Obliczenia naukowe Wykład nr 14

Transkrypt

1 Obliczeni nuowe Wyłd nr 14 Pweł Zielińsi Ktedr Informtyi, Wydził Podstwowych Problemów Technii, Politechni Wrocłws

2 Litertur Litertur podstwow [1] D. Kincid, W. Cheney, Anliz numeryczn, WNT, [2] A. Bjorc, G. Dhlquist, Metody numeryczne, PWN, [3] M. Dryj, J. i M. Jnowscy, Przegld metod i lgorytmów numerycznych, cz. 2, WNT, [4] Z. Fortun, B. Mcuow, J. Wsowsi, Metody numeryczne, WNT [5] J. i M. Jnowscy, Przegld metod i lgorytmów numerycznych, cz. 1, WNT, [6] J. Stoer, R. Bulirsch, Wstęp do nlizy numerycznej, PWN, Litertur uzupełnijc [7] Kiełbsińsi, H. Schwetlic, Numeryczn lgebr liniow, WNT, [8] A. Rlston, Wstęp do nlizy numerycznej, PWN, Znczn część wyłdu zostł przygotown n podstwie siżi [5].

3 Niech F = F (, b) będzie ls funcji cłowlnych w przedzile [, b]. Cłę funcji f będziemy oznczli przez I (I : F R) I(f ) = f (x)dx f F. Cłę I(f ) będziemy przybliżli funcjonłmi Q Q(f ) = A f (x ), I(f ) Q(f ), nzywnymi wdrturmi. {x } [, b] s węzłmi, {A } s współczynnimi wdrtury Q.

4 Rozptrzmy brdziej ogóln funcję I p : F R I p (f ) = p(x)f (x)dx f F, I p (f) Q(f), gdzie p F jest nieujemn funcj cłowln wg, Definicj 1 Funcję R : F R o wrtościch R(f ) = I p (f ) Q(f ) nzywmy reszt wdrtury Q, I p (f ) = Q(f ) + R(f ). Definicj 2 Kwdrtur Q jest rzędu r R(f ) = 0 (I p (f ) = Q(f )) dl żdego wielominu f Π r 1, istnieje ω Π r \ Π r 1 tie, że R(ω) 0 (I p (f ) Q(f )). Twierdzenie 1 Niech Q będzie wdrtur o wrtościch Q(f ) = n A f (x ), x [, b], f F, Wówczs rzd wdrtury Q nie przercz 2n + 2.

5 Zbieżność cigu wdrtur Rozptrzmy cig wdrtur {Q n }, Q n : F R, Q n (f ) = A (n) (n) f (x ) (n = 0, 1,...). x (0) 0 x (1) 0 x (1) 1 x (2) 0 x (2) 1 x (2) A (0) 0 A (1) 0 A (1) 1 A (2) 0 A (2) 1 A (2) 2 lim Q n(f ) = I p (f ) f C[, b]. n......

6 Zbieżność cigu wdrtur Zjmijmy się zbieżności {Q n } do cłe funcji cigłych. Twierdzenie 2 f C[,b] lim n Q n (f ) = I p (f ) f Π lim n Q n (f ) = I p (f ), K >0 n N {0} n A(n) K. Twierdzenie 3 Jeżeli A (n) 0 ( = 0, 1,..., n; n = 0, 1,...), to nstępujce zdni s równowżne f C[,b] lim n Q n (f ) = I p (f ) f Π lim n Q n (f ) = I p (f ).

7 Kwdrtury interpolcyjne Złdmy, że dne s prmi różne węzły x 0, x 1,..., x n, x i [, b] orz funcj f F. Interpolujemy funcję f z pomoc wielominu L n Π n L n (x) = f (x )λ (x), λ (x) = ω(x) (x x )ω (x ), gdzie ω(x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ). T więc f (x) = L n (x) + r n (x) dl żdego x [, b], gdzie r n (x) = 1 (n+1)! ω(x)f (n+1) (ζ) dl f C n+1 [, b].

8 Kwdrtury interpolcyjne Cłujc f otrzymujemy p(x)f (x)dx = f (x ) p(x)λ (x)dx + = A f (x ) + R n (f ) = I p (f ), p(x)r n (x)dx A = p(x)λ (x)dx, R n (f ) = p(x)r n(x)dx. Łtwo zuwżyć, że jeśli f Π n, to R n (f ) = 0. Std rzd Q n jest co njmniej n + 1. Lemt 1 Rzd ρ wdrtury interpolcyjnej spełni nierówność n + 1 ρ 2n + 2. Twierdzenie 4 Kwdrtur Q n (f ) = n A f (x ) m rzd co njmniej n + 1 Q n jest wdrtur interpolcyjn.

9 Kwdrtury Newton-Cotes Definicj 3 Kwdrturmi Newton-Cotes przybliżjcymi p(x)f (x)dx s nzywne wdrtury Q n (f ) = I(L n ), gdzie L n jest wielominem Lgrnge interpolujcym funcję f oprtym n równoodległych węzłch. Złd się również, że wg p 1 w [, b]. Q n (f ) = I(f ) = f (x)dx A f (x ), x = + h, = 0,..., n h = b n.

10 Kwdrtury Newton-Cotes Współczynnii A wdrtury Newton-Cotes s postci A = n = h 0 ω(x) (x x )ω (x ) dx = ω( + th) h(t )ω ( + h) dt = x = + th t [0, n] dx = hdt ω(x) = Π n j=0 (x x j) ω( + th) = h n+1 Π n j=0 (t j) ω (x) = Π n j=0(x x j ) j ω ( + h) =!(n )!h n ( 1) n n h n+1 Π n j=0 (t j) h( 1)n = h 0 (t )h!(n )!h n dt = ( 1) n!(n )! n 0 Π n j=0(t j) dt. j

11 Kwdrtury Newton-Cotes Twierdzenie 5 Reszt wdrtury Newton-Cotes wyrż się wzorem f (n+1) (ζ) (n+1)! ω(x)dx (n = 1, 3, 5,... < ζ < b) R n (f ) = xω(x)dx (n = 2, 4, 6,... < ζ < b) f (n+2) (ζ) (n+2)! Jeżeli f Π n+1, n przyste, R n (f ) = 0. Wniose 1 Niech ρ ozncz rzd wdrtury Newton-Cotes, wówczs { n + 1 (n = 1, 3, 5,...) ρ = n + 2 (n = 2, 4, 6,...)

12 Kwdrtury Newton-Cotes n = 1 wzór trpezów I(f ) = Q 1 (f ) + R 1 (f ), f C 2 [, b] Q 1 (f ) = b 2 (f ()+f (b)), R (b )3 1(f ) = f (ζ) = h f (ζ), < ζ < b, h = b. n = 2 wzór Simpson I(f ) = Q 2 (f ) + R 2 (f ), f C (4) [, b] Q 2 (f ) = b (f () + 4f (( + b)/2) + f (b)), 6 ( ) b 5 f (4) (ζ) R 2 (f ) = = h f (4) (ζ), < ζ < b, h = b 2.

13 Kwdrtury Newton-Cotes x (n) Q n (f ) = A (n) (n) f (x ) = (b ) = + h n, = 0, 1,..., n, h n = b B (n) = 1 b A(n), B(n) Niech f 1 Q n (f ) = Q n (1) = (b ) n. B (n) f (x (n) ), = B (n) n, = 0, 1,..., n. B (n) = I(f ) = I(1) = b. Std dl dowolnego n, sum n B(n) = 1. Dl n > 9 nietóre współczynnii s ujemne. Ztem n B(n) > 1. Oznczmy σ n = n B(n). σ n rośnie szybo. Np. σ , σ , σ

14 Kwdrtury Newton-Cotes Błd bezwzględny obliczeń Q n (f ) możn oszcowć nstępujco: C2 t σ n, σ n, n. Wdy wdrtur Newton-Cotes Dl n > 10 współczynnii A (n) mog być ujemne. Wielość n An. Ztem nie jest spełnione złożenie twierdzeni 2 (b). Mog więc istnieć funcje cigłe, dl tórych wdrtury mog być rozbieżne. Błędy zorgleń mog zniesztłcć wyni. Powyższe wdy możn zncznie zniwelowć dzielc przedził cłowni n il mniejszych podprzedziłów i stosujc w żdym z nich wdrtury z młym n.

15 Złożone wdrtury Newton-Cotes Złożony wzór trpezów. Niech f C 2 [, b], x = + h, = 0, 1,..., n, h = b n. n 1 x+1 n 1 { } h f (x)dx = f (x)dx = x 2 (f(x ) + f(x +1 )) h3 12 f (ζ ) = h f (x ) h3 n 1 f (ζ ) = T n (f ) + Rn T (f ) 12 min f (ζ ) 1 n 1 f (ζ ) mx f (ζ ) n 1 n 1 f (ζ ) = f (ζ), ζ (, b). n

16 Złożone wdrtury Newton-Cotes T n (f ) = h f (x ) Rn T (f ) = h3 n 1 f (ζ ) = nh f (ζ), ζ (, b).

17 Złożone wdrtury Newton-Cotes Złożony wzór Simpson. Niech f C 4 [, b], x = + h, = 0, 1,..., n, h = b. m jest liczb podziłów 2m = n. f (x)dx = = m 1 m 1 S m (f ) = 2h 6 n x2+2 x 2 f (x)dx { 2h 6 (f (x 2) + 4f (x 2+1 ) + f (x 2+2 )) h5 90 f (4) (ζ ) = S m (f ) + R s m(f ). m 1 (f (x 2 ) + 4f (x 2+1 ) + f (x 2+2 )) Rm(f s ) = h5 m 1 f (4) (ζ ) = mh f (4) (ζ), ζ (, b). }

18 Złożone wdrtury Newton-Cotes W pewnych przypdch orzystjc z oszcowni reszty wdrtury możn wyznczyć liczbę podprzedziłów m, n tóre nleży podzielić przedził cłowni, by osign ć zdn dołdność ɛ. Jeżeli jest to niemożliwe lub oszcownie jest zwyżone, wówczs nleży obliczć wrtości olejnych wdrtur Q m1 (f ), Q m2 (f ), Q m3 (f ),.... Obliczeni nleży wyonywć ż spełniony będzie wrune Q m (f ) Q m 1 (f ) Q m (f ) < ɛ.