σ - ułamka granicy plastyczności R e lub granicy proporcjonalności R c.

Transkrypt

1 Rozdził VII Hipoezy wyężeniowe Merił konsrukcji w zeżności od wrunków obciążeni może się znjdowć w różnych snch nprężeń. począku procesu, przy sosunkowo niedużych obciążenich będą o sny sprężyse, nomis w mirę wzrosu obciążeń pojwić się zczną sny psyczne, w niekórych meriłch zniszczeni kruche. W wrunkch ekspocji okreś się dopuszczny poziom nprężeń, kóry nie powinien być przekroczony w żdnym punkcie konsrukcji. jczęściej nprężeni ornicz się k, by cł konsrukcj prcowł w snie sprężysym. Opisne u syucje wymją odwzorowni złożoneo snu nprężeni n sn jednoosioweo rozciąni ub ściskni do czeo służą hipoezy wyężeniowe. Złożony sn nprężeni reprezenuje wówczs nprężenie zredukowne, kóre powinno być mniejsze od nprężeni dopuszczneo zred - ułmk rnicy psyczności R e ub rnicy proporcjonności R c. R e ub n R c n dzie: n- współczynnik bezpieczeńsw. rzy okreśniu snów nprężeń w konsrukcjch pręowych w pierwszym epie d dnych obciążeń zewnęrznych poszukuje się przekrojów, w kórych wysąpi njniekorzysniejsz kombincj sił wewnęrznych. sępnie w przekrojch ych poszukuje się njbrdziej wyężonych punków. Do ich okreśeni sosuje się hipoezy wyężeniowe pozwjące n porównnie złożoneo snu nprężeń ze snem jednoosiowym. W projekowniu njczęściej wykorzysuje się hipoezę Huber Mises Hencky eo H M H enerii odkszłceni poscioweo orz hipoezę njwiększeo nprężeni syczneo Tresci Gues T G. Hipoezy e mją posć zred zred m, 87

2 dzie:,..., - współrzędne ensor nprężeni,,, - nprężeni łówne. W obiczenich prkycznych wżne są przypdki wysępowni nprężeń nących, kiedy hipoez H-M-H m posć orz jednoczesneo wysępowni nprężeń normnych i nących, wówczs ZADAIE 7.. Obiczyć porzebne wymiry przekroju pręów z uwi n nprężeni nące i normne d ukłdu pręoweo jk n rys. 7. wykonneo z meriłu nieiniowo sprężyseo Aε Rys. 7. Dne:,, A,, Szukne:? Rozwiąznie: W rozwżnym ukłdzie wyznczmy rekcje podporowe i wykresy rys. 7.b 88

3 - - - R R M T Rys. 7.b Wymir neży obiczyć z uwi n njniekorzysniejszy zesw sił wewnęrznych. Sąd do dszych obiczeń bierzemy wrości momenów zinjących, sił nących i osiowych wysępujące w nrożu. M, T m m, m sępnie obiczmy momen bezwłdności rzędu ze wzoru J d B C M τ C B Rys. 7.c Obszr jes sumą nsępujących podobszrów 89

4 9 w związku z czym, możemy skorzysć z zeżności d d d d d J Wówczs [ [ [ [ d d d d d d d A zem [ [ [ J Do wyiczeni wymirów przekroju konieczn jes znjomość nprężeń normnych i sycznych w njbrdziej wyężonym punkcie przekroju. W nizownym zdniu punkem ym jes punk C. D punku C wyiczmy wiekości nprężeń normnych i nprężeń nących, korzysjąc ze wzorów d meriłu nieiniowo sprężyseo Aε. prężeni normne d uproszczeni rozwżń wyznczymy pomijjąc wpływ siły osiowej J M m

5 prężenie syczne wyiczmy ze wzoru dzie Tm S d J S d - momen syczny rzędu części przekroju pond nizownym punkem, d szerokość przekroju. D rozwżneo po rys. 7.d momen syczny S wynosi Rys. 7.d S [ d Wówczs orzymmy Aby zprojekowć przekrój skorzysmy z hipoezy H-M-H. Wzór n nprężeni zredukowne d płskieo snu nprężeń m posć zred. 9

6 9 W związku z powyższym ze wzoru z kóreo po podswieniu wyrżeń n nprężeni i orzymmy równnie ebriczne wzędem rubości ierwisek eo równni jes poszukiwną wrością rubości ścinki przekroju skrzynkoweo. Aby rozwiązć o równnie zpiszemy je w posci dzie Sosując podswienie orzymmy Jes o równnie sopni rzecieo ypu e d c b dzie b Dzieąc równnie przez b i podswijąc b c y

7 orzymmy y dzie py q bd c c cd p i q b 7b b W nszym przypdku b c d e zem y orz p ; q Jes o równnie posci e b y py q dzie p, q Wprowdzmy zminę pomocniczą: r η p dzie η ozncz ub, zodnie ze znkiem q. U ns q <, oeż η r W nizownym równniu iość pierwisków rzeczywisych zeży od znku wyróżnik D q p orz znku p D zś p < Możiwe są dw ypy rozwiązń: 9

8 o Gdy D i p < rzeczywise wedy isnieją pierwiski y dzie ϕ y y r cos ϕ o r cos ϕ o r cos ϕ q rc cos rccos r o Gdy D > i p < rzeczywisy wedy isnieje jeden pierwisek r cosh ϕ dzie q coshϕ r W rozwiąznich prkycznych spoykmy się z druim wrinem, zn. D > i p <, w kórym isnieje yko jeden pierwisek rzeczywisy. oszukiwną wrość wymiru wyiczmy ze wzoru, dzie > W rozwiązniu ym nie uwzędniono nprężeń normnych od sił osiowych. D dokłdniejszeo wyznczni wymiru neży wziąć je pod uwę. Wedy nprężenie normne jes sumą nprężeń normnych od dziłni momenów zinjących i sił osiowych. M m M m J 9

9 dzie - poe przekroju Wówczs wrunek n poszukiwny wymir przyjmie posć M Sąd d rozprywneo przekroju orzymmy równnie Dodni pierwisek eo równni jes poszukiwną wiekością. ZADAIE 7.. Obiczyć porzebną rubość środnik dwueownik, z kóreo wykonny jes ukłd pręowy jk n rys. 7.. Merił ukłdu jes nieiniowo sprężysy Aε Dne: q,, A,,? q Rys. 7. Rozwiąznie: W podnym ukłdzie wyznczmy rekcje podporowe i wykresy rys. 7.b 9

10 q H q R q R q q 8 q q M q q q q - T - q q - q - q Rys. 7.b Wymir neży zprojekowć n njniekorzysniejszy zesw sił wewnęrznych. Sąd do dszych obiczeń bierzemy wrość momenów zinjących, sił nących i osiowych z przekroju przywęzłoweo nroż ze srony pionowej M q, Tm q, m m Momen bezwłdności rzędu porzebny do późniejszych obiczeń wyznczymy ze wzoru J d q 9

11 97 Rys. 7.c Obszr jes sumą rzech podobszrów, i W związku z czym momen bezwłdności J wyiczmy z zeżności d d d d J Wówczs [ [ [ [ d d d d d d A zem [ [ [ [ J B B C C M τ

12 Do wyiczeni wymirów przekroju porzebne będą nm wrości nprężeń normnych i sycznych w njbrdziej wyężonym punkcie przekroju, zn. w punkcie C. D punku C wyiczymy wiekości nprężeń normnych orz nprężeń nących τ w oprciu o wzory d meriłu nieiniowo sprężyseo Aε. prężeni normne d uproszczeni rozwżń wyznczmy pomijjąc wpływ siły osiowej M m J q [ q [ prężeni syczne wyiczmy ze wzoru dzie Tm S d J S d - momen syczny rzędu części przekroju pond s nizownym punkem, d szerokość przekroju Rys. 7.d 98

13 99 D rozwżneo po rys. 7.d momen syczny S wynosi [ d S Wykorzysując powyższe zeżności orzymmy [ 9 q W ceu zprojekowni przekroju skorzysmy z hipoezy H-M-H. Wzór n nprężeni zredukowne d płskieo snu nprężeń m posć. zred W nszym zdniu poszukiwną wrość wyiczymy z równni [ [ q q ierwisek powyższej zeżności jes poszukiwną wrością wymiru. Aby rozwiązć o równnie sprowdzimy je do posci dzie q 9 q

14 Sosując podswienie orzymmy jes o równnie sopni rzecieo ypu b c d dzie dzieąc równni przez i podswijąc b y orzymmy y py q dzie c b b bc p i q 7 W nszym przypdku b c d zem y orz p ; q Jes o równnie posci d y py q dzie p, q Wyprowdzmy zmienną pomocniczą r η p, dzie η ozncz ub, zodnie ze znkiem q. U ns q <, oeż η

15 r W nizownym równniu iość pierwisków rzeczywisych zeży od znku wyróżnik D q p orz znku p D zś p < Wówczs możiwe są dw ypy rozwiązń Gdy D i p < wedy isnieją pierwiski rzeczywise ϕ ϕ ϕ cos cos cos o o r y r y r y dzie cos cos ϕ rc r q rc b Gdy < > p D i wedy isnieje jeden pierwisek rzeczywisy ϕ cosh r dzie cosh ϕ r q W rozwiąznich prkycznych spoykmy się z druim wrinem, zn. dy D > i p <, w kórym isnieje yko jeden pierwisek rzeczywisy.

16 oszukiwną wrość równni wyiczmy ze wzoru, dzie > W rozwiązniu ym nie uwzędniono nprężeń normnych od sił osiowych. W ceu dokłdniejszeo wyznczeni wymiru neży wziąć je pod uwę. Wedy nprężenie normne jes sumą nprężeni normneo od dziłni momenów zinjących i sił osiowych. M m M m J dzie 8 - poe przekroju Wówczs wrunek n poszukiwny wymir przyjmie posć M Sąd d rozprywneo przekroju orzymmy równnie [ q q 8 q [ ierwisek eo równni jes poszukiwną, dokłdną wrością wymiru. ZADAIE 7.. D ukłdu pręoweo rys. 7. o przekroju dwueowym wykonneo z meriłu nieiniowo sprężyseo Aε obiczyć porzebną rubość środnik dwueownik

17 p τ Rys. 7. Dne: p,,, Szukne:? Rozwiąznie: W podnym ukłdzie wyznczmy wiekości rekcji podporowych i wykresy sił wewnęrznych rys. 7.b p p p 8 p 9 M p p - - X m T p p - p Rys. 7.b Do obiczeń bierzemy wrości momenów, sił nących i osiowych w njbrdziej niekorzysnym przekroju z uwi n nprężeni nące. Jes nim przekrój w nrożu z ewej srony.