ZBIORY ROZMYTE I WNIOSKOWANIE PRZYBLIŻONE

Transkrypt

1 METODY HEURYSTYCZNE wkłd 5 ZBIORY ROZMYTE I WNIOSKOWNIE PRZYBLIŻONE 965 Lotfi. Zdeh: Fuzz sets Metod reprezentcji wiedz wrżonej w jęzku j nturlnm: Tempertur wnosi 9 o C informcj liczow - nturln dl sstemów w komputerowch. Jest dość ciepło informcj opisow - nturln dl człowiek. In lmost ever cse ou cn uild the sme product without fuzz logic, ut fuzz is fster nd cheper. Prof. Lotfi Zdeh, UC Berkele, Inventor of Fuzz Logic 3 Klsczn teori ziorów: : dowoln element nleż lu nie nleż do dnego zioru. Teori ziorów w rozmtch: element może częś ęściowo nleżeć do pewnego zioru. 4 Zmist dwóch wrtości logicznch (prwd i fłsz) nieskończenie wiele wrtości [,]. młod człowiek owiek : młod młod.8 Oszr rozwżń X (thethe universe of discourse) discourse - ziór nierozmt (np. np. płc p w UK i w Polsce). Ziór r rozmt w pewnej przestrzeni (niepustej) X - ziór r pr: (, ( )); X { } 3 klscznie [lt] 3 [lt] sposó rozmt () funkcj prznleżno ności zioru rozmtego. Umożliwij liwiją formlne określenie pojęć niepreczjnch i wielozncznch: - wsoki hłs s, - młe e zroki, - niskie zużcie pliw. 5 Funkcj prznleżno ności przpisuje kżdemu ele- mentowi X stopień jego prznleżno ności do zioru rozmtego 6

2 ()) pełn prznleżność elementu do ZR ; ()) rk prznleżności do ZR ; < () < częściow prznleżność do ZR. Stopień prznleżności to nie jest prwdopodoieństwo: młod w 8% to nie 4 młodch n 5 Smoliczn zpis ZR o skończonej liczie elementów: ( ) ( ) ( ) ( ) n n i n i i sum mnogościow przporządkownie 7 Np. Ciepł wod n senie : Oszr rozwżń: X [5,,..., 35] Ziór r rozmt (według oso nr ): Według oso nr : X - przestrzeń o nieskończonej liczie elementów, to zpis smoliczn: ( ) 8 Np. Ziór r licz liskich liczie 7 : 7 ) ( - ( -7) ) + + ( 7) ( ) Np. Ziór r licz liskich liczie 7 : 7 ( ) -7 jeżeli 4 ( ) 3 w przeciwnm rzie STNDRDOWE FUNKCJE PRZYNLEŻNO NOŚCI GUSSOWSK F. PRZYNLEŻNO NOŚCI ' ( ; ', ) ep ().5 ' środek; określ szerokość krzwej.5

3 F. PRZYNLEŻNO NOŚCI KLSY s dl - dl c- sc ( ;,, ) - c dl c c- dl c ( ) + c F. PRZYNLEŻNO NOŚCI KLSY π (zdef.. poprzez klsę s) s( c ; - c, - /, c) dl π ( c ;, ) - s( ; c, c+ /, c+ ) dl c ( ).5.5 c 3 c- c-/ c c+/ c+ 6 4 F. PRZYNLEŻNOŚCI KLSY γ (lterntw dl s) dl γ ( ;, ) dl dl ( ) F. PRZYNLEŻNOŚCI KLSY L ( ) dl - L ( ;, ) - dl dl 5 F. PRZYNLEŻNO NOŚCI KLSY t (lterntw dl π) ( ).5 c- c-/ c c+/ c+ 6 ( ) dl dl tc ( ;,, ) c dl c c dl c c 6 F. PRZYNLEŻNO NOŚCI KLSY singleton ( ) ( - ') jeżeli ' δ jeżeli ' ( ) prędko smochodu: X: [, m ] Mł prędko smochodu () tp L Średni prędko smochodu (B) tp t Duż prędko smochodu (C) tp γ.5 () B () C ().5 ' Singleton chrkterzuje jednoelementow ziór r rozmt. Funkcj t jest wkorzstwn głównie g do opercji rozmwni w sstemch wnioskującch m ()).5, B ().75, C () cch. 7 8

4 () α Jądro α - przekrój Bz Nośnik (z) zioru rozmtego : ziór elementów ZR, dl którch ()) > supp X; ( ) > { } α -przekrój zioru rozmtego : ziór nierozmt tki, że: X : ( ) ( [,] { } α α α Jądro zioru rozmtego : z. elementów ZR, dl którch () core( ) { X : ( ) } 9 α -przekroje: X{,..., } X {,..., },. {, 4, 5, 8, },.3 {4, 5, 8, },.6 {5, 8},.7 {5}. Wsokość zioru rozmtego : Ziór r normln: Normlizcj zioru: h( ) sup ( ) h( ) - przed normlizcją: - po normlizcji: ( ) ( ) N h( ) X N Inkluzj (zwiernie sie ZR w ZR B): () () ZR wpukł: B () () ZR niewpukł: () Równość dwu ZR i B: ( ) ( ) X B OPERCJE N ZBIORCH ROZMYTYCH 3 PRZECIĘCIE W literturze istnieje wiele definicji przecięci (ilocznu) ziorów rozmtch pod wspólną nzwą T-norm. ( ) T ( ( ), ( )) B B Njczęściej stosown definicj przecięci ziorów i B: { } ( ) min ( ), ( ) B B lu (iloczn lgericzn): B( ) ( ) B( ) () () () () B () B () () B () () B () 4

5 SUM () B () () B () Definicje sum ziorów rozmtch mją nzwę S-norm. () { } ( ) m ( ), ( ) B B DOPEŁNIENIE zioru rozmtego: ˆ( ) ( ) () Dl ZR nie są spełnione prw dopełnieni: ˆ ˆ () Â () Przkłd: Przecięcie: Sum: X {,,3,4,5,6,7}.5.8 B B B X 5 6 Przkłd d: X {,3,4,5,6,7} Przecięcie: Sum: ˆ ˆ ˆ X LICZBY ROZMYTE 7 8 Licz rozmte to ZR zdefiniowne n osi licz rzeczwistch. Wmgni: np.: dodtnie ujemne; () ni dodtnie ni ujemne. ziór normln: h(); ziór wpukł; funkcj prznleżności przedziłmi ciągł. () ZSD ROZSZERZNI: Zsd rozszerzni pozwl przenieść (rozszerzć) różne opercje mtemtczne ze ziorów nierozmtch n zior rozmte (w tm równier wnież n licz rozmte). dodwnie odejmownie mnożenie dzielenie B B B B ( ) sup min{ ( ), ( )} B, + ( ) sup min{ ( ), ( )} B, ( ) sup min{ ( ), ( )} B, ( ) sup min{ ( ), ( )} B, : 9 3

6 ZSD ROZSZERZNI: Zsd rozszerzni pozwl przenieść (rozszerzć) różne opercje mtemtczne ze ziorów nierozmtch n zior rozmte (w tm równier wnież n licz rozmte). Dodwnie licz rozmtch: + B( ) m { ( ), B( z) + z} () B (z) +B () Nie zwsze wnikiem opercji rtmetcznch n liczch rozmtch jest licz rozmt... Twierdzenie (Duois, Prde): Jeżeli eli licz rozmte i mją ciągłe funkcje prznleżno ności, to wnikiem opercji rtmetcznch dodwni, odejmowni, mnożeni i dzieleni sąs licz rozmte. 3 Mnożenie licz rozmtch: B ( ) min { ( ), B( z) z} () B (z) B () 3 Trójk jkątne licz rozmte: Opis: - f. prznleżno ności kls t; - jko: (, M, ) Wostrznie trójk jkątnej () licz rozmtej: M () M + 4 () M (3) (4) M M 33 Płskie licz rozmte: () 34 Logik trdcjn (dwuwrtościow): PRZYBLIŻONE WNIOSKOWNIE O prwdziwości zdń wnioskuje się n podstwie prwdziwości innch zdń. Schemt notowni: Nd kreską zdni, n podstwie którch się wnioskuje; Pod kreską otrzmn wniosek. prwdziwe są wszstkie zdni powżej kreski to prwdziw jest też wniosek. Terz:, B zdni

7 : logiczną wrtości cią zdni jest prwd; : logiczną wrtości cią zdni jest fłsz sz. Funktor logiczne: Opercj logiczn Funktor Czt się: negcj ~ lu nie jest prwdą, że... koniunkcj i, orz lterntw lu implikcj jeżeli... to... równowżność wted i tlko wted, gd... tożsmość jest tożsme... kwntfiktor ogóln kwntfiktor szczególn dl kżdego... istnieje tkie Implikcj (wniknie): Zdnie logiczne o strukturze jeśli p to q" " (p q)( p poprzednik implikcji; q nstępnik implikcji. Implikcj jest prwdziw: gd q jest prwdziwe; gd p i q są fłszwe. 38 REGUŁY WNIOSKOWNI MODUS PONENS Modus ponendo ponens sposó wnioskowni przez twierdzenie p do twierdzeni q. Przesłnk: Implikcj: Wniosek: B Z prwdziwości przesłnki i implikcji wnik prwdziwość wniosku. Jcek jest kierowcą B Jcek m prwo jzd to B B 39 MODUS TOLLENS Modus tollendo tollens sposó wnioskowni prowdząc przez przeczenie do przeczeni. Przesłnk: Implikcj: ~B B Wniosek: ~ Z prwdziwości przesłnki i implikcji również wnik prwdziwość wniosku. B (~B( ~B) Jcek nie m prw jzd (~) Jcek nie jest kierowcą B to 4 REGUŁY Y WNIOSKOWNI W LOGICE ROZMYTEJ Reguł, którch przesłnki lu wnioski wrżone sąs w jęzku j ziorów w rozmtch. Reguł pochodzące ce od ekspertów zwkle wrżone sąs w jęzku j niepreczjnm. Zior rozmte pozwlją przełożć ten jęzk j n konkretne wrtości liczowe. Prc sstemu deczjnego oprtego n logice rozm- tej zleż od definicji reguł rozmtch w zie reguł. 4 Reguł mją postć IF...ND...THEN. np.: IF is ND is B THEN c is C IF is ND is NOT B THEN c is C gdzie:,, c zmienne lingwistczne,,,..., C zior rozmte. Zmienne lingwistczne: zmienne, które przjmują jko wrtości słow zdni wpowiedzine w jęzku nturlnm. (również wrtości liczowe). lu 4

8 Różnice w porównniu z klscznmi regułmi IF-THEN THEN: Wkorzstnie zmiennch opisującch zior rozmte; Wstępownie mechnizmu określj ljącego stopień prznleżno ności elementu do zioru; Wkorzstnie opercji n ziorch rozmtch. Schemt wnioskowni, w którm przesłnk nk, implikcj i wniosek są niepreczjne: Przesłnk: Implikcj: Wniosek: Prędko smochodu jest duż prędko smochodu jest rdzo duż poziom hłsu su jest wsoki Poziom hłsu su jest średniowsoki 43 Przesłnk: Implikcj: Wniosek: Rozmt reguł wnioskowni modus ponens : Przesłnk: Implikcj: Wniosek: jest jest jest B jest B Prędko smochodu jest duż prędko smochodu jest rdzo duż poziom hłsu su jest wsoki Poziom hłsu su jest średniowsoki 44 Przesłnk: Implikcj: Wniosek: Zmienne lingwistczne: prędko smochodu poziom hłsu su Prędko smochodu jest duż prędko smochodu jest rdzo duż poziom hłsu su jest wsoki Poziom hłsu su jest średniowsoki Ziór wrtości zmiennch lingwistcznch: : : T{ m mł, średni, duż, rdzo duż } : : T{ m mł, średni, średniowsoki, wsoki } 45 Tu: prę smochodu jest rdzo duż ; prę smochodu jest duż ; B poziom hłsu su jest wsoki ; B poziom hłsu su jest średniowsoki. Do kżdego elementu ziorów T i T możn przporządkow dkowć ziór r rozmt o złożonej onej przez ns funkcji prznleżno ności. Implikcj m tąt smą postć ( B) w regule rozmtej jk i w nierozmtej. W regule rozmtej jej przesłnk nie dotcz z. rozmtego lecz, któr może ć zliżon do,, le niekoniecznie. 46 Poniewż - wniosek jest inn niż ł w przpdku reguł nierozmtej. Ziór r rozmt B jest określon przez złożenie z zioru rozmtego orz implikcji B: B ' ' ( B) Rozmt reguł wnioskowni modus tollens : Przesłnk: Implikcj: Wniosek: jest B jest jest B jest 47 Wzncznie funkcji B (,) gd () orz B () są znne:. Reguł Mmdniego:. Reguł Lrsen: B(, ) ( ) B( ) 3. Reguł Łuksiewicz: B(, ) min,- ( ) + B( ) 4. Reguł Zdeh: B(, ) m min [ ( ), B( ) ], ( )... (, ) min[ ( ), ( )] B B [ ] { } 48

9 STEROWNIKI ROZMYTE Nie wmgją tworzeni modelu rozwżnego procesu (co często jest trudne); Nleż jednie sformułowć zsd postępowni w postci rozmtch reguł (IF( IF....THEN). Schemt ukłdu klimtzcji: pomieszczenie czujnik tempertur STEROWNIK ROZMYTY czujnik wilgotności KLIMTYZTOR 49, zmierzone wrtości wejściowe; sgnł sterując (intenswność chłodzeni). 5 Zstosowni prktczne: sprzęt t GD (prlki, lodówki, odkurzcze); kmer (utofokus( utofokus); ndzór r wentlcji w tunelch; sterownie świtłmi mi n wjeździe n utostrdę; klimtzcj; utomtk przemsłow; sterownie rootów;... 5 STEROWNIK ROZMYTY: BLOK ROZMYWNI ' X BZ REGUŁ BLOK WNIOSKOWNI Bz reguł (model lingwistczn): ziór r rozmtch reguł w postci: BLOK WYOSTRZNI ( k ) R : IF ( is ND is ND is ) THEN ( B ND B ND ) B' k k k n n k k k is is m is Bm 5 Np. Sterownie ogrzewniem: R Cen Tempertur ogrzewni mróz zimno chłodno tnio mocno mocno średnio średnio mocno średnio sło drogo średnio sło wcle () R : IF is ND is () ( Tempertur mróz Cen _ ogrz tnio) THEN ( Grzć is mocno) : IF ( Tempertur is chłodno ND Cen _ ogrz is drogo) THEN ( Grzć is wcle) 53 ROZMYWNIE (fuzzfikcj) Przejście od pomirów (konkretn wrtość ) do funkcji prznleżno ności przez określenie stopni przn- leżno ności zmiennch lingwistcznch do kżdego ze ziorów w rozmtch. Tempertur: T 5 C Cen_ogrz: p 48zł/MBTU (3) R : IF ( Tempertur is chłodno ND Cen _ ogrz is tnio) THEN ( Grzć is średnio).5 5 C chłodno (T) T.3 tnio (p) 48zł/MBtu p 54

10 .5 chłodno (T) C T tnio (p).3 48zł/MBtu p WNIOSKOWNIE Olicznie stopni prwdziwości wniosku: Wnioskownie MIN: wniosku min{, } cłe średnio Stopień spełnieni reguł dl wszstkich przesłnek: ( ) min{ ( T ), ( p)} cłe chłodno tnio średnio (h) min{.5,.3} 3. poziom zpłonu reguł cłe.3 wniosku (h) h GREGCJ Jeżeli eli więcej niż jedn reguł m niezerow poziom zpłonu, wniki (zior rozmte) sumuje się. wniosku THEN Grzć is sło THEN Grzć is średnio THENGrzć is mocno WYOSTRZNIE (defuzzfikcj) Jeżeli n wjściu wmgn jest wrtość liczow,, stosuje się jedną z metod wostrzni: Metod pierwszego mksimum: Metod środk mksimum: sło średnio mocno h Metod środk ciężkości (COG): Tu: wniosku sło średnio mocno COG 57 h i i h c i i i i powierzchni zioru i i stopień prznleżno ności do zioru i c i środek cięż ężkości zioru i i STEROWNIKI ROZMYTE TKGI-SUGENO ci zioru i. 59 6

11 Bz reguł sterownik m chrkter rozmt tlko w częś ęści IF. W częś ęści THEN wstępuj pują zleżno ności funkcjne. R () : IF prę is nisk THEN hmownie prę R () : IF prę is średni THEN hmownie 4 prę R (3) : IF prę is wsok THEN hmownie 8 prę Reguł Mmdniego: : wnikiem jest ziór r rozmt B: IF ND n n THEN B.8 nisk średni wsok Reguł Tkgi-Sugeno Sugeno: : wnikiem jest funkcj f ( i ): IF ND n n THEN f (,,.. n ).3. Prę Zwkle sąs to funkcje liniowe : f ( i ) + + n n 6 R () : w.3; r R () : w.8; r 4 R (3) : w 3.; r 3 8 i i w r Hmownie 7. w i 6 PROJEKTOWNIE BZ REGUŁ Stworzenie z wiedz dl ukłdu rozmtego zdnie nietrwilne... Sitk Indwidulne funkcje Informcj niezędn do zprojektowni sterownik: numerczn (ilościow) z czujników w pomirowch; lingwistczn (jkościow) od ekspert Sitki: proste i skuteczne; łączenie dnch numercznch i nienumercznch poprzez uzupełninie istniejącej z reguł o nowe reguł ( (n n podstwie dnch uczącch cch); N k oszrów w dl k wmirów w i N funkcji; - często sł proksmcj. ( ) ( ) Zdnie: Ustlenie reguł rozmtch tk, sterownik generowł włściwe sgnł wjściowe ciowe.. Określenie zkresu zm. dnch WE [ - i, + i ] i WY [ - i, + i ] Funkcje indwidulne: dokłdniejsze, lepsz proksmcj, mniej funkcji; trudniejsze w implementcji ()

12 . Podził zkresów w n podoszr, np.: n N+ M N,..., M, S, D,..., D N i przjęcie funkcji prznleżno ności (np. trójk jkątnej) dl kżdego z podoszrów. 3. Określenie stopni prznleżno ności kżdego z sgn-łów WE i WY do kżdego z podoszrów. ( ) M M S D D ( ) M 3 M M S D D D 3 ( ) M M S D D ( ) M 3 M M S D D D () () () () () () M M S D D M M S D D () () + 68 tu: - StPrzn do D.8,, do D.,, do innch ; - m njwiększ StPrzn do D, do M - Dl kżdej pr dnch uczącch cch możn npisć jedną regułę łę. 4. Przporządkownie stopni prwdziwości (SP( SP) ) do kżdej reguł. ( ) M M S D D ( ) M 3 M M S D D D 3 ( ) M M S D D ( ) M 3 M M S D D D () () () () () () () () () () M M S D D M M S D D - () () () () + 7 Np. dl reguł: IF ( is ND is ) THEN is B () ( ) () ( ) S S D SP R ( ) ( ) ( ) D M S SP R ( ) ( ) ( ) pewne reguł okzują się sprzeczne wier się regułę o njwiększm stopniu prwdziwości ci. 5. Utworzenie z reguł rozmtch n podstwie tlic: D 3 ( ) M M S D D ( ) M 3 M M S D D D () () - () () + D D S M M S () M 3 M M S D D M M S D D - () () + 7 R () : IF ( is D ND is M ) THEN is S 7