DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersye Mikołaja Kopernika Zależność między produkcją i kapiałem w modelach wzrosu Solowa i Romera. Koinegracja LSTR czy ESTR? * 1. Wprowadzenie Wczesne badania doyczące weryfikacji modeli z zakresu zw. nowej eorii wzrosu 1 skupiały się w głównej mierze na analizie danych przekrojowych. Badania e doyczyły zarówno rozszerzonego modelu wzrosu egzogenicznego Solowa-Swana (parz Mankiw, Romer, Weil, 199) jak i modeli wzrosu endogenicznego (parz np. Sala-i-Marin, 1997). Współcześnie coraz częściej podkreśla się wady akiego podejścia, wynikające głównie z przyjmowanego w ych badaniach założenia o jednakowych warościach paramerów modeli wzrosu dla wszyskich analizowanych krajów. Tymczasem, jak zauważają A. Greiner, W. Semmler i G. Gong (005), rozdz. I, kraje mogą znajdować się na różnych eapach rozwoju ekonomicznego, co powoduje odmienny charaker wpływu różnych czynników wzrosu. Dodakowo za niejednorodność danych w próbach przekrojowych odpowiada odmienna infrasrukura socjalna i warunki insyucjonalne krajów. Z ych powodów obecnie w weryfikacji modeli wzrosu coraz częściej sięga się do meod z zakresu analizy szeregów czasowych, a przykładami prac przyjmujących en punk widzenia są Jones (1995), Lau, Shin (1997), Lau (1999), Greiner, Semmler, Gong (005) oraz Ha, Howi (006). W szczególności w pracach Lau, Shin (1997), Lau (1999) oraz Ha, Howi (006) dyskuuje się implikacje ekonomeryczne różnych modeli wzrosu w konekście analizy koinegracji i wykorzysuje en rodzaj analizy w weryfikacji modeli wzrosu endogenicznego, semi-endogenicznego i egzogenicznego. * Praca wykonana w ramach badań sauowych finansowanych przez AE w Krakowie. 1 Począki nowej eorii wzrosu zwykło się wiązać z publikacją arykułu P.M Romera (1986).

2 9 W niniejszym arykule przyjmuje się podobny punk widzenia i sosuje analizę koinegracji nieliniowej w weryfikacji neoklasycznego modelu wzrosu Solowa-Swana (parz Solow, 1956, Swan, 1956) oraz modelu wzrosu endogenicznego Romera (1986) w odniesieniu do gospodarek 6 krajów: Sanów Zjednoczonych, Wielkiej Bryanii, Japonii, Holandii, Francji i Niemiec. Osłabienie założenia o liniowości w analizie koinegracji doyczy uaj charakeru dynamiki procesu dososowawczego do zależności długookresowej. Przyjmuje się mianowicie, że dososowanie do położenia równowagi może mieć charaker niesymeryczny, różny dla dodanich i ujemnych odchyleń od punku równowagi lub, alernaywnie, charaker nieproporcjonalny, odmienny dla odchyleń dużych, w przypadku kórych sysem silniej koryguje nierównowagę, i dla odchyleń małych, w przypadku kórych koreka jes słabsza lub nie wysępuje w ogóle. Analizy symulacyjne zaware w pracach Pippenger, Goering (000), Bruzda (007a), (007b) wskazują, że sandardowe esy koinegracji racą dużą część swojej mocy w obecności nieliniowych procesów dososowawczych. Z drugiej srony można oczekiwać, że flukuacje procesów gospodarczych związane z cyklami koniunkury mogą powodować nieliniowość procesów dososowań, co uzasadnia sosowanie esów koinegracji osłabiających założenie o liniowości błędów równowagi. W dalszej części arykułu skróowo prezenuje się modele wzrosu Solowa- Swana i Romera, ze szczególnym uwzględnieniem ich implikacji ekonomerycznych, prezenuje się w zarysie zasosowane w badaniu podejście meodologiczne i przedsawia wyniki analizy empirycznej.. Modele wzrosu Solowa-Swana i Romera Różnica pomiędzy modelami Solowa-Swana i Romera doyczy różnych specyfikacji echnologii produkcji odpowiadającym różnym źródłom wzrosu. W przypadku pierwszego z modeli przyjmuje się wysępowanie egzogenicznego posępu echnicznego, kóry w warunkach sałych efeków skali pozwala w pełni wyjaśnić obserwowany wzros gospodarczy. Naomias model Romera jes modelem z endogenicznym posępem echnicznym, wywołanym zw. efekami zewnęrznymi (ang. exernaliies) doykającymi pewnej grupy przedsiębiorsw, gdy pojedyncza firma inwesuje w kapiał fizyczny. Efeky akie mają miejsce np. gdy inwesycje kapiałowe powiększają poziom wiedzy (ang. learning by doing), kóra rozprzesrzenia się nasępnie na inne firmy. Przy założeniu wysępowania sałych efeków skali funkcje produkcji w modelach Solowa-Swana i Romera można zapisać, odpowiednio, jako: Y = AK oraz Y = AK 1 [ 1+ γ ) L ] α α ( θ (1) α 1 L α 1 κ α θ, ()

3 Zależność między produkcją i kapiałem w modelach wzrosu Solowa i Romera 93 gdzie K i L oznaczają nakłady kapiału fizycznego i pracy w momencie, jes produkem wyworzonym w momencie, Y κ jes średnim (na osobę) poziomem kapiału w gospodarce w momencie, Aθ jes łączną produkywnością czynników produkcji (ang. oal facor produciviy TFP) (A jes sałą dodanią, zaś θ jes sochasycznym komponenem TFP o średniej zero), α jes elasycznością produkcji względem kapiału ( 0 < α < 1), zaś γ jes średnią sopą posępu echnicznego ( γ > 0 ). W pracach Lau, Shin (1997) oraz Lau (1999) dyskuuje się ekonomeryczne implikacje modeli z funkcjami produkcji (1) i (). Po pierwsze w modelu Romera zmienne są zinegrowane rzędu pierwszego z dryfem, zaś w modelu neoklasycznym mogą być zarówno rendo-sacjonarne jak i niesacjonarne w wariancji. Ponado model Romera implikuje wysępowanie deerminisycznej koinegracji, j. koinegracji bez rendu w wekorze koinegrującym, pomiędzy logarymem produku na zarudnionego (logarymem wydajności pracy), Y ln y = ln, a logarymem kapiału na zarudnionego (logarymem echniczne- L K go uzbrojenia pracy), ln k = ln. Naomias konsekwencją przyjęcia modelu L Solowa-Swana może być zarówno koinegracja deerminisyczna, sochasyczna jak i brak koinegracji (w przypadku, gdy zmienne są rendo-sacjonarne) pomiędzy ln y i ln k. Przypadek wysępowania koinegracji deerminisycznej nie pozwala więc na rozróżnienie pomiędzy oboma ypami modeli. S.-H.P. Lau i C.-Y. Shin (1997) określają o jako obserwacyjną równoważność modelu Solowa-Swana i modelu Romera. 3. Meodologia Wśród esów hipoezy o braku koinegracji wobec alernaywy zakładającej nieliniowość procesu dososowawczego można wyróżnić esy koinegracji progowej przy założeniu wysępowania jednego lub dwóch progów oraz esy koinegracji wygładzonego przejścia (ang. smooh ransiion STR coinegraion). Poniżej skróowo prezenuje się i nasępnie wykorzysuje esy koinegracji STR zasugerowane w pracach Kapeanios, Shin, Snell (006) i Bruzda (006), (007a). Tesy e są bardziej uniwersalne od esów koinegracji progowej ze względu na o, iż obejmują one koinegrację progową jako swój przypadek graniczny. Ponado wydaje się, że w wielkościach zagregowanych gwałowne przejścia między reżimami, wysępujące przy założeniu progowego charakeru dynamiki dososowań, są mniej prawdopodobne niż przejścia wygładzone, kóre przyjmuje się w przypadku koinegracji STR. W esowaniu koinegracji STR wykorzysuje się dwa podejścia: aproksymację funkcji przejścia szeregiem Taylora niskiego rzędu oraz przeszukiwanie (ang. grid search) w zbiorze dopuszczalnych warości paramerów funkcji przejścia. W przypadku pierwszego podejścia rozważenie wykładniczej (doso-

4 94 sowanie nieproporcjonalne) i logisycznej (dososowanie niesymeryczne) funkcji przejścia prowadzi do nasępujących równań esowych: Δu = α 1 u + αu + ε, (3) 3 Δu = α 1 u + αu + α3u + ε, (4) 3 4 Δu = α 1 u + αu + α3u + α4u + ε, (5) gdzie u jes procesem dososowawczym. Wówczas es hipoezy o braku koinegracji z liniowym procesem dososowawczym wobec ogólnej alernaywy polega na esowaniu łącznej nieisoności paramerów powyższych równań z wykorzysaniem saysyk F posaci: ( SSR0 SSR1 ) / q F =, (6) SSR /( n q) 1 n gdzie SSR0 = = Δu, SSR 1 1 jes sumą kwadraów resz odpowiedniego równania esowego, zaś q jes liczbą resrykcji. W przypadku wysępowania auokorelacji resz równania (3) (5) rozszerza się o opóźnienia zmiennej zależnej analogicznie jak w przypadku rozszerzonego esu Dickeya-Fullera. W pracy Bruzdy (006) zaproponowano procedurę esowania sekwencyjnego, pozwalającą na rozróżnienie przypadków koinegracji wykładniczej wygładzonego przejścia (ESTR), logisycznej wygładzonego przejścia (LSTR) i koinegracji liniowej, bazującą na równaniach (3) (5). W procedurze ej esy F uzupełnia się esami isoności osanich paramerów równań esowych. Wówczas, przy założeniu wysępowania koinegracji, isoność α 4 w równaniu (5) lub α w równaniu (3) sugeruje wysępowanie koinegracji LSTR, zaś isoność α 3 w równaniu (4) może być inerpreowana jako sympom koinegracji ESTR. Wśród esów oparych na przeszukiwaniu zbioru dopuszczalnych warości paramerów funkcji przejścia ypu logisycznego lub wykładniczego szczególną rolę odgrywają esy inf. W eście logisycznej koinegracji wygładzonego przejścia wykorzysuje się równanie esowe posaci: b Δu = ρ u + γ 1+ e 1 ε u, 0 < 1 < b, γ 0, (7) kóre sanowi podsawę dla wyznaczenia saysyki inf definiowanej jako: inf ˆ, γ = inf ρ 0( b, γ ). (8) b ( b, γ ) B Γ = Saysyka a przyjmuje najmniejszą warość spośród saysyk wyznaczonych dla dopuszczalnych warości paramerów b i γ. Jako zbiór B przyjmuje się zbiór równoodległych punków pomiędzy warościami 0 i 1, np. B = {0.01, 0.0,, 0.99}, zaś zbiór Γ proponuje się zdefiniować np. w posaci Γ = {-5, -4.95,, , 0.05,, 4.95, 5}, co pozwala badać łącznie przypadki wyższej pesysen-

5 Zależność między produkcją i kapiałem w modelach wzrosu Solowa i Romera 95 cji w reżimie dodanim i w reżimie ujemnym. W prakyce saysyka (8) wyliczana jes w oparciu o równanie przeskalowane posaci: Δu = ρ u γ 1 sf b 1 1 u ( + ε ), (9) 1+ e gdzie sf n u = 1 = n jes zw. czynnikiem skalującym parz np. Park, Shinani (005) a we wnioskowaniu wykorzysuje się jej rozkład boosrapowy. Z kolei w eście inf koinegracji ESTR wykorzysuje się równanie, kóre w wersji przeskalowanej ma posać: Δ u = ρ u u ( ) γ sf 1 e + ε, > 0 Saysykę inf definiuje się wówczas nasępująco: inf γ. (10) = inf ˆ ( ), (11) γ ρ = 0 γ γ Γ a za zbiór Γ jes zbiorem pewnych warości dodanich, np. Γ = {0.05, 0.1,, 4.95, 5}. 4. Wyniki empiryczne W badaniu empirycznym wykorzysano dane roczne doyczące mająku rwałego zaware w pracy A. Maddisona (1995) oraz wielkości populacji i PKB dosępne na sronie inerneowej A. Maddisona. Dane e wykorzysano do wyliczenia logarymów wielkości kapiału i produkcji per capia. Dane e obejmowały nasępujące okresy: (103 obserwacje) w przypadku Sanów Zjednoczonych, (16 obserwacje) w przypadku Wielkiej Bryanii, (10 obserwacje) w przypadku Japonii, (4 obserwacje) w przypadku Francji, (57 obserwacji) w przypadku Niemiec oraz (43 obserwacje) w przypadku Holandii. Wsępne badanie z użyciem esu ADF wykazało, że logarymy wielkości kapiału i produkcji na osobę można rakować jako procesy I(1). W analizie związków długookresowych wykorzysano procedurę Engle a-grangera oraz dyskuowane w poprzednim punkcie esy F (uzupełniane esami isoności osanich paramerów w równaniach esowych) i esy inf koinegracji STR. Każdorazowo przeprowadzano esy przy założeniu wysępowania oraz braku rendu liniowego w zależności długookresowej opisującej logarym wielkości produkcji per capia w zależności od logarymu wielkości mająku na osobę. Wyniki zawaro w abelach 1 3.

6 96 Tabela 1. Wyniki esu Engle a-grangera Kraj Saysyka ADF (augmenacja); równanie bez rendu Saysyka ADF (augmenacja); równanie z rendem USA (1) -3.67* (1) UK (4) ***() Japonia (0) (0) Niemcy (1) (1) Francja ** (1) * (1) Holandia (0) (0) *, ** i *** oznaczają odrzucenie hipoezy o braku koinegracji na poziomie isoności 10%, 5% i 1% (wykorzysano warości kryyczne uzyskane za pomocą powierzchni odpowiedzi MacKinnona). Źródło: obliczenia własne. Tabela. Wyniki esów F koinegracji STR Kraj Saysyka F 4 (warość p) F 3 (warość p) F (warość p) Równanie bez rendu USA UK Japonia Niemcy Francja *** (0.087) (0.000) 9.117***.046 (0.046) Holandia Równanie z rendem USA 4.971** (0.39) 6.064** (0.588) 9.01** -.09 (0.045) UK 7.144*** (0.314) 9.183*** (0.98) *** (0.987) Japonia Niemcy Francja 1.051*** (0.05) *** (0.000) 9.375***.155 (0.036) Holandia Saysyki F, F 3 i F 4 odpowiadają regresjom esowym (3) (5); *, ** i *** oznaczają odrzucenie hipoezy o braku koinegracji i liniowości procesu dososowawczego na poziomie isoności 10%, 5% i 1% (wykorzysano symulowane warości kryyczne z liczbą powórzeń 50000); rozszerzenie równań esowych przyjęo akie jak w eście liniowej koinegracji parz Tabela 1. Jeśli hipoeza zerowa w esach F jes odrzucana, w nasępnej kolejności esuje się isoność osaniego parameru w odpowiedniej regresji esowej. Źródło: obliczenia własne. Wyniki zaware w abelach wskazują na wysępowanie koinegracji sochasycznej w przypadku USA i UK oraz koinegracji deerminisycznej w przypadku Francji. Rezula en soi w zgodności z ekonomerycznymi implikacjami neoklasycznego modelu Solowa-Swana. Tesy koinegracji nieliniowej dosarczyły wyników w dużej mierze zgodnych z rezulaami esu Engle a-grangera, ale pozwoliły dodakowo wnioskować na ema charakeru dynamiki procesów dososowawczych. Ponado esy F odrzucają hipoezę o braku koinegracji na niższych poziomach isoności. W przypadku równania dla Sanów Zjednoczo-

7 Zależność między produkcją i kapiałem w modelach wzrosu Solowa i Romera 97 nych esy F wskazują na niesymeryczny charaker dososowania z bardziej sacjonarnym reżimem dodanim (dla u > 0 ). Tabela 3. Wyniki esów inf koinegracji STR Kraj Saysyka Równanie bez rendu Równanie z rendem LSTR inf ESTR inf LSTR inf ESTR inf USA [-.883; ] -.53 [-.979; ] [-3.361; ] [-3.708; ] UK [-.933; ] [-3.189; -3.46] [-3.187; -3.48] [-3.309; ] Japonia -.70 [-3.093; ] [-3.104; -3.71] [-3.143; ] [-3.384; -3.87] Niemcy [-3.183; ] [-3.95; ] [-3.571; ] [-3.904; -4.67] Francja [-.519; -.857] [-.9; -.61] [-.864; -3.38] [-3.040; ] Holandia [-.957; -3.54] -.90 [-3.07; ] [-3.564; ] [-3.584; ] W nawiasach kwadraowych podano boosapowe warości kryyczne na poziomach isoności 10% i 5% (wykorzysano meodę nakładających się bloków z długością bloku usaloną arbiralnie jako 10 i przyjęo schema generowania prób boosrap bez resrykcji na paramerach parz Bruzda (007a); boosrapowano saysykę wyznaczoną na podsawie równania nierozszerzonego wykonując 500 replikacji boosrapowych); przyjęo nasępujące definicje zbirów dopuszczalnych warości paramerów: w esach koinegracji LSTR B = {0.1, 0.,..., 0.9}, Γ = {-15, , ,..., -0.15, 0.15,..., 14.85, 15}, zaś w esach koinegracji LSTR: Γ = {0.05, 0.1,..., 10}. Źródło: obliczenia własne. Wniosek en znajduje powierdzenie w esach inf, kóre również wskazują na koinegrację LSTR przy ujemnej warości parameru γ, świadczącej o mniejszej persysencji reżimu dodaniego. Powyższe obserwacje powierdzono szacując 3 modele dla procesu dososowawczego w równaniu dla USA: model liniowy, ESTAR i LSTAR, z kórych najlepszy w sensie jakości dopasowania i diagnosyki modelu okazał się model LSTAR. Przykładowo, współczynnik R, kryerium AIC oraz saysyka Jarque-Bery dla modelu liniowego wynosiły: 13.8%, i z warością p równą 0,001, podczas gdy odpowiednie charakerysyki równania LSTAR kszałowały się nasępująco: 1.7%, i z warością p wynoszącą Dodakowo przejście do specyfikacji nieliniowej usunęło heeroskedasyczność składnika losowego. Naomias, zgodnie ze wskazaniem procedury esowania sekwencyjnego, najlepszym modelem srukuralnym dla procesu dososowawczego w równaniu dla Wielkiej Bryanii okazał się model liniowy. Z kolei w przypadku Francji zarówno esy F i (parz warości p w Tabeli ) jak i wyniki esymacji modeli wskazują na specyfikację ESTAR. Odpowiednie charakerysyki równania liniowego przedsawiają się nasępująco: 6.7%, i (0.000), zaś równania ESTAR 36.9%, -

8 i (0.000). Model ESTAR nie był więc w sanie w pełni objaśnić braku normalności rozkładu składnika losowego w modelu liniowym. Lieraura Bruzda, J. (006), Tess for LSTR Coinergaion and Join Tess for Nonlinear Coinegraion wih an Applicaion o Exchange Raes, refera prezenowany na konferencji XXVI European Meeing of Saisicians, 4 8 lipca 006, Toruń. Bruzda, J. (007a), Boosrapowe esy koinegracji LSTR. Analiza symulacyjna i przykład zasosowania, mimeo. Bruzda, J. (007b), Tesing for Second-Order LSTR Coinegraion Some Simulaion and Empirical Resuls, mimeo. Greiner, A., Semmler, W., Gong, G. (005), The Forces of Economic Growh. A Time Series Perspecive, Princeon Universiy Press, Princeon. Ha, J., Howi, P. (006), Accouning for Trends in Produciviy and R&D: A Schumpeerian Criique of Semi-Endogenous Growh Theory, w druku w Journal of Money, Banking, and Credi. Jones, C.I. (1995), Time Series Tess of Endogenous Growh Models, Quarerly Journal of Economics, 110, Kapeanios, G., Shin, Y., Snell, A. (006), Tesing for Coinegraion in Nonlinear Smooh Transiion Error Correcion Models, Economeric Theory,, Lau, S.-H.P. (1999), I(0) In, Inegraion and Coinegraion Ou: Time Series Properies of Endogenous Growh Models, Journal of Economerics, 93, 1 4. Lau, S.-H.P., Shin, C.-Y. (1997), Observaional Equivalence and a Sochasic Coinegraion Tes of he Neoclassical and Romer s Increasing Reurns Models, Economic Modelling, 14, Maddison, A. (1995), Explaining he Economic Performance of Naions: Essays in Time and Space, Edward Elgar, Chelenham. Mankiw, N.G., Romer, D., Weil, D.N. (199), A Conribuion o he Empirics of Economic Growh, Quarerly Journal of Economics, 107, Park, J.Y., Shinani, M. (005), Tesing for a Uni Roo agains Transiional Auoregressive Models, Working Paper, 05-W10, Vanderbil Universiy. Pippenger, M.K., Goering, G.E. (000), Addiional Resuls on he Power of Uni Roo and Coinegraion Tess under Threshold Processes, Applied Economics Leers, 7, Romer, P.M. (1986), Increasing Reurns and Long-Run Growh, Journal of Poliical Economy, 99, Sala-i-Marin, X. (1997), I Jus Run Two Million Regressions, American Economic Assiociaion Papers and Proceeding, 87, Solow, R.M. (1956), A Conribuion o he Theory of Economic Growh, Quarerly Journal of Economics, 70, Swan, T.V. (1956), Economic Growh and Capial Accumulaion, Economic Record, 3, Szczegółowe wyniki esymacji modeli są dosępne u auorki.