KONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania

Transkrypt

1 KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów orz oddziłów gimnzjlnych województw mzowieckiego w roku szkolnym 2018/2019 Model odpowiedzi i schemty punktowni Z kżde poprwne i pełne rozwiąznie, inne niż przewidzine w schemcie punktowni rozwiązń zdń, przyznjemy mksymlną liczę punktów. ROZWIĄZANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zdni Mks. licz punktów 1 pkt 1 pkt Prwidłow odpowiedź D C ROZWIĄZANIA ZADAŃ OTWARTYCH Zdnie 3. (2 pkt) Trójkąt ABC jest prostokątny i równormienny. N przeciwprostokątnej AC zudowno trójkąt równooczny ACD. Olicz miry kątów trójkąt ABD. Rozwż wszystkie możliwości ułożeni trójkątów.

2 1. nlizuje pierwszy przypdek i olicz miry kątów trójkąt ABD D A Przypdek 1 B C ǀ<DABǀ = = 105 ǀ ADBǀ= 0,5 60 = 30 ǀ< ABDǀ = = 45 Miry kątów trójkąt ABD: 105, 30, nlizuje drugi przypdek i olicz miry kątów trójkąt ABD A Przypdek 2 B C D ǀ<DABǀ = = 15 ǀ ADB ǀ= 0,5 60 = 30 ǀ< ABDǀ = = 135 Miry kątów trójkąt ABD: 15, 30, 135. Zdnie 4. (2 pkt) Dny jest trójkąt, którego wysokości mją długości: 12 cm, 13 cm i 31,2 cm. Wiedząc, że jest to trójkąt prostokątny, olicz pole tego trójkąt. 1. nlizuje długości wysokości i wyier dwie njdłuższe 13 cm i 31,2 cm do oliczeni pol trójkąt, uzsdnijąc np., że poniewż przyprostokątn jest krótsz od przeciwprostokątnej trójkąt prostokątnego ztem h = 12 cm musi yć wysokością opuszczoną n przeciwprostokątną dnego w zdniu trójkąt.

3 13 cm 12 cm 31,2 cm 2. olicz pole trójkąt PΔABC = 0,5 ǀACǀ ǀBCǀ = 0, ,2 = 202,8 cm 2 Odp.: Pole trójkąt jest równe 202,8 cm 2. Zdnie 5. (2 pkt) Bsi wysypł n podłogę 10 sześciennych kostek do gry (kostk do gry m oczk od 1 do 6). Znim je pozierł oliczył, że n wszystkich widocznych ścinkch (tzn. nie przylegjących ezpośrednio do podłogi) yły w sumie 184 oczk. Jk jest njwiększ możliw licz szóstek, które znjdują się n ścinch przylegjących ezpośrednio do podłogi? Odpowiedź uzsdnij. 1. olicz, że sum oczek n jednej kostce wynosi = 21, n 10 kostkch sum oczek wynosi 210 i wnioskuje, że = 26 to sum oczek n niewidocznych ścinkch. 2. prowdzi rozumownie, że ścinek niewidocznych jest 10 i n kżdej jest co njmniej 1 oczko; ztem = 16 to ilość oczek, którymi możn dopełnić jedynki do szóstek. Skoro 16 : 5 = 3 r.1 stąd wnioskuje, że mogły yć niewidoczne co njwyżej trzy szóstki. Odp.: N niewidocznych ścinkch mogło yć, co njwyżej, trzy szóstki. Zdnie 6. (3 pkt) Trzy liczy nturlne dwucyfrowe ustwione w kolejności mlejącej stnowią szyfr do sejfu. Iloczyn pewnych dwóch spośród tych trzech licz równ się 888. Iloczyn innych dwóch licz spośród tych trzech równ się 999. Jki jest szyfr do tego sejfu? Odpowiedź uzsdnij.

4 1. ukłd dw równni = 888 i c = 999 z trzem niewidomymi i wykorzystuje fkt, że są to liczy cłkowite i dwucyfrowe z tego zpisu wnioskuje, że jest wspólnym dzielnikiem licz 888 i rozkłd liczy 888 i 999 n czynniki: 888 = , 999 = i wnioskuje, że może się równć 1, 3, 37 lu 111, jedynym dwucyfrowym czynnikiem jest 37, stąd = olicz = 888 : 37 = 24 i c = 999 : 37 = 27 i porządkuje liczy mlejąco orz udziel odpowiedzi np.: Szyfr do sejfu to: Zdnie 7. (2 pkt) O godzinie 15:00 kąt między wskzówkmi zegr wynosi 90º. Po ilu minutch wskzówki zegr, po rz pierwszy od tego momentu, utworzą kąt 130º? Odpowiedź uzsdnij. 1. zuwż, że przez 1 minutę wskzówk minutow zkreśl kąt o mierze 6 = 360 : 60, godzinow 0,5 = ( ) : 60, nstępnie wnioskuje, że przez minut wskzówk minutow zkreśl kąt o mierze 6 stopni, godzinow 0,5 stopni. Ztem po minutch kąt (zorientowny!) między wskzówką minutową godzinową rośnie o 6 0,5 stopni. 2.stwierdz, że jeśli mmy w pewnym momencie kąt 90º i wskzówk minutow jest przed godzinową, to 130º nstąpi, gdy kąt (zorientowny!) między wskzówkmi wzrośnie o 220º = 90º + 130º. Stąd 6 0,5 =220, co dje = 40 minut. Odp.: Wskzówki utworzą kąt 130º z 40 min. Zdnie 8. (2 pkt) Liczy i są nieprzyste i ich różnic wynosi 6. Wykż, że licz 2 2 jest podzieln przez 24.

5 I sposó 1. zpisuje zleżność = 6 i wyzncz np. = 6 + i podstwi do wzoru 2 2 = (6 + ) przeksztłc wzór; (6 + ) 2 2 = (6 + ) (6 + ) 2 = = 12 (3 + ) i wnioskuje o podzielności iloczynu przez 24 = 12 2, o drugi czynnik 3 + jest przysty. II sposó 1. rysuje dw kwdrty: o oku i polu P2 = 2 orz o oku = + 6 i polu P1 = zuwż, że różnic pól kwdrtów P1 i P2 to sum pól prostokątów o okch 6 i orz 6 + i 6 2. olicz różnicę pól 2 2 = ( + 6) = = = 12 ( + 3) i wnioskuje o podzielności przez 12 2 = 24, o drugi czynnik ( + 3) jest przysty. Zdnie 9. (3 pkt) Dny jest ułmek, w którym licznik i minownik są liczmi dodtnimi orz >. Do licznik i minownik tego ułmk dodno pewną liczę dodtnią. Wykż, że w ten sposó otrzymno ułmek mniejszy od wyjściowego. 1. zpisuje nierówność, gdzie licznik ułmk, minownik ułmk, - dodn licz dodtni, 2. przeksztłc nierówność do postci: > 0 i sprowdz ułmki do wspólnego

6 ( ) ( ) minownik stąd 0, ( ) ( ) 3 wnioskuje, że + > +, stąd > stąd prwdziw jest nierówność >, ujęt w wrunkch zdni, ztem ułmek zmniejszył się. Zdnie 10. (2 pkt) W równoległooku ABCD długość oku AB jest dw rzy dłuższ od długości oku BC. Punkt E jest środkiem odcink CD. Uzsdnij, że kąt AEB jest kątem prostym. I sposó 1. dopełni równoległook do romu o oku 2 ǀBCǀ D E C A B 2. korzystjąc z włsności przekątnych romu wnioskuje, że mir kąt AEB jest równ 90. II sposó 1. zuwż, że trójkąty AED i BCE są równormienne (ǀADǀ = ǀDEǀ = ǀECǀ = ǀCBǀ). Jeśli oznczymy ǀ< ADEǀ = α, wówczs ǀ< BCEǀ = 180º - α, ztem ǀ< AEDǀ = (180º - α): 2 = 90 º - α/2 (z sumy kątów w trójkącie równormiennym ADE) zś ǀ< BECǀ = α/2 (z sumy kątów w trójkącie równormiennym BCE). 2. olicz ǀ< AEBǀ = 180º (90º α/2 + α/2 ) = 90 (kąty < AED, < AEB,< BEC tworzą kąt półpełny).