Matematyka II. Wykład 11. Całka podwójna. Zamiana na całkę iterowaną. Obliczanie pól obszarów i objętości brył.

Transkrypt

1 Wkład. Całka podwója. Zamaa a całkę terowaą. Oblczae pól obszarów objętośc brł.. Całka podwója w prostokące. Jak pamętam, całka ozaczoa z cągłej fukcj jedej zmeej wprowadzoa bła w celu oblczaa pola powerzch trapezu krzwolowego ograczoego prostm = a, = b, osą X wkresem fukcj = f() (rs..). efowalśm ją jako gracę sum Remaa b a f ( ) d lm f ( c ). Rs.. rzblżee pola trapezu krzwolowego Muselśm prz tm założć, że podzał odcka ab puktam jest ormal, tz. tak, że prz lczbe puktów dzelącch odcek dążącej do eskończoośc, długość ajdłuższego odcka,, dąż do zera. W podob sposób określam całkę podwóją fukcj dwóch zmech, f(,, z tm, że teraz będze oa ozaczała objętość brł ograczoej wkresem fukcj f(, leżącm ad fgurą staowącą dzedzę tej fukcj. Nech dzedzą fukcj f(, będze prostokąt o bokach ab cd, tz. a b, c d. odzelm odcek ab puktam : a = < < < = b. odzelm także odcek cd tą samą lczbą puktów : c = < < < = d. Rs. Wkres fukcj f(, = + Ozaczm = - - = - -. Otrzmalśm w te sposób podzał prostokąta a prostokąt o bokach. W każm z takch prostokątów wberzm pukt (, ), tak, że - oraz -. Wówczas locz f(, ) ozacza objętość prostopadłoścau o podstawe rówej rozważaemu prostokątow wsokośc f(, ). Zatem suma Remaa Rs. uma Remaa. rzblżee objętośc brł f (, ) staow przblżee KB /7 troa /

2 objętośc brł ograczoej wkresem fukcj f(,, płaszczzą OXY płaszczzam = a, = b, = c oraz = d (Rs..). Ozaczm przez długość ajwększej z przekątch prostokątów podzału. Jeżel lm, to cąg podzałów azwam ormalm cągem podzałów prostokąta. efcja Jeżel cąg sum Remaa odpowadając każdemu ormalemu cągow podzałów prostokąta jest zawsze zbeż to zawsze do tej samej grac bez względu a dobór puktów pośredch (, ), to gracę tę azwam całką podwóją fukcj f(, w prostokące ozaczam smbolem f (, O fukcj f(,, określoej w prostokące, dla której steje całka podwója mówm, że jest całkowala w prostokące. Własość. Fukcja f(, cągła w prostokące domkętm jest całkowala w tm prostokące. Całka podwója w dowolm obszarze regularm. efcja Zbór płask jest obszarem wte tlko wte, g jest otwart (e zawera brzegu) każde dwa jego pukt dają sę połączć łamaą zawartą w tm zborze. rzkład obszaru pokazuje rs. Rs. rzkład obszaru KB /7 troa /

3 efcja Obszar, do którego dołączo jest jego brzeg azwam obszarem domkętm. rzkład obszaru domkętego pokazuje rs... Rs.. rzkład obszaru domkętego efcja Obszarem regularm azwam obszar, którego brzeg daje sę podzelć a skończoą lczbę łuków o rówaach = f() lub = g(. Obszar z rs.. jest obszarem regularm, gż jego brzegam są okręg o zach rówaach. efcja Obszarem ormalm względem os OX azwam zbór wszstkch puktów M(,, którch współrzęde jedocześe spełają waruk: a b, h() k() prz czm fukcje h() k() są cągłe przedzale a, b h() < k() w (a, b). efcja Obszarem ormalm względem os OY azwam zbór wszstkch puktów M(,, którch współrzęde jedocześe spełają waruk: l( p(, c d prz czm fukcje l( p(są cągłe przedzale c, d l(< p(w (c, d). KB /7 troa /

4 Rs.. a) Obszar ormal względem os OX. b) Obszar ormal względem os OY. Zdefujem teraz całkę podwóją a dowolm obszarze regularm. Nech będze obszarem regularm (domkętm lub e), a f(, ech będze fukcją ograczoą, określoą dla wszstkch puktów (,. Nech będze prostokątem o bokach rówoległch do os współrzęch, zawerającm. Ozaczm przez podzał prostokąta a k prostokątów, spośród którch m : (), (),, () m zawerają pukt obszaru (rs..7 - a tm rsuku k =, m = ). Ozaczm: () () pole prostokąta (), A () ( (), () ) dowol pukt prostokąta (), ajdłuższą z przekątch prostokątów (), (),, () m, sumę Remaa określoą wzorem: Rs..7 owol obszar regular m f ( ), ( ) ( ) ( ) Zauważm, że jest sumą objętośc wszstkch graastosłupów o podstawach będącch prostokątam (), (),, () m wsokoścach f( (), () ). Jest zatem przblżeem objętośc brł (walca) ograczoej płaszczzą OXY wkresem fukcj f(, ad obszarem. KB /7 troa /

5 efcja 7 Jeżel dla każdego cągu podzałów takego, że lm, cąg sum Remaa jest zbeż do tej samej grac, to o fukcj f(, mówm, że jest całkowala w obszarze, a wspólą gracę azwam całką podwóją fukcj f(, w obszarze ozaczam smbolem f (, Zamaa całk podwójej a terowaą. Jeżel obszar jest obszarem ormalm względem os OX dam erówoścam a b, h() k(), to f (, f (, a h( ) b k ( ) d Jeżel obszar jest obszarem ormalm względem os OY dam erówoścam ( (, c d, to f (, f (, d c l( d p( owższe całk podwóje azwam całkam terowam. W szczególośc, jeśl jest prostokątem dam erówoścam a b c d, to b d f (, f (, d f (, d a c c a rzkład d b Oblczć całkę z fukcj f(, = po obszarze ograczom prostm =, =, = =. KB /7 troa /

6 rzkład Oblczć jeśl obszar jest fgurą ograczoą wkresam rówań = oraz =. Jeśl fukcja podcałkowa jest cągła w obszarze, to wartość f (, e zależ od sposobu jej zama a całkę terowaą, tz. od kolejośc zmech. Od tej kolejośc zależą tlko grace całkowaa. Rs.. Oblczae objętośc brł. Zgode z defcją całk podwójej, jeżel f(, jest fukcją cągłą, przjmującą wartośc eujeme w obszarze, to całka podwója f (, jest objętoścą brł ograczoej obszarem leżącm w płaszczźe OXY, powerzchą z = f(, oraz powerzcham walcowm, jake otrzmam przeprowadzając przez każ pukt brzegu obszaru prostą prostopadłą do płaszczz OXY. Jeżel f(, przjmuje w obszarze wartośc ujeme, to objętoścą opsaej wżej brł jest f (,. rzkład Oblczć objętość V brł ograczoej wkresam rówań + = + z =. Rozwązae. Rsując wkres rówań (rs..) wdzm, że wkres są przecającm sę pod kątem prostm cldram o promeu. Ze względu a smetrę wstarcz oblczć objętość zawartej w perwszej ósemce układu współrzęch częśc badaej brł wk pomożć przez. Z częśc () rsuku wka, że jeśl zmea zmea sę w zakrese od do,to zmea Rs. KB /7 troa /

7 zmea sę w zakrese od do ( ) /. Tak wzaczoe zakres zmech określają obszar całkowaa. Rówae powerzch ad tm obszarem zajdujem przekształcając + z =. Otrzmujem z = ( ) /. Zatem / V oblczam za pomocą całk / / / / / V / d V / / / 7 Zatem V =. Oblczae pola powerzch fgur płaskej Jak już wspomao, jeśl f(, dla wszstkch puktów (, ależącch do obszaru, to f (, jest objętoścą brł ograczoej obszarem leżącm w płaszczźe OXY, powerzchą z = f(, oraz powerzcham walcowm, jake otrzmam przeprowadzając przez każ pukt brzegu obszaru prostą prostopadłą do płaszczz OXY. Jeśl jedak f(, = dla wszstkch puktów (, ależącch do obszaru, to objętość tej brł jest rówa polu obszaru. Zatem, gdze ozacza pole obszaru. rzkład Weźm przkład z wkładu. Oblczć pole fgur ograczoej łukem krzwej f() = + -, odckem os OX oraz prostm = - =. Rozwązae. Najperw musm aszkcować w układze współrzęch fgurę, której pole mam oblczć. Nestet fgura wskazaa a rs.. e jest obszarem w mśl defcj., gż e każde dwa pukt tej fgur moża połączć łamaą w ej zawartą. Zatem musm fgurę tę podzelć a trz obszar: dla -, dla oraz dla. KB /7 troa 7/

8 KB /7 troa / Rs. ole całej fgur jest węc rówe = + +, gdze, oraz Zameając całk podwóje a całk terowae otrzmujem. d d d d d d d d d 7 Zatem Jest to wk tak sam, jak uzskalśm stosując pojeczą całkę ozaczoą.

9 KB /7 troa / Oblczae pola powerzch w przestrze Nech f(, będze fukcją różczkowalą a obszarze. ole częśc powerzch z = f(,, której rzutem a płaszczzę OXY jest obszar oblczam za pomocą całk podwójej f f ), ( ), ( rzkład Oblczć pole częśc powerzch z = wcętej przez prostopadłośca, którego podstawa zajduje sę w płaszczźe OXY, a werzchołkam są pukt A(, ), B(, ), C(, ) (, ). Rozwązae. Na podstawe wdoczego obok rsuku wdzm, że obszar da jest erówoścam,. Rówae powerzch zajdujem wlczając z. z tąd z oraz z Zatem ), ( ), ( d d f f d d d Rs.

10 KB /7 troa / ) ( d d d 7 d d d d Wkres powerzchow W z=(^/ względem (,) (,) > < 7,7 <,7 <,7 <,7 < -,,,,,,,,,, (, ) 7 (,) 7 z=(^/