Teoria zbiorów w rozmytych

Transkrypt

1 8 Teori ziorów w rozmtch Teori ziorów w rozmtch ng. fuzz set tpu 8 Oprcown przez L.. Zdeh w 965 Powstł w celu reprezentcji niepreczj ci jęz j nturlnego ng. vgueness i jego pojęć Nie m związu zu z Ŝdnmi mirmi prwdopodoieństw Nie jest pojednczą teorią lecz rczej rodziną teorii

2 8 Ziór r lsczn W lscznej teorii mnogości ziór r jest chrterzo- wn przez inrną funcję prznleŝno elementów: : U { } Funcj t pozwl wtczć wrźną grnicę międz tmi elementmi przestrzeni/uniwersum ng. universe of discource U tóre nleŝą ądź nie nleŝą do pewnego zioru w tej przestrzeni: U 83 Ziór r rozmt W przpdu oreśle leń jęzowch i smolicznch! postci wsoi wzrost nis tempertur itp. podził elementów w n te nleŝą Ŝące do zioru orz te tóre nie nleŝą nie jest preczjn Nturlnm wdje się ztem rozszerzenie wrtości jie moŝe e przjąć funcj prznleŝno do przedziłu: : U [ ] ztem ziór r rozmt w niepustej przestrzeni U gdzie U to ziór r pr: { /:: } inczej: / w tórm : U [ ]

3 84 Przłd ziorów w rozmtch Przłd W przestrzeni cfr dziesiętnch U{ 8 9} zdefiniujem w postci zioru rozmtego pojęcie cfr mł : inn zpis zioru rozmtego : / + / +.9/ +.6/3 +.3/4 + + /5 + /6 + /7 + /8 + /9 prz czm zn / nie ozncz dzieleni + nie ozncz sum lgericznej lecz teoriomnogościow ciową 85 Przłd ziorów w rozmtch Funcj prznleŝno moŝe e ć równieŝ zdefiniown dl zioru o niesończonej liczie elementów wted stosujem notcję: U / Przłd W przestrzeni licz rzeczwistch R zdefiniujem w postci zioru rozmtego pojęcie licz lis 7 : R [+-7 ] - /

4 86 Rozmte funcje prznleŝno Funcj singleton przjmuje postć: gd gd i reprezentuje on dołdnie jeden punt w przestrzeni rozwŝń tór w pełni nleŝ do zioru rozmtego; w pozostłch puntch przestrzeni jej wrtość wnosi 87 Rozmte funcje prznleŝno Funcj ls γ jest zdefiniown przez funcję prznleŝno postci: dl γ ; dl < dl > gdzie i są prmetrmi funcji

5 88 Rozmte funcje prznle Rozmte funcje prznleŝno ci Funcj Funcj ls ls t jest zdefiniown przez funcj jest zdefiniown przez funcję prznle prznleŝno postci: ci postci: > < < c dl c dl c c dl dl c t ; > < < c dl c dl c c dl dl c t ; c 89 Rozmte funcje prznle Rozmte funcje prznleŝno ci Funcj Funcj ls ls L jest zdefiniown przez funcj jest zdefiniown przez funcję prznle prznleŝno postci: ci postci: > < dl dl dl c L ; > < dl dl dl c L ;

6 Podstwowe pojęci teorii ziorów rozmtch 9 Nośniiem zioru rozmtego nzwm ziór r tch elementów w przestrzeni U dl tórch > co zpisujem: p {U:{ > } Wsoość zioru rozmtego oznczm h i oreślm jo res górn g funcji : h U prz czm dl zioru sończonego: h m U Podstwowe pojęci teorii ziorów rozmtch 9 Ziór r rozmt nzwm normlnm jeŝeli eli jego wsoość wnosi tzn. h Ziór r rozmt tór nie jest normln moŝem zwsze znormlizowć przez opercję: norm h Ziór r rozmt jest pust co zpisujem wted i tlo wted gd: UU

7 Podstwowe pojęci teorii ziorów rozmtch 9 Ziór r rozmt zwier się w ziorze rozmtm co zpisujem wted i tlo wted gd: UU Ziór r rozmt jest równr ziorowi rozmtemu co zpisujem wted i tlo wted gd: UU 93 Opercje n ziorch rozmtch Sumą ziorów w rozmtch U nzwm ziór rozmt o funcji prznleŝno m { { } Przecięciem ciem ziorów w rozmtch U nzwm ziór r rozmt o funcji prznleŝno min { { } Uzupełnieniem dopełnieniem zioru rozmtego U nzwm ziór r rozmt ~ ~ o funcji prznleŝno ~ UU ~

8 94 Opercje n ziorch rozmtch Sumą ziorów w rozmtch U nzwm ziór rozmt o funcji prznleŝno m { { } Opercje n ziorch rozmtch Przecięciem ciem ziorów w rozmtch U nzwm ziór r rozmt o funcji prznleŝno min { { }

9 96 Opercje n ziorch rozmtch Uzupełnieniem dopełnieniem zioru rozmtego U nzwm ziór r rozmt ~ ~ o funcji prznleŝno ~ Opercje n ziorch rozmtch Uwg: Opercje przecięci ci sum i dopełnieni ziorów rozmtch mją włs przemien łączno cz ci i rozdziel orz zchodzą równieŝ prw de Morgn le nie sąs spełnione prw dopełnieni tzn. ~ U ~ Spełnione sąs ntomist zleŝno : ~ ~ } ~ m{ ~ }

10 98 Przłd opercji n ziorch rozmtch Przłd ZłóŜm Ŝe U{3456} orz.9/3 + /4 +.6/6.7/3 + /5 +.4/6 Zgodnie z definicją mm:.9/3 + /4 + /5 +.6/6.7/3 +.4/6 ~ / + / +./3 + /5 +.4/6 NleŜ zuwŝć Ŝe: ~ / + / +.9/3 + /4 + /5 +.6/6 U ~./3 +.4/6 99 Opercje n ziorch rozmtch Ilocznem rtezjńsim ziorów w rozmtch U nzwm ziór r rozmt o funcji prznleŝno lu min { { } Przłd ZłóŜm Ŝe e mm:.5/ +.9/4.3/ +.7/4 +./6 Zgodnie z pierwszą definicją mm:.3/ +.5/4 +./ /4 +.7/44 +./46

11 Zsd rozszerzni ZłóŜm Ŝe e dne jest nierozmte odwzorownie f przestrzeni U w przestrzeń Y : f : U Y orz ziór r rozmt U: / Ziór r rozmt induown przez to odwzorownie i oreślon w przestrzeni Y jest postci: f /f gdzie: gd f f gd f Przłd zstosowni zsd rozszerzni Przłd ZłóŜm Ŝe./3 +.4/ +.7/5 orz f + wted zgodnie z definicją mm: f./7 +.4/5 +.7/ Przłd ied odwzorownie f nie jest wzjemnie jednoznczne! ZłóŜm Ŝe.3/- +.5/3 +.7/ orz f wted zgodnie z definicją mm: f.5/9 + m.3;.7/4.5/9 +.7/4

12 Zsd rozszerzni wrint Czsmi przdtn jest np np.. licz rozmte inn wrint zsd rozszerzni Niech U ędzie ilocznem rtezjńsim nierozmtch ziorów w postci U U U U n i mm nierozmte odwzorownie : f : U U U n Y orz zior rozmte U n U n to zgodnie z zsdą rozszerzni induown ziz iór r rozmt jest postci: f n /f n gdzie:... } gd f n n... f n gd f Przłd zstosowni zsd rozszerzni 3 Przłd ZłóŜm Ŝe e przestrzeń U jest postci U U i ziór r rozmt U reprezentuje licz lisie liczie.7/ + / +.8/3 zś ziór U reprezentuje licz lisie liczie 3 3.8/ + /3 +.6/4 orz f wted ziór C ędzie ziorem rozmtm licz lisich liczie 6 6 postci: C f min.7;.8/ + min.7;/3 + + mmin.7;.6;min;.8/4 + + mmin;;min.8;.8/6 + + min;.6/8 + min.8;/9 + min.8;.6/.7/ +.7/3 +.8/4 + /6 +.6/8 +.8/9 +.6/

13 4 Licz rozmte Ziór r rozmt oreślon n ziorze licz rzeczwistch R ti tórego funcj prznleŝno : : R [; ] spełni wruni: ziór jest normln tzn. h ziór jest wpuł 3 funcj jest przedziłmi mi ciągł nzwm liczą rozmtą 5 Licz rozmte dodtnie i ujemne Licz rozmt jest dodtni jeŝeli eli < Licz rozmt jest ujemn jeŝeli eli > Licz ujemn Licz ni ujemn ni dodtni Licz dodtni

14 Podstwowe opercje n liczch rozmtch 6 Definicj wszstich opercji n liczch rozmtch jest onsewencją zstosowni zsd rozszerzni dl opertorów w unrnch mm: R / gdzie dl opertorów w inrnch: R z/ gdzie z ; } z zś ozncz opertor np.. +-/ / itp. { } 7 Definicje opercji n liczch rozmtch Zsd rozszerzni pozwl zdefiniowć opercje dodwni odejmowni mnoŝeni i dzieleni dwóch licz rozmtch: dodwnie odejmownie mnoŝenie dzielenie C C C C z ; } C z + C z ; z C z ; z C z ; z / } } }

15 Przłd opercji n liczch rozmtch 8 Przłd ZłóŜm Ŝe e dne sąs dwie licz rozmte.7/ + /3 +.6/4.8/3 + /4 +.5/6 tóre nleŝ dodć do sieie co oznczm opertorem rozmtm. Zgodnie z definicją otrzmm: min.7;.8/5 + mmin.7;;min;.8/6 + + mmin;;min.6;.8/7 + + mmin.7;.5;min.6;/8 + + min;.5/9 + min.6;.5/.7/5 +.8/6 + /7 +.6/8 +.5/9 +.5/ 9 Opercje n liczch rozmtch Ozuje się Ŝe e opercj rtmetczn wonn n liczch rozmtch nie zwsze prowdzi do uzsni licz rozmtej jedn prolem ten moŝn weliminowć pmiętj tjąc c o: Twierdzeniu Duois i Pride JeŜeli eli dwie licz rozmte mją ciągłe e funcje prznleŝno to wniiem wonnch n nich rtmetcznch opercji dodwni odejmowni mnoŝeni i dzieleni sąs licz rozmte.

16 Opercje jednorgumentowe n liczch rozmtch Definicje opercji jednorgumentowch równier wnieŝ oprte sąs n zsdzie rozszerzni: Opercj zmin znu licz rozmtej R prowdzi do uzsni licz rozmtej - R o funcji prznleŝno : - - Licz rozmte i - są smetrczne względem osi Y. Opercj odwrcni licz rozmtej R prowdzi do uzsni odwrotnej licz rozmtej - R o funcji prznleŝno - - złdm dm Ŝe e licz rozmt jest lo dodtni lo ujemn. Opercje jednorgumentowe n liczch rozmtch Opercj slowni licz rozmtej R opercją f λ λ prowdzi do uzsni przeslownej licz rozmtej λ R o funcji prznleŝno : λ λ - Opercj wrtości ezwzględnej licz rozmtej R prowdzi do uzsni licz rozmtej R o funcji prznleŝno : m{ } gd gd < Licz jest zwsze dodtnią liczą rozmtą.

17 Przłd opercji jednorgumentowch Przłd ZłóŜm Ŝe e dn jest licz rozmt postci.7/ + / +.6/5 po wonniu opercji zmin znu otrzmm liczę -.6/ /- +.7/- po wonniu opercji odwrcni otrzmm liczę -.6/. + /.5 +.7/ NleŜ zuwŝć Ŝe + - / - / co ozncz r licz rozmtej przeciwnej i odwrotnej odpowiednio względem dodwni i mnoŝeni. 3 Relcj rozmt Relcją rozmtą R międz dwom niepustmi ziormi nierozmtmi z przestrzeni i Y nzwm dowoln ziór r rozmt oreślon n ilocznie rtezjńsim Y tzn. R Y {: Y} czli relcj rozmt jest ziorem pr: R { R } Y gdzie R : Y [; ] jest funcją prznleŝno pr elementów NleŜ podreśli lić Ŝe e relcj rozmt jest ziorem rozmtm więc c oowiązuj zują dl niej podne wcześniej definicje przecięci ci sum i dopełnieni

18 5 Przłd relcji rozmtej Przłd ZłóŜm Ŝe Y [; ] ozncz długod ugość Ŝci człowie wówczs w wczs relcj R o funcji prznleŝno : R 3 dl dl < < 3 dl 3 moŝe e ć uznn z reprezentcję niepreczjnego porównni w postci sformułowni owni oso jest duŝo o strsz od oso. 6 Przłd relcji rozmtej Relcj rozmt reprezentuje w sposó rozmt siłę pewnego związu zu międz elementmi dwóch nierozmtch ziorów Fun c j prznleŝnośc i relc ji " ć duŝo st rszm niŝ" Dl [;] orz Y [;] R 3 dl dl < < 3 dl Y

19 7 ZłoŜenie zioru i relcji rozmtej ZłoŜenie relcji rozmtej R Y i relcji rozmtej S Y Z tóre oznczm R S jest relcją rozmtą R S Z o funcji prznleŝno postci: R S z R ; S z } Y ZłoŜenie zioru rozmtego i relcji rozmtej R Y tóre oznczm R jest ziorem rozmtm Y o funcji prznleŝno postci: ; } R W teorii ziorów w rozmtch znne sąs teŝ inne lterntwne definicje złoŝeni z relcji rozmtej 8 Przłd złoŝeni z relcji rozmtch Przłd ZłóŜm Ŝe e dne sąs dwie relcje rozmte R i S reprezentowne przez tele: R S złoŝenie Q tch relcji ędzie miło o postć:. Q R S.6 gdzie: q.4 q q q q q 3 3

20 9 Przłd złoŝeni z relcji rozmtch ciąg g dlsz przłdu ztem: q mmin.;.3; min.5;.7.5 q mmin.;.6; min.5;.9.5 q 3 mmin.;.8; min.5;.4.4 q mmin.6;.3; min;.7.7 q mmin.6;.6; min;.9.9 q 3 mmin.6;.8; min; Q Przłd złoŝeni z relcji i zioru Przłd ZłóŜm Ŝe e dne sąs dw zior elementów w przestrzeni { 3 } orz Y { }.. Dl zioru rozmtego postci:.4/ + / +.6/ 3 orz relcji rozmtej R Y reprezentownej przez telę:.5.7 R złoŝenie R ędzie ziorem rozmtm Y postci: +

21 Przłd złoŝeni z relcji i zioru ciąg g dlsz przłdu prz czm: mmin.4;.5; min;.;min.6;.9.6 mmin.4;.7; min;;min.6;.3. ztem osttecznie otrzmm:.6 + Wniosowni rozmte Rozmtą regułą odrwni nzwm regułę o nstępuj pującm schemcie wniosowni is przesłn implicj IF is THEN is wniose is gdzie orz Y są ziormi rozmtmi ntomist są tzw. zmiennmi lingwistcznmi Zmienne lingwistczne to tie zmienne tóre przjmują jo wrtość słow lu zdni z jęz j nturlnego tórm odpowidją zior rozmte np. zmienn hłs s moŝe e przjmowć wrtości { mł średni średniowsoi wsoi }

22 3 Wniosowni rozmte W rozmtej regule odrwni w przeciwieństwie do trdcjnej reguł modus ponens przesłn nie odnosi się do zioru tór wstępuje w wrunu implicji lecz do innego zioru Podonie wniose nie odnosi się do wniu implicji lecz do innego zioru tór oreślon jest przez złoŝenie zioru rozmtego i rozmtej implicji tzn. Implicj rozmt jest rodzjem relcji rozmtej R Y o funcji prznleŝno R więc z definicji złoŝeni z relcji i zioru otrzmujem: ; } 4 Implicj jo relcj rozmt Funcj prznleŝno onluzji rozmtej reguł odrwni zleŝ od funcji prznleŝno implicji tór moŝe e ć definiown w róŝn r sposó Njczęś ęściej worzstwn jest tzw. model Mmdniego w tórm wróŝnim dwie definicje: reguł tpu minimum min { { } reguł tpu iloczn Lrsen Lrsen

23 5 Implicj jo relcj rozmt NleŜ podreśli lić Ŝe e reguł tpu Mmdniego nie sąs implicjmi w sensie logicznm co ilustruje tel: min { { } Istnieje szereg definicji implicji rozmtej tóre w przeciwieństwie do reguł Mmdniego są implicjmi logicznmi model logiczn le nie znlzł one z- stosowni prtcznego np.. implicj Łusiewicz: min {; - + } rchitetur rozmtego sstemu wniosowni 6 z reguł lo rozmwni Mechnizm wniosowni Y lo wostrzni

24 7 Rozmt z reguł z reguł rozmtch oreśln równier wnieŝ minem modelu lingwistcznego słd się z reguł rozmtch nstępuj pującej postci: IF is ND is ND ND n is n THEN is gdzie i orz Y są ziormi rozmtmi ntomist i zmiennmi wejściowmi modelu lingwistcznmi zmienną wjściow ciową modelu lingwistcznego Złdm dm Ŝe e reguł z zie wiedz sąs powiązne opertorem logicznm dsjuncji orz zmienne wjściowe sąs wzjemnie niezleŝne ne 8 Rozmt reguł Regułę rozmtą postci: IF is ND is ND ND n is n THEN is przjmując c oznczenie: n orz odpowiednio n moŝem przedstwić jo rozmtą implicję R: gdzie R jest rodzjem relcji rozmtej oreślonej n ziorze Y tzn. R Y jest ziorem rozmtm o funcji prznleŝno : R gdzie [[ n ] T

25 9 lo rozmwni lo rozmwni N wejściu rozmtego sstemu wniosującego podwn jest nierozmt sgnł: T... [ ] tór podleg opercji rozmwni ng. fuzzific- tion w celu odwzorowni n ziór r rozmt n Njczęś ęściej worzstwną opercją rozmwni jest rozmwnie tpu singleton: gd δ gd n 3 lo wniosowni N wejściu lou rozmtego wniosowni mm ziór r rozmt n N wjściu lou wniosowni otrzmujem jeden ziór r rozmt Y oreślon zleŝno ą: N N N U U R U Mechnizm wniosowni Y gdzie N jest liczą reguł rozmtch orz Y zś jego funcj prznleŝno przjmuje postć: m ; }... N

26 3 Przłd wniosowni Niech dne ędą dwie reguł rozmte: R : IF is ND is sgnł wjściow lou wniosowni ędzie wnosił: R : IF is ND is THEN is n wejście sstemu podno sgnł [ ] T ]T. Dl opercji rozmwni tpu singleton wejście lou wniosowni to z.. rozmte z funcjmi prznleŝno : δ δ gdzie: m{ ; } THEN is [ ; }] 3 Przłd wniosowni PoniewŜ: ; } δ ; δ } to: [ δ ; δ ; }] Dl reguł minimum tpu Mmdniego otrzmm: ; } ; }; } ; ; } Osttecznie: m{ ; ; }}

27 Grficzn interpretcj przłdu dl reguł minimum 33 min min m 34 Przłd wniosowni JeŜeli eli dl implicji zstosujem regułę tpu iloczn Lrsen otrzmm: ; } ; } Osttecznie: m{ ; }}

28 Grficzn interpretcj przłdu dl ilocznu Lrsen Lrsen 35 min min m 36 Przłd wniosowni Jeśli uŝjem u innej niŝ singleton opercji rozmwni n wejściu lou wniosowni pojwią się licz rozmte orz o funcjch prznleŝno orz. W efecie: min min [ ; [ [min[ ; ; }] ];min[ ; ; ]}] ; ; ; }] [ ; ; ; } ] [ ; } ] ; [ ; } ] m min ; ; [ ] [ ] ; ; ; ;

29 Grficzn interpretcj przłdu dl reguł minimum 37 [ i i i ; ] i i i min m 38 lo wostrzni Y lo wostrzni N wejściu lou wostrzni mm ziór r rozmt Y z funcją prznleŝno tór trze odwzorowć w jedną wrtość Y Njczęś ęściej worzstwn jest metod środ cięŝ ęŝości funcji prznleŝno postci gdzie tzn. N N jest nzwne środiem zioru rozmtego rg m{ }

30 Interpretcj grficzn opercji wostrzni 4 Dl przłdu z dwom regułmi: R : IF R : IF is is ND is ND is THEN is THEN is Cech sstemów w rozmtch Zostł zrelizowne sprzętowo w technologii VLSI Wniosownie rozmte nie umoŝliwi propgcji rezulttów w przez sieć wniosowni ng. chining inference