Porównanie jakości nieliniowych modeli ekonometrycznych na podstawie testów trafności prognoz

Transkrypt

1 233 Zeszyy Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu Porównanie jakości nieliniowych modeli ekonomerycznych na podsawie esów rafności prognoz Sreszczenie. Arykuł przedsawia porównanie jakości modeli o różnych posaciach analiycznych (nieliniowych i liniowych) oparych na koncepcji modelowania zgodnego. Elemenem porównawczym są różnice w rafności prognoz orzymanych na podsawie różnych modeli. Analizy różnic rafności prognoz dokonano na podsawie esu Diebolda- -Mariano, a cała analiza zosała przeprowadzona na podsawie danych symulacyjnych. Słowa kluczowe: analiza porównawcza, różnice rafności prognoz, es Diebolda- -Mariano, modelowanie zgodne Wprowadzenie Celem arykułu jes zbadanie jakości modeli nieliniowych oparych na koncepcji modelowania zgodnego w konekście rafności prognoz orzymanych na podsawie ych modeli. W badaniu zosały porównane błędy prognoz ex pos modeli o różnych posaciach analiycznych: liniowy zgodny, poęgowy zgodny, wykładniczy zgodny,

2 234 model progowy TAR opary na koncepcji modelowania zgodnego. Rzeczywise zależności ekonomiczne mogą wykazywać charaker liniowy albo nieliniowy. Badacz nie posiada dokładnej wiedzy na ema rzeczywisej zależności między wykorzysywanymi w badaniu procesami ekonomicznymi. Różne eorie ekonomiczne dają pewne wskazówki posaci zależności, jednakże w eoriach ych przyjmuje się wiele założeń, kóre nie muszą być spełnione w rzeczywisości. Dlaego już na eapie specyfikacji modelu przyjmowane są subiekywne założenia badacza. Ponado bardzo częso na dane zjawisko ekonomiczne ma wpływ wiele czynników, kóre nie są uwzględniane w modelu ekonomerycznym z powodu np. braku odpowiednich danych empirycznych, braku możliwości lub znaczących rudności w mierzeniu ych czynników lub innych. Kolejne ważne czynniki, jakie muszą być brane pod uwagę w rakcie modelowania ekonomerycznego, o odpowiednie własności esymaorów, poprawna weryfikacja modelu oraz zadbanie o zależności o charakerze czyso saysycznym. W badaniu posawiono nasępujące hipoezy badawcze: 1. Modele ze srukurami auoregresyjnymi mogą być wykorzysane do opisu nieliniowych zależności. 2. Trafność prognozy nie zależy od przyjęej posaci analiycznej modelu. Niniejsze badanie zosało przeprowadzone na podsawie symulacji Mone Carlo. Scenariusz eksperymenu zakładał wygenerowanie pewnych zależności nieliniowych, a nasępnie opisanie i wykonanie prognozy na podsawie modeli o różnych posaciach analiycznych (liniową, poęgową, wykładniczą i progową). Wykorzysując es Diebolda-Mariano, porównano różnice w rafnościach ych prognoz, a wyniki zosały przedsawione w posaci wykresów oraz abel. 1. Scenariusz przeprowadzonego badania symulacyjnego W badaniu przeprowadzono 3 eksperymeny numeryczne. Scenariusze eksperymenów są nasępujące. Wygenerowano dwa procesy o srukurze auoregresyjnej pierwszego rzędu o posaciach:,. Na podsawie powyższych procesów wygenerowano 3 procesy o zadanych posaciach nieliniowych: eksperymen 1, eksperymen 2,

3 Porównanie jakości nieliniowych modeli ekonomerycznych 235 eksperymen 3. Powyższe nieliniowe procesy były opisywane za pomocą 4 ypów modeli: 1) liniowego zgodnego: 2) poęgowego zgodnego: 3) wykładniczego zgodnego:, 4) progowego TAR oparego na koncepcji modelowania zgodnego W nasępnym kroku, na podsawie powyższych modeli objaśniających wykonano prognozy na 20 okresów. Wyznaczono błędy ex pos prognoz, a nasępnie zbadano isoność różnic pomiędzy błędami prognoz za pomocą esu Diebolda- -Mariano. Porównano nasępujące pary błędów prognoz: liniowy zgodny z poęgowym zgodnym, liniowy zgodny z wykładniczym zgodnym, liniowy zgodny z progowym zgodnym. W każdym ze scenariuszy zmianie ulegały nasępujące paramery: liczba obserwacji n = {20, 60, 120, 300} oraz warość zakłócenia u ~ N(0, 1), N(0, 2), N(0, 3). Wyniki eksperymenów zaprezenowane są w formie abel oraz wykresów.,., 3. Koncepcja modelowania zgodnego 1 Koncepcja dynamicznego modelowania zgodnego 2, kóra uwzględnia w budowie zależności przyczynowo-skukowe oraz wewnęrzną srukurę wykorzysanych procesów, jes auorswa Profesora Zygmuna Zielińskiego. Przez zgodność 1 Opracowano na podsawie: P. Kufel, Błędy prognoz w ocenie jakości modeli analiza symulacyjna, Zeszyy Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu 2010, nr 18, s ; M. Błażejowski, P. Kufel, T. Kufel, Auomayczna procedura budowy specyfikacji zgodnego dynamicznego modelu ekonomerycznego w oprogramowaniu grel, Aca Universiais Nicolai Copernici, Ekonomia XXXIX, zeszy 389, Wydawnicwo UMK, Toruń 2009, s Por. Z. Zieliński, Zmienność w czasie srukuralnych paramerów modelu ekonomerycznego, Przegląd Saysyczny 1984, R. XXXI, z. 1/2, s ; L Talaga, Z. Zieliński, Analiza spekralna w modelowaniu ekonomerycznym, PWN, Warszawa 1986.

4 236 rozumie się zgodność harmonicznej srukury procesu objaśnianego z łączną harmoniczną srukurą procesów objaśniających oraz procesu reszowego, kóry jes niezależny od procesów objaśniających. Inaczej mówiąc: funkcja gęsości spekralnej procesu objaśnianego oraz łączna funkcja gęsości spekralnej procesów objaśniających oraz procesu reszowego są równe lub równoległe względem osi częsości. Model jes zawsze zgodny, gdy wszyskie wykorzysywane procesy mają własności białoszumowe: Funkcja gęsości spekralnej procesu o własnościach białego szumu jes sała względem osi częsości. Również funkcja gęsości spekralnej dla kombinacji liniowej procesów o własnościach białego szumu jes sała względem osi częsości, zaem obie e funkcje będą równoległe względem osi częsości, czyli aki model jes zgodny. Niech Y i X i (i = 1,..., k) oznaczają odpowiednio proces endogeniczny i wekor procesów objaśniających, dla kórych modele podsawowe, opisujące ich wewnęrzną srukurę, są nasępujące: modele opisujące składniki niesacjonarne: Y = P y + S y + η y, X i = P xi + S x i + η x i, (2) gdzie: P y, P xi wielomianowe funkcje zmiennej czasowej dla odpowiednich procesów, S y, S xi składniki sezonowe o sałej lub zmiennej ampliudzie wahań dla odpowiednich procesów, η y, η xi sacjonarne auoregresyjne procesy odnoszące się do odpowiednich procesów; modele auoregresyjne: (1) B(u)η y = ε y, A i (u)η xi = ε x i, (3) gdzie: B(u), A i (u) sacjonarne auoregresyjne operaory, dla kórych wszyskie pierwiaski równania B(u) = 0 i A i (u) = 0 leżą poza okręgiem jednoskowym, ε y, ε xi białe szumy dla odpowiednich procesów. Rzeczywise procesy ekonomiczne można przedsawić za pomocą srukur auoregresyjnych, ponieważ świadczy o ym ich charaker i przebieg 3. Znajomość wewnęrznej srukury wszyskich badanych procesów umożliwia budowę dynamicznego modelu zgodnego na podsawie zależności dla białoszumowych składników opisanej modelem (1). Model zgodny dla rzeczywisych procesów Y i X i uzyskuje się przez nasępujące podsawienia: do równania (1) podsawia się białe szumy z równań (3), nasępnie z równań (2) wyznacza się auoregresyjne procesy η y, η xi i wsawia się je 3 Por. C. Granger, The Typical Specral Shape of Economic Variable, Economerica 1966, nr 34, s

5 Porównanie jakości nieliniowych modeli ekonomerycznych 237 do poprzednio orzymanego równania. Po dalszych przekszałceniach orzymuje się nasępujący model: W modelu (4) proces reszowy ε jes aki sam jak w modelu (1). Oznacza o, że warunek zgodności srukur harmonicznych obu sron równania zosał spełniony. Model zgodny (4) zawiera wszyskie wewnęrzne składniki poszczególnych procesów, uwzględnione na eapie specyfikacji, do kórych zalicza się składniki sezonowe, rendowe oraz auoregresyjne. (4) 3. Tes Diebolda-Mariano W badaniu symulacyjnym do porównania różnic rafności prognoz wykorzysano es Diebolda-Mariano, zaprezenowany w roku W eście ym badane są prognozy opare na dwóch konkurujących ze sobą modelach. Niech będzie prognozą orzymaną z modelu pierwszego, a z modelu drugiego. Wówczas jes błędem ex pos prognozy modelu pierwszego, a jes błędem ex pos prognozy dla modelu drugiego. Ponado niech oraz będą warościami funkcji sray g, za kórą najczęściej przyjmuje się funkcję kwadraową lub warość bezwzględną. Hipoeza zerowa sawiana w eście Diebolda-Mariano jes nasępująca: H 0 : E[g(e 1 )] = E[g(e 2 )] lub równoważnie H 0 : E[d ] = 0, gdzie d = g(e 1 ) g(e 2 ). Hipoeza alernaywna może przyjmować jedną z rzech form, w zależności od rodzaju esu: dwusronnego, prawosronnego lub lewosronnego. Zakładając dodakowo, że szereg jes sacjonarny, orzymuje się asympoycznie rozkład normalny:, gdzie jes średnią różnic funkcji sra, naomias jes warością gęsości spekralnej dla częsoliwości równej 0, a γ d (τ) = E[(d µ)(d τ µ)] jes auokowariancją rzędu τ. W dużej próbie rozkład d _ jes w przybliżeniu rozkładem normalnym o średniej µ i wariancji 2 f d (0)/T. Oczywise jes wyznaczenie saysyki posiadającej rozkład N(0, 1)

6 238 o posaci, gdzie jes zgodnym esymaorem i jes równy sumie warości odpowiednich auokowariancji, zdefiniowanych jako. W przeprowadzonym badaniu wykorzysano kwadraową funkcję sray g. Implemenację esu Diebolda-Mariano wykonano w oprogramowaniu grel. 4. Wyniki przeprowadzonego badania Wyniki przeprowadzonego badania zaprezenowane są na wykresach oraz w abelach. Wykresy 1-3 przedsawiają rozkład empirycznego poziomu isoności dla esu Diebolda-Mariano dla prognoz orzymanych z modelu linowego zgodnego oraz modeli nieliniowych poęgowego, wykładniczego oraz progowego dla poszczególnych eksperymenów. Wykres 1. Warości empirycznego poziomu isoności dla esu Diebolda-Mariano pomiędzy prognozami orzymanymi z modelu liniowego i poęgowego (lewy), liniowego i wykładniczego (środkowy), liniowego i progowego (prawy) dla eksperymenu 1 Wykres 2. Warości empirycznego poziomu isoności dla esu Diebolda-Mariano pomiędzy prognozami orzymanymi z modelu liniowego i poęgowego (lewy), liniowego i wykładniczego (środkowy), liniowego i progowego (prawy) dla eksperymenu 2

7 Porównanie jakości nieliniowych modeli ekonomerycznych 239 Wykres 3. Warości empirycznego poziomu isoności dla esu Diebolda-Mariano pomiędzy prognozami orzymanymi z modelu liniowego i poęgowego (lewy), liniowego i wykładniczego (środkowy), liniowego i progowego (prawy) dla eksperymenu 3 Tabele 1-3 przedsawiają udział modeli, dla kórych brak jes podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej esu Diebolda-Mariano, mówiącej o braku różnic między prognozami dla poszczególnych par prognoz z uwzględnieniem liczby obserwacji oraz sopnia zakłócenia. Tabela 1. Udział modeli, dla kórych brak jes podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej esu Diebolda-Mariano dla par prognoz względem liczby obserwacji i sopnia zakłócenia dla eksperymenu 1 (w %) n σ = 1 σ = 2 σ = 3 σ = 1 σ = 2 σ = 3 σ = 1 σ = 2 σ = 3 n = 20 97,60 97,28 97,60 99,42 99,40 99,42 99,40 99,52 99,40 n = 60 96,18 95,54 96,18 99,52 99,48 99,52 99,82 99,72 99,82 n = ,28 94,48 94,28 99,40 99,58 99,40 99,94 99,90 99,94 n = ,94 93,90 93,94 99,62 99,50 99,62 100,00 100,00 100,00 Poęgowy zgodny Wykładniczy zgodny Progowy zgodny Tabela 2. Udział modeli, dla kórych brak jes podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej esu Diebolda-Mariano dla par prognoz względem liczby obserwacji i sopnia zakłócenia dla eksperymenu 2 (w %) n σ = 1 σ = 2 σ = 3 σ = 1 σ = 2 σ = 3 σ = 1 σ = 2 σ = 3 n = 20 98,88 98,72 98,88 98,64 98,24 98,64 99,58 99,52 99,58 n = 60 98,74 98,74 98,74 98,64 98,50 98,64 99,94 99,92 99,94 n = ,64 98,78 98,64 98,34 98,72 98,34 100,00 100,00 100,00 n = ,18 98,54 98,18 98,30 98,32 98,30 100,00 100,00 100,00 Poęgowy zgodny Wykładniczy zgodny Progowy zgodny

8 240 Tabela 3. Udział modeli, dla kórych brak jes podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej esu Diebolda-Mariano dla par prognoz względem liczby obserwacji i sopnia zakłócenia dla eksperymenu 3 (w %) n σ = 1 σ = 2 σ = 3 σ = 1 σ = 2 σ = 3 σ = 1 σ = 2 σ = 3 n = 20 98,10 98,08 98,10 98,16 98,08 98,16 99,64 99,78 99,64 n = 60 98,04 97,72 98,04 98,12 98,00 98,12 99,98 99,94 99,98 n = ,50 97,04 97,50 97,80 97,50 97,80 99,98 100,00 99,98 n = ,04 96,34 96,04 96,78 96,80 96,78 100,00 100,00 100,00 Poęgowy zgodny Wykładniczy zgodny Progowy zgodny Podsumowanie i wnioski Przeprowadzone badanie symulacyjne, polegające na opisie i prognozowaniu zależności nieliniowych wysępujące między zjawiskami ekonomicznymi za pomocą modeli oparych na różnych posaciach analiycznych, daje podsawy do wyciągnięcia nasępujących wniosków. Tes Diebolda-Mariano, badający różnice między prognozami oparymi na różnych modelach, wykazał w bardzo wysokim sopniu, że nie wysępują isone różnice prognoz między modelem liniowym a poęgowym, liniowym a wykładniczym oraz linowym a progowym. Należy u zaznaczyć, że nie jes brana pod uwagę rafność poszczególnych prognoz. Tes porównuje jedynie różnice między prognozami, czyli mogły one być ak samo dobre, jak i ak samo złe. Należy również podkreślić, że specyfikacja wszyskich modeli zosała opara na koncepcji modelowania zgodnego, kóra zapewnia reszy o własnościach białego szumu. Na podsawie przeprowadzonego badania oraz prac m.in. Kufla 4 można swierdzić, że isnieje dowolność wyboru posaci analiycznej modelu w celu prognozowania. Niewielkie różnice między rafnością prognoz skłaniają do wykorzysania modeli o prosszych i mniej skomplikowanych posaciach analiycznych. Rekomenduje się wykorzysanie auomaycznej procedury modelowania zgodnego zaimplemenowanej w oprogramowaniu grel 5 jako narzędzia do opisu i prognozowania rzeczywisych procesów ekonomicznych. 4 P. Kufel, Liniowy zgodny dynamiczny model ekonomeryczny jako predykor nieliniowych zależności, Współczesne problemy modelowania i prognozowania zjawisk społeczno-gospodarczych, Wydawnicwo UE w Krakowie, Kraków 2009; P. Kufel, wyd. cy. 5 Por. M. Błażejowski, P. Kufel, T. Kufel, wyd. cy.

9 Porównanie jakości nieliniowych modeli ekonomerycznych 241 Lieraura Błażejowski M., Kufel P., Kufel T., Auomayczna procedura budowy specyfikacji zgodnego dynamicznego modelu ekonomerycznego w oprogramowaniu grel, Aca Universiais Nicolai Copernici, Ekonomia XXXIX, zeszy 389, Wydawnicwo UMK, Toruń Diebold F., Mariano R., Comparing Predicive Accuracy, Journal of Business & Economic Saisics 1995, vol. 1, nr 3. Doornik J., Hendry D., Ineracive Mone Carlo Experimenaion in Economerics using. PcNaive 2, TCL, London Enders W., Applied Economeric Time Series, Wiley Series in Probabilisy and Saisics, wyd. 2, John Wiley & Sons, New York Granger C., The Typical Specral Shape of an Economic Variable, Economerica 1966, nr 34. Kufel P., Liniowy zgodny dynamiczny model ekonomeryczny jako predykor nieliniowych zależności, Współczesne problemy modelowania i prognozowania zjawisk społeczno-gospodarczych, Wydawnicwo UE w Krakowie, Kraków Kufel P., Błędy prognoz w ocenie jakości modeli analiza symulacyjna, Zeszyy Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu 2010, nr 18. Talaga L., Zieliński Z., Analiza spekralna w modelowaniu ekonomerycznym, PWN, Warszawa Zieliński Z., Zmienność w czasie srukuralnych paramerów modelu ekonomerycznego, Przegląd Saysyczny 1984, R. XXXI, z. 1/2. Zieliński Z., Liniowe modele ekonomeryczne jako narzędzie opisu i analizy przyczynowych zależności zjawisk ekonomicznych, Wydawnicwo UMK, Toruń 1991.