 P0kN G P0kN S G K P30kN S G3 K V30kN H 30kN S3 m m m D D D3 H 30kN 3 m 3 m 3 m

53 PRZYKŁD sin( α ) cos( α ) sin( β ) cos( β ) ,555 0,83 0,8 0,6 P0kN G P0kN S G K P30kN S G3 K V30kN H 30kN S3 m m m D D D3 H 30kN 3 m 3 m 3 m

54 PRZYKŁD pręt K W celu wyznaczenia siły w tym pręcie za pomocą metody Rittera musimy myślowo przeciąć naszą kratownicę przez trzy, nie przecinające się w jednym punkcie, pręty (w tym pręt K ). Proponuję przekrój przez pręty G 3, K i D 3 myślowy przekrój kratownicy V30kN P0kN P0kN G G P30kN S K G3 K S D D D3 S3 H 30kN m m m H 30kN 3 m 3 m 3 m

55 PRZYKŁD część kratownicy po prawj stronie przekroju V30kN punkt Rittera 9 m G3 K D3 H 30kN m m m H 30kN P0kN G P0kN S myślowy przekrój kratownicy P30kN G3 G K S K V30kN H 30kN S3 m m m D D D3 H 30kN 3 m 3 m 3 m

56 PRZYKŁD część kratownicy po prawj stronie przekroju Σ M 0 i ΣM i K sin( β ) 9 + V 9 H 6 0 V 9 + H K sin( β ) 9 0,8 9 punkt Rittera 90 7,,5kN G3 K D3 V30kN H 30kN m m m H 30kN 9 m

57 PRZYKŁD część kratownicy po lewej stronie przekroju P30kN G3 myślowy przekrój kratownicy P0kN punkt Rittera P0kN 3 m 3 m K D3 4 m P0kN G P0kN S G K P30kN S G3 K V30kN H 30kN S3 m m m D D D3 H 30kN 3 m 3 m 3 m

58 część kratownicy po lewej stronie przekroju PRZYKŁD P30kN G3 P0kN K 4 m P0kN punkt Rittera D3 3 m 3 m Σ M 0 i Σ Σ M i P 3 P3 6 K sin( β ) 6 K cos( β ) 4 0 M i P 3 P3 6 K (sin( β ) 6 + cos( β ) 4) 0 P 3 P K, 5kN (sin( β ) 6 + cos( β ) 4) (0, ,6 4) 7,

59 PRZYKŁD pręt S W celu wyznaczenia siły w tym pręcie za pomocą metody Rittera musimy myślowo przeciąć naszą kratownicę przez trzy, nie przecinające się w jednym punkcie, pręty (w tym pręt S ). Proponuję przekrój przez pręty G, S i D 3 myślowy przekrój kratownicy V30kN H 30kN P0kN G P30kN G3 S3 m m S K P0kN G K S D D D3 m H 30kN 3 m 3 m 3 m

60 PRZYKŁD Σ M 0 i ΣM i P3 6 S 6 + V 9 H 6 0 P3 6 + V 9 H S 6 6 część kratownicy po prawj stronie przekroju kN P30kN V30kN H 30kN m G S 4 m punkt Rittera D3 H 30kN 6 m 3 m

61 PRZYKŁD część kratownicy po lewej stronie przekroju P0kN G P0kN S punkt Rittera 3 m 3 m D3 Σ M 0 i ΣM i P 3 + S 6 0 P S 5kN 6 6 6

62 PRZYKŁD pręt D W celu wyznaczenia siły w tym pręcie za pomocą metody Rittera musimy myślowo przeciąć naszą kratownicę przez trzy, nie przecinające się w jednym punkcie, pręty (w tym pręt D ). Proponuję przekrój przez pręty G, K i D myślowy przekrój kratownicy V30kN H 30kN P0kN G P0kN G K S P30kN S G3 K S3 m m m D D D3 H 30kN 3 m 3 m 3 m

63 PRZYKŁD Σ M 0 i część kratownicy po prawj stronie przekroju ΣM i P3 3 D H H 4 + V 6 0 P3 3 H H 4 + V D 5kN punkt Rittera G K D P30kN V30kN H 30kN m m m H 30kN 3 m 3 m

64 PRZYKŁD część kratownicy po lewej stronie przekroju punkt Rittera P0kN G P0kN G S K m D 3 m D ΣM i 0 ΣM i P 3 + D 0 P D 5kN

65 PRZYKŁD pręt S W celu wyznaczenia siły w tym pręcie za pomocą metody Rittera musimy myślowo przeciąć naszą kratownicę przez trzy, nie przecinające się w jednym punkcie, pręty (w tym pręt S ). Proponuję przekrój przez pręty G, S i D myślowy przekrój kratownicy V30kN P0kN P0kN G G P30kN S K G3 K S D D D3 S3 H 30kN m m m H 30kN 3 m 3 m 3 m

66 PRZYKŁD Σ M 0 i ΣM i P 3 S 3 P3 6 H 6 + V 9 0 P 3 P3 6 H 6 + V S 3 3 punkt Rittera część kratownicy po prawj stronie przekroju 0 G P0kN S 0 3 kn D P30kN V30kN H 30kN m m m H 30kN 3 m 3 m 3 m

67 PRZYKŁD część kratownicy po lewej stronie przekroju P0kN G S punkt Rittera D D 3 m Σ M 0 i ΣM i S 3 0 S 0kN 3 0