Przykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii

Transkrypt

1 Przkłd 5 Figur z dwiem osimi smetrii Polecenie: Wznczć główne centrlne moment bezwłdności orz kierunki główne dl poniższej figur korzstjąc z metod nlitcznej i grficznej (konstrukcj koł Mohr) Dl rozwżnej figur przjmiem dw współśrodkowe ukłd współrzędnch orz Ob ukłd są ukłdmi centrlnmi Ukłd jest pondto ukłdem osi głównch poniewż osie i są osimi smetrii figur Nleż oczwiście ustlić, któr z osi ukłdu jest osią mksmlnego momentu bezwłdności, któr osią minimlnego momentu bezwłdności

2 W celu wznczeni momentu bezwłdności względem osi dokonm podziłu rozptrwnej figur n figur skłdowe c 5 c c V c Moment bezwłdności rozptrwnej figur względem osi policzm jko podwojoną sumę momentów bezwłdności względem osi figur skłdowch (figur,, i V) Moment bezwłdności figur względem osi m tką smą wrtość W przpdku figur V nleż zstosowć twierdzenie Steiner Pole powierzchni figur i V wnosi V A A V ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + + Dewicjn moment rozptrwnej figur w ukłdzie policzm jko podwojoną sumę momentów dewicjnch figur skłdowch (figur,, i V) W przpdku figur i V nleż zstosowć twierdzenie Steiner Moment dewicjne tch dwóch figur w ukłdzie mją te sme wrtości, możn więc w obliczenich uwzględnić to, licząc podwojoną wrtość momentu dewicjnego np dl figur V ( ) ( + + ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) Główn oś bezwłdności, względem której moment bezwłdności m wrtość

3 m tworz z osią kąt ϕ, ntomist główn oś bezwłdności, względem której moment bezwłdności m wrtość min tworz z osią kąt ϕ Poniewż, < 0 to ϕ, ntomist ϕ Moment bezwłdności względem głównch centrlnch osi bezwłdności osiągją wrtości ekstremlne: + m min kierunek mksmlnego momentu bezwłdności ϕ ϕ - kierunek minimlnego momentu bezwłdności Główne centrlne moment bezwłdności możem wznczć w inn sposób

4 Obliczm wrtość momentu bezwłdności względem osi, stosując now podził n figur skłdowe Figurę trktujem jko pole "ujemne" Moment bezwłdności figur i mnożm przez czter ( ) + ( ) 90 W dlszch obliczenich wkorzstm to, że sum momentów bezwłdności względem obu osi ukłdów współśrodkowch jest stł czli Z porównni wrtości głównch momentów bezwłdności wnik, że oś jest kierunkiem mksmlnego momentu bezwłdności, oś jest kierunkiem minimlnego momentu bezwłdności 5 min 90, m 05 Główne centrlne moment bezwłdności orz kierunki główne możn wznczć metodą grficzną, stosując konstrukcję koł Mohr Korzstm z wznczonch wrtości momentów bezwłdności w ukłdzie orz wrtości momentu dewicjnego Kolejność postępowni prz wznczniu głównch momentów bezwłdności i kierunków głównch metodą grficzną jest nstępując: Wznczenie położeni punktów A i B Wrtości momentów bezwłdności w ukłdzie 8 7 współrzędne punktów A ( 8 7, 0) i B ( 8 7, 0) zdniu położenie punktów A ( 8 7, 0) i B ( 8 7, 0) Wznczenie położeni punktu , 0 Punkt ( ( ) ), czli ( 8 7, 0) jest wspólne stnowią odpowiednio W rozptrwnm, jest środkiem odcink AB i środkiem koł Mohr W rozptrwnm zdniu położenie punktów, A i B jest wspólne Wznczenie położeni punktu D Po uwzględnieniu wrtości 8 7 orz otrzmm współrzędne punktu D ( 8 7, ( ), czli D ( 8 7, ) Wznczenie promieni koł Mohr Łączm punkt i D odcinkiem D, któr stnowi promień R koł Mohr Promieniem tm ztczm okrąg 5 Wznczenie głównch momentów bezwłdności Koło Mohr przecin oś poziomą w dwu punktch: E i F Współrzędne tch punktów są 90 97, , 0 Długość odcink OE odpowid nstępujące: E ( ), F( ) minimlnemu momentowi bezwłdności, ntomist długość odcink mksmlnemu momentowi bezwłdności Wznczenie kierunków głównch O F odpowid

5 Oś przechodząc przez punkt E i D jest osią mksmlnego momentu bezwłdności, oś przechodząc przez punkt F i D jest osią minimlnego momentu bezwłdności Moment dewicjne O Przjęt skl: 50 r E + kierunek mksmlnego momentu bezwłdności ϕ D ϕ R F AB Moment bezwłdności kierunek minimlnego momentu bezwłdności A B E F (, 0) (, 0) + D (, ) (, 0) (, 0), 0 5