ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB

Transkrypt

1 pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji: t sit g log b c h cos si > d sg. <. Dl ukcji obliczyć: b c e d.. Wyzczyć h ϕ : h b. b c

2 5. Wyzczyć: φφ ψψ φψ ψφ : φ ψ b φ sg ψ. 6. Nszkicowć wykresy ukcji: y b y c y log d y log e y i y log - g l - h -log j g - k g si l g. 7. Wyzczyć ukcję odwrotą do ukcji: y b y c y si. 8. Które z podych ukcji są przyste które ieprzyste: h - b gµ µ-µ c log d kt -t² e log y g y - -. si II. FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE KOŁOWE. Obliczyć: rcsi d rcsi g rccos b rcsi e rccos h rccos c rcsi rcsi i rctg

3 j rctg k rcctg l rcctg m rc si rc si rc tg rc ctg - rccos rcctg - rcsi 7 o rccos - rctgtg π rctg 8 p sircsi.9 r cosrcsi s tgrcsi t tgrctg u sirctg w cos-rccos.. Wyzczyć dziedzię ukcji: g rccos si b g rcsi c g rccos d h rccos e y rcsi y rccos-² g y rc tg h y rcctg- i g rc si j g rcsi k g rccos².. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji: y rctg ² b y rcsi ² c y rccos ² d y rctg e rcsi y rccos. Wykzć Ŝe: rcctg rctg b rcctg πrctg > <.

4 III. GRANICE CIĄGÓW. Obliczyć jeŝeli istieją grice ciągów: b c d e g h i j k K l m o q s u 6 p si! r t 5 7 5! gdzie 5 7 w. IV. GRANICE FUNKCJI. Obliczyć jeŝeli istieją grice ukcji: b c d e 6

5 g h i e j e k si l si si si m si o si α gdzie α β R β p si β si si q sisi r si s π ctg tg si t u w y rctg z gdzie e e 5 α si rctg β cos γ log δ rctg e ν rccos si λ rctg e µ si π l l ρ ctg σ π / 5 tg π ϕ 5 / ψ 5 ω tg si gdzie 5 - >. 5

6 V. POCHODNE FUNKCJI : R R. Obliczyć pochode d d ukcji: b c d e g si cos h i si j cos k si l e m si si tg 5 rctg o rccos p q [ l e e ] r log s ctg rcsi t rcsi u rctg w e v e y e gdzie > z rccos cos tg si l 5 b l l l 6

7 b l rccos b log b si cos b 5 si cos tg b 6 si si si b 7 log.. Obliczyć pochode: jeŝeli e b " jeŝeli rcsi c g " jeŝeli g si e d ϕ r jeŝeli r ϕ siϕ e g jeŝeli g jeŝeli rctg g dg d gdzie g > h dg d gdzie < > g < > i dg d gdzie < > g < > j dg d gdzie > g 6 k dh d gdzie h l dg d gdzie g m dh d gdzie h 7

8 8 d dg gdzie g si o d dh gdzie < h p d dg gdzie > < g q d dg gdzie > g r d dg gdzie g s d dg gdzie > g t d d gdzie u d d orz b d d gdzie > < > < b R b b \ w d d gdzie { } \ si R v d d gdzie si.

9 VI. ZASTOSOWANIE POCHODNYCH.Stycze do krzywych: Wyzczyć styczą do krzywej: y. w pukcie.8 y si w pukcie π 9 l y e. b Wyzczyć kąt między styczymi do krzywych y y w pukcie ich przecięci. c Wyzczyć pukty w których krzyw y m stycze rówoległe do osi OX. Wyzczyć te stycze. d Pod jkim kątem krzyw y l przeci oś OX? w pukcie e e Obliczyć jki kąt z osią OX tworzy stycz do prboli 8 y w pukcie 6. Obliczyć w jkim pukcie stycz do krzywej y 9 jest rówoległ do osi OX. π g W jkim pukcie stycz do krzywej y 8 tworzy z osią OX kąt? h N krzywej y e zleźć pukt w którym stycz jest rówoległ do prostej y 7. i Dl jkich b c R prost y jest stycz do prboli y b c? j Wyzczyć kąt przecięci się krzywych: y y. k Oblicz kąt który z osią OX tworzy stycz do krzywej si l Zleźć pukt krzywej y 5..Ekstremsymptoty i pukty przegięci ukcji. Wyzczyć ekstrem ukcji: y w pukcie. e e y w którym stycz jest prostopdł do prostej l e l.

10 b Dl jkich b c R ukcj y b c w pukcie m miimum rówe. c Wyzczyć jmiejszą i jwiększ wrtość ukcji : c g 5 w przedzile < > c w przedzile < > c g si si w przedzile < π > c g e w przedzile < >. d Który z prostokątów o zdym polu S m jmiejszy obwód? e Który z trójkątów rówormieych wpisych w koło o promieiu r m jwiększy obwód? Który z trójkątów o dym obwodzie p i dym boku m jwiększe pole? g Który ze stoŝków wpisych w kulę o dym promieiu R m jwiększą objętość? h Dl jkich dodtich R sum m jwiększą wrtość? i Odciek o zdej długości podzielić tkie dw odciki by pole prostokąt zbudowego z tych odcików było jwiększe. j W kulę o promieiu R wpiso wlec o jwiększej objętości. Zleźć promień podstwy i wysokość tego wlc. k Który z trójkątów o dych bokch i b m jwiększe pole? l Dobrć α R tk by ukcj α mił pukt przegięci. m Wyzczyć symptoty krzywych: m m m m y l e m 5 y m 6 e..wzór Tylor i obliczie wrtości ukcji. Npisć wzór Tylor ukcji: π g si g 8 5 tg si cos π e.

11 b Obliczyć przybliŝoą wrtość ukcji: b rcsi.5 b rctg. b log b. c Obliczyć: c cos z dokłdością. c si 8 z dokłdością. c e z dokłdością 5. d Oszcowć błąd wzoru przybliŝoego: d d d d d 5 si 6 e!!! e < >!! cos <. >! 8 < >. 8. Przebieg zmieości i wykresy ukcji. Zbdć przebieg zmieości i szkicowć wykres ukcji: g l b g l e c 8 g e d h e h e h.

12 VII. RACHUNEK RÓśNICZKOWY FUNKCJI : R R. Pochode cząstkowe i kierukowe. Obliczyć pochode cząstkowe stępujących ukcji: y y y y y y y e y y y y y 5 y y. b Obliczyć pochode h h y ukcji h y y y. c Wykzć Ŝe ukcj: t c u t si spełi rówie u u u t t u u c u t l t spełi rówie t t l T T c T l g π spełi rówie l g g l g u c u y z y z spełi rówie u u. y z d Obliczyć pochode kierukowe: dg d gdzie gy - -y h dh - d d dh gdzie y y y h - d d dh gdzie y - -y h-.

13 e Obliczyć róŝiczkę zupełą d y ukcji: e yy- y y. y. e y e y y. y-.. Obliczyć róŝiczkę zupełą d gy ukcji: gy y gye y y gy l y gy 5y.. Ekstrem ukcji Obliczyć ekstrem ukcji: y y -8y yyy- -y gst6st-t -s hy y 5 y y y--y 6 gur u r u r.. Wzór Tylor ukcji : R R Npisć wzór Tylor ukcji: y e si y y m b y y m y c y e rctg y y m d y y y e m.