Całki oznaczone. wykład z MATEMATYKI

Transkrypt

1 Cłki oznzone wkłd z MATEMATYKI Budownitwo, studi niestjonrne sem. I, rok k. 28/29 Ktedr Mtemtki Wdził Informtki Politehnik Biłostok 1 Podstwowe pojęi 1.1 Podził P przedziłu, Nieh f ędzie funkją ogrnizoną n przedzile, k n = k 1 k n 1 n = k n Podził P przedziłu, : = < 1 < 2 <... < n 1 < n =. Długość k-tego podprzedziłu: k = k k 1. Średni podziłu P (długość njdłuższego podprzedziłu): δ(p) = m 1 k n k. Punkt pośredni podziłu (dowoln punkt z k-tego podprzedziłu): k, k k 1, k. 1.2 Sum łkow Nieh funkj f ędzie ogrnizon n przedzile, orz nieh P ędzie podziłem tego przedziłu, A def = { 1, 2,..., n} ziorem punktów pośrednih. Definij 1 (sum łkow). Sum łkową z funkji f n przedzile, odpowidjąą podziłowi P i punktom pośrednim A nzwm lizę n f( k) k. k=1 1

2 Budownitwo studi niestjonrne sem I, 28/29 MATEMATYKA - wkłd Ktedr Mtemtki Interpretj geometrzn sum łkowej Jeżeli funkj f przjmuje wrtośi nieujemne n przedzile,, to sum łkow jest przliżeniem pol trpezu krzwoliniowego ogrnizonego wkresem funkji f, osią OX i prostmi =, = przez sumę pól prostokątów o podstwh k i wsokośih f( k ), gdzie 1 k n. ( 3, f( 3 )) = f() = = = f() = f() = n = n = 18 = n = n = 3 = f() = f() = n = n = 6 = n = n = 1 2 Oprowł: Młgorzt Wrws

3 Budownitwo studi niestjonrne sem I, 28/29 MATEMATYKA - wkłd Ktedr Mtemtki 2 Cłk oznzon Riemnn Definij 2. Nieh funkj f ędzie ogrnizon n przedzile,. Cłką oznzoną Riemnn z funkji f n przedzile, nzwm lizę, którą oznzm smolem f()d i definiujem wzorem: n f()d def = lim f( k) k, δ(p) k=1 o ile grni po prwej stronie znku równośi jest włśiw i nie zleż od sposou podziłu P przedziłu, ni od sposou woru punktów pośrednih k, gdzie 1 k n. Przjmujem: f()d def =, f()d def = f()d, dl <. 2.1 Interpretj geometrzn łki oznzonej Riemnn Nieh f ędzie funkją iągłą i nieujemną n przedzile,. Wówzs ogrnizonej wkresem funkji f, osią OX orz prostmi = i =. f()d jest równ polu figur D = {(, ) : f()} = f() f()d = D D = {(, ) : f() } f()d = D = f() Twierdzenie 3 (Newton-Leiniz). Jeżeli funkj f jest iągł n przedzile,, to f()d = F () = F () F (), gdzie F oznz dowolną funkję pierwotną funkji f n tm przedzile. Przkłd 4. 1 ( 3 + 1)d = e d =... 3 Oprowł: Młgorzt Wrws

4 Budownitwo studi niestjonrne sem I, 28/29 MATEMATYKA - wkłd Ktedr Mtemtki Twierdzenie 5 (włsnośi łki oznzonej). Jeżeli funkje f i g są łkowlne n przedzile,, to: (f() + g())d = f()d + g()d. (f() g())d = f()d g()d. [ f()] d = f()d, R. Przkłd 6. 1 (2 3e )d =... Twierdzenie 7 (o ddtwnośi łki względem przedziłów łkowni). Jeżeli funkj f jest łkowln n przedzile, orz,, to f()d = f()d + f()d. Przkłd d =... Twierdzenie 9 (o łkowniu przez zęśi). Jeżeli funkje f i g mją iągłe pohodne n przedzile,, to Przkłd 1. ln 3 e d =... f() g ()d = f() g() f () g()d. π sin d =... e 1 ln 2 d =... 4 Oprowł: Młgorzt Wrws

5 Budownitwo studi niestjonrne sem I, 28/29 MATEMATYKA - wkłd Ktedr Mtemtki Twierdzenie 11 (o łkowniu przez podstwienie). Jeżeli 1 funkj f jest iągł n przedzile, 2 ϕ : α, β n, m iągłą pohodną n przedzile α, β, 3 ϕ(α) =, ϕ(β) =, to f()d = β α f(ϕ(t))ϕ (t)dt. Przkłd d =... 2 e 2 d =... 3 Wrtość średni funkji Definij 13. Wrtośią średnią funkji f n przedzile, nzwm lizę def f śr = 1 f()d. Uwg 14. Wrtość średni funkji f n przedzile, jest wsokośią prostokąt o podstwie długośi, którego pole jest równe polu trpezu krzwoliniowego ogrnizonego wkresem funkji f, osią OX orz prostmi =, =. = f() f śr Przkłd 15. Poziom wod w ziorniku wrż się (w metrh) wzorem przliżonm h(t) = sin πt, gdzie t 24 oznz zs lizon w godzinh. Oliz średni poziom wod w tm ziorniku 24 w zsie do. Twierdzenie 16. Jeżeli funkj f jest iągł n przedzile,, to w tm oszrze istnieje punkt (, ), tki że f śr = f(), tzn. f()d = ( )f(). 5 Oprowł: Młgorzt Wrws

6 Budownitwo studi niestjonrne sem I, 28/29 MATEMATYKA - wkłd Ktedr Mtemtki 4 Funkj górnej grni łkowni Definij 17. Nieh funkj f ędzie łkowln n przedzile, orz nieh,. Funkję F () = f(t)dt, gdzie,, nzwm funkją górnej grni łkowni. Twierdzenie 18. Jeżeli funkj f jest łkowln n przedzile,, to funkj górnej grni łkowni F () = f(t)dt, gdzie,, jest iągł n,. 4.1 Interpretj geometrzn funkji górnej grni łkowni = f() F () = =pole Uwg 19. Zuwżm, że F () =. Twierdzenie 2. Jeżeli funkj f jest łkowln n przedzile, orz jest iągł w punkie,, to funkj górnej grni łkowni F () = f(t)dt, gdzie,, m pohodną włśiwą w punkie orz F ( ) = f( ). 6 Oprowł: Młgorzt Wrws

7 Budownitwo studi niestjonrne sem I, 28/29 MATEMATYKA - wkłd Ktedr Mtemtki 5 Zstosowni geometrzne łek oznzonh Pole trpezu krzwoliniowego Nieh funkje f orz g ędą iągłe n przedzile, orz nieh f() g() dl kżdego,. Wted pole trpezu krzwoliniowego D ogrnizonego wkresmi funkji f i g orz prostmi =, = wrż sie wzorem: D = [g() f()]d. = g() D D = {(, ) : f() g()} = f() Nieh funkje p orz q ędą iągłe n przedzile, d orz nieh p() q() dl kżdego, d. Wted pole trpezu krzwoliniowego D ogrnizonego wkresmi funkji p i q orz prostmi =, = d wrż sie wzorem: d D = [q() p()]d. d = p() D = q() D = {(, ) : d p() q()} Długość łuku krzwej Nieh funkj f m iągłą pohodną n przedzile,. Wted długość łuku krzwej Γ = {(, f()) :, } wrż sie wzorem: Γ = 1 + [f ()] 2 d. Γ = f() Γ = {(, f()) :, } 7 Oprowł: Młgorzt Wrws

8 Budownitwo studi niestjonrne sem I, 28/29 MATEMATYKA - wkłd Ktedr Mtemtki Ojętość rł orotowej Nieh funkj nieujemn f ędzie iągł n przedzile,. Nieh T oznz trpez krzwoliniow ogrnizon wkresem funkji f, osią OX orz prostmi =, =. Wted ojętość rł V powstłej z orotu trpezu T wokół osi OX wrż sie wzorem: V = π [f()] 2 d. = f() Pole powierzhni orotowej Nieh funkj f m iągłą pohodną n przedzile,. Wted pole powierzhni Σ powstłej z orotu wkresu funkji f wokół osi OX wrż sie wzorem: Σ = 2π f() 1 + [f ()] 2 d. = f() 8 Oprowł: Młgorzt Wrws

9 Budownitwo studi niestjonrne sem I, 28/29 MATEMATYKA - wkłd Ktedr Mtemtki 6 Cłki niewłśiwe 6.1 Cłki niewłśiwe pierwszego rodzju Definij 21. Nieh funkj f :, + ) R ędzie łkowln n przedziłh, T dl kżdego T >. Cłkę niewłśiwą pierwszego rodzju funkji f n przedzile, + definiujem wzorem: + f()d def = lim T T + f()d. Jeżeli grni po prwej stronie znku równośi jest skońzon, to mówim, że łk niewłśiw f()d jest zieżn. Jeżeli grni t jest równ + lu, to mówim, że łk jest rozieżn odpowiednio do + lu. W pozostłh przpdkh mówim, że łk jest rozieżn. Definij 22. Nieh funkj f : (, R ędzie łkowln n przedziłh S, dl kżdego S <. Cłkę niewłśiwą pierwszego rodzju funkji f n przedzile (, definiujem wzorem: f()d def = lim S S f()d. Jeżeli grni po prwej stronie znku równośi jest skońzon, to mówim, że łk niewłśiw + f()d jest zieżn. Jeżeli grni t jest równ + lu, to mówim, że łk jest rozieżn odpowiednio do + lu. W pozostłh przpdkh mówim, że łk jest rozieżn. Definij 23. Nieh funkj f : R R ędzie łkowln n przedziłh S, T dl S, T, tkih że < S < T < +. Cłkę niewłśiwą pierwszego rodzju funkji f n przedzile (, + definiujem wzorem: + f()d def = f()d + + f()d, gdzie R. Jeżeli oie łki po prwej stronie znku równośi są zieżne, to mówim, że łk + f()d jest zieżn. Jeżeli jedn z th łek jest rozieżn do lu +, drug jest zieżn lo rozieżn odpowiednio do lu +, to mówim, że łk jest rozieżn do lu +. W pozostłh przpdkh mówim, że łk t jest rozieżn. 9 Oprowł: Młgorzt Wrws

10 Budownitwo studi niestjonrne sem I, 28/29 MATEMATYKA - wkłd Ktedr Mtemtki 6.2 Cłki niewłśiwe drugiego rodzju Definij 24. Nieh funkj f : (, R ędzie nieogrnizon n prwostronnm sąsiedztwie punktu orz łkowln n przedziłh + ε, dl kżdego < ε <. Cłkę niewłśiwą drugiego rodzju funkji f n przedzile (, definiujem wzorem: f()d def = lim ε + +ε f()d. Jeżeli grni po prwej stronie znku równośi jest skońzon, to mówim, że łk niewłśiw f()d jest zieżn. Jeżeli grni t jest równ + lu, to mówim, że łk jest rozieżn odpowiednio do + lu. W pozostłh przpdkh mówim, że łk jest rozieżn. Definij 25. Nieh funkj f :, ) R ędzie nieogrnizon n lewostronnm sąsiedztwie punktu orz łkowln n przedziłh, ε dl kżdego < ε <. Cłkę niewłśiwą drugiego rodzju funkji f n przedzile, ) definiujem wzorem: ε f()d def = lim f()d. ε + Jeżeli grni po prwej stronie znku równośi jest skońzon, to mówim, że łk niewłśiw f()d jest zieżn. Jeżeli grni t jest równ + lu, to mówim, że łk jest rozieżn odpowiednio do + lu. W pozostłh przpdkh mówim, że łk jest rozieżn. Definij 26. Nieh funkj f :, \ {} R, gdzie (, ), ędzie nieogrnizon n oustronnh sąsiedztwh punktu orz łkowln n przedziłh, ε, + ε, dl kżdego <ε<min{, }. Cłkę niewłśiwą drugiego rodzju funkji f n przedzile, definiujem wzorem: f()d def = f()d + f()d. Jeżeli oie łki po prwej stronie znku równośi są zieżne, to mówim, że łk f()d jest zieżn. Jeżeli jedn z th łek jest rozieżn do lu +, drug jest zieżn lo rozieżn odpowiednio do lu +, to mówim, że łk jest rozieżn do lu +. W pozostłh przpdkh mówim, że łk t jest rozieżn. 1 Oprowł: Młgorzt Wrws