Mariusz Plich. Spis treści:

Transkrypt

1 Spis reści: Modele wielorównaniowe - mnożniki i symulacje. Podsawowe pojęcia i klasyfikacje. Czynniki modelowania i sposoby wykorzysania modelu 3. ypy i posacie modeli wielorównaniowych 4. Przykłady modeli wielorównaniowych 5. Symulacja jako echnika wykorzysania modeli 6. Miary dopasowania modelu do danych empirycznych 7. Wykorzysanie modeli wielorównaniowych Słowa kluczowe: model wielorównaniowy symulacja prognozowanie analiza scenariuszowa mnożniki meoda Gaussa-Seidela. Podsawowe pojęcia i klasyfikacje Model może pozosawać konsrukcją czyso eoreyczną (model eoreyczny) służy wówczas prezenacji eorii kóra legła u podsaw jego konsrukcji. Model empiryczny (aplikacyjny sosowany) umożliwia weryfikację eorii (praw) przez ich konfronację z rzeczywisością. Może się również przyczynić do sformułowania nieznanych wcześniej praw rządzących rzeczywisością. Na każdy model składają się zmienne paramery srukuralne (paramery modelu) oraz łącząca je posać funkcyjna. Paramery o pewne sałe (współczynniki) charakeryzujące związki między zmiennymi w modelu. W przypadku gdy paramery są nieznane mogą być szacowane na podsawie danych saysycznych a jakość oszacowań weryfikowana przy użyciu odpowiednich meod ekonomerycznych. Paramery mogą być również szacowane na podsawie opinii eksperów lub usalane w oparciu o normy i relacje echniczne. Zdarza się że paramery znane są na podsawie założeń eoreycznych leżących u podsaw konsrukcji modelu. Zbiór danych saysycznych doyczących pojedynczej zmiennej określa się mianem szeregu danych. Szeregi danych mogą wysępować w nasępujących posaciach: szeregi czasowe obrazujące warość zjawiska w kolejnych momenach lub okresach; mają one określoną częsoliwość np. szeregi dzienne miesięczne kwaralne czy roczne; szeregi przekrojowe doyczące sanów różnych obieków w ym samym momencie lub okresie np. wydaki wylosowanych gospodarsw domowych w lisopadzie 5 r.; szeregi przekrojowo-czasowe zawierające informacje o sanach różnych obieków w różnych momenach lub okresach np. wydaki wylosowanych gospodarsw domowych w kolejnych miesiącach 5 r.

2 Model w sensie algebraicznym o jedno równanie algebraiczne (model jednorównaniowy) lub układ równań algebraicznych (model wielorównaniowy). Modele jednorównaniowe zazwyczaj opisują kszałowanie wybranej zmiennej ekonomicznej (zmienna objaśniana) w zależności od innych zmiennych (zmienne objaśniające). Uproszczenie rzeczywisości w modelach ekonomerycznych polega na uwzględnieniu jedynie najważniejszych czynników (zmiennych) mających wpływ na kszałowanie zmiennej objaśnianej. W zapisie maemaycznym związek aki przyjmuje nasępującą formę: y f ( x x... x ε ) k co oznacza że zmienna objaśniana y zależy od zmiennych objaśniających x i ( i... k) oraz zmiennej losowej ε (składnik losowy). Zmienną losową wprowadza się do modelu w celu odzwierciedlenia wszyskich czynników przypadkowych i czynników ubocznych j. ych kóre nie zosały uwzględnione jawnie w modelu jako zmienne objaśniające. Modele w kórych wysępuje składnik losowy określane są jako modele sochasyczne. W prakyce ekonomerycznej znane są również modele deerminisyczne (ożsamościowe) czyli związki ypu funkcyjnego określające ściśle (bez udziału składnika losowego) zależności między zmiennymi (np. warość jako iloczyn ceny i ilości). O składniku losowym zakłada się że jego nadzieja maemayczna jes równa co w prakyce oznacza że przecięnie rzecz ujmując nie ma on wpływu na badane zjawisko (nie wywiera wpływu sysemaycznego na zmienną objaśnianą). Dlaego prezenując posać modelu ujmuje się ją czasami na poziomie warości oczekiwanej co w prakyce oznacza pominięcie składnika losowego. Na przykład związek pomiędzy popyem a dochodem i ceną mający charaker sochasyczny można zapisać nasępująco: ( dochód cena) popy f by można było dokonać ekonomerycznej analizy akiego związku o sochasycznej naurze zmienna objaśniana i zmienne objaśniające muszą być wielkościami obserwowalnymi a funkcja f musi mieć znaną posać. Jeżeli przyjąć że funkcja f jes liniowa model można zapisać w posaci: y α + α x + α x... α + ε gdzie α ( i k) x k k i... są paramerami funkcji. Na przykład: popy α + α dochód + α cena + ε

3 Paramery α i α oznaczają siłę reakcji popyu na wysokość dochodu i ceny. Pozwalają więc poznać bliżej zależność znaną z eorii ekonomii. W przypadku jednorównaniowych modeli liniowych paramer szacuje się najczęściej za pomocą meody najmniejszych kwadraów (MNK). Zmienne użye modelu odnoszące się do okresu badanego określa się jako zmienne bieżące. Zmienne opóźnione o akie kóre odnoszą się do okresów wcześniejszych w sosunku do okresu badanego. W modelach wykorzysuje się czasami zmienne przyspieszone czyli akie kóre odnoszą się do okresów późniejszych w sosunku do okresu badanego. by uwzględnić w zapisie modelu zmienne opóźnione lub przyspieszone sosuje się zazwyczaj dodakowy subskryp czasu przy nazwie zmiennej. Na przykład f ( dochód dochód cena ε ) ( dochód dochód cenaε ) popy f. popy lub Spośród zmiennych modelu wielorównaniowego można wydzielić zmienne endogeniczne kórych wielkości są wyznaczane przez model i zmienne egzogeniczne wyznaczane poza modelem a wpływające na warości zmiennych endogenicznych. Opóźnione zmienne modelu wielorównaniowego (endogeniczne i egzogeniczne) wraz z bieżącymi zmiennymi egzogenicznymi zaliczane są do grupy zmiennych o warościach z góry usalonych (zmienne z góry usalone). Jeśli model nie zawiera żadnej zmiennej egzogenicznej o jes o zw. model zamknięy. W prakyce modele w pełni zamknięe nie isnieją albowiem oznaczałoby o brak wpływu ooczenia na zachowanie modelowanego układu. Z kolei jeśli model nie zawiera żadnej zmiennej endogenicznej o jes o modele owary. Oczywiście modele oware w ym sensie nie isnieją bo każdy model powinien zawierać przynajmniej jedną zmienną endogeniczną. Nie oznacza o jednak że podział na modele oware i zamknięe nie ma żadnego znaczenia. Można bowiem zdefiniować sopień owarcia (zamknięcia) modelu. Poza ym określeń model owary i model zamknięy używa się na ogół konekście bloków modeli wielorównaniowych np. model gospodarki zamknięy ze względu na popy finalny oznacza że popy finalny w ym modelu nie jes egzogeniczny. Ze względu na posać funkcyjną równań modelu wyróżnia się modele liniowe jeśli wszyskie równania modelu są liniowe względem paramerów oraz modele nieliniowe jeśli wysępują w nich równania nieliniowe względem paramerów. Ze względu na ujęcie czynnika czasu rozróżnia się modele sayczne i modele dynamiczne. Model sayczny nie jes zależny w żaden sposób od czasu. Model dynamiczny o aki w kórym wprowadzono czas do równań modelu (może on być 3

4 wprowadzony bezpośrednio w posaci zmiennej czasowej lub pośrednio przez zmienne opóźnione przyrosy zmiennych ich empa ec.) Wreszcie ze względu na zadania sawiane modelowi wyróżnia się modele opymalizacyjne oraz modele opisowe. Modele opymalizacyjne uławiają podjęcie najlepszej w danych warunkach decyzji (wybór najlepszego rozwiązania ze zbioru rozwiązań dopuszczalnych). Modele opisowe służą do opisu rzeczywisości w celu przedsawienie jej hipoeycznych przeszłych i przyszłych sanów. Model opisowy zwykle uożsamiany jes z modelem sochasycznym ponieważ modele opisowe najczęściej zawierają czynnik losowy. Sochasyczne modele opisowe są częso określane mianem modeli ekonomerycznych.. Czynniki modelowania i sposoby wykorzysania modelu Na rysunku przedsawiono czynniki procesu modelowania i sposoby wykorzysania (cele) goowego modelu empirycznego. ysunek. Czynniki i cele modelowania maemaycznego zeczywisość (faky) eoria Dane Model eoreyczny Dane "oczyszczone" echniki esymacji paramerów Model empiryczny (operacyjny) Źródło: Inriligaor 978: 7 naliza srukury Symulowanie rzeczywisości Czynnikami modelowania są: eoria rzeczywisość i echniki esymacji paramerów. by zbudować model empiryczny należy przedsawić eorię w posaci modelu eoreycznego. zeczywisość związana z badanymi zjawiskami (faky) drugi składnik służący do budowy modelu wysępuje w posaci zbiorów danych (obserwacji) doyczących ych zjawisk. Dane e nie zawsze nadają się do bezpośredniego zasosowania podczas budowy modelu. Częso muszą być 4

5 odpowiednio przeworzone (oczyszczone) przez zasosowanie eksrapolacji inerpolacji usunięcie sezonowości przeliczenia w celu uzgodnienia danych pochodzących z różnych źródeł ec. Model eoreyczny przedsawia w sformalizowanej posaci eorie leżące u podsaw konsrukcji modelu. eorie e będą później weryfikowane i wykorzysane w modelu operacyjnym. Konsruując model eoreyczny nie bierze się jednak na ogół pod uwagę możliwości esymacji jego paramerów (dosępności danych czy meod esymacji).eoria w posaci modelu eoreycznego i rzeczywisość odwzorowana poprzez odpowiednio przygoowane dane w połączeniu z echnikami esymacji umożliwiają oszacowanie nieznanych paramerów modelu. W rezulacie orzymujemy model empiryczny (operacyjny) zn. model przeesowany empirycznie goowy do użycia (symulacji). Jego osaeczna posać jes kompromisem pomiędzy eorią (w posaci modelu eoreycznego) i prakyką (w posaci dosępnych danych meod esymacji i możliwości obliczeniowych kompuerów ograniczeń czasowych i finansowych). Model empiryczny jes z jednej srony podsawą esowania zależności formułowanych przez eorię (weryfikacja modelu) a z drugiej może sanowić podsawę do wnioskowania o rzeczywisości i do jej oceny. esowanie i wnioskowanie o kórych mowa o główne cele budowy modelu ekonomerycznego. ealizowane są one poprzez analizy srukury i symulowanie rzeczywisości. 3. ypy i posacie modeli wielorównaniowych Model wielorównaniowy o aki model kóry zawiera więcej niż jedno równanie. W sensie maemaycznym jes o więc układ równań. Zapiszmy ogólną posać modelu wielorównaniowego o M równaniach: (... Z U ) (... ) ( i... M ) i gi k Θi i en sam model zapisany w noacji macierzowej sprowadza się do nasępującego równania: gdzie: (... Z Θ U ) G k... M U U... U M Z Z... Z N k maksymalne opóźnienie zmiennych endogenicznych modelu 5

6 subskryp czasu i i-a zmienna endogeniczna U i składnik losowy w i-ym równaniu modelu Z wekor bieżących i opóźnionych zmiennych egzogenicznych Θ zbiór wszyskich paramerów modelu Θ i podzbiór zbioru Θ zawierający paramery i-ego równania. ozwiązanie modelu wielorównaniowego polega na znalezieniu warości zmiennych endogenicznych przy zadanych warościach zmiennych egzogenicznych. Jako że zadaniem modeli jes odzwierciedlanie rzeczywisości rozwiązywanie modeli można nazwać symulacją rzeczywisych zachowań badanych obieków i zjawisk przy różnych założeniach co do zmiennych egzogenicznych. ównania modeli wielorównaniowych mogą być ze sobą wzajemnie powiązane gdyż zmienne endogeniczne opisywane przez poszczególne równania mogą być używane jako zmienne objaśniające w innych równaniach. Powiązania e charakeryzuje się za pomocą zw. macierzy powiązań modelu. Macierz ę oznacza się symbolem [ ] r ij. Jes o macierz kwadraowa o wymiarach MxM. Jej elemeny przyjmują warości lub wg nasępujących zasad: r ij gdy zmienna j wysępuje w równaniu objaśniającym zmienną i r w przeciwnym razie. ij W zależności od własności macierzy powiązań wyróżnia się nasępujące ypy modeli: modele prose macierz powiązań jes diagonalna; modele rekurencyjne macierz powiązań daje się przekszałcić do macierzy rójkąnej poprzez zmianę uporządkowania równań lub zmiennych; modele współzależne macierz powiązań modelu nie daje się przekszałcić do macierzy rójkąnej. Powiązania zmiennych endogenicznych modelu można również przedsawić za pomocą schemaów blokowych na kórych linie zakończone srzałkami pokazują kierunek zależności pomiędzy zmiennymi. Prosy przykład akiego schemau pokazano na rysunku. Nawiązuje on do znanego z podręczników ekonomii zagadnienia zwanego pęlą inflacyjną w kórej związki pomiędzy koszami produkcji cenami i płacami mają charaker współzależny. 6

7 ysunek. Przykład powiązań w modelu współzależnym Przykład powi za w modelu współzale nym Schema pęli inflacyjnej Koszy produkcji Płace Ceny Źródło: opracowanie własne Model złożony z równań przedsawionych w posaci w kórej były one specyfikowane w procesie budowy modelu o zw. posać srukuralna modelu. Używając wcześniej wprowadzonych oznaczeń model w posaci srukuralnej można zapisać jako: (... k Z Θ) U G lub (... Z Θ U ) G k Posać zredukowana powsaje z posaci srukuralnej przez wyeliminowanie wskuek przekszałceń maemaycznych sprzężeń jednoczesnych między zmiennymi endogenicznymi. Oczywiście zmianiu ulec mogą wówczas zarówno paramery poszczególnych równań składniki losowe jak również posać analiyczna równań: H (... Z P V ) k gdzie: P macierz paramerów posaci zredukowanej V wekor składników losowych posaci zredukowanej. Posać końcowa powsaje w wyniku przekszałcenia posaci zredukowanej przez wyeliminowanie z niej opóźnionych zmiennych endogenicznych. Podobnie jak w przejściu od posaci srukuralnej do zredukowanej zmianom mogą ulec paramery posać analiyczna i składniki losowe modelu: F ( Z...Z Z F W ) k gdzie: F macierz paramerów posaci końcowej W wekor składników losowych posaci końcowej. Znalezienie posaci końcowej jes w zasadzie równoznaczne z rozwiązaniem modelu bowiem obliczenie warości zmiennych endogenicznych przy zadanych warościach zmiennych egzogenicznych sprowadza się wówczas do najprosszych podsawień i działań maemaycznych. Paramery posaci końcowej nazywa się mnożnikami. 7

8 Pokazują one krańcowe przyrosy zmiennych endogenicznych względem zmiennych egzogenicznych. 4. Przykłady modeli wielorównaniowych Najważniejsze aspeky badań przy użyciu modeli wielorównaniowych przedsawimy na znanych z ekonomi przykładach. Sayczny model Keynesa Model Keynsa w najprosszej wersji zapisywany jes w posaci dwóch równań: równania dochodów i równania konsumpcji: gdzie: C + C f I ( ) C zmienne endogeniczne I zmienna egzogeniczna. ównanie konsumpcji częso specyfikowane jes w posaci liniowej bez wyrazu wolnego zn. C α. Przyjmując aką specyfikację równania konsumpcji możemy zapisać model Keynesa w posaci srukuralnej: gdzie: C + C α I α skłonność do konsumpcji. Chcąc zapisać en model macierzowo przekszałcimy go do równoważnej posaci: C I α + C Możemy eraz oddzielić paramery i zmienne zapisując je w posaci odrębnych wekorów i macierzy: α + I C Wprowadźmy nasępujące oznaczenia: Macierz paramerów związanych ze zmiennymi endogenicznymi α 8

9 Macierz paramerów związanych ze zmiennymi endogenicznymi Wekor zmiennych endogenicznych C Wekor zmiennych egzogenicznych X [ I ] B Sosując powyższe oznaczenia mamy: + BX Zapis macierzowy uławia rozwiązywanie modeli. ozwiążmy model Keynesa względem zmiennych endogenicznych bieżących (model nie zawiera żadnych zmiennych opóźnionych): ( B)X ( B)X W powyższym zapisie przedsawiliśmy bieżące zmienne endogeniczne w zależności od pozosałych zmiennych. Oznacza o że znaleźliśmy posać zredukowaną modelu Keynesa. Ponieważ model en nie zawiera w ogóle zmiennych endogenicznych opóźnionych więc jes o jednocześnie posać końcowa ego modelu. Przypomnijmy że paramery posaci końcowej modelu nazywane są mnożnikami. Przedsawimy ich znaczenie na nasępującym przykładzie liczbowym. Załóżmy że dochody spożycie i inwesycje wyrażone są w ysiącach zł. a skłonność do konsumpcji wynosi 6. Wyznaczmy macierz oraz macierz do niej odwroną kórą nasępnie pomnóżmy przez macierz B: ( B) ozwiązanie modelu (posać końcowa) przyjmuje więc posać: 5 5 [ I ] X albo inaczej 5I C 5 I 5 5 Powyższy wynik oznacza że wzros inwesycji o ysiąc złoych spowoduje wzros konsumpcji o 5 ys. zł. i wzros dochodów o 5 ys. zł. (konsumpcja 5 ys. zł. plus inwesycje ys. zł.). Mnożniki modelu Keynesa można oczywiście również wyznaczyć wykorzysując meodę podsawiania. Podsawiając równanie konsumpcji do równania dochodów mamy: 9

10 α + Sąd obliczmy : I I I 5 I ( α ) ( 6) a nasępnie konsumpcję: 5I C + I C 5I Jak widać rozwiązanie jes idenyczne. Sayczny model Leoniefa Przypomnijmy sposób sformułowania modelu Leoniefa. W układzie gospodarczym wyróżnia się producenów i odbiorców końcowych (finalnych). Układ gospodarczy podzielono na n sekorów (producenów). Każdy sekor wywarza jednorodny produk. Powiązania echnologiczne pomiędzy sekorami (przepływy produków z gałęzi i-ej do j-ej na przeliczone jednoskę produku gałęzi j-ej) przedsawia macierz [ ai j ]. Posać srukuralna modelu Leonifa przybiera nasępującą formę: lub X X + X i n j a ij X j + i dla i... n gdzie X wekor produków globalnych n i wekor produków finalnych n i macierz współczynników koszów. n n W roli zmiennych endogenicznych ego modelu wysępuje na ogół wekor produkcji globalnych X. ozwiążmy en model względem wekora X. X ( I ) Powyższe równanie sanowi posać zredukowaną modelu Leoniefa. Jes ona jednocześnie posacią końcową ze względu na sayczny charaker modelu.

11 Dynamiczny model Keynesa W celu zbudowania dynamicznej wersji modelu Keynesa zmieńmy specyfikację równania spożycia wprowadzając do niego opóźnioną warość zmiennej. Nowa wersja posaci srukuralnej modelu Keynesa ma eraz nasępującą formę: I C + + α α C Przedsawimy go eraz w posaci macierzowej. W ym celu wprowadźmy nasępujące oznaczenia: - I C + α C α ak jak poprzednio przedsawimy paramery i zmienne w posaci oddzielnych macierzy i wekorów: [ ] + + I C C α α eraz wprowadźmy nasępujące oznaczenia: [ ] I C C + X B - α α Zwróćmy uwagę że w porównaniu z wersją sayczną pojawił się nowy wekor na kóry składają się zmienne endogeniczne opóźnione o okres (yle wynosi maksymalne opóźnienie w modelu) oraz nowa macierz złożona ze współczynników związanych z ym zmiennymi. Model w zapisie macierzowym wygląda nasępująco: BX + + ównie ławo jak poprzednio wyznaczamy posać zredukowaną wykonując kolejne przekszałcenia: BX BX W celu uproszczenia zapisu oznaczmy: B M M Osaecznie posać zredukowana wygląda nasępująco: M MX Znalezienie posaci końcowej jes nieco bardziej kłopoliwe. Zacznijmy od zapisania posaci zredukowanej z opóźnieniem o i okresy:

12 MX + M MX + M 3 Podsawiając do posaci zredukowanej mamy: MX + M ( MX + M ) MX + M MX + M Podsawiając do powyższej posaci mamy: MX + M MX 3 ( MX + M 3 ) MX + M MX + M MX M 3 + M + Uogólniając powyższy wzór dla opóźnienia o s okresów mamy: MX + M MX s s + M MX M MX + M ( s) s Zauważmy że jeżeli macierz M ma aką własność że przy s dążącym do nieskończoności kolejne jej poęgi dążą do macierzy zerowej o iloczyn kolejnych poęg macierzy s M przez wekor s s M M s s s dąży do wekora o składowych równych zn.: W akim razie suma akich iloczynów jes skończona i posać końcową modelu można zapisać nasępująco: MX + M MX s s k + M MX M MX M MX k ( s) k Pamięamy że paramery posaci końcowej nazywa się mnożnikami. W przypadku modeli dynamicznych mamy do czynienia z nasępującymi rodzajami mnożników: mnożniki bezpośrednie M B mnożniki opóźnione o k okresów M k M mnożniki skumulowane dla okresu S mnożniki całkowie k M k M. S k M k M ak jak poprzednio wyznaczymy mnożniki na konkrenym przykładzie. W ym celu określmy paramer α na doychczasowym poziomie 6 naomias paramer α przyjmijmy na poziomie 8. Przebieg obliczeń mnożników pokazano na rysunku 3. Podsumowanie obliczeń przedsawione zosało na rysunku 3 zawierającym abelę i wykresy mnożników. Mnożniki pokazują siłę reakcji spożycia i inwesycji na

13 począkowy impuls polegający na wzroście inwesycji o ys. zł. Warości mnożników maleją wraz ze wzrosem opóźnienia i po 8 okresach są prakycznie równe. Łączny efek oddziaływania po 8 okresach (mnożniki skumulowane) jes wyraźnie wyższy od efeku bezpośredniego. W przypadku dochodów efek bezpośredni wynosi 5 ys. zł podczas gdy skumulowany ponad wynosi on 45 ys. zł. a w przypadku spożycia mnożniki e wynoszą odpowiednio 5 i ponad 35 ys zł. ysunek3. Wyliczenie i wykres mnożników modelu Keyenesa w wersji dynamicznej Dynamiczny model Keynesa - mnożniki C+I 6 4 C B M M M 3 M M 6 M M M M 4 M M 7 M M M M 5 M M 8 M Źródło: opracowanie własne Mnożniki modelu Keyenesa w wersji dynamicznej Mnożniki opóźninie warość dochody spożycie skumulowane Źródło: opracowanie własne Mnożniki dochody spożycie Symulacja jako echnika wykorzysania modeli Wykorzysanie modeli wielorównaniowych polega na wyznaczeniu mnożników lub wielokronym rozwiązywaniu modeli przy różnych założeniach doyczących zmiennych 3

14 egzogenicznych. Przykłady kóre były doychczas prezenowane doyczyły modeli liniowych w przypadku kórych sosunkowo ławo można dokonać przekszałcenia od posaci srukuralnej do końcowej. Zasosowanie zapisu macierzowego umożliwia podanie ogólnych reguł rozwiązywania ych modeli. eguły e mogą być zasosowane niezależnie od liczby zmiennych i liczby równań. Znając posać końcową znamy wszyskie mnożniki modelu. Nie sprawia eż problemu znalezienie rozwiązania w przypadku przyjęcia określonych założeń co do warości zmiennych egzogenicznych. W przypadku modeli nieliniowych przejście od posaci srukuralnej do końcowej jes bardzo rudne (o ile w ogóle możliwe) i najczęściej nieopłacalne. Nie isnieją uniwersalne wzory umożliwiające wyliczanie mnożników. Dlaego dla modeli nieliniowych nie poszukuje się posaci zredukowanej i końcowej operując najczęściej posacią srukuralną. Mnożniki wyznacza się przez wielokrone rozwiązywanie modelu meodami ieracyjnymi. ozwiązywanie modelu nazywa się symulacją. Symulacja jes podsawową echniką badawczą sosowaną na eapie wykorzysania modelu wielorównaniowego Meoda Gaussa-Seidela Jes o podsawowa meoda symulacji. Jes o meoda ieracyjna. Ieracja Przyjmujemy warości sarowe dla zmiennych z góry usalonych i zmiennych endogenicznych wysępujących w roli zmiennych objaśniających pierwszego równania i znajdujemy pierwsze zerowe rozwiązania równania (obliczamy warość zmiennej objaśnianej w ieracji ). Obliczenia powarzamy dla kolejnych równań wykorzysując już orzymane najnowsze przybliżenia rozwiązań am gdzie zmienne endogeniczne wysępują w charakerze zmiennych objaśniających: ( ) ( ) k (... ' Z Θ ) Gk k k dla k... ( ) gdzie oznacza wekor przybliżeń sarowych lub przybliżeń orzymanych w ieracji zmiennych endogenicznych wysępujących w roli zmiennych objaśniających w k-ym równaniu. Ieracja i+ (i...) Dla kolejnych równań modelu znajdujemy i plus pierwsze przybliżenie zmiennych endogenicznych wykorzysując najnowsze przybliżenia am gdzie zmienne endogeniczne wysępują w charakerze zmiennych objaśniających: m 4

15 gdzie ( i+ ) ( i+ )( i) k G (... ' Z Θ ) k k k dla k... ( i + )( i ) wekor przybliżeń zmiennych endogenicznych (z ej lub poprzedniej m ieracji) wysępujących w roli zmiennych objaśniających w k-ym równaniu. Po obliczeniu przybliżenia dla osaniego równania sprawdzamy czy rozbieżność pomiędzy przybliżeniami z ieracji bieżącej ieracji (ieracja i+) oraz ieracji poprzedniej (ieracji i) są dosaecznie małe. Jeśli nie o wracamy do punku 3 i wykonujemy kolejną ierację). Jeśli ak o przyjmujemy bieżące przybliżenie jako rozwiązanie modelu. Kryerium sopu : k ( i+ ) ( i) k k ( ) < ε gdzie ε żądana dokładność. i k ypy symulacji Symulacje klasyfikuje się wg różnych kryeriów. Poniżej przedsawiamy e kryeria i związane z nimi rodzaje. abela. Klasyfikacja symulacji wg różych kryeriów Kryerium Założenia o składniku losowym Okres kórego doyczy symulacja Zasób informacji na kórych opieramy rozwiązanie yp symulacji deerminisyczna sochasyczna ex pos ex ane rozwiązanie pojedynczych równań symulacja sayczna symulacja dynamiczna Źródło: opracowanie własne Symulacja sochasyczna polega na znajdowaniu rozwiązania modelu (najczęściej wielokronym) dla generowanych losowo zgodnie z założonym rozkładem prawdopodobieńswa warości składników losowych lub warości esymaorów paramerów modelu: (... k Z Θ k U ) Γ (... 'Z ) G G Θ k 5

16 gdzie o rozwiązanie układu naomias U i Γ Θ oznaczają funkcje rozkładu prawdopodobieńswa składnika losowego i esymaorów paramerów modelu (odpowiednio). Symulacja deerminisyczna o rozwiązanie modelu zakładające realizację składnika losowego na poziomie warości oczekiwanej (wynoszącej ): (... Z Θ) G k Wszyskie pozosałe ypy symulacji powinny być realizowane w wariancie deerminisycznym lub sochasycznym. Symulacja ex pos oznacza rozwiązanie modelu doyczące okresu dla kórego znane są realizacje zmiennych endogenicznych (najczęściej jes o okres na podsawie kórego szacowano paramery równań modelu): (... Z Θ) dla (... ) G k Symulacja ex ane o rozwiązanie modelu orzymane przy nieznajomości prawdziwych warości zmiennych endogenicznych: (... Z Θ) dla ( + + L) G k... ozwiązanie pojedynczych równań polega na wyliczeniu warości zmiennych objaśnianych w modelu poprzez podsawienie do kolejnych równań warości zmiennych objaśniających bez uwzględnienia powiązań pomiędzy równaniami modelu zn.: (... 'Z Θ) G k Symulacja sayczna polega na rozwiązaniu modelu względem zadanych warości zmiennych z góry usalonych: G (... 'Z Θ) k Symulację sayczną wykorzysuje się najczęściej do esowania jednoczesnych sprzężeń zwronych modelu. Symulacja dynamiczna (symulacja) polega na rozwiązaniu modelu na podsawie zadanych warości zmiennych egzogenicznych opóźnione warości zmiennych endogenicznych generowane są przez model: G (... 'Z Θ) k Symulacja dynamiczna jes podsawowym ypem symulacji. 6

17 Weryfikacja resz o symulacja ex pos dla okresu na podsawie kórego szacowano paramery Θ orzymana przez rozwiązanie pojedynczych równań w kórej warości zmiennych objaśniających przyjmujemy na zaobserwowanych hisorycznie poziomach: G H H H H E (... 'Z Θ ) k (... ) dla gdzie superskryp H wprowadzono dla oznaczenia warości hisorycznych naomias E Θ oznacza oszacowania paramerów modelu orzymane na podsawie próby. Weryfikacja resz wykonywana jes najczęściej jako pierwsza symulacja po zapisaniu modelu jako programu kompuerowego. ówność resz orzymanych przez odjęcie wyników symulacji od warości hisorycznych zmiennych endogenicznych i resz orzymanych na eapie esymacji paramerów świadczy o poprawności zakodowania modelu jako procedury kompuerowej. ozwiązaniem podsawowym modelu nazywa się wynik symulacji dynamicznej ex pos przeprowadzonej dla okresu próby przy założeniu że warości zmiennych egzogenicznych kszałują się na poziomach hisorycznych: G H E (... 'Z Θ ) k (... ) dla ozwiązanie podsawowe sanowi podsawę oceny sopnia dopasowania modelu do rzeczywisości. Ocenę aką uławiają odpowiednie miary sopnia dopasowania. Symulacją konrfakyczną nazywa się rozwiązanie orzymane w wyniku symulacji ex pos przy użyciu warości zmiennych egzogenicznych innych niż dane hisoryczne H E dla ( Z Z ) lub warości paramerów różnych od warości oszacowanych ( Θ ) (... 'Z Θ) G dla (... ) k Θ : Symulacją zamrożoną nazywa się symulację przeprowadzoną dla sałych warości zmiennych egzogenicznych: gdzie G (... 'Z Θ) k Z oznacza wekor sałych w czasie warości zmiennych egzogenicznych. Symulacja zamrożona pozwala ocenić wewnęrzną dynamikę modelu przez wyeliminowanie wpływu dynamiki czynników egzogenicznych na wyniki symulacji. Symulację zamrożoną przeprowadza się zwykle począwszy od okresu nasępującego bezpośrednio po osaniej obserwacji w próbie przyjmując jako warości zmiennych egzogenicznych w okresie symulacji warości osaniej obserwacji w próbie G (... 'Z Θ) k ( L) dla Z Wyniki symulacji zamrożonej służą do esowania własności dynamicznych modelu.. Z 7

18 Symulacja bazowa (rozwiązanie bazowe rozwiązanie konrolne symulacja konrolna) o dowolne rozwiązanie modelu sanowiące podsawę do porównań z innymi rozwiązaniami. ozwiązaniem bazowym dla okresu próby jes najczęściej rozwiązanie podsawowe a poza okresem próby prognoza. Symulacja zaburzona (zakłócona) polega na wprowadzeniu zmian (zaburzeń) w sosunku do symulacji bazowej. Zmiany mogą doyczyć: warości zmiennych egzogenicznych specyfikacji równań modelu lub warości paramerów modelu. 6. Miary dopasowania modelu do danych empirycznych Przed zasosowaniem modelu wielorównaniowego należy ocenić sopień zgodności rozwiązania modelu z rzeczywisością. W ym celu wyznacza się i analizuje nasępujące miary dopasowania modelu do danych empirycznych. Średni błąd symulacji (średnia warość resz): SB I ( ˆ i i ) Średni błąd procenowy symulacji: SB% ( ˆ ) i i i Średni kwadra błędu symulacji (błąd średniokwadraowy): ( ˆ ) SB i i Średni kwadra błędu procenowego (procenowy błąd średniokwadraowy): SKB% ˆ i i i Średni bezwzględny błąd symulacji: SBB ˆ i i Średni bezwzględny błąd procenowy: SKB% ˆ i i i 8

19 7. Wykorzysanie modeli wielorównaniowych naliza srukury Pod pojęciem analizy srukury rozumie się użycie oszacowanego modelu do ilościowego pomiaru związków zachodzących wewnąrz modelowanego sysemu przez badanie reakcji (wrażliwości) zmiennych endogenicznych modelu na zmiany: warości zmiennych egzogenicznych posaci równań (warości paramerów specyfikacji posaci funkcyjnej) oraz rozkładów prawdopodobieńsw składnika losowego). Siłę ych reakcji przedsawia się najczęściej w posaci mnożników. Mnożniki klasyczne Mnożniki mierzą siłę reakcji wybranej zmiennej endogenicznej modelu na jednoskową zmianę warości zmiennej egzogenicznej. Mnożnikami są paramery posaci końcowej. Z maemaycznego punku widzenia mnożniki o pochodne cząskowe układu równań. ypy mnożników Klasyfikację mnożników w modelach liniowych (mnożników klasycznych) przedsawia abela abela. Klasyfikacja mnożników wg różnych kryeriów Kryerium Mnożniki mnożniki bezpośrednie jeśli pokazują reakcje zmiennych endogenicznych dla okresu w kórym Okres nasąpiła zmiana zmiennej egzogenicznej reakcji mnożniki pośrednie (opóźnione dynamiczne) jeśli doyczą reakcji w nasępnych okresach. mnożniki impulsowe gdy zmiana doyczy ylko Sposób jednego począkowego okresu wprowadz mnożniki podrzymane (skumulowane) gdy enia zmiana doyczy wszyskich okresów dla kórych impulsu liczone są mnożniki. Źródło: opracowanie własne W przypadku modeli liniowych suma mnożnika bezpośredniego dla wybranej zmiennej egzogenicznej i mnożników opóźnionych dla ej samej zmiennej daje w wyniku mnożnik podrzymany. 9

20 Mnożniki uogólnione Mnożnik w sensie uogólnionym jes charakerysyką reakcji rozwiązania modelu na dowolne zmiany w jego elemenach (zmiennych paramerów posaci funkcyjnej równań). Oblicza się je przez znalezienie rozwiązania bazowego oraz zaburzonego: gdzie: m dla ( τ... L) y z b τ y+ τ y+ τ y m τ warość mnożnika dla zmiennej y w okresie opóźnionego o τ okresów z y τ + rozwiązanie zaburzone b y τ + rozwiązanie bazowe okres począkowy symulacji zaburzonej. Mnożnik można przedsawić również w wyrażeniu procenowym: y m τ y z b + τ y + τ b y+ τ τ. ( ) dla... L Symulowanie rzeczywisości Symulowanie rzeczywisości polega na odgadywaniu na podsawie modelu przeszłych lub przyszłych sanów rzeczywisości przy różnych założeniach doyczących elemenów modelu (zmiennych paramerów posaci funkcyjnej równań). Scenariusz o zbiór wszyskich założeń przyjęych do symulacji. nalizy scenariuszowe o wyniki symulacji orzymanych w oparciu o scenariusze. Prognoza jes analizą scenariuszową kórej scenariusz największe szanse realizacji. Scenariusz en nazywa się założeniami prognozy.