Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji"

Transkrypt

1 Wkłd 7: Pochodn funkcji zstosowni do bdni przebiegu zmienności funkcji dr Mriusz Grządziel semestr zimow, rok kdemicki 2013/2014 Funkcj logistczn Rozwżm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t f(t) t Rsunek 1: Wkres funkcji = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Chcem znleźć punkt, w którm tempo wzrostu funkcji f przestje rosnąć. Funkcj logistczn c.d. Anlizując wkres pochodnej = f 0(t) dochodzim do wniosku, że szukn punkt jest równ w przbliżeniu 3, Rsunek 2: Pochodn funkcji = f 0 (t) = 1+5e 0,5t 1

2 Bdnie przebiegu funkcji Jest jsne, że chcąc znleźć szukn punkt nleż zbdć przebieg zmienności funkcji f 0. Zczniem od przpomnieni definicji pojęć związnch z bdniem przebiegu funkcji tkich jk: minimum loklne, mksimum loklne cz drug pochodn. Pochodne wższch rzędów Definicj 1. Mówim, że funkcj f jest: różniczkowln w punkcie 0, jeżeli m on w tm punkcie pochodn; różniczkowln n przedzile I, jeżeli m pochodn w kżdm punkcie tego przedziłu. Złóżm, że funkcj f jest różniczkowln n przedzile I. Pochodną funkcji f n I (jeżeli on istnieje) będziem oznczć przez f (2), (lub f ( ) ) pochodną funkcji f (2) n I (jeżeli on istnieje) przez f (3) (lub f ( ) ) itd. Funkcje dwukrotnie różniczkowlne Definicj 2. Mówim, że funkcj f jest: dwukrotnie różniczkowln w punkcie 0, jeżeli m on w tm punkcie drug pochodn; dwukrotnie różniczkowln n przedzile I, jeżeli m drug pochodn w kżdm punkcie tego przedziłu. Pochodne wższch rzędów przkłd Dl f() = 3 (w tm przpdku obliczm pochodne n przedzile I = R) mm: f () = 3 2, f () = 6, f () = 6, f (n) () = 0 dl n > 3. Pochodne wższch rzędów przkłd Dl f() = = 1/2 (w tm przpdku obliczm pochodne n przedzile I = (0, ) mm: f () = 1 2 1/2 = 1 2, f () = 1 2 ( 1/2) 3/2 = 1 1 4, itd. 2

3 Monotoniczność funkcji n przedzile Złóżm, że funkcj f jest różniczkowln n przedzile I (tzn. istnieje pochodn funkcji f n przedzile I). Funkcj f jest: rosnąc, jeśli f () > 0 dl I; niemlejąc, jeśli f () 0 dl I; mlejąc, jeśli f () < 0 dl I; nierosnąc, jeśli f () 0 dl I. Monotoniczność funkcji logistcznej Pochodn funkcji logistcznej m postć f(t) = f (t) = 1 + be ct. bce ct (1 + be ct ) 2. Stąd wnik, że f jest monotoniczn n R. Monotoniczność f możn też uzsdnić, opierjąc się n włsnościch funkcji wkłdniczej wnik z nich, że minownik f jest funkcją mlejącą zmiennej. Funkcj logistczn c.d. Drug pochodn f m postć: Mm f (t) = bc2 e ct (be ct 1) (1 + be ct ) 3. f (t) = 0 wted i tlko wted, gd (be ct 1) = 0. A więc drug pochodn znik dl t 0 = ln b c. Dl funkcji f 0 mm: ln b c = ln 5 0,5 3, Intuicje geometrczne: znleźliśm szukn punkt. Problem: jk uzsdnić to brdziej formlnie? Ekstremum loklne Definicj 3. Mówim, że funkcj f() osig w punkcie 0 minimum loklne, jeżeli wrtość funkcji f w punkcie 0 jest mniejsz od wrtości funkcji f w pewnm ssiedztwie tego punktu, tj. dl pewnego r > 0. f() > f( 0 ) dl S( 0, r) 3

4 mksimum loklne, jeżeli wrtość funkcji f w punkcie 0 jest większ od wrtości funkcji f w pewnm ssiedztwie tego punktu, tj. dl pewnego r > 0. f() < f( 0 ) dl S( 0, r) ekstremum loklne: minimum loklne lub mksimum loklne. Ekstremum loklne wrunek wstrczjc Twierdzenie 1. Jeśli pochodn funkcji f w punkcie 0 jest równ zeru i dl pewnego r > 0 spełnione s nierówności to funkcj w 0 osig minimum loklne. spełnione s nierówności to funkcj w 0 osig mksimum loklne. Funkcj logistczn c.d. f () < 0 dl ( 0 r, 0 ), (1) f () > 0 dl ( 0, 0 + r), (2) f () > 0 dl ( 0 r, 0 ), (3) f () < 0 dl ( 0, 0 + r), (4) Ekstremum loklne przkłd Chcąc uzsdnić, że dl, b i c dodtnich pochodn funkcji f(t) = 1+be, postci ct f (t) = bce ct (1 + be ct ) 2, m mksimum w punkcie t 0 = ln b c, nleż skorzstć z Twierdzeni 1 i nstępującch fktów: f (t) > 0 dl t < t 0 ; f (t) < 0 dl t > t 0 ; f (t) = 0 dl t = t 0. Ekstremum loklne przkłd Rozwżm funkcję g() = Oczwiście g jest różniczkowln n R. Chcąc zbdć istnienie ekstremów funkcji g znjdujem miejsc zerowe g () : g () = = 0 = 2 lub = 3. 4

5 Mm: g () > 0 dl < 2 lub > 3; (5) g () < 0 dl > 2 i < 3. (6) Stąd funkcj g m w punkcie = 2 mksimum loklne, i w punkcie = 3 minimum loklne. Przkłd c.d. (7) Rsunek 3: Wkres = Pojęcie funkcji wpukłej Tempo wzrostu funkcji f 0 (t) = 1+5e rośnie n [0, t 0,5t 0 ), gdzie t 0 = ln 5 0,5 3,22. Odpowid to ścisłej wpukłości funkcji f 0 n przedzile [0, t 0 ). Definicj 4. Mówim, że funkcj f jest ściśle wpukł n przedzile I, jeżeli dl 1, 2 I, 1 < 2, odcinek łcz c punkt ( 1, f( 1 )) i ( 2, f( 2 )) leż w cłości (z wjtkiem końców) pond wkresem funkcji f. Wpukłość funkcji dwukrotnie różniczkowlnch Funkcj f jest dwukrotnie różniczkowln n przedzile otwrtm I jeżeli dl kżdego 0 I istnieje drug pochodn funkcji f w 0. Twierdzenie 2. Funkcj f dwukrotnie różniczkowln n I jest ściśle wpukł n I wted i tlko wted, gd f ( 0 ) > 0 dl kżego 0 I. Dl funkcji logistcznej f(t) = 1+be ct,, b, c > 0, drug pochodn f (t) = bc2 e ct (be ct 1) (1 + be ct ) 3 jest dodtni dl t < t 0 = ln b c ; gd b = 5, c = 0,5 (odpowidją funkcji f 0) t 0 3,22. 5

6 f( 2 ) z f( 1 ) f(z) 0 1 z 2 Rsunek 4: Funkcj f jest wpukł n przedzile otwrtm I jeżeli dl dowolnch 1, 2 I dl kżdego z ( 1, 2 ) punkt (z, f(z)) leż poniżej odcink łączącego ( 1, f( 1 )) i ( 2, f( 2 )). Pojęcie funkcji ściśle wklęsłej Tempo wzrostu funkcji f 0 (t) = 1+5e rośnie n (t 0,5t 0, ), gdzie t 0 = ln 5 0,5 3,22. Odpowid to ścisłej wklęsłości funkcji f 0 n przedzile (t 0, ). Definicj 5. Mówim, że funkcj f jest ściśle wklęsł n przedzile I, jeżeli dl 1, 2 I, 1 < 2, odcinek łcz c punkt ( 1, f( 1 )) i ( 2, f( 2 )) leż w cłości (z wjtkiem końców) pod wkresem funkcji f. Ścisł wklęsłość funkcji dwukrotnie różniczkowlnch Twierdzenie 3. Funkcj f dwukrotnie różniczkowln n I jest ściśle wpukł n I wted i tlko wted, gd f ( 0 ) < 0 dl kżdego 0 I. Dl funkcji logistcznej f(t) = 1+be ct,, b, c > 0, drug pochodn f (t) = bc2 e ct (be ct 1) (1 + be ct ) 3 jest ujemn dl t > t 0 = ln b c ; gd b = 5, c = 0,5 (odpowidją funkcji f 0) t 0 3,22. Punkt przegięci Definicj 6. Niech funkcj f będzie różniczkowln n otoczeniu punktu O( 0, r) = ( 0 r, 0 + r) dl pewnego r > 0. Mówim, że punkt ( 0, f( 0 ) jest punktem przegięci wkresu f jeśli funkcj f jest: ściśle wpukł n ( 0 r, 0 ) i ściśle wklęsł n ( 0, 0 + r) 6

7 f(z) f( 1 ) z f( 2 ) 0 1 z 2 Rsunek 5: Funkcj f jest ściśle wklęsł n przedzile otwrtm I jeżeli dl dowolnch 1, 2 I dl kżdego z ( 1, 2 ) punkt (z, f(z)) leż powżej odcink łączącego ( 1, f( 1 )) i ( 2, f( 2 )). lub ściśle wklęsł n ( 0 r, 0 ) i ściśle wpukł n ( 0, 0 + r). Dl funkcji logistcznej f(t) = 1+be,, b, c > 0, punkt (t ct 0, f(t 0 )) jest punktem przegięci wkresu t 0 = ln b c (zkłdjąc, że t 0 nleż do dziedzin f w pewnch zstosownich przjmujem, że D f = [0, )). Uzupełnieni Uwg 1. Definicję wpukłości funkcji otrzmujem zstępujc w definicji ścisłej wpukłości słow pond wkresem przez słow pond wkresem lub m punkt z nim wspólne. Podobnie otrzmujem definicję wklęsłości funkcji modfikujc definicję ścisłej wklęsłości (por. [Wrz08, str. 147]). Uwg 2. Złóżm, że 0 (, b). Wrunkiem koniecznm n to, b funkcj f, dwukrotnie różniczkowln n przedzile (, b), mił w punkcie ( 0, f( 0 )) punkt przegięci jest f ( 0 ) = 0. 7

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji wykład 5

Pochodna funkcji wykład 5 Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow

Bardziej szczegółowo

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami) List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,

Bardziej szczegółowo

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu

Bardziej szczegółowo

12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej

12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej 1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm

Bardziej szczegółowo

(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych)

(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych) Podstaw matematczne (rachunek różniczkow dot. unkcji ciągłch) 1) Pochodna unkcji 1 zmiennej () de. () d ( ) d d d lim h ( h) h ( ) (h) () h UWAGA: () tg(α) tangens kąta nachlenia stcznej Warunki e k s

Bardziej szczegółowo

f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx

f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją

Bardziej szczegółowo

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 ANALIZA MATEMATYCZNA Ciągi liczbowe Definicj. Rzeczywistym nieskończonym ciągiem liczbowym nzywmy funkcję określoną n zbiorze liczb nturlnych o wrtościch w zbiorze liczb rzeczywistych f : N R, n n. Ciąg

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną mturą. Sprwdzin. (poziom podstwow) Rozwiązni zdń Zdnie. ( pkt) 0,() < P.. Uczeń przedstwi liczb rzeczwiste w różnch postcich. Odpowiedź:., czli < Zdnie. ( pkt) P.. Uczeń rozwiązuje

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA.

FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA. Oprownie: Elżiet Mlnowsk FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA. Określeni podstwowe: Jeżeli kżdej lizie x z pewnego zioru lizowego X przporządkown jest dokłdnie jedn liz, to mówim,

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA

I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA Przpomnijm definicję ilorzu róŝnicowego : Definicj (ilorzu róŝnicowego) : Ilorzem róŝnicowm funkcji f : (,b) R odpowidjącm

Bardziej szczegółowo

Elementy algebry i analizy matematycznej II

Elementy algebry i analizy matematycznej II Element algebr i analiz matematcznej II Wkład 1. Ekstrema unkcji dwóch zmiennch Deinicja 1 Funkcja dwóch zmiennch, z = (, ), ma w punkcie z = (, ), maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu

Bardziej szczegółowo

WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.

WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko

Bardziej szczegółowo

Całki oznaczone. wykład z MATEMATYKI

Całki oznaczone. wykład z MATEMATYKI Cłki oznzone wkłd z MATEMATYKI Budownitwo, studi niestjonrne sem. I, rok k. 28/29 Ktedr Mtemtki Wdził Informtki Politehnik Biłostok 1 Podstwowe pojęi 1.1 Podził P przedziłu, Nieh f ędzie funkją ogrnizoną

Bardziej szczegółowo

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Bardziej szczegółowo

PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje

PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze

Bardziej szczegółowo

Wektory [ ] Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne. B (x B. , y B. α A (x A, y A ) to jest wektor

Wektory [ ] Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne. B (x B. , y B. α A (x A, y A ) to jest wektor Wektor N fizce w szkole średniej spotkcie się z dwom tpmi wielkości fizcznch. Jedne z nich, np. ms, tempertur, łdunek elektrczn są opiswne przez jedną liczę; te nzwm wielkościmi sklrnmi, w skrócie - sklrmi.

Bardziej szczegółowo

Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34

Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34 Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Funkcje wielu zmiennych

Wykład 10. Funkcje wielu zmiennych Wkład 1. Funkcje wielu zmiennch dr Mariusz Grządziel 6 maja 1 (ostatnie poprawki: 1 maja 1) Funkcje wielu zmiennch Przestrzeń dwuwmiarowa, oznaczana w literaturze matematcznej smbolem R, może bć utożsamiona

Bardziej szczegółowo

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n. Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI Definicj 1. Niech A i B będą dowolnymi zbiormi. Zbiór A B = {(, b) : A b B} wszystkich pr uporządkownych (, b) tkich, że A i b B nzywmy iloczynem krtezjńskim zbiorów

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6 Spis treści 1 Rchunek zdń 3 2 Funkcje liczbowe 6 3 Ciągi liczbowe 9 3.1 Grnic włściw ciągu 10 3.2 Grnic niewłściw ciągu 11 3.3 Grnice pewnych ciągów 12 4 Grnice funkcji 13 4.1 Podstwowe definicje 13 4.2

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7 Próbn egzmin mturln z mtemtki Numer zdni ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etp rozwiązni zdni Liczb punktów Podnie wrtości b: b = Sporządzenie wkresu funkcji g Uwgi dl egzmintorów 4 Krzw

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna (część II)

Analiza Matematyczna (część II) Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach. Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

2. Analiza Funkcje niepustymi zbiorami. Funkcja

2. Analiza Funkcje niepustymi zbiorami. Funkcja 2. Anliz Kresy: infim i suprem Wprowdzmy oznczenie dl rozszerzonej prostej rzeczywistej: R = R {, + }, przy czym w zbiorze tym zchowujemy nturlny porzdek w R orz przyjmujemy, że < < dl R. Niech A R. Ogrniczeniem

Bardziej szczegółowo

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3>.

Bardziej szczegółowo

A. Zaborski, Rozciąganie proste. Rozciąganie

A. Zaborski, Rozciąganie proste. Rozciąganie . Zborski, Rozciągnie proste Rozciągnie rzkłd Zprojektowć pręt i tk, b przemieszczenie węzł nie przekroczło dopuszczlnej wrtości mm. Dne: R = 50 M, E = 0 G. 5 m m 4 m 80 k Rozwiąznie: równni sttki: sin

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania =

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania = Vdemecum GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* Mtemtyk - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Prón Mtur z OPERONEM Operon 00% MATURA 07 VA D EMECUM

Bardziej szczegółowo

Róniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi

Róniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi Róniczka Wraenie d nazwa si róniczk pierwszego rzdu czci liniow przrostu wartoci unkcji Zastosowanie róniczki do oblicze przblionch: Zadanie Za pomoc róniczki oblicz przblion warto liczb Wkorzstam wzór

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

Zastosowania całki oznaczonej

Zastosowania całki oznaczonej Przkłd 9 Nie kd funkcj okrelon i ogrniczon n [, b] jes cłkowln n [, b], np funkcj Dirichle nie jes cłkowln n przedzile [, ], gd f ( ), gd liczb wmiern odcink [,] liczb niewmiern odcink [,] Gdbm dl kdego

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość

4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie)

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem

Bardziej szczegółowo

STANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI

STANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI INTELIGENTNE TECHNIKI KOMPUTEROWE wkłd STNDRDOWE FUNKCJE PRZYNLEŻNOŚCI GUSSOWSK F. PRZYNLEŻNOŚCI ' μ ( ; ', ) ep μ().5 ' środek; określ szerokość krzwej.5 3 F. PRZYNLEŻNOŚCI KLSY s dl - dl c- sc ( ;,,

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Funkcje materiały pomocnicze dla studentów I roku farmacji i analityki medycznej Opracował: dr Krzysztof Kłaczkow F U N K C J E

Funkcje materiały pomocnicze dla studentów I roku farmacji i analityki medycznej Opracował: dr Krzysztof Kłaczkow F U N K C J E - - F U N K C J E Mterił pomocnicze dl studentów I roku frmcji i nlitki medcznej Oprcowł: dr Krzsztof Kłczkow - - Drogi Cztelniku! W Prcowni Mtemtcznej oprcowne zostł mterił które mogą Ci pomóc w powtórzeniu

Bardziej szczegółowo

Przykład 6.2. Płaski stan naprężenia. Płaski stan odkształcenia.

Przykład 6.2. Płaski stan naprężenia. Płaski stan odkształcenia. Przkłd 6.. Płski stn nprężeni. Płski stn odksztłeni. ZADANIE. Dl dnego płskiego stnu nprężeni [MP] znleźć skłdowe stnu nprężeni w ukłdzie osi oróonh względem osi o kąt α0 orz nprężeni i kierunki główne.

Bardziej szczegółowo

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I. RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)

Bardziej szczegółowo

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar 2.1. kreślenie i rodje wektorów. Mnożenie wektor pre sklr Wielkości ficne wstępujące w mechnice i innch diłch fiki możn podielić n sklr i wektor. A określić wielkość sklrną, wstrc podć tlko jedną licę.

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Cłk oznczon Wojciech Kotłowski Instytut Informtyki Politechniki Poznńskiej emil: imię.nzwisko@cs.put.poznn.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultcje: piątek 15:10-16:40

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x

Bardziej szczegółowo

Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux

Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux Doln i górn sum cłkow Drboux π = {x 0,..., x k }, x 0 =, x k = b - podził odcink [, b]; x i = x i x i 1, i = 1, 2,..., k; P = P[, b] - rodzin podziłów odcink [, b]. m i = m i (f, π) := inf x [xi 1,x i

Bardziej szczegółowo

Przykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii

Przykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii Przkłd 5 Figur z dwiem osimi smetrii Polecenie: Wznczć główne centrlne moment bezwłdności orz kierunki główne dl poniższej figur korzstjąc z metod nlitcznej i grficznej (konstrukcj koł Mohr) 5 5 5 5 Dl

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym Zior rozmte Teori i zstosowni we wniosowniu prosmcjnm PODSTWOWE POJĘCI Motwcje Potrze opisni zjwis i pojęć wielozncznch i niepreczjnch użwnch swoodnie w jęzu nturlnm np. wso tempertur młod człowie średni

Bardziej szczegółowo

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

dr inż. Zbigniew Szklarski

dr inż. Zbigniew Szklarski Wkłd 3: Kinemtk dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl http://ler.uci.gh.edu.pl/z.szklrski/ Wstęp Opis ruchu KINEMATYKA Dlczego tki ruch? Przczn ruchu DYNAMIKA MECHANIKA Podstwowe pojęci dl ruchu prostoliniowego

Bardziej szczegółowo

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A Wzncznik mcierz Uwg Wzncznik definiujem tlko dl mcierz kwdrtowch:,,,,,, =,,,,,, n n n n nn n,,, det = n,,, n n nn - mcierz - wzncznik mcierz Wzncznik mcierz to wzncznik n wektorów, które stnowią kolumn

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):

Bardziej szczegółowo

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b, WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8

Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy

Bardziej szczegółowo

± - małe odchylenie od osi. ± - duże odchylenie od osi

± - małe odchylenie od osi. ± - duże odchylenie od osi TYGONOMETRYCZNE Przjmujm, ż znn są dfinicj i podstwow włsności funkcji trgonomtrcznch. Zprzntujm poniżj kilk prktcznch sposobów szbkigo, prktczngo obliczni wrtości funkcji trgonomtrcznch, rozwiązwni równń

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma

Bardziej szczegółowo

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

1 Definicja całki oznaczonej

1 Definicja całki oznaczonej Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x

Bardziej szczegółowo

3. F jest lewostronnie ciągła

3. F jest lewostronnie ciągła Def. Zmienną losową nzywmy funkcję X: tką, że x R : { : X( ) < x }. Ozn.: zmist pisd A = { : X( ) < x } piszemy A = { X < x } zdrzenie poleg n tym, że X( )

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA JEDNOMIAN II STOPNIA. Definicja. Jednomianem II -go stopnia nazywamy funkcję f(x) R R daną wzorem. f(x) = ax 2.

FUNKCJA KWADRATOWA JEDNOMIAN II STOPNIA. Definicja. Jednomianem II -go stopnia nazywamy funkcję f(x) R R daną wzorem. f(x) = ax 2. JEDNOMIAN II STOPNIA FUNKCJA KWADRATOWA Definicj. Jednominem II -go stopni nzwm funkcję f() R R dną wzorem f(),gdzie i R np. f() f() - f() > A< np. f() Np. f() - X - - - - X - - - - Y 9 Y -9 - - - - 5-5

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętch orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwow Klucz punktowni zdń zmkniętch Nr zdni 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 Odpowiedź D A B D C B B C C B A C D D C B C A D D C

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo