CZYNNIKOWY MODEL ZARZĄDZANIA PORTFELEM OBLIGACJI

Transkrypt

1 Zeszyy Naukowe Wydzału Iorayczych echk Zarządzaa Wyższej Szkoły Iorayk Sosowaej Zarządzaa Współczese robley Zarządzaa Nr /0 CZYNNIKOWY MOE ZARZĄZANIA OREEM OBIGACJI Adrzej Jakubowsk Isyu Badań Syseowych AN, ul. Newelska 6, Warszawa W pracy przedsawoo zagadee zarządzaa porele oblgacj w warukach ryzyka eoczekwaych za pozou sóp proceowych oraz ryzyka za kszału krzywej dochodowośc, będącej lusracją graczą srukury erowej rykowych sóp proceowych spo. odao ops aeayczy zw. aalzy czykowej dyak za srukury erowej, przedsawoo decje czykowego paraeru durao oraz czykowej wypukłośc oblgacj, po czy zaprezeowao czykowy odel uzacj opyalzacj rozparywaego porela. Szczególą uwagę zwrócoo a ożlwość deykacj rzech eskorelowaych czyków wspólych: czyka pozou, czyka achylea oraz czyka krzywzy. Czyk e odzwercedlają łącze zaę kszału aalzowaej krzywej dochodowośc, podlegającej losowy lukuacjo z upływe czasu beżącego. Model uożlwa wybór ych czyków, kóre ają podlegać uzacj oraz ych czyków, ze względu a kóre rozparyway porel oblgacj będze zarządzay akywe. Słowa kluczowe: aalza czykowa, srukura erowa, ryzyko sopy proceowej, porel oblgacj, uzacja opyalzacja.. Wprowadzee * rzedoe prowadzoych rozważań jes wykorzysae zaawasowaych eod aalzy sochasyczej do wyprowadzea odelu czykowej uzacj opyalzacj porela oblgacj. Za puk wyjścowy do dalszych rozważań przyjęo zw. aalzę czykową eoczekwaych za srukury erowej rykowych sóp proceowych spo, a asępe - sorułowao odel dyak za zdeykowaych czyków wspólych oddzaływujących a ę srukurę, określoy w posac wekorowego sochasyczego rówaa różczkowego. Wykorzysao w y celu ea Iô oraz wosek z ego wypływający. W rezulace uzyskao - po przekszałceach - odel czykowy o posac końcowej pokrywającej sę ze * Skrócoa wersja ejszej pracy była prezeowaa a koerecj aukowej "Modelowae preerecj a ryzyko '0", Usroń, 3-5 kwea, 0 r.; yuł reerau: Iuzacja opyalzacja porela oblgacj odel czykowy, Suda Ekoocze UE w Kaowcach, Zeszy 96, 0, s

2 A. Jakubowsk zay z leraury przedou odele, kórego wyprowadzee e było (jak doąd publkowae. owedzoo róweż, że zay doychczas odel shera- Wela kwaykacj ryzyka sóp proceowych a ryku oblgacj - jes szczególy przypadke aalzowaego w pracy odelu czykowego. Rozważae w pracy podejśce jes koyuacją wcześejszych badań prowadzoych w USA (Garbade, 986, 989; era, Scheka, 99 w a (ahl, 993. W szczególośc, doyczy o eryoryczego uzasadea zasadczych kocepcj oraz oralego wyprowadzea podsawowych wzorów prezeowaych (bez dowodów w ych pracach. A przede wszysk, erpreacj ych zależośc a gruce eodolog owoczesej aalzy sochasyczej. W y eż sese, prezeowae w pracy wyk są zdae auora orygale. Aalzoway odel uzacj opyalzacj porela oblgacj oża zalczyć do klasy odel se-akywych. Uzasadee ego aku jes asępujące. Ogóle rzecz borąc, pod pojęce uzacj porela oblgacj rozuey ake zaprojekowae udzałów waroścowych poszczególych oblgacj (o różych erach wykupu wchodzących w skład aalzowaego porela, aby warość globala ego porela była jak ajej wrażlwa a eoczekwae zay rykowych sóp proceowych. Zagadee o rozparuje sę przy zaday horyzoce wesycyjy wykający z eru płaośc przyszłych zobowązań asowych. W ajprosszych odelach uzacyjych zakłada sę, że w przyszłośc wysępować będze pojedycze zobowązae. Naoas w odelach bardzej złożoych, podsawowy problee jes dopasowae warośc beżącej sruea przyszłych dochodów wykających z aku posadaa określoego porela oblgacj (płaośc odsekowe warośc oale do warośc beżącej sruea przyszłych zobowązań, rozparywaych w dyskreych pukach czasowych. Zadae uzacj e a a ogół jedozaczego rozwązaa - seje wele (lub eskończee wele porel uożlwających dopasowae przyszłych dochodów do przyszłych zobowązań. Uożlwa o dodakowo sorułowae pewej ukcj celu - p. aksyalzacja zysku lub alzacja koszu uworzea określoego porela oblgacj. robleayka uzacj sprowadza sę w rozparyway przypadku do zagadea opyalzacj, rozwązywaego za poocą jedej z welu echk prograowaa aeayczego. W zagadeu y proble uzacj porela orułuje sę w posac określoego zboru ograczeń.. Srukura erowa sóp proceowych zagadee wycey oblgacj Zagadee uzacj porela oblgacj wąże sę ścśle z pojęce srukury erowej sóp proceowych. Srukura a odzwercedla ukcyją zależość wysokośc poszczególych sóp proceowych od erów zapadalośc zobowązań, dla kórych e sopy sę rozparuje. W aalzoway przypadku przyjuje sę, że rykowe sopy proceowe spo r 0 dla poszczególych erów,, 3,,, są określoe przez reowośc do wykupu YM (yeld o aury oblgacj czyso-dyskoowych. Reowośc e saową pewe "wzorzec", według kórego dokouje sę wycey wszyskch ych ukcjoujących w day sekorze ryku asowego oblgacj welokupoowych, jak eż ych srueów asowych. 8

3 Czykowy odel zarządzaa porele oblgacj Ozaczając: S(τ - srukura erowa w chwl beżącej τ, ay ( τ [ r ( τ, r ( τ, K r ( τ ] S 0 0, 0. ( Graczy zobrazowae srukury erowej sóp proceowych spo jes zw. krzywa dochodowośc. Krzywa a, przedsawająca zależość reowośc do wykupu YM r 0 oblgacj czyso-dyskoowych od erów wykupu ych oblgacj,,, oże eć róży kszał. Może o być krzywa rosąca, alejąca, w przyblżeu płaska lub łukowaa (hup-shaped. Kszał krzywej dochodowośc zależy od szeregu czyków zwązaych z ukcjoowae aalzowaego ryku asowego, beżącej syuacj gospodarczej daego kraju, jak róweż sekora ryku, dla kórego krzywa a jes deykowaa (ryek oblgacj boów skarbowych, ryek oblgacj koualych, korporacyjych, p.. oado, kszał ej krzywej zea sę w czase co jes właśe źródłe ryzyka sóp proceowych. Na Rys. przedsawoo przebeg krzywych dochodowośc skarbowych paperów dłużych, lusrujące sochasyczą dyakę za srukury erowej sóp proceowych spo dla ryku USA a przesrze ok. 5 la; charakerysyk e zdejowao w odsępach coesęczych od sycza 955 do gruda 979. Każdorazowo, rozparywao pozo sóp proceowych r 0 o erach zapadalośc od roku do 0 la. Aalzując prezeowae wykresy, waro zwrócć uwagę a asępujące aky: ( Rozparywae krzywe dochodowośc a ogół e są płaske o le rozparujey cały zakres zeośc erów zapadalośc. ( Moża zauważyć ścśle dodaą korelację poędzy zeoścą krókoerowych sóp proceowych spo a zeoścą sóp długoerowych; a węc wzros sóp krókoerowych powoduje (a ogół wzros sóp długoerowych odwroe. ( yaka za (a węc waracja sóp krókoerowych jes zacze wększa w porówau z przypadke sóp długoerowych. Moża u węc ówć o wysępowau pewego współczyka "łuea" zakresu zeośc sóp r 0, welującego wahaa ych sóp w arę, jak przesuway sę w keruku sóp długoerowych. Zjawsko dużej zeośc sóp krókoerowych łuaczyy sly wpływe a e sopy określoych zeych w czase decyzj baku ceralego (lub w olsce - Rady olyk eężej co do pozou sóp reverserepo. Naoas łuee ej zeośc, jake wysępuje w odeseu do sóp długoerowych wyjaśae jes a gruce zw. eor segeacj ryku. (v Aalzowae przebeg krzywych dochodowośc są regulary przebega gładk; a węc ukcje aproksyujące e przebeg e wykazują żadych "poalowań" czy eż uskoków. łuaczoe jes o z jedej sroy dzałaloścą a aalzowaych rykach arbrażysów, spekulujących a waroścach sopy proceowej; a z drugej sroy ukcjoowae a day ryku zw. eor oczekwań (Hauge,

4 A. Jakubowsk Rys.. Ilusracja zeośc srukury erowej dla ryku w USA; okres: I 955 XII 979 (dae coesęcze. Źródło: Hauge (996. Na Rys. przedsawoo - dla porówaa - wykres dyak za srukury erowej sóp proceowych, charakeryzującej ryek asowy w olsce w okrese III 994 XII 996. rezeowae przebeg 34. krzywych dochodowośc uzyskao a podsawe reowośc do wykupu (YM boów skarbowych 3-5 ygodowych oraz - 5-lech oblgacj skarbowych o sały oproceowau. Jak wspoao, krzywa dochodowośc saow pewe wzorzec sóp proceowych spo r 0 (,,, za poocą kórego oża dokoywać wycey różych paperów waroścowych. Wycey ej dokouje sę poprzez dyskoowae w czase (do chwl beżącej przyszłych wpływów peężych zwązaych z rozparyway sruee asowy. W szczególośc, każdą oblgację o sały oproceowau, zwązaą z wypłaa w kolejych laach,,...,( odseek C oraz w roku - odseek C plus warość oala N - ożey rozparywać jako suę oblgacj czyso-dyskoowych. A zae, warość beżąca akej oblgacj jes rówa C C C N + + K + +. ( + r 0 (+ r0 (+ r0 (+ r0 0

5 Czykowy odel zarządzaa porele oblgacj Warość ę azywa sę róweż częso waroścą wewęrzą oblgacj (rsc value. Naoas sa wzór ( jes azyway wzore wycey oblgacj. 40 Srukura erowa sóp proceowych arzec kweceń 94 reowość grudzeń Rys.. Ilusracja zeośc srukury proceowej dla ryku w olsce; okres: III 994 XII 996 (dae coesęcze. Źródło: Kulkowsk, Bury, Jakubowsk (996. er ( laa Określee srukury erowej sóp proceowych przez reowośc do wykupu r0, r0,..., r0 oblgacj czyso-dyskoowych a zasadcze zaczee e ylko ze względu a wyceę warośc oblgacj. Zając przebeg rozparywaej krzywej dochodowośc, a akże dyakę za ego przebegu z upływe czasu beżącego, poray oszacować wpływ za rykowych sóp proceowych a warość rozparywaych oblgacj, a y say a sopę zwrou z dokoywaych wesycj. Ze wzoru wycey ( wyka bowe bezpośredo, że eoczekway wzros rykowych sóp proceowych spo r 0,...,, a węc przesuęce sę krzywej dochodowośc w górę powoduje spadek warośc beżącej oblgacj. Naoas spadek ych sóp proceowych, a węc ruch krzywej dochodowośc w dół, powoduje wzros warośc beżącej. Isoe są róweż wszelkego rodzaju espodzewae zay kszału srukury erowej sóp proceowych, prowadzące do zay achylea krzywej dochodowośc, pojawaa sę różego rodzaju garbów, p. Mów sę w y przypadku o zw. ryzyku kszału aalzowaej krzywej (shape rsk. Na zakończee ych uwag ależy podkreślć, że o le zajoość uejęość aalzy losowej dyak za srukury erowej sóp proceowych jes

6 A. Jakubowsk ezere soa w przypadku wszelkego rodzaju wesycj a ryku asowy, o yle a ryku oblgacj jes o sprawa o zasadczy zaczeu. Wyka o wpros ze wzoru wycey (. 3. Kwaykacja ryzyka sopy proceowej paraer "durao" oblgacj Z przeprowadzoych w poprzed pukce rozważań wyka, że warość beżąca (a węc skorelowaa z ą cea rykowa oblgacj oże podlegać cągły oraz eoczekway lukuacjo - ze względu a zay obowązujących w day oece rykowych sóp proceowych, za poocą kórych dyskoujey w czase do chwl beżącej wszyske przyszłe wpływy peęże zwązae z posadae oblgacj. Częso rude do przewdzea zay rykowych sóp proceowych oraz wykające sąd zay cey oblgacj (czy eż szerzej - srueów asowych są źródłe ryzyka sóp proceowych. Ryzyko o wyraża sę zw. eoczekwaą sopą zwrou z wesycj (uacpaed reur, Elo, Gruber (003. W zwązku z y soa jes - z puku wdzea zarówo wesora jak eea - wrażlwość (lub eż przecwe - odporość warośc rozparywaej oblgacj a zay rykowych sóp proceowych. araera uożlwający poar akej wrażlwośc jes zw. śred czas rwaa (durao oraz wypukłość (covexy oblgacj. W klasyczych odelach zarządzaa porele oblgacj, w celu sorułowaa paraerów durao wypukłośc przyjuje sę szereg upraszczających założeń zarówo co do kszału, jak dyak za srukury erowej sóp proceowych; por. Elo, Gruber (003. Na przykład, klasycze decje Macaulaya paraeru durao wypukłośc oblgacj zwązae są z przyjęce sle ograczającego założea, że wszyske rykowe sopy proceowe spo r 0 jak róweż ch przyrosy d 0 - są sobe rówe, ezależe od erów zapadalośc zobowązań, j. r0 r oraz dr0 dr,,..,. (3 Ozacza o, że srukura erowa sóp proceowych wyrażoa krzywą dochodowośc oblgacj czyso-dyskoowych jes "płaska", przy czy zachodz o dla dowolej chwl beżącej τ,,3,.... Z powyższego założea wyka bezpośredo, że jeżel chodz o zay rykowej sopy proceowej r (w y przypadku już ylko jedej - o ożlwe są jedye rówoległe przesuęca w górę lub w dół rozparywaej krzywej dochodowośc o warość dr. Naoas sosując prezeowae w dalszej częśc ego puku podejśce shera, Wela (97 zakładay, że krzywa dochodowośc, będąca reprezeacją la określea paraeru durao oblgacj będzey kosekwee sosowal azwę w języku agelsk. W leraurze polskej paraer e bywa róweż azyway "śred czase rwaa" oblgacj. rzy częsy sosowau ego eru jes o jedak bardzo ewygode. Z kole sosowae skróu "czas rwaa" oblgacj jes ylące; ay bowe róweż: "er do wykupu", czyl e o aury. Naoas, sosoway eż er "duracja" jes zdae auora e do zaakcepowaa.

7 Czykowy odel zarządzaa porele oblgacj graczą srukury erowej S sóp proceowych oże eć dowoly kszał. Naoas ograczający ( o w zaczy sopu założee jes przyjęce, że w dalszy cągu ożlwe są wyłącze rówoległe przesuęca ej krzywej, j. r... r... r oraz dr dr,,, (4 gdze przez r ozaczoo (dla uproszczea zapsu sopy proceowe spo r 0. la aalzowaego ryku zakładay róweż, że obowązuje cągła kapalzacja odseek. Wzór ( określający warość beżącą oblgacj przybera wówczas posać:, r,, r Cexp( r ( r ( r K, (5 gdze C C dla, K, oraz C C+ N. Moża ławo zauważyć, że w rozparyway przypadku, zw. czyk dyskoujący ( + r zosał dla cągłej kapalzacj odseek zasąpoy czyke dyskoujący exp(. r okoując oszacowaa przyrosu d ukcj (5 za poocą dwóch perwszych człoów szeregu aylora, ay d ( r+ dr ( r r dr + r r ( C e dr + ( C e ( dr. ( dr r (6 zeląc obe sroy powyższego wzoru przez oraz borąc pod uwagę założee (4, j. dr dr (,, orzyay d r C e / dr r + C e / ( dr. (7 Wyrażee w awase okrągły perwszego człou powyższej zależośc deujey jako durao shera-wela W oblgacj; aoas wyrażee w awase okrągły drugego człou poożoe przez określa wypukłość W. Należy podkreślć, że ze względu a wypukłość ukcj (r przyblżee zay d(r+dr-(r ej ukcj za poocą dwóch perwszych człoów rozwęca aylora jes w prakyce wysarczająco dokłade. ak węc błąd ego przyblżea, deeroway reszą agrage'a jes zkoy. 3

8 A. Jakubowsk eując dodakowo współczyk wagowy r x C e /,,, ay zae W C e r r / x, W C e / x. (8 oado, z (7 (8 ay asępujący wzór a oszacowae eoczekwaej sopy zwrou z oblgacj, wywołaej losowy, rówoległy przesuęce krzywej dochodowośc (o dowoly kszałce: d W dr + W (dr. (9 oprzez bezpośrede różczkowae ukcj (5 oża ławo sprawdzć, że wyprowadzoe powyżej zależośc (8 są rówoważe asępujący decjo paraerów W W: W, W. (0 r r Waro podkreślć, że przedsawoy powyżej odel shera-wela kwaykacj ryzyka zeośc sóp proceowych za poocą paraerów durao W wypukłośc W oblgacj zosał sorułoway przy zacze bardzej ograczających założeach (4 w porówau z rozparyway w asępy pukce odele czykowy dyak za krzywej dochodowośc. ak węc zdae auora odel e a w chwl obecej zaczee wyłącze "hsorycze". 4. Aalza czykowa dyak za srukury erowej sóp proceowych Jedy z owszych podejść sosowaych w aalze dyak za srukury erowej sóp proceowych są zw. odele czykowe, w kórych wykorzysuje sę eleey zaej a gruce saysyczej aalzy welowyarowej - eor aalzy czykowej (acor Aalyss; Hara (967. Modele e są ajbardzej ogóle w y sese, że w sosuku do dyak za sóp proceowych spo r 0,,,, e wprowadza sę żadych założeń upraszczających, jak o było w przypadku podejść klasyczych, rozparywaych.. w pracach shera, Wela (97, Berwaga (987, Eloa, Grubera (003, czy eż abozzego (006. W zaa za o sawa sę hpoezę, że zay sóp proceowych r 0 dla kolejych chwl τ,, 3,, są geerowae przez kobację lową pewej zadaej lczby eskorelowaych czyków wspólych (coo acors oraz czyków swosych (uque acors, rakowaych jako zee reszowe odelu. Należy przy y dodać, że aalzowae czyk wspóle e zawsze ają określoą erpreację ekooczą lub jakąkolwek ą; jes o ekedy ożlwe dopero po przeprowadzeu zw. roacj orogoalych przesrze czykowej. Czyk e saową pewe zbór 4

9 Czykowy odel zarządzaa porele oblgacj "ukryych" zeych, o kórych zakłada sę, że są oe źródłe określoych korelacj poędzy układe zeych perwoych, opsujących day syse. Z powyższego wyka, że poo "zewęrzego" podobeńswa odośych odel aeayczych, aalzowaych czyków wspólych e ależy w żady przypadku uożsaać ze zey egzogeczy rozparyway powszeche w klasyczej aalze regresyjej. Aalza regresyja aalza czykowa o dwe soe róże eody, u kórych podsaw soją róże założea przed kóry posawoo róże cele. Cele aalzy czykowej jes zasąpee zboru dużej lczby wzajee skorelowaych zeych, ałą lczbą orogoalych (a węc eskorelowaych czyków, kóre w ożlwe aksyaly sposób przyblżyłyby zasoby oracj reprezeowaej przez zee wyjścowe. ak węc orogoalzacja zacze zejszee wyarowośc zagadea - o dwa cele, jake posawoo przed aalzą czykową. W odelu czykowy oblgacj, wyzaczający zależość espodzewaej sopy zwrou od ryzyka sóp proceowych, w ejsce klasyczych decj Macaulaya czy eż shera-wela paraerów durao wypukłośc oblgacj - wprowadza sę zw. czykowe durao (acor durao czykową wypukłość (acor covexy. Nasępe, aalzę espodzewaych za sopy zwrou porela oblgacj, spowodowaych zaa dr (,, rykowych sóp proceowych, zasępuje sę aalzą ych za ze względu a zay czyków wspólych (,,. Czyk e, jako welkośc wspóle dla sóp proceowych r 0, e zależą od erów zapadalośc,,; zależą oe jedye od czasu beżącego τ,, 3,.W zwązku z y, e są w rozparyway przypadku porzebe dodakowe, upraszczające założea o kszałce dyace za krzywej dochodowośc (p. przesuęca ylko rówoległe, będące podsawą do deowaa, oraz eweualej odykacj, klasyczych paraerów durao wypukłośc. Orzyae w e sposób czykowe odele uzacj aberają osao coraz wększego zaczea dla eor prakyk zarządzaa porela oblgacj; ogą oe róweż saowć podsawę do worzea koercyjych pakeów kopuerowego wspoagaa decyzj w ej dzedze. Jak wspoelśy, perwsze prace z ego zakresu zosały opublkowae przez Garbade'a (986, 989, eraa, Schekaa (99 oraz ahla (993. oyczyły oe czykowej aalzy srukury erowej sóp proceowych oraz kosruowaa porel uzacyjych dla ryków oblgacj w USA w a. W olsce, współauore perwszych publkacj z ej dzedzy jes auor ejszej pracy; Kulkowsk, Bury, Jakubowsk (995, 996; por. eż rzpo (009. ożej - oraz w asępych pukach - przedsawy podsawy eoreycze rozparywaego podejśca. W cyowaych publkacjach zagraczych podsawy e są podae ylko w bardzo ogóly zaryse częso bez uzasadea wprowadzaych wzorów zależośc. laego, w ejszej pracy podao ezależe - od sejących, ragearyczych publkacj z ego zakresu - wyprowadzee od podsaw aalzowaych odel czykowych uzacj opyalzacj porel oblgacj oraz przeprowadzoo dyskusję ych odel. oado, w odaku. przedsawoo ops procedur ueryczych ezbędych dla pleeacj prezeowaego odelu w prakyce, w posac odośych pakeów kopuerowych. 5

10 r Ozaczyy: [ r τ M A. Jakubowsk X ] - acerz obserwacj sóp proceowych (,, dla kolejych chwl τ,,3, M. Rykowe sopy proceowe spo r (, rakujey jako zee losowe, przy czy zakładay, że dyspoujey acerzą obserwacj X ych zeych uworzoą w e sposób, że -a kolua ej acerzy przedsawa realzacje zeej losowej r w kolejych chwlach τ, M. Koleje wersze ej acerzy określoe są węc przez wekory werszowe S ( τ r( τ, K, r( τ, r ( τ] [ r, r, r ], [ τ τ τ reprezeujące zeość srukury erowej sóp proceowych S z upływe czasu beżącego τ (por. abela. abela. osać acerzy obserwacj X ] o wyarze ( M [ r τ r... r... r S ( τ r... r... r S ( τ r... r... r M S (τ r... M S ( M τ τ M r τ... r... r... M r σ r σ r τ r M r σ W osach dwu werszach abel podao esyaory warośc oczekwaych r oraz odchyleń sadardowych σ zeych r. Na podsawe warośc poszczególych kolu acerzy obserwacj X ożey róweż wyzaczyć esyaory współczyków kowaracj σ l oraz współczyków korelacj ρ l poędzy sopa proceowy r oraz r l (, l,. Współczyk e worzą odpowedo - acerz kowaracj R oraz acerz korelacj Q o wyarach ( ; posace ych acerzy przedsawoo w abel. Są o oczywśce acerze syerycze oraz dodao określoe (z założea. Wyzaczoa a podsawe obserwacj acerz kowaracj R (lub - w aleraywy sorułowau probleu - acerz korelacj Q a zasadcze zaczee dla prezeowaej eody aalzy czykowej; saow oa bowe puk wyjścowy do dalszych rozważań. 6

11 Czykowy odel zarządzaa porele oblgacj abela. Macerze współczyków kowaracj R korelacj Q poędzy zey r, r l (, l, σ σ K σ σ σ K σ R, M O M σ σ σ ρ K ρ ρ K ρ Q ( M O M ρ ρ W odelu czykowy sopy proceowe spo przedsawy w posac asępującej kobacj lowej orogoalych czyków wspólych oraz czyków swosych: r r + α + K+ α + α + α ε ( lub eż - zapsując o bardzej skróowo r + r α +α ε,,, (3 gdze - czyk wspóle (,, ε - czyk swose (,, α - ładuek czyka wspólego w zeej r (coo acor loadg, α - ładuek czyka swosego w zeej r (uque acor loadg. W odelu czykowy (3 przyjujey asępujące założea: ( czba czyków wspólych jes z góry zadaa; przy czy <<. W prakyce (jak o przedsawy w dalszej częśc arykułu, 34; aoas 030. ( Czyk wspóle (, są wysadaryzoway zey losowy; j. 0, var (. Czyk e są wzajee eskorelowae, j. ρ (, k 0;, k, K, ( k, (4 gdze przez ρ (.,. ozaczoo współczyk korelacj poędzy zey. oado, czyk wspóle oraz czyk swose ε są róweż wzajee eskorelowae, czyl ρ (, ε 0;, K, ;,. (5 ( Czyk swose ε (, są wysadaryzoway zey losowy; j. ε 0, var ( ε. Czyk e są wzajee eskorelowae, czyl ρ ( ε, ε l 0,, l, K, ( l. (6 Z przedsawoych powyżej założeń wyka, że każdy czyk wspóly (,..., a e sae warośc dla wszyskch zeych r. Z kole ładuk 7

12 A. Jakubowsk czyków wspólych α (,..., ;,..., są welkośca specyczy dla każdej ze zeych r w y sese, że reprezeują oe wrażlwość zay zeej r ze względu a zaę czyka wspólego. A dokładej, bezpośredo z posac odelu czykowego (3 oraz z założeń (4-(6 oża wykazać, że ładuk czykowe α są rówe współczyko kowaracj ędzy zey r a czyka wspóly ; j. α Cov( r, ; Jakubowsk (009. α ak węc ładuek czykowy α jes welkoścą o dowoly zaku, j. (, +. oado, borąc pod uwagę, że czyk wspóly jes zeą wysadaryzowaą, współczyk korelacj poędzy zey r wyos ρ ( r, α / σ [, + ],, K, ;,. (7 Z kole każdy czyk swosy ε jes wyłączy arybue odpowadającej u zeej r (,. Gdyby było aczej, o czyk e ależałoby po prosu rozparywać jako jede z czyków wspólych ; sąd bardzo waże jes założee, że czyk swose są wzajee eskorelowae j. ρ ( ε, ε l 0. Wyka sąd bowe bezpośredo, że czyk swosy ε zeej r jes eskoreloway z pozosały zey r, l j. ρ (, ε 0; l,,..., ; l. (8 rl Czyk swosy ε ożey węc erpreować jako zw. ryzyko specycze oblgacj czyso-dyskoowej o okrese do wykupu oraz reowośc r (,...,. Naoas każdy z czyków wspólych (,..., reprezeuje sobą "jede rodzaj" ryzyka, kóre jes wspóle dla wszyskch rozparywaych oblgacj. Z posac odelu czykowego (3 oraz z założea (5 oża ławo wykazać, że ładuek α czyka swosego ε jes lczbowo rówy współczykow kowaracj poędzy czyke ε a zeą r; j. α Cov( r, ε. Jakkolwek, z eoreyczego puku wdzea ładuek α - jako współczyk kowaracj - ógłby być welkoścą o dowoly zaku, w dalszych rozważaach dodakowo założyy, że przyjuje o warośc wyłącze eujee; j. α [ 0, + (,...,. Jes o zreszą zgode z podaą powyżej erpreacją. oado, z aku, że czyk swose są zey wysadaryzoway wyka, że współczyk korelacj poędzy zey r ε wyraża sę wzore ρ ( r, ε α / σ [0, + ],,. (9 8

13 Czykowy odel zarządzaa porele oblgacj odsuowując przedsawoy powyżej ok rozuowaa oża swerdzć, że eoda aalzy czykowej wąże sę z założee lowej reprezeacj zboru wzajee skorelowaych zeych r - zbore zadaej lczby eskorelowaych ędzy sobą (ukryych czyków wspólych oraz czyków swosych ε, przy czy przyjuje sę, że owe "hpoeycze" czyk wspóle są właśe źródłe korelacj ędzy zey r (,...,. Rówae odelu czykowego (3 zapsae dla kolejych dyskreych chwl τ,..., M, a asępującą posać: rτ r + α τ + αετ; τ,..., M;,...,. (0 W rówau y, r τ, τ oraz τ ε ozaczają realzacje (dla τ,..., M zeych losowych r, oraz ε. Jak oża zauważyć, warośc ładuków czykowych a oraz a e zależą od czasu beżącego τ,..., M ; ozacza o, że warośc ładuków czykowych są sały arybue rozparywaego odelu (co jes ezere soe z puku wdzea dalszych rozważań. Naoas sae warośc czyków wspólych czyków swosych zeają sę oczywśce z upływe czasu beżącego τ. Zadae aalzy czykowej jes wyzaczee a podsawe zadaej acerzy obserwacj X- oraz przy założeu lowego odelu (3- kolejo asępujących welkośc: - acerzy kowaracj R zeych r,,..., ; j. R [σ l], ( - ładuków czyków wspólych α (,..., ;,..., ; ładuk e worzą zw. acerz "zea-czyk" o posac A [α ], ( - ładuków czyków swosych α (,..., ; ładuk e worzą acerz dagoalą A s o wyarze, j. A s ag(α, (3 - warośc czyków wspólych τ ( τ,..., M ;,..., będących realzacja zeych losowych w chwlach τ,..., M; warośc e worzą acerz czyków wspólych o posac ], (4 [ τ M - warośc czyków swosych ε τ ( τ,..., M ;,..., ; warośc e worzą acerz czyków swosych o posac E ε ]. (5 [ τ M odakowo, a począkowy eape aalzy czykowej, wyzaczay róweż acerz korelacj Q [ρ l] poędzy zey r, choć e jes o bezpośredo ezbęde dla deykacj odelu czykowego (3 (w oaway 9

14 A. Jakubowsk warace eody. Macerz a jes aoas pooca dla celów erpreacj orzyaych wyków. ak węc eape końcowy oawaej procedury jes eksrakcja warośc lczbowych (j. przebegów czasowych "ukryych" czyków wspólych (τ (, czyków swosych ε (τ (,...,. okouje sę ego a podsawe wyjścowej acerzy obserwacj X oraz przedsawoego powyżej całego cągu dosyć rygorysyczych założeń co do aalzowaego odelu. W y eż sese, prezeoway odel czykowy oża zalczyć do klasy saysyczych odel "uczących sę"; por. Koroack, Ćwk (005. rocedurę ueryczego rozwązywaa przedsawoego powyżej zadaa aalzy czykowej, prowadzącą do deykacj odelu (3 przedsawoo w odaku.. 5. Czykowe paraery ryzyka sopy proceowej W poprzed pukce przedsawlśy poszczególe eapy deykacj odelu czykowego (3 rykowych sóp proceowych spo r, określaych dla kolejych dyskreych puków czasowych τ,,3,..., a podsawe reowośc do wykupu (YM oblgacj czyso-dyskoowych o okresach do wykupu,...,. Model e ał posać r + r α +α ε,,. (6 roces deykacj odelu polegał w rozparyway przypadku e ylko a określeu współczyków α, α odelu, ale róweż a wyzaczeu warośc czyków wspólych (τ (j. acerzy daej wzore (4 oraz czyków swosych ε (τ (j. acerzy E o posac (5. Jak już wspoelśy, zdecydowae wyróża o powyższe podejśce od eodolog aalzy regresyjej, w przypadku kórej przedoe deykacj są ylko współczyk α (oraz eweuale α odelu lowego, aoas (,, rakowae są jako egzogecze zee wejścowe o określoej erpreacj ekooczej oraz o waroścach zaych bezpośredo z przeszłych obserwacj. Zauważy, że w przypadku odelu czykowego, warośc "ukryych" zeych (τ wyzacza sę dopero a eape końcowy kosrukcj odelu. W dalszych rozważaach założyy (podobe jak w prezeoway poprzedo odelu shera-wela cągłą kapalzację odseek. Wówczas, warość beżąca oblgacj welokupoowej, jako ukcja sóp proceowych spo r (,..., - wyraża sę wzore, r,, r Cexp( r ( r ( r K. (7 30

15 Czykowy odel zarządzaa porele oblgacj odsawowa dea oawaej dalej eody czykowej uzacj zawera sę w asępujący sposrzeżeu: z wyprowadzoego odelu czykowego (6 wyka, że zaas rozparywać zay d warośc oblgacj daej wzore (7 ze względu a zay dr, ożey aalzować aalogcze zay d ze względu a zay d (,..., czyków wspólych dla wszyskch sóp proceowych r (,...,. Ze wzorów (6 (7 wyka bowe, że warość beżącą oblgacj ożey rakować jako pewą złożoą ukcję wekora czyków wspólych, ], j. [ (,. (8 ( Zauważy, że ukcja ( jes cągła wraz z wszysk pochody cząskowy dowolego rzędu. Z oralego puku wdzea, ukcję ę ożey węc rakować jako pewe gładke odwzorowae wekora czyków wspólych w przesrzeń R. yakę eoczekwaych losowych za wzajee eskorelowaych czyków wspólych ( τ, K, ( τ z upływe czasu beżącego τ, wywołujących określoą zaę kszału srukury erowej S (τ - oża odelować w posac asępującego sochasyczego rówaa różczkowego Ioˆ: d ( τ µ dτ + σ dw( τ,,, (9 gdze µ - współczyk dryu (dr, σ- współczyk zeośc (volaly, przy czy µ, σ są day sały; zaś W (τ o sadardowy proces sochasyczy Weera, j. proces gaussowsk o przyrosach ezależych paraerach W ~ N ( 0, τ. oado zakładay, że procesy Weera W (τ, W l (τ (, l,,; l są wzajee ezależe. Z oralego puku wdzea, rówae (9 określa węc różczkę sochasyczą d (τ wekorowego procesu [, ] o eskorelowaych współrzędych. Skorzysay eraz z asępującego leau: ea. Załóży, że różczka sochasycza d (τ wekora eskorelowaych czyków wspólych daa jes wzore (9. Wówczas różczka sochasycza Ioˆ warośc beżącej ( oblgacj wyraża sę wzore: d ( d(, d + ( d. (30 owód - zawary jes w odaku.. 3

16 A. Jakubowsk Zauważy, że poday w powyższy leace wzór (30 a różczkę sochasyczą Ioˆ warośc beżącej d( d(, jes uogólee klasyczego wzoru a różczkę zupełą ukcj welu zeych, rozparywaego w przypadku deersyczy. Różca jes aka, że w przypadku różczk sochasyczej Ioˆ wysępuje dodakowo czło zawerający pochode drugego rzędu. Waro róweż podkreślć, że w dalszych rozważaach doyczących zagadea uzacj porela oblgacj, e będzey węcej korzysać z rówaa sochasyczego (9 ewolucj czasowej czyków wspólych (,. ak węc - dla aszych celów - e zaseje koeczość deykacj paraerów dryu µ oraz zeośc σ, co w prakyce ogłoby być dosyć kłopolwe. zeląc obe sroy rówaa (30 przez, orzyay d d + ( d. (3 We wzorze (3, wyrażee wysępujące w perwszy awase prosokąy (wzęe ze zake "-" deujey jako czykowe durao oblgacj; aoas wyrażee w drug awase prosokąy (poożoe przez - określay jako czykową wypukłość. May węc,,,. (3 A zae, z (3 (3 orzyay d d + ( d, (33 gdze welkość d azyway espodzewaą sopą zwrou z oblgacj wywołaą eoczekway zaa d czyków wspólych (,. W celu wyzaczea paraerów durao oraz wypukłośc, daych zależośca (3, a y say oblczea odośych perwszych drugch pochodych ukcj ( daej wzora (6 (7, skorzysay ze wzorów a pochodą ukcj złożoej. May zae r r r α C e, (34 r r r α C e. (35 3

17 Czykowy odel zarządzaa porele oblgacj 33 Z (3, (34 (35 orzyay węc końcową posać wzorów a paraery : e C r / α,,, K, (36 r e C / α,,, K. (37 Wyprowadzoe powyżej wzory (33, (36 (37 saową kopley układ zależośc, za poocą kórych ożey oszacować espodzewaą sopę zwrou d z oblgacj wywołaą eoczekwaą zaą srukury erowej S sóp proceowych spo r, przy założeu, że zay e są reprezeowae przez eskorelowae wahaa d,, ( K orogoalych czyków wspólych. Zauważy, że wzory (36 (37 a czykowe durao czykową wypukłość oblgacj są bezpośred uogólea aalogczych wzorów (8 deujących paraer durao W wypukłość W oblgacj, w przypadku rozparywaego wcześej odelu shera-wela, sorułowaego przy założeu wyłącze rówoległych przesuęć dr krzywej dochodowośc. Z oralego puku wdzea, wzory e różą sę ylko y, że w przypadku odelu czykowego wysępują w odośych zależoścach dodakowo współczyk (j. ładuk czykowe α. Róweż wzór (33 określający espodzewaą sopę zwrou z oblgacj jes bezpośred uogólee aalogczego wzoru (9; porówae obu odel zesawoo w abel 3. abela 3. orówae odelu shera-wela odelu czykowego Model shera-wela Model czykowy (dr dr d W W + ( d d d + r W x e C r / x e C r,,, / K α α r W x e C r / x e C r,,, / K α α

18 A. Jakubowsk Bardzej wklwa aalza porówawcza powyższych podejść prowadz jedak do dalszych wosków. rzede wszysk zauważy, że współczyk α wysępujący.. we wzorze (36 określający paraer czykowego durao oblgacj - oże być dowolego zaku. ak węc wpływ zay d czyków wspólych a espodzewaą sopę zwrou d/ - odeloway za poocą rówaa (33- a o wele bardzej złożoą aurę, w porówau z aalogczy wpływe eoczekwaego, rówoległego przesuęca dr krzywej dochodowośc, rozparywaego w odelu shera-wela za poocą rówaa (9. W y osa rówau, paraer durao W przybera bowe zawsze warośc dodae. rugą soą różcą poędzy odele shera-wela a odele czykowy jes o, że wprowadzee decj zarówo czykowego durao (36 jak czykowej wypukłośc (37 wąże sę z przyjęce po paraerów dla każdej z rozparywaych oblgacj welokupoowych, poeważ rozparujey łącze oddzaływae czyków wspólych. Naoas w przypadku odelu shera-wela (jak eż w przypadku ych podejść klasyczych dla każdej oblgacj deujey ylko po jedy paraerze durao wypukłośc. Jedak w przypadku odelu czykowego e powo o być zby kłopolwe, poeważ - jak wykazują doychczasowe dośwadczea - w prakyce, a rozwęych rykach kapałowych, wzęce pod uwagę 3 4 czyków prowadzło do wyjaśea ok. 95% zw. zasobów zeośc ogólej rykowych sóp proceowych spo r (,...,. Róweż w opracoway.. przez auora ejszej pracy odelu czykowy srukury erowej sóp proceowych charakeryzującej ryek asowy w olsce w okrese arzec 994 grudzeń 996 (dae coesęcze wyróżoo 3 soe czyk wspóle. Czyk e wyjaśały łącze aż 99.93% zasobów zeośc ogólej aalzowaych sóp proceowych; przy czy czyk wyjaśał 98.3% zeośc, czyk -.%, a czyk 3-0.5%; por. Kulkowsk, Bury, Jakubowsk (995, 996. Borąc dodakowo pod uwagę ak, że a rykach asowych rozparuje sę srukury erowe sóp proceowych dla erów zapadalośc od roku do 30 la - a węc w sue dla 30 zeych r - orzyaa w wyku odelu czykowego redukcja lczby zeych objaśających (przy alej srace oracj - jes rzeczywśce bardzo zacząca. Wyka o zreszą z saej specyk eody aalzy czykowej, w raach kórej - jako puk wyjścowy do rozważań rozparujey a ogół sle skorelowae sopy proceowe r. Zauważy, że gdyby wszyske współczyk korelacj ρ l poędzy aalzoway zey r, r l (, l, K, ; l były rówe jedośc - do aalzy układu ych zeych, wysarczyłby jede czyk wspóly. W odelu czykowy opracoway dla ryku aerykańskego zdeykowao 3 soe czyk wspóle (era, Scheka, 99: - - czyk wpływający a ogóly pozo sóp proceowych r ; zw. czyk pozou (level acor; 34

19 Czykowy odel zarządzaa porele oblgacj - - czyk wpływający a achylee krzywej dochodowośc; zw. czyk achylea (seepess acor; czyk wpływający a sopeń zakrzywea krzywej dochodowośc; zw. czyk krzywzy (curvaure acor. W celu blższego wyjaśea akej właśe erpreacj ych czyków, wygode jes przedsawć aalzoway dla czyków, 3 odel czykowy (6 ak - jak o podao w abel 4. abela 4. Model czykowy dla rzech czyków wspólych,, 3 r r r r M + α + α + α + α + α + α α ε + α ε r r + α + α + α α ε M r r + α + α + α α ε Zauważy, że gdy wszyske ładuk czykowe α, K α, α 35 ( czyka w zeych r (,..., są dodae - o wzros lub spadek d warośc ego czyka (przy pozosałych czykach e zeoych będze powodował jedoczesy wzros lub spadek pozou wszyskch aalzowaych sóp proceowych spo r. Czyk oża węc azwać - czyke pozou. oado, gdy począkowe warośc cągu ładuków czykowych ( α, αk α, α sojących przy czyku są dodae, aoas warośc końcowe ego cągu są ujee (lub a odwró - o wzros lub spadek d ego czyka (przy pozosałych czykach e zeoych - będze powodował zaę achylea aalzowaej krzywej dochodowośc. Czyk jes azyway w y przypadku - czyke achylea. Naoas, gdy skraje warośc cągu ładuków czykowych ( α3, α3k α 3, α3 sojących przy czyku 3 są ego saego zaku, zaś środkowe warośc ego cągu są zaku przecwego - o wzros lub spadek d 3 czyka 3 (przy pozosałych czykach e zeoych sae sę przyczyą określoego odkszałcea krzywej dochodowośc w górę lub w dół. Czyk 3 oża węc azwać w y przypadku - czyke krzywzy. Całkowy kszał aalzowaej krzywej dochodowośc wyka węc z "lowego" ałożea sę oddzaływań rozparywaych czyków wspólych, zgode z odele czykowy z abel 4. Ilusrację graczą ych oddzaływań oża

20 A. Jakubowsk sobe wyobrazć ak, jak o przedsawoo a Rys. 3. W lewej częśc ego rysuku zlusrowao dyacze zay począkowo płaskej krzywej dochodowośc; aoas w prawej częśc rysuku - przedsawoo aalogcze zay, przy założeu, że począkowy przebeg ej krzywej był elowy. - czyk pozou r τ τ τ τ r τ τ τ τ - czyk achylea r r 3 - czyk krzywzy r r Rys. 3. Ilusracja oddzaływań czyków wspólych, 3 erową sóp proceowych; τ - czas beżący. 36 a srukurę

21 Czykowy odel zarządzaa porele oblgacj 6. Czykowa uzacja opyalzacja porela oblgacj rzedsawy ajperw czykowy odel uzacj porela oblgacj ze względu a ryzyko eoczekwaych za srukury erowej S (τ rykowych sóp proceowych spo r (,...,. rzyjey, że dla daego ryku asowego obowązuje cągła kapalzacja odseek, krzywa dochodowośc oże eć dowoly kszał oraz dyaka za ej krzywej jes zadaa odele czykowy ( Waruk koecze dosaecze uzacj Naszy zadae będze kosrukcja akego porela oblgacj O (, N, aby porel e zapewał spełee przyszłych zobowązań sojących przed wesore ezależe od eoczekwaych, losowych za srukury erowej S (τ sóp proceowych, jake ogą wysąpć bezpośredo po zakupe porela. Iy słowy, porel oblgacj powe być zuzoway ze względu a ryzyko sopy proceowej. odsawą dalszych rozważań będze założee, że przyszłe zobowązaa k ( k, K sojące przed wesore ożey porakować jako see pewej wrualej oblgacj O o srueu asowy określoy przez e srueń zobowązań. W przypadku pojedyczego przyszłego zobowązaa owa "oblgacja" O będze w powyższy ujęcu oblgacją czyso-dyskoową o ere zapadalośc rówy erow zobowązaa. Z powyższego wyka, że orale rzecz borąc, aalogcze jak dla rzeczywśce sejących a day ryku oblgacj (lub porel oblgacj róweż w sosuku do sruea przyszłych zobowązań ożey deować ake welkośc, jak warość beżąca czy eż paraery durao wypukłośc. Welkośc e deowae są według deyczych zależośc, jak o ało ejsce w przypadku oblgacj, j. odpowedo według wzorów (7, (36 (37. Wprowadzy asępujące ozaczea: x - lczba oblgacj O w porelu ; x 0, K,,, [,, ] - wekor eskorelowaych czyków wspólych, ( r, r, r - warość beżąca oblgacj O, K,,, x - warość beżąca porela oblgacj, r, r, r - warość beżąca sruea zobowązań, ( - czykowe durao oblgacj O, K,,, - czykowe durao zobowązaa asowego O, - czykowa wypukłość oblgacj O, K,,, - czykowa wypukłość zobowązaa asowego O, 37 K,,, K,,.

22 A. Jakubowsk Borąc pod uwagę, że dla daego ryku asowego zdeykowao odel czykowy srukury erowej sóp proceowych spo r (,...,, z zależośc (6 (7 wyka, że zarówo warośc beżące oblgacj (, N jak warość beżącą sruea zobowązań O ożey rakować jako złożoe, gładke ukcje wekora czyków wspólych; j. ( oraz (. o sao doyczy warośc eo W W( porela, kórą deujey asępująco:,, ( ( x( ( W( W( K. (38 odsawową deę zagadea czykowej uzacj porela ożey eraz wyrazć asępująco. Waruke koeczy wypełea zadaa uzacj jes aby W ( 0, j. aby warość beżąca porela oblgacj była rówa warośc beżącej zobowązań, czyl. Wówczas, o le w zaday horyzoce czasowy srukura erowa sóp proceowych sę e ze, o wyzaczoa dla ego horyzou warość przyszła aalzowaego porela akywów będze oczywśce rówa warośc przyszłej ( zobowązań, poeważ obe (rówe sobe warośc beżące będą kapalzowae "w przód" według ych saych rykowych sóp proceowych spo r (,...,. Naoas waruke koeczy jedocześe dosaeczy wypełea aalzowaego zadaa uzacj jes, aby oprócz waruku "wsępego" dopasowaa warośc beżących akywów zobowązań (j. W( 0 zachodzło róweż W(+d 0, przy czy a o asąpć ezależe od keruku za d czyków wspólych (,,. A y say, a o asąpć ezależe od wzrosu lub spadku pozou krzywej dochodowośc czy eż od sposobu zay kszału ej krzywej (zaa achylea, pojawae sę różych "wygarbeń", p.. Wówczas o le powyższa, eoczekwaa zaa krzywej dochodowośc wysąp ylko jede raz w zaday horyzoce czasowy o zaraz po abycu porela - warość przyszła akywów będze wyższa lub rówa warośc ( zobowązań, z ych saych powodów co poprzedo. Należy w y ejscu wyraźe podkreślć, że w przypadku oawaego zagadea uzacyjego e chodz a o ścsłe dopasowae przyszłych srue akywów (wykających z posadaa porela do przyszłych srue zobowązań (zw. cash-low achg. Zagadee uzyskaa akego ścsłego dopasowaa srue asowych ależy do ej klasy probleów, rozparywaych w raach kosrukcj zw. porel dedykowaych (dedcaed porolos; por. Elo, Gruber (005, abozz, og (994, abozz (006. ak węc, w przypadku zagadea uzacj rozparujey e yle ścsłe dopasowae srue akywów zobowązań co ścsłe dopasowae warośc beżących ych srue. Sosując poday w pukce 5 ea - w odeseu do warośc eo aalzowaego porela - orzyay, że różczka sochasycza Ioˆ gładkej (elosowej ukcj W ( wyraża sę wzore o posac aalogczej do wzoru (30, j. 38 O

23 Czykowy odel zarządzaa porele oblgacj 39 ( ( ( ( d W d W W d W W d + +. (39 Borąc pod uwagę decje (36 (37 czykowego durao oraz czykowej wypukłośc, orzyay,, (40,. (4 A zae, w zależośc (39 borąc pod uwagę (38 - ay ( x x W, (4 ( x x W. (43 ak węc, z (39 oraz (4 (43 orzyay. ( ( ( ( ( ( d x d x W d W dw + + (44 Z zależośc (44, uwzględając dodakowo, że ( W dae jes wzore (38, orzyay osaecze, ( ( ( ( ( ( ( d x d x x dw W d W (45 gdze ( oraz (. Na podsawe zależośc (45 orułujey asępujące waruk koecze dosaecze uzacj porela : ( 0 ( W czyl x (. (46

24 A. Jakubowsk Jak już wspoelśy, jes o pewe "waruek począkowy" dla rozparywaego zagadea, będący waruke koeczy uzacj. Waruek e ozacza, że warość beżąca porela oblgacj powa być rówa warośc beżącej sruea zobowązań, dla obowązujących w daej chwl rykowych sóp proceowych spo r (,..., ; czyl dla zadaego wekora czyków wspólych. ( x, K,,, (47 ( x, K,,. (48 Uwzględając waruk (46-(48 we wzorze (45, orzyay węc W( d ( x ( d 0, (49 + a poado, z decj, ay W( + d ( + d ( + d x ( + d ( + d. (50 40 y say, bezpośredo z (49 (50 wyka, że spełoy jes wówczas waruek uzacj aalzowaego porela, j. ( + d x ( + d ( + d. (5 Reasuując, orzyalśy, że o le waruk uzacj (46-(48 są spełoe, o jakakolwek zaa d wekora czyków wspólych reprezeująca określoą zaę srukury erowej sóp proceowych spo { r, K, r, r }, powoduje doda przyros dw W( + d W( warośc eo porela w sosuku do począkowej warośc W ( 0. owyższe zachodz ezależe od keruku za pozou rykowych sóp proceowych r (,..., czy eż od zay kszału krzywej dochodowośc. Aalzowae zadae uzacj porela oblgacj jes węc wypełoe dla całego rozparywaego horyzou wesycyjego - o le ylko będą jeszcze spełoe dwa dodakowe waruk. A aowce, o le owa eoczekwaa zaa sóp proceowych r wysąp (jeżel w ogóle zaraz po zakupe porela oblgacj oraz po wysąpeu zay sóp r, sopy e pozosaą e zeoe aż do końca aalzowaego horyzou czasowego. Waruk e wykają bezpośredo z określoej esablośc paraerów rozparywaego odelu uzacyjego. Chodz w y przypadku o o, że paraery czykowego durao jak czykowej wypukłośc dae

25 Czykowy odel zarządzaa porele oblgacj wzora (36 (37, zależą zarówo od beżącego pozou sóp proceowych r (,..., jak eż od upływu czasu beżącego τ (co wyka ze skrócea eru do wykupu wysępującego w górych gracach su cyowaych wzorów. ak węc porel raz zuzoway (dla chwl τ 0 ze względu a ryzyko sóp proceowych, powe być z upływe czasu beżącego okresowo uakualay (zw. rebalacg do paujących w daej chwl waruków. Jes o zreszą cecha wspóla wszyskch (a węc e ylko czykowych odel uzacyjych. Wpływa o oczywśce w określoy sopu a kosz ch obsług; por. Berwag (987. Ierpreacja waruków koeczych dosaeczych (-( czykowej uzacj porela, daych zależośca (46-(48, jes asępująca. Ozaczyy: / w x - proceowy udzał oblgacj O w porelu ; (5 w, w [ 0, ],, K. (53 Uwzględając, dodakowo, waruek koeczy uzacj (46, a węc x, ay w x /, a sąd x w /,, K. (54, odsawając (54 do (47 (48 po prosych przekszałceach orzyay, że zależośc (47 oraz (48 są odpowedo rówoważe asępujący waruko: w w, K,,, (55, K,,. (56 Moża wykazać (Jakubowsk, 009, że czykowe durao oraz czykowa wypukłość porela oblgacj są kobacja wypukły paraerów durao wypukłośc poszczególych oblgacj O (, wchodzących w skład ego porela, j. uwzględając (53- ay w oraz 4 w, K,,. (57 Moża węc swerdzć, że waruek uzacj (47, rówoważy warukow (55, a węc ozaczający dososowae czykowego durao porela oblgacj do czykowego durao zobowązań, pocąga za sobą deyczą

26 A. Jakubowsk wrażlwość ego porela sruea zobowązań a eoczekwae zay d czyków wspólych,, K,. Ze wzoru (33 a espodzewaą sopę zwrou ( d / dowolej oblgacj bądź porela oblgacj, przy poęcu człou drugego rzędu ay bowe (w przyblżeu d d. (58 Naoas waruek (48 rówoważy jes warukow (56, a węc, aby czykowa wypukłość porela oblgacj była e ejsza ż czykowa wypukłość sruea zobowązań. Zauważy, że o le waruek e jes spełoy, o losowa zeość d czyków wspólych wywołuje doda przyros dw( warośc eo porela, przy czy zachodz o ezależe od keruku za ych czyków. Wyka o bezpośredo ze wzoru (49, wobec oczywsej erówośc (d 0. W klasyczej eor zarządzaa porele oblgacj, opsae powyżej zjawsko os azwę zw. eeku wypukłośc; por. Elo, Gruber (003. ak węc powyżej wykazalśy, że eek e wysępuje róweż w przypadku czykowego odelu uzacj. 6.. Opyalzacja porela zuzowaego Jak oża ławo zauważyć, waruk koecze dosaecze uzacj (46-(48 wyzaczają łącze + ograczeń rówoścowych erówoścowych a zee decyzyje x (,, gdze x - lczba oblgacj O w porelu. ak węc, dla > + ay wele (lub eskończee wele ożlwośc kosrukcj porela zuzowaego, ze względu a ryzyko eoczekwaych za sóp proceowych. ozwala o a sorułowae dodakowego kryeru wyboru opyalego w określoy sese porela oblgacj. Kryeru o określay w posac pewej ukcj celu Q( x, x, K, x ; przy czy waruk uzacj (46-(48 rakujey jako ograczea (j. węzy aalzowaego zagadea opyalzacj. ak węc, e wkając głębej w szczegóły aeaycze określea posac ukcj Q(, zadae opyalego wyboru porela zuzowaego ożey łącze zapsać asępująco: ależy określć ake opyale warośc ˆ 0 (,, aby zachodzło x Q( x, x, K, x { } MAX, (59 przy ograczeach x x ; x 0, K,,, (60 x x, K,,, (6, K,,. (6 4

27 Czykowy odel zarządzaa porele oblgacj Zagadee opyalzacj (59-(6 jes ypowy zadae prograowaa aeayczego, sorułoway dla lowych ograczeń a zee decyzyje. W prakyce, dla zagadeń ego ypu, jako ukcję celu Q( przyjuje sę p. wewęrzą sopę zwrou IRR z porela (Ieral Rae o Reur lub eż zw. składaą sopę zwrou RCY dla zadaego horyzou wesycyjego (Realzed Copoud Yeld. Nekedy dokouje sę róweż aproksyacj elowej ukcj celu ukcją lową ze względu a zee decyzyje x (,, sprowadzając w e sposób zagadee (59-(6 do całkowolczbowego lowego probleu opyalzacyjego; por. ahl, Meeraus, Zeos (993. owyższe uwag, doyczące orułowaa ukcj celu Q, odoszą sę zreszą do całej klasy odel uzacyjych a e ylko do aalzowaego powyżej odelu czykowego. oado, częso wygodej jes orułować zadae wyboru porela zuzowaego jako opyalzację e ze względu a lośc x oblgacj O w porelu a ze względu a współczyk udzału w [0,] ych oblgacj. Na przykład, jak wadoo, sopa zwrou z porela oblgacj, rozparywaa dla zadaego horyzou czasowego jes bezpośredo rówa kobacj wypukłej (j. ze współczyka w sóp zwrou z poszczególych oblgacj wchodzących w skład ego porela. ak węc borąc pod uwagę zależośc (5-(54 oraz (55-(56, zagadee (59-(6 oża sprowadzć do asępującej posac: Q( w, w, K, w { } MAX (63 w przy ograczeach w, w 0, K,,, (64 w, K,,, (65 w, K,,. (66 Zauważy, że w sorułoway powyżej zadau e wysępuje w posac jawej waruek koeczy (60 uzacj. A węc aby zagadea (59-(6 (63-(66 były całkowce rówoważe, po rozwązau zadaa (63-(66 j. po wyzaczeu opyalych warośc współczyków udzału wˆ (, - ależy jeszcze dodakowo wyzaczyć opyale lośc xˆ (, oblgacj O w porelu - według wzoru (54, j. x ˆ wˆ /. Zachodzć będze wówczas x wˆ 43 ˆ w, (67 a węc waruek koeczy uzacj (60 będze spełoy. Oczywśce z powodów prakyczych (a ryku e oża kupć ułakowej lczby oblgacj, wyzaczoe w e sposób opyale lczby x oblgacj ależy przyblżyć do ajblższych lczb całkowych. Sąd, uzyskae w powyższy sposób

28 A. Jakubowsk rozwązae aalzowaego zagadea będze jedye subopyale; ekedy być oże awe dosyć odległe od ścśle opyalego rozwązaa zagadea całkowolczbowego ypu (59-(6. Na zakończee waro podkreślć, że poęce ekórych ze sorułowaych powyżej ograczeń, p. doyczących uzacj rozparywaego porela ze względu a wybray czyk wspóly (j. dla usaloego 0 prowadz do akywego zarządzaa porele oblgacj ze względu a e właśe czyk. Załóży, a przykład, że dla rozparywaego probleu uzacj zdeykowao czyk jako czyk ogólego pozou sóp proceowych r (,,. Jak już wcześej wspoelśy, w prakyce ozaczać o będze, że ładuk czykowe α ają dla wszyskch sóp r warośc dodae. ak węc wzros czyka powoduje jedoczesy wzros wszyskch sóp proceowych r (,,; aoas spadek czyka - wywołuje spadek ych sóp; por. Rys. 3 (czyk pozou. W akej syuacj, gdy dyspoujey warygody day, że wszyske sopy proceowe a przykład spadą, o ożey "uwolć uzację swego porela ze względu a czyk. Ozaczać o będze poęce w ograczeach (6,(6 odelu - deksu. o zaczy, porela e uzujey ze względu a czyk poeważ spodzeway sę, jak czyk e będze sę zachowywał w przyszłośc, dla zadaego horyzou czasowego. W ejsce uzacj ze względu a perwszy czyk, ożey aoas zasosować sraegę akywą polegającą a zakupe oblgacj długoerowych, poeważ oczekujey spadku ogólego pozou sóp proceowych. Naoas uzację ze względu a pozosałe dwa czyk, j. czyk achylea oraz czyk krzywzy 3 - pozosaway w ocy, poeważ e jeseśy pew czy spodzewae przesuęce krzywej dochodowośc S w dół asąp w sposób rówoery, o zaczy czy będze o przesuęce rówoległe o sałą warość dr cos(;,,. W e sposób, spodzewając sę ogólego spadku sóp proceowych sosując w zwązku z y odpowedą sraegę akywą, zabezpeczay sę jedocześe przed ryzyke zay kszału srukury erowej sóp proceowych. Moża oczekwać, że zasosowae akego właśe posępowaa, polegającego a powązau akywej sraeg zarządzaa porelowego ze sraegą pasywą, doyczącą częścowej uzacj (j. ze względu a wspoae ryzyko kszału, będze źródłe dodakowych zysków, w porówau ze sraegą całkowce pasywą. Sraega całkowce pasywa jes w aalzoway przypadku określoa przez odel (59-(6, rozparyway dla wszyskch zdeykowaych czyków (,, dyak za srukury erowej sóp proceowych. Oczywśce, przedsawoe powyżej posępowae będze uzasadoe, o le asze progozy co do spodzewaego ruchu krzywej dochodowośc w dół sę spełą. Ozacza o, że dokoując uzacj aszego porela wesycyjego ze względu a ryzyko kszału, usy jedocześe zaakcepować określoe ryzyko zay ogólego pozou sóp proceowych. 44

29 Czykowy odel zarządzaa porele oblgacj Reasuując, oża swerdzć, że przedsawoy powyżej czykowy odel uzacj opyalzacj porela oblgacj oeruje a daleko szerszy wachlarz ożlwośc w porówau z odela klasyczy, wykorzysujący kocepcję Macaulay a paraerów durao wypukłośc oblgacj; bądź ylko pewe odykacje ej kocepcj zapropoowae p. przez shera Wela (977, Eloa Grubera (003, czy Zarebę Soleńskego (000. W przypadku odelu czykowego ożey bowe uzować asz porel wesycyjy e ylko ze względu a wszyske zdeykowae czyk dyak za sóp proceowych; ożey róweż saodzele (j. według aszego uzaa wyberać e czyk, kóre ają podlegać uzacj. A o już ozacza duży posęp w rozparywaej dzedze zarządzaa ryzyke wesycyjy. odaek.. rocedury ueryczego rozwązywaa zadaa aalzy czykowej Rozparyway w pukce 3 czykowy odel (3 dyak za srukury erowej sóp proceowych ał posać: r r + α +α ε,,, (68 gdze - czyk wspóle (,, ε - czyk swose (,, α - ładuek czyka wspólego w zeej r, α - ładuek czyka swosego w zeej r. W procedurze ueryczej deykacj lowego odelu czykowego (68 soą rolę odgrywają warośc h α α α, (69 gdze h - o zw. zasób zeośc wspólej zeej r (coualy. Bezpośredo z odelu (68 wyka, że ar ( r σ h + α, K,,. (70 Zasób zeośc wspólej h, będący suą kwadraów współczyków kowaracj α wszyskch czyków wspólych (,..., ze zeą r, jes węc pewą arą określającą jaka część całkowej zeośc zeej r jes wyjaśaa przez czyk wspóle. Wyka o sąd, że całkowa zeość ej zeej reprezeowaa jes przez jej warację ar r. odobe, warość reprezeuje zasób zeośc swosej zeej r - wyjaśaej przez czyk swosy ε (,...,. ( α 45

30 A. Jakubowsk odsawając a przekąej główej acerzy kowaracj R o posac ( w ejsce jedyek, warośc zasobów zeośc wspólych h - orzyay zw. * zredukowaą acerz kowaracj R ; por. abela 5. abela 5. osać zredukowaej acerzy kowaracj * R, gdze h α. h σ σ σ h σ R * (7 M M σ σ h Uwzględając wszyske przedsawoe powyżej założea co do aalzowaego lowego odelu czykowego (68 oża wykazać, że zachodz (Koroack, Ćwk, 005 R AA + A s A s AA + A s. (7 owyższe rówae saow reprezeację acerzową odelu czykowego (68. Z rówaa ego wyka, że zadae aalzy czykowej sprowadza sę w zasadze do rozłożea acerzy kowaracj zeych r (,..., a dwe addyywe składowe. erwsza z ych składowych zależy wyłącze od ładuków czyków wspólych α, aoas druga - od ładuków czyków swosych α. W y sese rówaa (68 (7 są sobe rówoważe. Borąc eraz pod uwa- * gę, że dla zredukowaej acerzy kowaracj R o posac (7 ay R * R A s, z zależośc (7 orzyay asępujące podsawowe rówae aalzy czykowej (Hara, 967: R AA. (73 Wyzaczee acerzy ładuków czykowych A (o wyarze spełającej rówae (73 a podsawowe zaczee dla rozwązaa rozparywaego probleu. Zauważy, że ając dae ładuk α (,..., ;,..., czyków wspólych ożey ławo - a podsawe wzorów (69, (70 - wyzaczyć ładuk α (,..., czyków swosych, a y say - acerz A s o posac (3. Macerz a jes acerzą dagoalą - a jej przekąej główej wysarczy węc podsawć warośc α σ h ;,...,, (74 co wyka bezpośredo ze wzoru (70 oraz z założea, że przyjujey α > 0. 46