Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Całkowanie numeryczne. Definicje, twierdzenia, algorytmy

Transkrypt

1 sle/teching/n-wdrpdf Anliz numeryczn Stnisłw Lewnowicz Styczeń 008 r Cłownie numeryczne Definicje, twierdzeni, lgorytmy 1 Pojęci wstępne Niech IF IF [, b] ozncz zbiór wszystich funcji cłowlnych w przedzile [, b] Funcjonł liniowy I, odwzorowujący IF w zbiór liczb rzeczywistych R, oreślmy nstępująco: (11) I(f) := f(x) dx (f IF ) Funcjonł Q n : IF R, postci (1) n Q n (f) := A f(x ), n N \ {0} Q n nzywmy wdrturą liniową, liczby A A (n) ( = 0, 1,, n) współczynnimi (wgmi), liczby x x (n) ( = 0, 1,, n) węzłmi wdrtury Q n Cł (11) stnowi szczególny wypde ogólniejszej cłi I p : IF R, oreślonej wzorem (1) I p (f) := p(x)f(x) dx (f IF ), funcj wgow p jest dodtni w (, b) i t, że cłi x p(x) dx istnieją dl = 0, 1, Funcjonł R n : IF R oreślony wzorem (14) R n (f) := I p (f) Q n (f) (f IF ) nzywmy resztą (błędem) wdrtury Q n Definicj 11 Mówimy, że wdrtur Q n jest rzędu r, jeśli (i) R n (f) = 0 dl żdego wielominu f Π r 1 orz (ii) istnieje ti wielomin w Π r \ Π r 1, że R n (w) 0 Lemt 1 Rząd wdrtury (1) nie przercz n + Kwdrtury interpolcyjne Niech x 0, x 1,, x n będą dnymi (prmi różnymi) puntmi przedziłu [, b] Mmy (1) f(x) = L n (x) + r n (x) (x [, b]),

2 Stnisłw Lewnowicz L n Π n jest wielominem interpolcyjnym Lgrnge, () r n (x) resztą wzoru interpolcyjnego, L n (x) = n λ (x) = ω(x)/[ω (x )(x x )] f(x )λ (x), ( = 0, 1,, n), ω(x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ), r n (x) = ω(x)f (n+1) (ξ x )/(n + 1)! (ξ x (, b)) Osttni wzór zchodzi przy złożeniu, że f C n+1 [, b] Zstępując f(x) w (1) prwą stroną (1), otrzymujemy () (4) Q n (f) := I p (f) = Q n (f) + R n (f), p(x)l n (x) dx = n A f(x ), jest wdrturą interpolcyjną Jej współczynnii wyrżją się wzorem (5) A := I p (λ ) := p(x)λ (x) dx ( = 0, 1,, n), reszt wzorem 1 b R n (f) = p(x)ω(x)f (n+1) (ξ x ) dx (n + 1)! Znczenie wdrtur interpolcyjnych podreśl nstępujące twierdzenie Lemt 1 Kwdrtur (1) m rząd równy co njmniej n + 1 wtedy i tylo wtedy, gdy jest on wdrturą interpolcyjną Kwdrtury Newton-Cotes Kwdrtury Newton-Cotes to wdrtury interpolcyjne z węzłmi równoodległymi x x (n) := + h ( = 0, 1,, n; h := (b )/n), stosowne do obliczeni cłi (1) dl p 1, czyli cłi Ztem zgodnie z wzorem (5) Dowodzi się, że (1) I(f) := NC n (f) := A A (n) = I(λ ) = A = h( 1) n 1 n!(n )! 0 n f(x) dx A f( + h), λ (x) dx n j=0, j ( = 0, 1,, n) (t j) dt ( = 0, 1,, n), j również, że reszt R n wdrtury Newton-Cotes wyrż się wzorem () η (, b) Wyni stąd R n (f) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! ω(x) dx (n = 1,, ),

3 Anliz numeryczn / Cłownie numeryczne Wniose 1 Kwdrtur Newton-Cotes NC n jest rzędu n +, gdy n jest przyste, i rzędu n + 1, gdy n jest nieprzyste W wypdu n = 1 wdrtur Newton-Cotes nosi nzwę wzoru trpezów Mmy h = b, x 0 =, x 1 = b, A 0 = A 1 = h/, () (4) R 1 (f) = f (ξ)! NC 1 (f) := b [f() + f(b)], (b ) (x )(x b) dx = f (ξ) = h 1 1 f (ξ) Dl n = otrzymujemy wzór Simpson: h = (b )/, x 0 =, x 1 = ( + b)/, x 1 = b, A 0 = A = h/, A 1 = 4h/, (5) (6) NC (f) := b [f() + 4f(( + b)/) + f(b)], 6 R (f) = f (4) (η) b x(x )(x + b )(x b) dx = ! ( b ) 5 f (4) (η) = h5 90 f (4) (η) Znim omówimy wdrtury wyższych rzędów, wprowdźmy oznczeni B (n) A (n) są oreślone wzorem (1) Ztem := A (n) /(b ) ( = 0, 1,, n), (7) NC n (f) := n A (n) f(x(n) ) = (b ) n B (n) f(x(n) ) Zuwżmy, że współczynnii B (n) są liczbmi wymiernymi i nie zleżą od przedziłu cłowni Pondto, podobnie j A (n), mją włsność symetrii: B (n) = B (n) n ( = 0, 1,, n) 1 Złożone wzory trpezów i Simpson Wyzuje się, że istnieją tie funcje ciągłe, dl tórych ciąg wdrtur Newton-Cotes nie jest zbieżny do cłi f Min z tego powodu nie stosuje się w prtyce wdrtur Newton-Cotes wyższych rzędów N ogół brdziej celowy jest podził przedziłu cłowni [, b] n n równych podprzedziłów [t, t +1 ], wyznczony przez punty t := + h ( = 0, 1,, n), h := (b )/n, nstępnie zstosownie w żdym z nich wdrtury Newton-Cotes nisiego rzędu Otrzymujemy w ten sposób wdrtury złożone Newton-Cotes, służące do obliczni cłi w cłym przedzile [, b] Jeśli w żdym z podprzedziłów [t, t +1 ] użyć wzoru trpezów (por (), t+1 ξ (t, t +1 ), to otrzymmy t f(x) dx = h [f(t ) + f(t +1 )] h 1 f (ξ ), n 1 f(x) dx = t+1 t f(x) dx = T n (f) + R T n (f),

4 4 Stnisłw Lewnowicz T n jest wdrturą nzywną złożonym wzorem trpezów, oreśloną wzorem T n (f) := h n f(t ), R T n jest resztą tej wdrtury, równą jeśli f C [, b] Rn T (f) = h n 1 f (ξ ) = n h 1 1 f (ξ) = (b ) h 1 f (ξ) dl pewnego ξ (, b) Niech n będzie liczbą przystą, n = m Złóżmy, że f C 4 [, b] i podzielmy przedził cłowni n m podprzedziłów [t, t +1 ] o długości h, nstępnie zstosujmy do cłi w żdym podprzedzile wzór Simpson t+ t f(x) dx = h 6 [f(t ) + 4f(t +1 ) + f(t + )] h5 90 f (4) (η ), η (t, t + ) (por (5), (6)) Otrzymmy f(x) dx = m 1 t+ S n (f) jest złożonym wzorem Simpson: t f(x) dx = S n (f) + R S n(f), S n (f) := h {f(t 0) + 4f(t 1 ) + +f(t ) + 4f(t ) + f(t 4 ) + + f(t m ) + 4f(t m 1 ) + f(t m )} = h m { m f(t ) + 4 f(t 1 )} = 1 (4T n T m ), R S n(f) resztą tego wzoru: =1 Rn(f) S := h5 m 1 f (4) (η ) = m h5 h4 f(η) = (b ) f (4) (η), η (, b) Ze wzorów n reszty wzorów złożonych trpezów i Simpson wyni, że dl dosttecznie regulrnych funcji f cł I(f) może być przybliżon dowolnie bliso z pomocą T n (f) lub S n (f), pod wruniem, że weźmiemy dosttecznie młe h Zchodzi również Twierdzenie Dl dowolnej funcji f C[, b] jest lim T n(f) = lim S n(f) = I(f) n n Przyspiesznie zbieżności ciągu {T n (f)} Twierdzenie (Euler-Mclurin) Jeśli funcj f jest lsy C m+ [, b], to (8) c := (b ) B ()! Rn T (f) = c 1 n + c n c m n m + d(n) n m+, [ ] f ( 1) () f ( 1) (b) ( = 1,,, m), d(n) jest ogrniczoną funcją zmiennej n: istnieje t stł M, że dl dżdego n zchodzi nierówność d(n) M, B są tzw liczbmi Bernoulliego (Np B 0 = 1, B = 1/6, B 4 = 1/0, B 6 = 1/4, B 8 = 1/0, B 10 = 5/66)

5 Anliz numeryczn / Cłownie numeryczne 5 Wyrżenie (8) dl reszty R T n (f) może posłużyć do przyspieszeni zbieżności ciągu {T n (f)}, tj do onstrucji nowego ciągu {T n(f)} szybciej zbieżnego do cłi Zuwżmy, że współczynnii c we wzorze (8) nie zleżą od n, więc (9) R n (f) = c 1 4n + c 16n c m 4 m n m + d(n) 4 m+1 n m+ Mnożąc równość I p (f) = T n (f)+r T n(f) przez 4 i odejmując od niej I p (f) = T n (f)+r T n (f), otrzymmy (10) T n(f) := 4T n(f) T n (f), R n(f) := 4RT n(f) R T n (f) I p (f) = T n(f) + R n(f), = c 1 n + c n c m n m + d (n) n m+, c i := 41 i 1 c i (i 1) Zuwżmy, że c 1 = 0, więc reszt R n(f) wdrtury T n(f) jest rzędu n 4! Przyłd 4 Niech I = dx 1 x = ln = Stosując złożony wzór trpezów dl n = 64 i n = 18, dostjemy T 64 = , T 18 = Wzór (10) dje T 1 64 = Uzysliśmy dwie dodtowe cyfry dołdnego wyniu! Tblic Romberg Zuwżmy, że pomysł opisny w poprzednim prgrfie możn zstosowć tże do ciągu wdrtur T 1 n(f), co prowdzi do wdrtur T n(f), tórych reszty są rzędu n 6 itd itp Ten pomysł wielorotnego (iterownego) przyspieszni relizuje metod Romberg Niech będzie n = ( = 0, 1, ) i niech h := (b )/, x () i := + ih (i = 0, 1,, ), T 0 := T (f) = h i=0 f(x () Niech T m = 4m T m 1,+1 T m 1, 4 m ( = 0, 1, ; m = 1,, ) 1 T więc, zczynjąc od złożonych wzorów trpezów T 00, T 01, T 0, budujemy trójątną tblicę przybliżeń cłi (zob tblicę 1) Postępując podobnie, j w wypdu m = 1, możn wyzć, że 1 o T m = I c m h m+ ( 0; m 1); o T m = m+ j=0 A (m) j f(x (m+) j ) ( 0; m 1) (elementy -tego wiersz tblicy Romberg zwierją te sme węzły, co T 0 ), A (m) j > 0 (j = 0, 1,, m+ ); o dl żdej pry, m T m jest sumą Riemnn; 4 o żdy z wzorów T m0, T m1, jest wdrturą rzędu m + ; 5 o (wniose z o, o, 4 o i z twierdzeni o zbieżności ciągu wdrtur o dodtnich współczynnich) niech I = I(f), f jest dowolną funcją ciągłą w [, b]; wówczs i ) lim T m = I (m = 1,, ); lim m T m = I ( = 0, 1, )

6 6 Stnisłw Lewnowicz Tbel 1: Tblic Romberg T 00 T 01 T 10 T 0 T 11 T 0 T 0 T 1 T 1 T 0 T 0m T 1,m 1 T,m T,m T m0 4 Kwdrtury Guss Wróćmy do obliczni cłi (41) z pomocą wdrtury (4) I p (f) := Q n (f) := p(x)f(x) dx (f IF ) n A f(x ) Wiemy już, że rząd wdrtury (4) nie może być więszy od n + (por lemt 1) Niech {P } będzie ciągiem wielominów ortogonlnych w przedzile [, b] z wgą p Kwdrturę interpolcyjną z węzłmi będącymi zermi wielominu P n+1 nzywmy wdrturą Guss; pożemy, że jej rząd jest równy n + Wobec znnych włsności wielominów ortogonlnych węzły wdrtury Guss są rzeczywiste, pojedyncze i leżą wewnątrz przedziłu cłowni Współczynnii A możn wyznczyć z wzoru (4) (por (5)) (44) (45) Zchodzi nstępujące A = p(x)λ (x) dx ( = 0, 1,, n), λ (x) = ω(x)/[ω (x )(x x )], ω(x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) Twierdzenie 41 Współczynnii wdrtury Guss wyrżją się wzormi (46) A = c n+1 c n p(x)[p n (x)] dx P n+1 (x )P n (x ) ( = 0, 1,, n), x 0, x 1,, x n są zermi wielominu P n+1, c ozncz współczynni wiodący wielominu P ( = 0, 1, ) Twierdzenie 4 Współczynnii A ( = 0, 1,, n) wdrtury Guss są dodtnie Twierdzenie 4 Jeśli f C n+ [, b], to reszt wdrtury Guss wyrż się wzorem (47) R n (f) = f (n+) (ξ) (n + )!c n+1 Wniose 44 Rząd wdrtury Guss jest równy n + p(x)[p n+1 (x)] dx Twierdzenie 45 Dl żdej funcji f ciągłej n odcinu [, b] ciąg wdrtur Guss {Q n (f)} jest zbieżny do cłi I p (f)

7 Anliz numeryczn / Cłownie numeryczne 7 41 Kwdrtur Guss-Legendre Do obliczni cłi I(f) = 1 1 f(x) dx możn użyć wdrtury Guss-Legendre G n, oreślonej wzorem G n (f) = n A f(x ) (n 0), węzły x 0, x 1,, x n są zermi wielominu Legendre P n+1, ntomist współczynnii A wyrżją się wzorem 1 P 1 n+1 dx A = P n (x ) P n+1 (x ( = 0, 1,, n) ) Widomo, że wdrtur G n jest dołdn dl dowolnego wielominu stopni n + 1, tj f Π n+1 I(f) = G n (f) Węzły i współczynnii mją nstępującą włsność symetrii: x n = x, A n = A ( = 0, 1,, n) W tblicy podno wrtości liczbowe węzłów i współczynniów dl n Tbel : Współczynnii i węzły wdrtury Guss-Legendre n Pn+1 x n = x A n = A x x = x 5 x 0 5 = = = x c = = = = = = = =