2.1. kreślenie i rodje wektorów. Mnożenie wektor pre sklr Wielkości ficne wstępujące w mechnice i innch diłch fiki możn podielić n sklr i wektor. A określić wielkość sklrną, wstrc podć tlko jedną licę. Wielkościmi tkimi są ms, cs, tempertur, ojętość i inne. Do określeni wielkości wektorowej nie wstrc podnie jednej lic. Prkłdem tkiej wielkości jest sił. A ją określić, nleż podć wrtość, kierunek w prestreni or wrot. W ogólnm prpdku określić wektor, nleż nć: ) wrtość ewględną wektor, wną modułem, ) kierunek, cli prostą, n której leż wektor (linię diłni), c) wrot, d) punkt prłożeni. Nie wsstkie wielkości wektorowe wmgją dl swego określeni podni wsstkich wmienionch cech. Z tego punktu wideni roróżnim: wektor cepione, wektor presuwne lu śligjące się or wektor swoodne. Wektor cepione wmgją do ich określeni podni wsstkich cterech cech. Wektorów tkich nie możn premiescć ni presuwć. Wektor presuwne są określone pomocą modułu, wrotu or linii diłni. Tkie wektor mogą ć jednie presuwne wdłuż prostch, n którch leżą. Wektor swoodne są określone pre moduł, wrot or kierunek równoległ do ich linii diłni. nc to, że wektor swoodn możn dowolnie premiescć, równolegle do kierunku jego diłni. Grficnie wektor predstwi się pomocą odcink skierownego jk n rs. 2.1. Długość odcink określ moduł wektor, kierunek kierunek wektor (linię diłni), strłk wrot wektor. Wektor ędiem oncć pogruionmi litermi jedną literą lo dwom, oncjącmi pocątek i koniec wektor: = AB. Moduł wektor ędiem oncć tk jk sklr lo pomocą smolu wrtości ewględnej: = = AB= A B. Moduł jest n ogół wielkością minowną i jego wrtość licow leż od prjętch jednostek ficnch. Dw wektor swoodne predstwijące tę smą wielkość wektorową są równe, jeżeli mją równe moduł, kierunki i wrot. A dw wektor presuwne ł
równe, musą pondto leżeć n jednej prostej, wektor cepione musą ć prłożone w jednm punkcie. Równość wektorów i pisujem tk jk równość lic, cli =. W wniku pomnożeni wektor pre sklr k otrmm now wektor równoległ do wektor o module k r więksm od modułu wektor. Zwrot wektor ędie leżł od nku sklr k. Jeżeli k > 0, to wrot wektor jest godn e wrotem wektor, preciwn, gd k < 0 (rs. 2.2). Wektor ędiem piswć: = k. (2.1) e B A Rs. 2.1. Grficne predstwienie wektor k 0 k 0 Rs. 2.2. Wektor równoległe Rutem wektor = AB n dowolną oś l nwm odcinek AB, którego pocątek i koniec są rutmi pocątku i końc wektor n oś l (rs. 2.3). B A α.. e l A B l Rs. 2.3. Rut wektor n oś Z rsunku 2.3 wnik, że rut wektor n oś l jest równ ilocnowi modułu wektor pomnożonemu pre kosinus kąt wrtego międ kierunkiem wektor osią. ( ) = cos. A B = Rl α (2.2) Łtwo spostrec, że jeżeli wrot wektor i wrot osi są godne or kąt α jest ostr, to nk rutu jest dodtni.
Cęsto do określeni kierunku w prestreni użwm tw. wektor jednostkowego, którego moduł jest równ jedności i jest licą ewmirową. Mjąc dowoln wektor, możn utworć wektor jednostkow o kierunku tego wektor pre podielenie wektor pre jego moduł. Wektor jednostkow ędiem oncć literą e indeksem dolnm oncjącm kierunek. Wektor jednostkow o kierunku i wrocie wektor, pokn n rs. 2.1, otrmm e woru: e =. (2.3) Po prekstłceniu powżsego woru widim, że kżd wektor możn pisć w postci ilocnu jego modułu i wektor jednostkowego: = e. (2.4) W celu nlitcnego predstwini wektorów nleż wprowdić odpowiedni ukłd współrędnch. Njcęściej prjmujem krtejński prostokątn ukłd współrędnch o osich,, i wektorch jednostkowch i, j, k o kierunkch osi współrędnch wnch wersormi. W dlsm ciągu ędiem włącnie stosowć prwoskrętne ukłd współrędnch chrkterujące się tm, że jeżeli orócim oś w kierunku osi, to oś jest skierown godnie regułą śru prwoskrętnej (rs. 2.4). N rsunku 2.4 predstwiono ukłd lewoskrętn. ) ) k 0 i j k 0 j i Rs. 2.4. Prostokątne ukłd współrędnch: ) prwoskrętn, ) lewoskrętn
k i 0 j Rs. 2.5. Skłdowe wektor w krtejńskim ukłdie współrędnch W ukłdie współrędnch prostokątnch o osich,, i wersorch odpowiednio i, j, k dowoln wektor możn rołożć n tr skłdowe: i, j, k o kierunkch osi ukłdu współrędnch (rs. 2.5). Wektor możem pisć nlitcnie w postci sum trech wektorów skłdowch (por. p. 2.2): = i+ j+ k. (2.5) W powżsm wore,, są współrędnmi wektor równmi rutom wektor n osie ukłdu współrędnch,,. Jeżeli wektor twor osimi,, odpowiednio kąt α, β, γ, to jego współrędne (rut) godnie e worem (2.2) wrim nstępująco: = cosα, = cosβ, = cosγ. (2.6) Gd nne są współrędne wektor, to jego moduł określ wór: 2 2 = + + 2, (2.7) kosinus kątów, wne kosinusmi kierunkowmi, wnconmi pre kierunki, jkie wektor twor osimi,,, wrżją leżności: cosα =, cosβ =, cosγ =. (2.8)
2.2. Sum i różnic wektorów Wektor swoodne możn dodwć i odejmowć geometrcnie (wkreślnie) or nlitcnie. Dodwnie geometrcne dwóch wektorów i poleg n B c = + C d = A Rs. 2.6. Dodwnie i odejmownie dwóch wektorów stosowniu reguł równoległooku. Wektor prenosim równolegle tk, ich pocątki nlł się w dowolnm punkcie, i udujem n tch wektorch równoległook ACB pokn n rs. 2.6. Sumą dodwnch wektorów i nwm wektor c równ prekątnej równoległooku: c = C = +. Różnicę dwóch wektorów otrmm pre dodnie do wektor wektor różniącego się od wektor tlko wrotem, cli wektor preciwn ( ): d= + ( ) =. dejmownie dwóch wektorów predstwiono n rs. 2.6 linią prerwną. Z rsunku wnik, że sumę dwóch wektorów predstwi jedn prekątn, różnicę drug. Więksą licę wektorów możn sumowć, stosując regułę równoległooku do kolejnch wektorów. Jednk w tm prpdku wgodniej jest skorstć metod wielooku wektorów. Gd mm n wektorów 1, 2,..., n, to do końc pierwsego wektor prkłdm pocątek drugiego, do końc drugiego pocątek treciego. Postępując w ten sposó kolejnmi wektormi, otrmujem konstrukcję predstwioną n rs. 2.7. Sumą n wektorów, wną sumą geometrcną, nwm wektor łącąc pocątek pierwsego wektor końcem osttniego: n = 1+ 2+... + n = k. (2.9) k= 1
n 3 2 3 1 2 1 A n Rs. 2.7. Dodwnie n wektorów mówioną konstrukcję nwm wielookiem wektorów. Jeżeli koniec osttniego wektor pokrw się pocątkiem pierwsego, to sum wektorów jest równ eru: = 0. Mówim wted, że wielook jest mknięt. W preciwnm rie, tj. gd 0, wielook jest otwrt. Ctelnikowi poostwim wknie, że do dodwni wektorów stosuje się prwo premienności: + = + or łącności + + c = + + c ( ) ( ). A nlitcnie dodć n wektorów, musim je wrić pomocą współrędnch prjętego ukłdu współrędnch: k = ki + k j+ kk ( k = 1, 2,... n). Po podstwieniu tego woru do równni (2.9) otrmm: n n ( ) = = i+ j+ k = i+ j+ k k k k k k= 1 k= 1 k=1 k= 1 n n k n k= 1 k k.
Po onceniu w tm równniu współrędnch wektor pre,, mm: n i+ j+ k = i+ j+ k k k= 1 k= 1 k= 1 n Z oustronnego porównni wrów wstępującch pr odpowiednich wersorch otrmujem wor n współrędne wektor ędącego sumą wektorów: n n n k k k= 1 k= 1 k= 1 =, =, =. (2.10) trmne wniki są godne treścią nnego twierdeni Chrles, że rut sum wektorów n dowolną oś jest równ sumie rutów poscególnch wektorów n tę oś. n k k k.
2.3.1. Ilocn sklrn Ilocnem sklrnm (sklrowm) dwóch wektorów i nwm sklr równ ilocnowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α Rs. 2.8. Ilustrcj do definicji ilocnu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi oncm pre α (rs. 2.8), opercję mnożeni sklrnego pre, to otrmm: = cosα. (2.11) Po uwględnieniu we wore (2.11) leżności (2.2) ilocn sklrn możem predstwić jko ilocn rutu jednego wektor n kierunek drugiego i modułu drugiego. ( cos ) ( cos ) ( ) ( ) = α = α = R = R. (2.12) Ilocn sklrn jest równ eru (po prpdkmi, gd = 0 lu = 0), gd cos = 0. Wnik stąd wrunek prostopdłości (ortogonlności) dwóch wektorów: = 0, gd. (2.13) Z fktu, że funkcj kosinus jest funkcją prstą [cosα = cos( α)], wnik, że do ilocnu sklrnego stosuje się prwo premienności: =. Ilocn sklrn podleg również prwu rodielności mnożeni sklrnego wględem dodwni: ( + c) = + c. Dowód tej włsności wnik epośrednio prtoconego w poprednim punkcie twierdeni Chrles or leżności (2.2):
( + c) = R( + c) = [ R( ) + R( c) ] R ( ) + R ( c) = + c. = Jeżeli pomnożm równnie (2.11) pre dowoln sklr k, to otrmm prwo łącności mnożeni ilocnu sklrnego pre sklr: k ( ) = ( k) cosα = ( k) cosα = ( k ) = ( k ). Wektor pomnożon sklrnie pre sieie jest równ kwdrtowi modułu: = 2 = cos0=. (2.14) Z podnch wżej rowżń wnik, że ilocn sklrn po worem (2.13) m tkie sme włsności jk ilocn lgericn lic. Gd mm dowoln wektor or oś l określoną pre wektor jednostkow e l (rs. 2.3), to n podstwie równni (2.12) rut tego wektor n oś l wrż wór: e l = cosα = R ( ). (2.15) Z leżności tej ędiem cęsto korstć pr olicniu współrędnch wektor w dnm ukłdie współrędnch. ecnie podm leżności międ wersormi i, j, k prostokątnego ukłdu współrędnch. N podstwie worów (2.14) i (2.13) otrmujem: l i i = j j = k k = 1, i j = j k = k i = 0. (2.16) Gd wektor i pisem nlitcnie pomocą ich współrędnch w prostokątnm ukłdie współrędnch,, : = = i+ i+ j+ j+ k, k, (2.17) to ich ilocn sklrn n podstwie worów (2.16) możn wrić pre współrędne: = + +. (2.18) Porównnie worów (2.11) i (2.18) powl olicć kąt międ wektormi:
+ + cosα =. (2.19) Z tego woru wnik, że dw wektor ł ortogonlne, ich współrędne musą spełnić leżność: + + = 0. (2.20)
2.3.2. Ilocn wektorow Ilocnem wektorowm dwóch wektorów i nwm wektor c prostopdł do płscn utworonej pre te wektor, którego moduł jest równ ilocnowi modułów tch wektorów pomnożonemu pre sinus kąt wrtego międ nimi (rs. 2.9) c =, c = sinα. (2.21) c = α c = Rs. 2.9. Ilustrcj ilocnu wektorowego Zwrot wektor c jest tk dorn, że wektor,, c tworą ukłd prwoskrętn, cli wrot wektor c określ reguł śru prwoskrętnej. Z określeni modułu ilocnu wektorowego or rs. 2.9 wnik, że jest on równ polu równoległooku udownego n wektorch i. Z definicji ilocnu wektorowego wnik, że po prpdkmi, gd = 0 lu = 0, jest on równ eru, kied sinα = 0, cli dl α = 0 lo α = π, co onc, iż wektor jest równoległ do wektor. Ztem wrunek równoległości m postć: = 0. (2.22) Jeżeli w ilocnie wektorowm wektor i mienim miejscmi, to wektor,, c ędą tworł ukłd lewoskrętn. A ponownie otrmć ukłd
prwoskrętn, nleż mienić wrot wektor c n preciwn, jk n rs. 2.9, cli gd = c, to = c. Widim tem, że do ilocnu wektorowego nie stosuje się prwo premienności: =. (2.23) Możn wkć [6, 9], że ilocn wektorow podleg prwu rodielności mnożeni wektorowego wględem dodwni: ( + d) = + d. (2.24) Do ilocnu wektorowego stosuje się również prwo łącności mnożeni pre dowoln sklr k: ( k ) = ( k) = k( ). (2.25) Powżs równość wnik epośrednio porównni modułów powżsch ilocnów wektorowch. Ilocn wektorowe wersorów i, j, k prostokątnego prwoskrętnego ukłdu współrędnch,, wnikją epośrednio e woru (2.22) or definicji ilocnu wektorowego i i = j j = k k = 0, i j = k, j k = i, j i = k, k j = i, k i = j, i k = j. (2.26) ecnie wrim ilocn wektorow dwóch dowolnch wektorów i pomocą ich współrędnch w prostokątnm ukłdie współrędnch,,. Po podstwieniu leżności (2.17) do woru n ilocn wektorow mm: ( i+ j+ k) ( i+ j k). c = = + Po wkonniu diłń, wkorstniu leżności (2.26) or pogrupowniu wrów pr poscególnch wersorch powżs wór prjmie postć: ( ) i+ ( ) j+ ( ) k. c = (2.27)
Wrżenie po prwej stronie tego równni jest rowinięciem wncnik. k j i c = (2.28) W celu oliceni współrędnch ilocnu wektorowego nleż wektor c pisn nlitcnie: c c c,, k c i j = + + c c c podstwić do równni (2.27). Z porównni wrów pr tch smch wersorch otrmm: ( ) ( ( ) = = =. c, c, c ) (2.29)
2.3.3. Ilocn łożone trech wektorów W poprednich dwóch punktch omówiliśm ilocn sklrn or ilocn wektorow dwóch wektorów. Wektor te mogł ć w scególności sumą kilku wektorów. ecnie podm określeni ilocnów podwójnch łożonch trech wektorów. Będie to ilocn miesn trech wektorów or podwójn ilocn wektorow trech wektorów. grnicm się pr tm tlko do określeni tch ilocnów or podni podstwowch leżności nieędnch do prekstłceń worów wektorowch w dlsch rodiłch. Dowod n podne niżej prekstłceni możn nleźć w literture [6, 9, 11]. Ilocnem miesnm trech wektorów, i c nwm ilocn sklrn jednego tch wektorów, np. wektor, pre wektor ędąc ilocnem wektorowm dwóch poostłch: ( c). (2.30) Z podnej definicji wnik, że ilocn miesn jest sklrem. W interpretcji geometrcnej ilocn miesn jest równ licowo ojętości równoległościnu udownego n wektorch, i c. Z podnej interpretcji geometrcnej wnik, że gd wektor te leżą w jednej płscźnie, to ilocn miesn jest równ eru. Wrtość ilocnu miesnego nie uleg minie, jeżeli w ilocnie tm ędiem mienić cklicnie kolejność wrów: ( c) = ( c ) = c ( ). (2.31) Jeżeli wektor wstępujące w ilocnie miesnm predstwim nlitcnie: = = c = c i+ i+ i+ c j+ j+ j+ c to ilocn miesn możn pisć w postci wncnik utworonego e współrędnch wektorów: k, k, k, ( c) =. (2.32) c c c
Podwójn ilocn wektorow trech wektorów, i c jest wektorem powstłm w wniku wektorowego pomnożeni wektor pre ilocn wektorow wektor i c: ( c). (2.33) Powżs wór możn rowinąć do postci rdiej prdtnej do prekstłceń worów wektorowch: ( c) = ( c) c( ). (2.34)
2.4. Moment wektor wględem punktu Momentem wektor wględem punktu (iegun) nwm ilocn wektorow wektor r A = A o pocątku w punkcie i końcu w pocątku wektor pre wektor (rs. 2.10). Moment wektor wględem punktu ędiem oncć w nstępując sposó: ( ) r. M = (2.35) A Z podnej definicji wnik, że moment wektor wględem punktu m włsności wnikjące omówionego w p. 2.3.2 ilocnu wektorowego. Ztem wektor M () jest wektorem prostopdłm do płscn określonej pre wektor r A i i m wrot godn regułą śru prwoskrętnej. Alo incej, jego wrot jego jest tki, że dl oserwtor ptrącego końc wektor momentu wektor wwołuje orót wokół iegun w kierunku preciwnm do ruchu wskówek egr. Moment wektor wględem punktu jest równ eru, gd wektor = 0 lu wektor r A i są równoległe, lo lini diłni wektor prechodi pre punkt. ecnie stnówm się, jk mieni się moment wektor wględem punktu, gd wektor presuniem wdłuż linii jego diłni. W tm celu olicm moment wektor prłożonego w punkcie A, różniącego się od wektor tlko punktem prłożeni, wględem punktu (rs. 2.10). Z definicji momentu wektor wględem punktu mm: N podstwie rs. 2.10 możem npisć: ( ) = r. A M ra = ra + AA. Po podstwieniu tej leżności do woru n moment wektor wględem punktu otrmm: ( ) ( ) M = r + AA = r + AA. A A Poniewż =, ilocn wektorow dwóch wektorów leżącch n jednej prostej jest równ eru: otrmujem: AA = 0, ( ) ( ) M = r = M. A
Z otrmnej leżności wnik, że moment wektor wględem punktu nie ulegnie minie, gd wektor presuniem wdłuż linii jego diłni, cli jest on wektorem presuwnm. Wrtość momentu M () ędie leżł od położeni linii diłni wektor, jego modułu or punktu, wględem którego licm moment. dległość punktu od linii diłni wektor, onconej n rs. 2.10 pre h, ędiem nwć rmieniem wektor. Gd wektor presuniem do punktu A (rs. 2.10), to moment tego wektor: ( ) = A. M Z tego woru wnik, że moduł momentu jest równ ilocnowi modułu wektor pre jego rmię: M ( ) ( ) = M = h. (2.36) Moment wektor wględem punktu możn wrić pomocą współrędnch wektor dnch w prostokątnm ukłdie współrędnch (rs. 2.11). Jeżeli wektor r A i pisem pomocą ich współrędnch: r = i+ j+ k, = i+ j+ A k, M () A M o () A r A. A r A h 0 0 A r A Rs. 2.10. Moment wektor wględem punktu Rs. 2. 11. Moment wektor wględem pocątku ukłdu współrędnch to moment wektor wględem pocątku ukłdu współrędnch n podstwie worów (2.28) i (2.27) wrż leżność:
M Po pisniu momentu w postci: ( ) = r = = A i j k ( ) i+ ( ) j+ ( ) k. = (2.37) ( ) = M i+ M j+ M k M i podstwieniu do woru (2.37) otrmm wor n współrędne wektor M (): M M M = = =,,. (2.38)
2.5. Moment wektor wględem osi Zjmiem się oecnie definiowniem wielkości ędącej mirą diłni orotowego wektor wględem osi. Wielkość tę nwm momentem wektor wględem osi. W tm celu prjmiem, że dn jest dowoln wektor or oś l, której kierunek jest określon pre wektor jednostkow e l (rs. 2.12). Momentem wektor wględem osi l nwm rut n tę oś momentu tego wektor wględem dowolnego punktu tej osi: M l ( ) = R [ M ( ) ] = M ( ) cosα. = M (2.39) l l l e l M () α M l e l r A A A Rs. 2.12. Moment wektor wględem osi N podstwie woru (2.15) moment wektor wględem osi możem predstwić w postci ilocnu sklrnego momentu wektor wględem punktu i wersor osi: M l = M e. ( ) l Poniewż moment wektor wględem punktu jest równ ilocnowi wektorowemu: ( ) r M = A, moment wektor wględem osi możn pisć w postci ilocnu miesnego: M l ( ra ) el =. (2.40)
Tk definiown moment wektor wględem osi jest sklrem. Definicj t jest wstrcjąc, poniewż wektor M l ( ) e l jest skierown wdłuż osi l, preto do jego opisu wstrc podnie tlko jego wrtości. A podn n wstępie definicj momentu wględem osi ł jednoncn, nleż wkć, że rut n oś l momentu wektor wględem punktu leżącego n tej osi nie leż od położeni punktu n tej osi. W tm celu olicm moment wektor wględem innego punktu leżącego n osi l (rs. 2.12) i dokonm jego rutu n tę oś: [ ( )] ( ) R M = M e l l. () N podstwie rs. 2.12 wektor A możem predstwić jko sumę wektor i ra : A = + r A. Po podstwieniu tej leżności do woru () or skorstniu włsności ilocnu miesnego otrmm: [ ] ( A ) [ ( )] ( A) R l M r e l r e l = + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) = e+ r e = e + r e. l A l l A l Poniewż wektor el i są równoległe, ich ilocn wektorow jest równ eru: el = 0, osttecnie otrmujem: R [ M ( ) ] ( r ) e R M ( ) [ ] l A l l = =, cli rut n oś momentu wektor wględem punktu n osi nie leż od położeni punktu n osi. Z definicji momentu wględem osi wnik, że ędie on równ eru, jeżeli moment M () ędie równ eru lu jego rut n oś ędie równ eru. Będie tk, gd kierunek wektor ędie precinł oś l lu ędie do niej równoległ. Z określeni momentu wektor wględem osi możem uwżć, że rut momentu M () wektor wględem pocątku ukłdu współrędnch (rs. 2.11) n osie prostokątnego ukłdu współrędnch są równoceśnie momentmi tego wektor wględem osi,,. N podstwie worów (2.38) moment wektor wględem osi,, ędą opisne równnimi:
M M M = M = M = M = = =,,. (2.41) W oprciu o powżse wor możn podć drugi sposó olicni momentu wektor wględem osi. N prkłd pierwsego woru wnik, że olicć moment wględem osi, nleż wektor rutowć n płscnę, cli płscnę prostopdłą do osi, i olicć moment wektor, ędącego rutem wektor n tę płscnę, wględem punktu, cli punktu preici płscn pre oś. Wrtość tk oliconego momentu jest momentem wektor wględem osi. Podone wnioski wnikją dwóch poostłch worów (2.41). N podstwie powżsego możn podć drugą definicję momentu wektor wględem osi. Momentem wektor wględem osi l nwm moduł momentu wektor równego rutowi wektor n płscnę prostopdłą do osi l wględem punktu preici płscn pre tę oś. Prkłd 2.1. Dn jest wektor: = 2 i+ 5 j 10k, cepion w punkcie A o współrędnch = 2, = 3, = 5. licć moment tego wektor wględem kżdej osi ukłdu współrędnch. Rowiąnie. Zgodnie podną n wstępie definicją momentu wektor wględem osi olicm njpierw moment wektor wględem pocątku ukłdu współrędnch. Współrędne tego momentu ędą n podstwie worów (2.41) suknmi momentmi wektor wględem osi,,. Poniewż n podstwie woru (2.37) otrmujem: A = r = 2i+ 3 j 5k, i A + ( ) = 2 3 5 = 55i+ 10 j 16k. 2 j M + 5 k 10 Moment wektor wględem osi ukłdu współrędnch są więc nstępujące: M = M = 55, M = M = 10, M = M = 16. Prkłd ten możn rowiąć wkorstniem drugiej definicji momentu wektor wględem punktu, podnej wżej. Ctelnikowi poostwim rowiąnie prkłdu tą metodą.
2.6. Funkcje wektorowe Z kursu mtemtki nne są określeni funkcji miennch nieleżnch or miennch leżnch. Jeżeli nm kstłt funkcji miennej leżnej f = f(u, v, t), to njąc wrtości licowe miennch nieleżnch u, v, t, możem wncć wrtość miennej leżnej f. W nliie wektorowej spotkm się funkcjmi, w którch miennmi nieleżnmi i miennmi leżnmi mogą ć równo sklr, jk i wektor. Jeżeli kżdemu punktowi pewnego osru prporądkujem pewną wrtość licową, to ten osr nwm polem sklrnm. Anlogicnie, jeżeli kżdemu punktowi pewnego osru prporądkujem pewien wektor, to ten osr nwm polem wektorowm. Njcęściej spotkm się trem tpmi funkcji. ) Sklr jko funkcj położeni. Po prporądkowniu kżdemu punktowi osru funkcji tpu ϕ = ϕ(r) (2.42) ędiem mówić o polu sklrnm. Zmienną leżną jest tutj sklr, mienną nieleżną wektor r. Prkłdmi pol sklrnego są: rokłd tempertur w dowolnm ośrodku, rokłd ciśnieni hdrosttcnego w nieruchomej ciec lu potencjł pol elektrcnego. ) Wektor jko funkcj położeni. W tm prpdku równo mienn leżn u, jk i mienn nieleżn r są wektormi. Funkcję u = u(r) (2.43) nwm polem wektorowm. Prkłdmi tkiego pol są: pole prśpieseń iemskich, ntężenie pol elektrosttcnego, rokłd prędkości w ciec. c) Wektor jko funkcj sklr. Funkcję tką możem pisć w nstępując sposó: r = r(s). (2.44) Zmienn leżn r jest tutj wektorem, mienn nieleżn s sklrem. Jeżeli wektor jest funkcją wielkości sklrnej, to jego współrędne,, w prostokątnm ukłdie współrędnch ędą również funkcjmi tego sklr: ( s) ( s) i+ ( s) j ( s) k. r = + (2.44) Ztem kżdą funkcję możn pisć w postci trech funkcji sklrnch. ( s), = ( s), ( s). = = (2.45)
Gd mienną nieleżną prjmiem cs t, to prkłdmi tkich funkcji wektorowch ędą: położenie r(t), prędkość v(t) i prśpiesenie porusjącego się punktu (t).
2.7. Pochodn funkcji wektorowej Złóżm, że mm funkcję wektorową tpu (2.44), w której mienną nieleżną jest sklr. Prrostowi miennej nieleżnej s ędie towrsć min wektor r(s). Jeżeli pocątki wsstkich wektorów r(s) prłożm w jednm punkcie, to e miną miennej nieleżnej s koniec tego wektor kreśli w prestreni pewną linię nwną hodogrfem funkcji wektorowej r(s) (rs. 2.13). Niech wrtościom s i s + s odpowidją wektor r(s) i r(s + s), wektor r jest prrostem wektor r(s) łącącm końce ou wektorów. Wówcs pochodną funkcji wektorowej wględem miennej nieleżnej nwm grnicę stosunku prrostu tej funkcji do prrostu miennej nieleżnej, gd prrost miennej nieleżnej dąż do er: d r ds r r lim = s 0 s = ( s + s) r( s). s (2.46) A r(s) r d r ds hodogrf r(s+ s) A 1 r s Rs. 2.13. Ilustrcj pchodnej funkcji wektorowej Ilor r/ s jest wektorem o wrocie i kierunku wektor r, cli m kierunek cięciw. Gd s dąż do er, to cięciw prechodi w stcną. Ztem pochodn wektor jest wektorem stcnm do hodogrfu. Z predstwionego określeni pochodnej funkcji wektorowej wnik, że formlnego punktu wideni jest on definiown podonie do pochodnej funkcji sklrnej. Wnik tego, że do pochodnch sum i ilocnów dwóch wektorów możn stosowć wor wprowdone w nliie funkcji sklrnch. Dl dwóch funkcji wektorowch (s) i (s) słusne są nstępujące leżności: d ds d d ± (2.47) ds ds ( ) = ±,
d d d ( ) = +, ds ds ds (2.48) d d d ( ) = +. ds ds ds (2.49) W osttnim wore nie wolno mienić kolejności mnożeni, poniewż ilocn wektorow jest niepremienn. Gd k(s) jest funkcją sklrną, to pochodn ilocnu tej funkcji pre wektor d ds dk d = (2.50) ds ds ( k ) + k. Jeżeli mienn nieleżn s jest funkcją innego prmetru s(l), to pochodną wektor olicm podonie do pochodnej sklrnej funkcji łożonej: Mm również: d dl [ s( l) ] d ds =. (2.51) ds dl d = 0, gd = const. ds (2.52) Gd funkcj wektorow jest pisn nlitcnie w prostokątnm nieruchomm ukłdie współrędnch,, w postci (2.44), wted jej pochodną po wkorstniu worów n różnickownie sum (2.47) i ilocnu funkcji (2.50) wrż wór: d r = ds d ds i+ d d d i d j d k j+ k+ + +. ds ds ds ds ds Poniewż wersor osi nieruchomego ukłdu współrędnch są wektormi stłmi, mm: d i d j d k = = = 0, ds ds ds stąd osttecnie d r d d d = i+ j+ k. (2.52) ds ds ds ds Z powżsego wnik, że współrędne pochodnej wektor są równe pochodnm odpowiednich współrędnch tego wektor. Pochodne wżsch rędów funkcji wektorowch olicm nlogicnie do funkcji sklrnch.