Przedmowa. Zielona Góra, lipiec 2001.

rzedmowa Książka jest zbiorem zadań z analizy matematycznej przeznaczonym dla studentów pierwszego roku matematyki. otrzebne do rozwiązania podanych zadań definicje twierdzenia komentarze i oznaczenia znajdzie Czytelnik w skrypcie opracowanym przez pierwszego z autorów. Zadania są zróżnicowane zarówno ze względu na dobór materiału jak i stopień trudności dlatego do niektórych podajemy odpowiedzi do innych wskazówki potrzebne do rozwiązania a nawet pełne rozwiązania. Analiza matematyczna jest obszernym działem matematyki wymagającym znajomości wielu pojęć i subtelnych metod rozumowania co nieraz przysparza studiującym pewnych trudności. Rozwiązanie dużej ilości zadań pomoże pokonać te trudności gdyż przyczyni się do głębszego poznania i lepszego zapamiętania potrzebnych pojęć i twierdzeń. Często dobrze dobrany przykład zastąpi liczne wyjaśnienia i komentarze. Niektóre z tych przykładów stanowią pewną ilustrację teorii inne służą do pogłębienia znajomości omawianych pojęć a jeszcze inne pokazują pewne metody rozumowania stosowane w tym dziale matematyki. Część zadań pochodzi z przedstawionych w spisie literatury książek. Mamy nadzieję że książka ta będzie dobrze służyła naszym studentom. Zielona Góra lipiec 00. Autorzy

4 Nie drukować nie drukować

Spis treści Rozdział. ZBIORY. RELACJE. ODWZOROWANIA...8. Elementylogiki...8. Zbiory... 0 3. Iloczyn kartezjański.relacje.odwzorowania... 4. Relacje równoważności. rzestrzeńilorazowa... 3 Rozdział. LICZBY RZECZYWISTE. GRANICE CIAGÓW... 4. Liczbywymierne... 4. CiągiCauchy egoliczbwymiernych... 6 3. Liczby rzeczywiste... 8 4. Wzajemne położenieliczbwymiernychiniewymiernych... 5. Liczby rzeczywiste jako granice ciągów... 6. Ciągłość zbioru liczb rzeczywistych... 5 7. Granicagórnaidolna... 7 8. Twierdzenia o granicach pewnych szczególnych ciągów... 9 9. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne... 3 Rozdział 3. SZEREGI LICZBOWE... 3. Szeregi zbieżne... 3. Szeregi o wyrazach nieujemnych... 33 3. Szeregi bezwzględnie zbieżne i warunkowo zbieżne... 37 4. Szereginaprzemienne... 39 5. Mnożenieszeregów... 40 6. Ciągiiszeregipodwójne... 40 7. Iloczyny nieskończone... 4 Rozdział 4. RZESTRZENIE METRYCZNE... 44. rzestrzenie metryczne. Iloczyn kartezjański przestrzenimetrycznych... 44. Zbiory otwarte i domknięte... 46 3. Ciągi Cauchy ego w przestrzeniach metrycznych. rzestrzenie metryczne zupełne... 47 4. Zbiory zwarte i zbiory spójne. rzestrzenie metryczne ośrodkowe... 48 5. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym... 5 6. rzestrzenie unormowane iprzestrzeniebanacha... 5 7. rzestrzenieunitarneiprzestrzeniehilberta... 5

6 Rozdział 5. GRANICA I CIAGŁOŚĆ FUNKCJI... 53. Granicaodwzorowania... 53. Granica właściwafunkcjiwpunkcie... 53 3. Granice jednostronne i granice niewłaściwe... 55 4. Odwzorowania ciągłe... 58 5. Funkcjeelementarne... 65 Rozdział 6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ... 70. Iloraz różnicowy... 70. ojęciepochodnej... 70 3. Różniczkowalnośćfunkcji... 7 4. Działanianapochodnych... 74 5. ochodnafunkcjiodwrotnej... 75 6. ochodnefunkcjielementarnych... 75 7. ochodna funkcji złożonej... 75 8. ochodnalogarytmiczna... 78 9. Funkcjehiperboliczne... 79 0. ochodne i różniczki wyższych rzędów... 79. Twierdzenie o wartości średniej... 80. Symbole nieoznaczone. ReguładeL Hospitala... 84 3. TwierdzenieTaylora... 85 4. WzórMaclaurina... 86 5. Ekstremalokalne... 86 6. Wypukłość i punkty przegięcia... 88 7. Asymptotykrzywej... 89 8. Badaniefunkcji... 89 Rozdział 7. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 9. Całka nieoznaczona... 9. Całkowanie przez podstawienie i przez części... 9 3. Wzoryrekurencyjne... 93 4. Całkowaniefunkcjiwymiernych... 93 5. Całkowaniefunkcjiniewymiernych... 94 6. Całkowaniefunkcjitrygonometrycznych... 94 7. CałkaoznaczonaRiemanna... 95 8. MiaraJordana... 96 9. Całkajakogranicasum... 97 0. Całka jako funkcja górnej granicy całkowania... 97. Związek całki nieoznaczonej z całką oznaczoną... 98. Zastosowania geometryczne całkioznaczonej... 0 3. Całki niewłaściwe... 07

4. Kryterium całkowe zbieżnościszeregów... 08 Rozdział 8. CIAGI I SZEREGI FUNKCYJNE... 09. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów funkcyjnych... 09. Szeregi funkcyjne... 3. Własności szeregów jednostajnie zbieżnych... 4 4. Szeregi potęgowe... 6 5. Rozwijanie funkcji w szeregi potęgowe... 7 ODOWIEDZI I. ZBIORY.RELACJE.ODWZOROWANIA 0 II. LICZBY RZECZYWISTE. GRANICE CIAGÓW 4 III. SZEREGI LICZBOWE 34 IV. RZESTRZENIE METRYCZNE 40 V. GRANICA I CIAGŁOŚĆ FUNKCJI 5 VI. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 63 VII. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 76 VIII. CIAGI I SZEREGI FUNKCYJNE 94 Literatura 06 7

Rozdział ZBIORY.RELACJE.ODWZOROWANIA. Elementy logiki Wykazać że następujące wyrażenia są tautologiami (zad..-.):.. [p (q r)] [(p q) (p r)]... p ( p)..3. p p..4. (p p)..5. (p q) ( p q)..6. (p q) ( p q)..7. (p q) ( q p)..8. (p q) ( p q)..9. ( p) (p q)..0. (p q) (p q)... (q r) [(p q) (p r)]... [(p q) (r s)] [(p r) (q s)]. Sprawdzić czy następujące wyrażenia są tautologiami (zad..3-.):.3. (p q) [p (q r)]..4. p [( p) q)]..5. [(p q) (p q)] (q p)..6. p [( q q) r]..7. [(p q) (p q)] ( p q)..8. [(p q) r] [(p r) (q r)]..9. {[(p q) r] [(p q) ( r)]} (p q r)..0. [p (q r)] [(p q) r].

Elementy logiki 9.. [(p q) ( q)] ( p)... [(p q) p] q..3. Czy prawdziwe jest zdanie: Jeżeli liczba naturalna a dzieli się przez 5 to zfaktuże liczba a nie dzieli sięprzez5wynika że dzieli się ona przez 7..4. Czy prawdziwe jest zdanie: Jeżeli z faktu że wszystkie boki trójkąta są równe wynika że wszystkie kątytegotrójkąta są równe i trójkąt ma nierówne kąty to ma on również nierówne boki..5. Czy prawdziwe jest zdanie: Jeżeli Felek nie zna języka angielskiego to jeżeli Felek zna językangielskitoznajęzyk hiszpański. Udowodnić że następujące wyrażenia są tautologiami rachunku kwantyfikatorów (zad..6-.33):.6. Φ () Φ ()..7. Φ () Φ ()..8. y Φ ( y) y Φ ( y)..9. [Φ () Ψ ()] Φ () Ψ ()..30. [Φ () Ψ ()] Φ () Ψ ()..3. [Φ () Ψ ()] Φ () Ψ ()..3. Φ () Ψ () [Φ () Ψ ()]..33. [Φ () Ψ ()] Φ () Ψ (). Sprawdzić które z następujących wzorów (zad..34-.38) są tautologiami rachunku kwantyfikatorów:.34. [Φ () Ψ ()] Φ () Ψ ()..35. y Φ ( y) y Φ ( y)..36. Φ () Ψ () [Φ () Ψ ()]..37. y Φ ( y) Φ ( )..38. y Φ ( y) Φ ( ).

0 ZBIORY.RELACJE.ODWZOROWANIA. Zbiory Udowodnić że przy ustalonej przestrzeni X dla wszystkich zbiorów A B i C zachodząnastępujące równości (zad..-.):.. A B = B A... A B = B A..3. A (B C) =(A B) (A C)..4. A (B C) =(A B) (A C)..5. A (B C) =(A B) C..6. A (B C) =(A B) C..7. X A = X..8. X A = A..9. A A 0 = X..0. A A 0 = φ... A φ = A... A φ = φ. Udowodnić że prawdziwe są następujące tożsamości rachunku zbiorów zwane prawami de Morgana (zad..3-.4):.3. (A B) 0 = A 0 B 0..4. (A B) 0 = A 0 B 0. Udowodnić że dla wszystkich zbiorów A B i C prawdziwe są następujące implikacje (zad..5-.8):.5. (A B) (C D) (A C) (B D)..6. (A B) (C D) (A C) (B D)..7. (A B) (C D) (A \ D) (B \ C)..8. (A B) (C \ B) (C \ A). Sprawdzić czy poniższe równości sątożsamościami rachunku zbiorów (zad..9-.):.9. A \ (B C) =(A \ B) (A \ C)..0. A (A B) =A... A (A B) =B... (A B C) \ (A B) =C.

Iloczyn kartezjański.relacje.odwzorowania 3. Iloczyn kartezjański.relacje.odwzorowania Znaleźć iloczyny kartezjańskie A B i B A dla następujących zbiorów A i B (zad. 3.-3.): 3.. A = {0 } B = { }. 3.. A = { 3} B={a b}. Udowodnić że dla dowolnych zbiorów A B i C prawdziwe są następujące równości (zad. 3.3-3.8): 3.3. A (B C) =(A B) (A C). 3.4. (A B) C =(A C) (B C). 3.5. A (B C) =(A B) (A C). 3.6. (A B) C =(A C) (B C). 3.7. A (B \ C) =(A B) \ (A C). 3.8. (A \ B) C =(A C) \ (B C). 3.9. Oznaczmy A A = A. Zbadać czy dla dowolnych zbiorów A i B spełniona jest równość: 3.0. Wykazać że (A B) = A B. (A B) (C D) =(A C) (B D). 3.. Jeżeli R jest relacją to zbiory ½ ¾ D (R) : = : ( y) R y ½ ¾ D (R) : = y : ( y) R nazywamy odpowiednio dziedziną i przeciwdziedziną relacji R. Wykazać że jeżeli R i S są relacjami to a) D (R S) =D (R) D (S) D (R S) =D (R) D (S); b) D (R S) D (R) D (S) D (R S) D (R) D (S) oraz uzasadnić dlaczego znaków inkluzji nie można zastąpić znakami równości. 3.. okazać że jeżeli X i Y są zbiorami to (X Y ) (id X id Y )

ZBIORY.RELACJE.ODWZOROWANIA oraz id X id Y = id X Y id X id Y = id X Y id X\Y = id X \id Y gdzie id E jest relacją wzbiorzee zwaną identycznością którą określamy w następujący sposób id E = {( y) E E : = y} = {( ) : E}. 3.3. Jeżeli R jest relacją to zbiór R := {( y) :(y ) R}. nazywamy relacją odwrotnąwzględem relacji R. Sprawdzić że a) (id X ) = id X dla każdego zbioru X b) (A B) = B A dla dowolnych zbiorów A i B. 3.4. Jeżeli R i S są relacjami to relację ½ ¾ T := ( z) : ( y) R (yz) S y 3.5. Niech nazywamy złożeniem relacji R i S. Tak określoną relację T oznaczamy symbolem S R. Wykazać że jeżeli R S i T są relacjami to a) T (S R) =(T S) R b) (R S) T =(R T ) (S T ) c) (S R) = R S. R = {( ) ( ) ( ) ( 3) (3 3)} S = {( ) ( ) (3 3) (4 5)}. odać relacje S R R S i S R. 3.6. okazać że jeżeli zbiór X ma skończoną ilość elementów to odwzorowanie f : X X jest surjekcją wtedy i tylko wtedy gdy jest injekcją. 3.7. okazać że jeśli f : X Y i g : Y X są odwzorowaniami oraz g f = id X to f jest injekcjąag jest surjekcją. 3.8. Wykazać że jeżeli f : X Y jest bijekcją to f : Y X jest również bijekcją.

Relacje równoważności. rzestrzeń ilorazowa 3 4. Relacje równoważności. rzestrzeń ilorazowa 4.. Udowodnić że na to by relacja R była zwrotna potrzeba i wystarcza by id D(R) D (R) R. 4.. Udowodnić że na to by relacja R była symetryczna potrzeba i wystarcza by R = R. 4.3. Wykazać że dla dowolnej relacji R relacja R R jest relacją symetryczną 4.4. Udowodnić że na to by relacja R była przechodnia potrzeba i wystarcza by R R R. 4.5. Czy suma relacji równoważnościowych musi być relacjąrównoważno- ściową? 4.6. Dany jest podział zbioru N na dwa zbiory: zbiór liczb parzystych i zbiór liczb nieparzystych. Wskazać relację równoważności której klasami abstrakcji sątezbiory. 4.7. Dla danego zbioru X oraz relacji R X zbadać czy R jest równoważnościąwx jeżeli tak wskazaćklasyabstrakcji a) X = { 3...6} ( y) R y jest podzielna przez 4 b) X = N ( y) R y jest liczbą nieparzystą c) X = N ( y) R t N y = t d) X = N N ( y) R (s t) t = y s.

Rozdział LICZBY RZECZYWISTE. GRANICE CIAGÓW. Liczby wymierne.. Udowodnić że dla każdej liczby naturalnej n prawdziwe są następujące równości: n a) k = n (n +) b) c) d) e) f) k= n k= n k= n k= n k= n k= k = 6n (n +)(n +) k 3 = 4 n (n +) k (k +)= 3n (n +)(n +) (k ) = 3n (n ) (n +) (k ) 3 = n n g) (a + b) n = n k=0 n k a n k b k ab R h) ( + ) n +n dla i) cos nπ =( ) n n j) sin k = cos k= k) + n k= cos k = n+ cos sin dla R 6= kπ k C n+ sin sin dla R 6= kπ k C.

Liczby wymierne 5.. Udowodnić że a) n >n dla każdej liczby naturalnej n 5 b) n n! dla każdej liczby naturalnej n 4 c) n n+ > (n +) n dla każdej liczby naturalnej n 3 d) n q n + n dla każdej liczby naturalnej n n e) k > n + dla każdej liczby naturalnej n f) k= n k= k n dla każdej liczby naturalnej n g) n! > n n 3 dla każdej liczby naturalnej n n h) k! n dla każdej liczby naturalnej n. k=.3. okazać że suma różnica iloczyn oraz iloraz (jeżeli ma sens) liczb wymiernych jest liczbąwymierną..4. Wykazać że nie istnieje liczba wymierna w dla której: a) w =3 b) w 4w +=0 c) w 3 =4..5. Wykazać że jeżeli i y są liczbami wymiernymi dodatnimi oraz + y jest liczbąwymierną to a) liczba y jest liczbąwymierną b) liczby oraz y sąwymierne..6. Wykazać że rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej jest skończone lub okresowe..7. Które z podanych liczb sąwymierne: a) 3 b) 37 (9) c) 000000...

6 LICZBY RZECZYWISTE. GRANICE CIAGÓW. Ciagi Cauchy ego liczb wymiernych.. Sprawdzić czy następujące liczby są wymierne czy niewymierne: a) 0 3333... b) 7 0333... c) p 5+ 6+ p 5 6 d) p 4+ 7 p 4 7 e) p 6 4 + 3p 45 + 9 f) log 5... Wykazać że dla każdego n N liczby a) p n (n +) b) n + n są niewymierne..3. Wykazać że suma liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną..4. Wykazać że iloczyn liczby wymiernej różnej od zera i liczby niewymiernej jest liczbąniewymierną..5. Wykazać że jeżeli i y są liczbami niewymiernymi i + y jest liczbą wymierną to liczby y oraz +y są liczbami niewymiernymi..6. Czy suma różnica iloczyn i iloraz dwóch liczb niewymiernych musi być liczbąniewymierną?.7. okazać że istnieją liczby niewymierne i y takie że y jest liczbą wymierną..8. Zbadać monotonicznośćciągu (a n ) jeśli a) a n = n +4n n b) a n =cos n c) a n = n n! d) a n = n e) a n = n k= k k= k! f) a = a a n+ = a + a n dla n i a>0 g) a = 3 a n+ = 3a n dla n..9. Zbadać ograniczonośćciągów z zadania.8..0. Udowodnić żekażdy ciąg liczbowy można przedstawić jako iloczyn dwóch ciągów: monotonicznego i ograniczonego.

Ciagi Cauchy ego liczb wymiernych 7.. Rozważmy równanie funkcyjne ) f (n) =a f (n ) + bf (n ) dla n 3 i a + b 0 oraz równanie kwadratowe ) a b =0. Udowodnić że a) jeżeli a > 4b to f (n) = f() f() gdzie są pierwiastkami równania () ; n f() f() n b) jeżeli a = 4b to f (n) =(n ) f () n 0 (n ) f () n 0 gdzie 0 = a... Znaleźć n ty wyraz (w postaci jawnej) dla ciągów określonych rekurencyjnie: a) a =0a =6 a n+ 4a n+ +3a n =0n b) a =0a = a n =4a n 4a n n 3 c) a =0a = a n = (a n + a n ) n 3..3. Znaleźć n ty wyraz (w postaci jawnej) dla ciągu Fibonacciego: a =a =a n+ = a n+ + a n n.

8 LICZBY RZECZYWISTE. GRANICE CIAGÓW 3. Liczby rzeczywiste 3.. Wykazać że a =0... jest liczbą niewymierną. odać ciąg Cauchy ego liczb wymiernych (a n ) taki że [(a n )] = a. odać n 0 (ε i ) i = 3 dla ε =0 0; ε =0 00; ε 3 =0 000. 3.. Wykazać że dla dowolnych liczb rzeczywistych i y a) b) = c) y = y d) = oiley 6= 0 y y e) + y + y przy czym znak równości zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy y 0 f) y y przy czym znak równości zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy y 0 g) <a a<<adla a>0 h) >a < a >adla a>0. 3.3. Rozwiązać równania: a) +3 = + b) 4 +3 = +4 3 c) +3 = +3 d) +6 +0 +(3 ) = +6 +0 + 3 e) f) 4 9 +3 4 = 9 +3 p p + + = g) + + = agdziea jest daną liczbądodatnią. 3.4. Rozwiązaćnierówności: a) 3 > b) ( ) > 9 d) 3 < 3 3 e) ( ) (5 3 4 ) > 0.

Liczby rzeczywiste 9 3.5. Wykazać że dla dowolnych liczb rzeczywistych y z zachodzą nierówności: a) + y +y y b) y + y c) ( y ) y d) p p y p y e) p + y + z y z. 3.6. Częścią całkowitą liczby rzeczywistej nazywamy liczbę E () (czasami oznaczamy ją przez [])określonąnastępująco: Wykazać że a) E () <E()+ E () =ma{k C : k }. b) E ( + n) =E ()+n n C E () dla C c) E ( ) = E () dla / C 3.7. Udowodnić że dla dowolnych liczb rzeczywistych i y zachodzą nierówności E ()+E (y) E ( + y) E ()+E (y)+. 3.8. Częścią ułamkową liczby rzeczywistej nazywamy liczbę m () (czasami oznaczamy ją przez {}) określonąnastępująco: Wykazać że a) 0 m () < m () = E (). b) m ( + n) =m () n C c) jeżeli / C to m ( ) = m ()..

0 LICZBY RZECZYWISTE. GRANICE CIAGÓW 3.9. Rozwiązać równania: a) E ( 3 5) + 5 = E ( 0 5) b) m (3 0 75) + m (3 +0 5) = 5 c) E 3 + E + E () =m () d) 3 E () =3 e) E ( ) + E ( ) = f) m ( ) E () =. 3.0. Udowodnić że jeżeli k > 0 k =... n i przy tym n k= k = n k = k =...n. n Π k = to n k n k= k= 3.. Niech A n oznacza średnią arytmetyczną G n średnią geometryczną i H n średnią harmoniczną n liczb dodatnich a a...a n tzn. Udowodnić że przy tym A n = a + a +... + a n n G n = n a a... a n n H n = a + a +... +. a n H n G n A n H n = G n = A n a = a =... = a n. 3.. Udowodnićprawdziwośćnierówności: a) a 4 + b 4 + c 4 abc (a + b + c) dla a b c 0 b) n! < n+ n n N c) a +3 3 b 5 5 ab dla a b 0 d) a+b + a+c + b+c a + b + c dla a b c > 0 e) a a+ + b b+ + c c+ o ile a b c > 0 a + b + c =.

Wzajemne położenie liczb wymiernych i niewymiernych 3.3. Średniąkwadratową liczb dodatnich a a...a n nazywamy liczbę Udowodnić że przy tym r a K n = + a +... + a n. n A n K n A n = K n a = a =... = a n. 3.4. Dany jest ciąg (a n ) taki że 0 a oraz a n+ = a n ( a n ) n =... Udowodnić że n N zachodzi nierówność nx a k n. k= 4. Wzajemne położenie liczb wymiernych iniewymiernych 4.. Wykazać że średnia arytmetyczna liczb wymiernych a i b jest zawarta między tymi liczbami. 4.. Znaleźćliczbęwymierną i liczbęniewymiernąmiędzy liczbami 3 030030003... i 3 040040004... 4.3. Wykazać że dla każdej liczby wymiernej dodatniej w spełniającej nierówność <w można znaleźćtaką liczbę naturalną n że µ < w n <w. 4.4. Wykazać że dla każdej liczby wymiernej dodatniej w spełniającej nierówność w < można znaleźćtaką liczbę naturalną n że µ w < w + n <.

LICZBY RZECZYWISTE. GRANICE CIAGÓW 5. Liczby rzeczywiste jako granice ciagów 5.. Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać że 4n+3 a) lim n 3n+ = 4 3 b) lim n 3 c) lim n n n! =0 d) lim n n n +n = n b n =0b> n e) lim k log n a =0a>k >0 f) lim a n n n n =0a> g) lim n n = h) lim ( log n) =. n 5.. Wykazać że jeżeli lim a n = g (a n 0) to lim an = g. n n 5.3. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym a) a n = α kn k +α k n k +...+α n+α 0 β m n m +β m n m +...+β n+β 0 gdzie k m =0... α i (i =0...k) β i (i =0...m) oznaczająstałewspółczynniki (α k β m 6=0) b) a n = n +n +3 n n c) a n = 3n+ n +n+ d) a n = n n ³p n n p n + n e) a n = n n+n 4n +n n f) a n = 3 n 3 + n + n g) a n = 3 8n3 +3n n h) a n = +3 4+...+( n) n + j) a n = i) a n = 3 3 + 3 +...+n 3 n 3 n n( + +...+n ) n k) a n = ++...+n n p p R l) a n = 3n+cos n n+sin n m) a n = 4n sin n 4n n+cos n n) a n = E(bn) n b R. 5.4. Wykazać ³ że ciąg (sin n) niemagranicynatomiast lim sin π 4n + =0. n

Liczby rzeczywiste jako granice ciagów 3 5.5. Korzystając z warunku Cauchy ego wykazać zbieżność lub rozbieżność ciągów: a) a n =+ +... + n b) a n =+ +... + n c) a n = cos! + cos! 3 +... + cos n! n(n+) d) a n = ln + ln 3 +... + ln n n. 5.6. Wykazać że jeśli n to dla dowolnych m M R prawdziwe są implikacje a) a n + b n >m a n + b n + b) a n b n <M a n + b n c) a n + b n >m>0 a n b n + d) a n + 0 <b n <M an b n + e) a n <M b n + a n bn 0 f) a n >M>0 b n 0 an bn +. 5.7. Udowodnićnastępujące twierdzenie O. Toeplitza. Niech ) p nk 0 n N k =...n n ) p nk = k= 3) dla każdego ustalonego k istnieje granica lim n p nk =0 4) istnieje granica lim n n = g g R. Wtedy ciąg o wyrazie ogólnym y n = n jest zbieżny i lim n y n = g. k= p nk k n N

4 LICZBY RZECZYWISTE. GRANICE CIAGÓW 5.8. Udowodnićnastępujące twierdzenie Stolza. Niech ) (b n ) będzie ciągiem rosnącym nieograniczonym ) istnieje granica (skończona lub nieskończona) lim n ³ Wtedy ciąg an bn ma granicęi a n a n a n b n b n. a n a n b n b n. lim =lim n b n n 5.9. Niech ( n ) będzie ciągiem o wyrazach dodatnich natomiast A n = + +...+ n n G n = n n... n H n = + +...+ n. Udowodnić że jeżeli ( n ) ma granicę g g R to ciągi średnich arytmetycznych (A n ) średnich geometrycznych (G n ) oraz średnich harmonicznych (H n ) majągranicę g. 5.0. Udowodnić że jeżeli istnieje granica lim n n n = g i n > 0 n N to lim n n n = g. 5.. Wykazać że a) lim n n = b) lim n n!=. n n 5.. Korzystając z twierdzenia Stolza obliczyć granice: ln n a) lim n n c) lim n ln n b) lim n n ε n ³+ +... + n d) lim n p + p +...+n p n p>0 p+ e) lim p +3 p +...+(n+) p + + n n p>0 f) lim +...+n n p+ n n n+ + g) lim +...+ n n ln n. 5.3. Wykazać że jeżeli ) n N b n > 0 ) lim n (b + b +... + b n )= 3) lim n a n = g a to lim b +a b +...+a nb n n b +b +...+b n = g.

Ciagłość zbioru liczb rzeczywistych 5 6. Ciagłość zbioru liczb rzeczywistych 6.. Wykazać że zbiory K i K tworzą przekrój zbioru W liczb wymiernych: a) K = { W : >0} K = { W : 0} b) K = { W : +3< 7} K = { W :5 4 4} c) K = W + : > ª K = W + : < ª W d) K = W : 3 < 4 ª K = W : 3 > 4 ª okazać że w żadnym z przekrojów z przykładów c) d) nie istnieje liczba najmniejsza ani największa. 6.. Zbadać ograniczoność oraz wyznaczyć (jeżeli istnieją) kresy następujących zbiorów: a) A = n : = n + ( ) n n n o b) B = : = n n+ n N c) C = n N o n : =(+( ) n ) n + ( )n n n N d) D = : = t + t t>0 ª e) E = {0 ; 0 ; 0...}. 6.3. Niech A 6= φ i A ograniczony i niech A = { a; a A}. Wykazać że a) sup A = inf ( A) b) inf A = sup ( A). 6.4. Dla A B R oraz λ R oznaczmy A + B = {a + b : a A b B} A B = {a b : a A b B} λa = {λa : a A}. Wykazać że jeżeli zbiory A B są niepuste i ograniczone to zbiory A+B o

6 LICZBY RZECZYWISTE. GRANICE CIAGÓW A BλA sąteż ograniczone oraz a) sup (A + B) =supa +supb b) inf (A + B) =infa +infb c) sup (A B) =supa inf B d) inf (A B) =infa sup B λ sup A dla λ 0 e) sup (λa) = λ inf A dla λ < 0 λ inf A dla λ 0 f) inf (λa) =. λ sup A dla λ < 0 6.5. Niech A B będą ograniczonymi zbiorami liczb rzeczywistych dodatnich. Oznaczmy A B = {a b : a A b B} A = a : a Aª. Wykazać że a) sup (A B) =supa sup B b) inf (A B) =infa inf B c) sup A = inf A. 6.6. Niech A B będą niepustymi podzbiorami zbioru R liczb rzeczywistych. Wykazać że a) jeżeli A i B są ograniczone z góry i A B to sup A sup B b) jeżeli A i B są ograniczone z dołuia B to inf A inf B c) jeżeli A i B są ograniczone z góry to sup (A B) =ma{sup A sup B} d) jeżeli A i B są ograniczone z dołu to inf (A B) =min{inf A inf B}

Granica górna i dolna 7 e) jeżeli A i B są ograniczone z góry to sup (A B) min {sup A sup B} f) jeżeli A i B są ograniczone z dołu to inf (A B) ma {inf A inf B}. 6.7. Wykazaćzbieżność i obliczyć granicęciągów określonych indukcyjnie: a) a = a n+ = a n n N b) a = a a n+ = a + a n dla n i a>0 c) a = 3 a n+ = 3a n n ³ d) a =a n+ = a n + a n n N e) a =a n+ = (a n+) a n +3 n N. 7. Granica górna i dolna 7.. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym µ a n =( ) n + +sin nπ n 4. Obliczyć granice podciągów (a 8n+k ) k=0...7. 7.. Uzasadnić że ciągi (a n ) nie majągranicy a) a n = q n q b) a n =sin nπ. 7.3. Zbadać istnienie granicy ciągów (a n ) oraz (b n ) gdzie b n = a n ; jeśli a n = +3 4+... +( )n n. n

8 LICZBY RZECZYWISTE. GRANICE CIAGÓW 7.4. Ciągi (a n ) i (b n ) nie majągranic.czymogą istnieć granice ciągów: a) (a n + b n ); b) (a n b n )? 7.5. Niech n. Czy prawdziwe są impikacje: a) (a n 0 (b n ) ograniczony) a n b n 0 b) (a n 0 (b n ) dowolny ciąg ) a n b n 0 c) (a n b n 0) (a n 0 b n 0). 7.6. Udowodnić że jeżeli z każdego podciągu ciągu (a n ) R można wybrać podciąg zbieżny to ciąg (a n ) jest zbieżny. 7.7. Znaleźć punkty skupienia ciągów o wyrazie ogólnym a) a n = ( ) n(n+) 3 ( ) n b) a n =+ n n+ cos nπ c) a n = ( ( )n )n+ n+. 7.8. Udowodnić że ciąg (a n ) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy ma dokładnie jeden punkt skupienia. 7.9. Udowodnić że jeżeli lim a n =ā R to n (n>n 0 ) (a n < ā + ε). ε>0 n 0 n N 7.0. Udowodnić że jeżeli lim a n = a R to n (n >n 0 ) a n >a ε. ε>0 n 0 n N 7.. Udowodnić że jeżeli a n R (n N) i g R to lim a n = g lim a n = lim a n = g. n n n 7.. odaćprzykłady ciągów dla których a) lim n (a n + b n ) 6= lim n a n + lim n b n b) lim (a n + b n ) 6= lim a n + lim b n n n n c) lim (a n b n ) 6= lim a n lim b n. n n n 7.3. Niech (a n ) i (b n ) będą dowolnymiciągami liczb rzeczywistych. Udowodnićprawdziwość implikacji:

Twierdzenia o granicach pewnych szczególnych ciagów 9 a) a n b n lim n a n lim n b n b) a n b n lim a n lim b n n n c) lim n a n > lim n b n < lim n (a n + b n ) lim n a n + lim n b n d) lim a n < + lim b n > lim (a n + b n ) lim a n + lim b n n n n n n e) lim a n = g (g >0) lim a nb n =lim a n lim b n. n n n n 7.4. Znaleźć granice ekstremalne ciągów: ³ a) a n = n 7 E n 7 b) a n =(+( ) n ) n c) a n = ln n (+( )n )n ln n. 8. Twierdzenia o granicach pewnych szczególnych ciagów 8.. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym a) a n = +a+a +...+a n +b+b +...+b n a < b < b) a n = n e n + π n c) a n = n 3 n + 3 n d) a n = n n +3 n +4 n e) a n = n 5n +sinn f) a n = n ++... + n

30 LICZBY RZECZYWISTE. GRANICE CIAGÓW g) a n = n p +q E(nb) q >b>0 h) a n = 5 n 3 4 n+ 3 n +6 4 n i) a n = 4... n. 8.. Zbadać dla jakich wartości a b c R ciąg (a n ) określony rekurencyjnie a = a a = b a n+ =(c +)a n+ ca n...jest zbieżny i do jakiej granicy. 8.3. Niech dane będą dowolne ciągi (p n ) i (q n ) takie że lim p n =+ oraz n lim q n =. Udowodnić że n µ lim + pn µ =lim + qn = e. n p n n q n 8.4. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym: a) a n = + 4 n 3n b) an = n n c) a n = ³ 3n 3n+ n d) an = + a n n a>0 e) a n = a + n n a>0 f) an = ³ n n+a n a>0 g) a n = ³ n+a n b n ab>0 h) an = n (ln (n + a) ln n) a>0 i) a n = n ( n a ) j) a n = n n n!. 8.5. okazać że dla dowolnej liczby naturalnej n µ + n n µ <e< + n n+. 8.6. okazać że ciąg o wyrazie ogólnym a n =+ + 3 +... + ln n n N n ma skończonągranicę.

Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne 3 9. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne 9.. Wykazać że zbiory [0 ) i [0 ] są równoliczne. 9.. Wykazać że podzbiór zbioru przeliczalnego (jeśli nie jest skończony) jest przeliczalny. 9.3. Wykazać że iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

Rozdział 3 SZEREGI LICZBOWE. Szeregi zbieżne.. Wykazać że następujące szeregi sązbieżne oraz wyznaczyćichsumy: a) n(n+4) b) n(n+m) m N c) e) g) n(n+)(n+)(n+3) 5n +5n 6 n n n(n+) d) f) h) n(n+)... (n+m) m N n(n+)( n+ n+) i) 3 n +4 n 5 j) na n a < n k) ln n n= m) o) n!(n+) l) ln n) a n gdzie (a n ) jest ciągiem n + n ++ n n(n+) (n+)(n ) sin n cos 3 n określonym rekurencyjnie a =a n+ = a n a n +dla n... Wykazać rozbieżność szeregów korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregów: a) n 0 b) ( ) n n n c) cos n d) ³ n n+ n e) sin nπ f) ³p p n + n n n.

Szeregi o wyrazach nieujemnych 33.3. Korzystając z warunku Cauchy ego ( [5] tw.3..) zbadać zbieżnośćszeregów: a) c) cos n cos(n+) n b) n(n+) d).4. Udowodnić że jeżeli szereg r n = k=n+ cos n n ln + n. a n jest zbieżny to ciąg n r n gdzie a k jest zbieżny do zera przy n. (Ciąg (r n ) nazywamy n -tą resztą szeregu)..5. Co można powiedzieć ozbieżności szeregu (a n + b n ) jeśli wiadomo że a) szereg a n jest zbieżny a szereg b n jest rozbieżny b) szeregi a n i b n są rozbieżne.. Szeregi o wyrazach nieujemnych.. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność następujących szeregów: a) 3n+ b) 4n 3 +n c) e) g) ³ n + 3 n 3 n d) n α sin n α R cos π 4n 3 8n3 i) sin n cos n k) f) h) sin +( )n n l) n+3 n n+ 5+4( ) n 3 n n α tg n α R n! n n tg n! j) sin n tg n cos n

34 SZEREGI LICZBOWE m) o) r) sin n + tg n n) log n n p) n ln n s) log(n+) n ln n+ n+ a log n a > 0 t) +a. n.. Niech a n > 0 i b n > 0. Udowodnić że jeżeli istnieje skończona i różna od zera granica lim n zbieżne lub rozbieżne. a n bn to szeregi.3. Udowodnić że jeżeli n>n 0 a n+ wynika zbieżność szeregu a n wynika rozbieżność szeregu a n b n+ b n. b n.4. Zbadać zbieżnośćnastępujących szeregów: a) n n n b) ( n a ) a> c) d) e) n n! n n e n n! f) n n e n n! arcsin n n..5. Udowodnić że jeżeli szereg a n jest także zbieżny..6. Udowodnić że jeżeli szereg a nn jest także zbieżny..7. Udowodnić że jeżeli szereg an n jest zbieżny. a n i b n są równocześnie to ze zbieżności szeregu a n a z rozbieżności szeregu a n (a n 0) jest zbieżny to szereg a n (a n 0) jest zbieżny to szereg a n (a n 0) jest zbieżny to szereg b n

Szeregi o wyrazach nieujemnych 35.8. Udowodnić że jeżeli szereg an a n+ jest także zbieżny. a n (a n 0) jest zbieżny to szereg.9. Korzystając z kryterium d Alemberta lub kryterium Cauchy ego zbadać zbieżnośćnastępujących szeregów: a) c) e) g) 3 n n! b) n n (n!) i) n 3 n k) m) o) d) (3n)! n 3n f) n n an n! a>0 h) 5 n j) ³ an n+3 n a>0 l) n n n! (n)! n n (n)! (n!) n!(n+)! (3n)! n 7 7 n n n+ n n ³ n 3 n n+4 n+5 n) n +3 n 3 n +4 n sin n 5 n p) arc tgn n..0. Udowodnić zbieżność szeregu a n stosując kryterium Cauchy ego. okazać że szereg ten nie reaguje na kryterium d Alemberta. a) b) (3+( ) n ) n +( ) n n... Korzystając z cechy zagęszczenia Cauchy ego zbadać zbieżność następujących szeregów: a) b) c) e) n(ln n) α α R (n+) ln (n+) d) n= n ln n ln ln n ln(n!) [n ln(n+)] gdzie [] jest częściącałkowitą liczby rzeczywistej.

36 SZEREGI LICZBOWE.. Udowodnićnastępujące kryterium logarytmiczne. Szereg a n jest zbieżny gdy istnieje q>0in 0 N takie że a rozbieżny gdy ln a n ln n +q n >n 0 ln a n ln n n >n 0..3. Korzystając z kryterium logarytmicznego zbadać zbieżność następujących szeregów: a) b) n= (ln ln n) ln n n= (ln n) ln ln n..4. Udowodnićnastępujące kryterium Kummera. Niech dany będzie szereg a n (a n > 0) dla którego istnieje ciąg (b n ) liczb dodatnich spełniający warunki: szereg b n jest rozbieżny liczby υ n = an a n+ b n b n+ są tego samego znaku. Wówczas szereg a n jest zbieżny przy υ n > δ > 0 a rozbieżny przy υ n 0..5. Udowodnić kryterium Kummera w postaci granicznej. Jeżeli dla szeregu a n (a n > 0) istnieje ciąg (b n ) liczb dodatnich taki że b n jest rozbieżny ³ lim an n a n+ b n b n+ = δ to gdy δ > 0 to szereg a n jest zbieżny a gdy δ < 0 to szereg jest rozbieżny..6. Udowodnićnastępujące kryterium Raabego. Niech dany będzie szereg a n (a n > 0). Jeżeli µ lim n an = λ n a n+ a n

Szeregi bezwzględnie zbieżne i warunkowo zbieżne 37 to szereg λ <. a n jest zbieżny gdy λ > natomiast jest rozbieżny gdy.7. Udowodnićnastępujące kryterium Gaussa. Niech dany będzie szereg a n (a n > 0) i niech iloraz można przedstawić w postaci a n = α + β a n+ n + γ n n +ε a n a n+ będzie gdzie α β ε są liczbami stałymi (przy tym ε > 0) a γ n M dla n N. Wtedy przy α > lub α =iβ > szereg a n jest zbieżny aprzyα < lub α =iβ szereg a n jest rozbieżny..8. Korzystając z kryterium Raabego i Gaussa zbadać zbieżność następujących szeregów: a) 5... (4n 3) 6... (4n ) b) n! (a+)(a+)... (a+n) a>0 c) e) 3 5... (n ) 4 6... n n+ d) 4... (3n ) 5... (3n+) n!(n+)!9 n. ³ 3 5... (n ) 4 6... n.9. Badając zbieżność odpowiedniego szeregu wykazać że (n!) a) lim n =0 b) lim n n n n (n!) c) lim 3 sin n n n =0 d) lim 3n n (n)! n n + =0 n n sin n =0. s s R 3. Szeregi bezwzględnie zbieżne i warunkowo zbieżne 3.. Zbadać zbieżnośćbezwzględnąnastępujących szeregów: a) ( ) n+ n p R b) n cos 3n 3 p n7 +5n+ c) e) sin n n3 + d) ( ) n+ n n f) ( ) n ( 4...n) (n+) n ( ) n tg n cos n

38 SZEREGI LICZBOWE g) n= ( ) n ln n n h) n= ( ) n n+( ) n i) ( ) n+ sin n j) ( ) n ( n a ) a>0. 3.. Udowodnić że jeżeli szereg a n jest bezwzględnie zbieżny to szereg n+ n a n jest bezwzględnie zbieżny. 3.3. Udowodnić że jeżeli szeregi a n i a n b n jest bezwzględnie zbieżny. b n sązbieżne to szereg 3.4. Niech u u...u n i v v...v n będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi; s n = n u k oraz n p N. Wykazać że n+p X k=n+ k= n+p X u k v k = k=n+ s k (v k v k+ )+s n+p v n+p s n v n+ (przekształcenie to nazywamy przekształceniem Abela). 3.5. Udowodnićnastępujące kryterium Dirichleta. Jeżeli u n jest ograniczony (v n ) jest nierosnącym ciągiem liczb dodatnich zbieżnym do zera to szereg u n v n jest zbieżny. 3.6. Udowodnić poniższe kryterium Abela. Jeżeli szereg u n jest zbieżny a ciąg (a n ) monotoniczny i ograniczony to szereg a n u n jest zbieżny. 3.7. Korzystając z kryteriów Dirichleta i Abela zbadać zbieżność następujących szeregów: a) v n sin nα gdzie (v n ) jest nierosnącym ciągiem liczb dodatnich zbieżnym do zera α R

Szeregi naprzemienne 39 b) v n cos nα gdzie (v n ) jest nierosnącym ciągiem liczb dodatnich zbieżnym do zera α 6= kπ k C c) d) e) f) g) ( ) n cos n n ( ) n sin n n + +... + sin n n n sin nα ln ln(n+) cos n α R n arc tg n ( ) n. 4. Szeregi naprzemienne 4.. Korzystając z kryterium Leibniza wykazać zbieżność następujących szeregów: a) ( ) n+ n 0 <p b) p cos(n )π + n c) ( ) n tg n d) ( ) n+ sin cos n n e) ( ) n ( n a ) a > 0 f) ³ π sin n + n. 4.. okazać że do podanych niżej szeregów postaci ( ) n a n nie można zastosować kryterium Leibniza a następnie zbadać ich zbieżność jeśli: a) a k = k+ a k = k++ (k N) b) a k = k a k = 3 k (k N) c) a k = 4k a k = 4k 3 (k N) d) a k = k a k = k (k N).

40 SZEREGI LICZBOWE 5. Mnożenie szeregów 5.. Niech c n = a n b n. Znaleźć c n jeśli a) a n = a n b n = b n a < b < b) a n = a n b n = an n(n+) a < c) a n = n (n )! b n = 3n (n )! d) a n = 3n (n )! b n = ( )n (n )!. 5.. okazać że µ a) µ n=0 b) µ n=0 c) n! n! n n! = n=0 µ n n! ( ) n n! n=0 µ 5 n n! = = 7 n n!. 6. Ciagi i szeregi podwójne 6.. Zbadać czy następujące ciągi podwójne mają granice iterowane lub granicępodwójną. Jeśli tak to wyznaczyćje. a) a mn = 4n n+m b) a mn = 3m+4n m+5n c) a mn = mn d) a mn = m + n + e) a mn = ( )n m + ( )m n. 6.. Obliczyć sumy szeregów: a) µ m n n= µ n= ³ b) mn n(m+). m= 6.3. Udowodnić że jeżeli szereg podwójny lim a mn =0. mn m a mn jest zbieżny to

Ciagi i szeregi podwójne 4 6.4. Niech dany będzie zbieżny szereg podwójny a mn którego wyrazami są elementy macierzy nieskończonej a a... a n... a a... a n.................. a m a m... a mn................... m Udowodnić że jeżeli zbieżne są wszystkie szeregi utworzone z wierszy a mn = u m m N to szereg iterowany u m = µ m= a mn jest także zbieżny i ma tę samąsumę co szereg podwójny; jeżeli zbieżne są wszystkie szeregi utworzone z kolumn a mn = v n n N to szereg iterowany v n = m= µ a mn jest także zbieżny i ma tę samąsumę co szereg m= podwójny. 6.5. okazać na przykładzie szeregu m a mn dla którego s mn = m= mn (m+n) że twierdzenie odwrotne do zad. 6.4 nie zachodzi. 6.6. okazać że szereg podwójny a mn dla którego m s mn = m + n sin πm πn sin jest zbieżny i jego suma jest równa zeru natomiast rozbieżne są szeregi iterowane.

4 SZEREGI LICZBOWE 7. Iloczyny nieskończone 7.. Na podstawie definicji zbadać zbieżność iloczynów nieskończonych: a) ³ Π + n(n+) b) n Π n+ c) n+ Π n d) n Π n n= e) n Π 3 n n= 3 + f) π Π cos. n+ 7.. Udowodnić warunek konieczny zbieżności iloczynu nieskończonego. Q Jeżeli iloczyn nieskończony a n jest zbieżny to lim a n =. n 7.3. okazać że warunek z zad. 7. nie jest warunkiem dostatecznym zbieżności iloczynu nieskończonego. 7.4. Udowodnić następujące kryterium Cauchy ego o iloczynach nieskończonych. Q Iloczyn nieskończony a n gdziea n 6=0dla wszystkich n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy (n >m>δ) a m a m+... a n < ε. ε>0 δ n m N 7.5. Udowodnić że iloczyn Π a n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy zbieżny jest szereg ln a n. rzy tym jeśli s jest sumą szeregu to wartość iloczynu jest równa p = e s ; jeśli p jest wartością iloczynu to suma powyższego szeregu wynosi s =lnp. 7.6. Udowodnić że iloczyn nieskończony Π ( + b n ) gdzie b n > 0 dla wszystkich n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy b n < oraz rozbieżny do wtedy i tylko wtedy gdy b n =. 7.7. Niech (b n ) będzie malejącym ciągiem zbieżnym do zera. Udowodnić że iloczyn nieskończony Π ( + ( ) n b n ) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy zbieżny jest szereg b n. 7.8. Udowodnić że każdy bezwzględnie zbieżny iloczyn nieskończony jest zbieżny.

Iloczyny nieskończone 43 7.9. Udowodnić że iloczyn nieskończony Π ( + b n ) jest bezwzględnie zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy szereg b n jest bezwzględnie zbieżny. 7.0. Zbadać zbieżność iloczynów nieskończonych: a) Π ( + n n) b) Π n= n n +5 n c) Π n n + n n! n n d) Π + n + n e) Π cos n f) Π + n p g) ³ Π + ( )n+ n+ h) ³ Π + ( )n+ n p i) ³ Π + n ( )n+ j) ³ Π + ( )n. n (n+)

Rozdział 4 RZESTRZENIE METRYCZNE. rzestrzenie metryczne. Iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych.. Wykazać że zbiór X 6= φ z funkcją ρ : X X R spełniającą następujące warunki: a) ρ ( y) =0 = y y X b) ρ ( y) ρ ( z)+ρ (yz) yz X jest przestrzenią metryczną... Udowodnić że dla dowolnych różnych punktów y w przestrzeni metrycznej (X d) istnieją kule K i K takie że K y K i K K = φ..3. Czy zbiór liczb rzeczywistych R z funkcją d określonąwzorem d ( y) = 3 y dla y R jest przestrzenią metryczną?.4. okazać że zbiór R z funkcją d określonąwzorem d ( y) =ma{ y y } dla =( ) y =(y y ) jest przestrzenią metryczną. Znaleźć postać kul otwartych w tej przestrzeni..5. Wykazać że zbiór R z funkcją d określonąwzorem d ( y) =ma{ y 3 y } dla =( ) y =(y y ) jest przestrzenią metryczną. Znaleźć postać kul otwartych w tej przestrzeni.

rzestrzenie metryczne. Iloczyn kartezjańskiprzestrzeni metrycznych 45.6. Wykazać że zbiór R z funkcją d określonąwzorem d ( y) = y + y dla =( ) y =(y y ) jest przestrzenią metryczną. Znaleźć postać kul otwartych w tej przestrzeni..7. Niech m będzie zbiorem wszystkich ograniczonych ciągów liczb rzeczywistych. Wykazać że m jest przestrzenią metryczną zmetryką d określonąwzorem d ( y) =sup{ n y n : n N} dla ( n ) (y n ) m. Oznaczamy jąteż symbolem l..8. Niech s będzie zbiorem wszystkich ciągów liczb rzeczywistych. Wykazać że s jest przestrzenią metrycznązmetryką d określonąwzorem X d ( y) = n n y n + n y n..9. Niech (X d ) (X d ) będą dwiema przestrzeniami metrycznymi. Wykazać że X = X X jest przestrzenią metryczną zmetryką d określonąnastępująco: d ( y) =d ( y )+d ( y ) dla ( ) (y y ) X..0. Niech (X d ) (X d ) będą dwiema przestrzeniami metrycznymi. Wykazać że X = X X jest przestrzenią metryczną zmetryką d określonąnastępująco: d ( y) =ma{d ( y ) d ( y )} dla ( ) (y y ) X... W zbiorze liczb naturalnych N określamy funkcję d wzorem d (n m) = n m. Czy (Nd) jest przestrzenią metryczną?.. Czy funkcja d określona w zbiorze X =[0 ] wzorem: y gdy y W d ( y) = gdy y/ W jest metryką?

46 RZESTRZENIE METRYCZNE. Zbiory otwarte i domknięte.. Dla danego zbioru ½ A jego wnętrze definiujemy ¾ jako Int(A) = X : K ( r) A. Wykazać że wnętrze zbioru r>0 A jest sumą wszystkich zbiorów otwartych przestrzeni (X d) zawartych w A... Udowodnić że wnętrze zbioru A jest największym zbiorem otwartym zawartym w A..3. Dowieść że A jest otwartym zbiorem w przestrzeni metrycznej (X d) wtedy i tylko wtedy gdy Int(A) =A..4. Dowieść że dla każdego zbioru A w przestrzeni metrycznej (X d) Int(A) =X \ (X \ A)..5. Udowodnić żea jest domkniętym zbiorem przestrzeni metrycznej (X d) wtedy i tylko wtedy gdy Ā = A..6. Udowodnić że a) A B Int(A) Int(B) b) Int(A B) =Int(A) Int(B) c) Int(Int(A)) = IntA..7. Udowodnić że a) A B Ā B b) (A B) =Ā B c) Ā = Ā..8. Udowodnić że dla dowolnego zbioru A w przestrzeni metrycznej (X d) spełniona jest następująca inkluzja ³ Int Int(A) Int Ā której nie można zastąpić znakiem równości..9. Udowodnić że dla dowolnej rodziny (A t ) t T podzbiorów przestrzeni metrycznej (X d) spełnione są inkluzje:

Ciagi Cauchy ego w przestrzeniach metrycznych. rzestrzenie metryczne zupełne 47 a) T t T b) S t T A t T t T Ā t S t T Ā t A t. okazać że inkluzji tych nie można zastąpićrównościami. 3. Ciagi Cauchy ego w przestrzeniach metrycznych. rzestrzenie metryczne zupełne 3.. Udowodnić że każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej posiada dokładnie jednągranicę. 3.. Udowodnić że każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ograniczony. 3.3. Udowodnić że każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej spełnia warunek Cauchy ego. 3.4. Udowodnić że każdy ciąg Cauchy ego w przestrzeni metrycznej posiadający podciąg zbieżny jest zbieżny. 3.5. Niech w przestrzeni metrycznej będą danedwaciągi ( n ) i (y n ) zbieżne do punktu a. Wykazać że ciąg (z n ) taki że z n = n z n = y n jest zbieżnydopunktua. 3.6. Niech w zbiorze X =[0 ] będzie metryka d określona następująco y gdy y W lub y R \ W d ( y) = + y w przeciwnym wypadku. Czy jest to przestrzeń zupełna? 3.7. Czy przestrzeni R zmetryką d określonąwzorem d ( y) = y + y dla =( ) y =(y y ) jest zupełna? 3.8. Czy przestrzeń R zmetryką d określonąwzorem d ( y) =ma{ y y } dla =( ) y =(y y ) jest zupełna? 3.9. Udowodnić że każda przestrzeń metryczna skończona jest zupełna. 3.0. Wykazać że jeżeli przestrzenie metryczne (X d ) i (X d ) są zupełne to

48 RZESTRZENIE METRYCZNE X = X X zmetryką d określonąwzorem q d ( y) = [d ( y )] +[d ( y )] dla = ( ) y =(y y ) jest zupełna. 3.. Czy przestrzeń l z zad..7 jest zupełna? 3.. Czy przestrzeń s z zad..8 jest zupełna? 3.3. Czy przestrzeń (Nd) z zad.. jest przestrzenią metrycznązupełną? 4. Zbiory zwarte i zbiory spójne. rzestrzenie metryczne ośrodkowe 4.. Udowodnić że każdy domknięty podzbiór przestrzeni metrycznej zwartej jest zwarty. 4.. Udowodnić że każdy zbiór zwarty w przestrzeni metrycznej jest podzbiorem domkniętym tej przestrzeni. 4.3. Udowodnić że każda przestrzeń metryczna zwarta jest ograniczona. 4.4. (Twierdzenie Cantora). Udowodnić że zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej zwartej ma niepusty przekrój. 4.5. Udowodnić że każda przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna. 4.6. Czy przestrzeń R zmetryką d określonąwzorem d ( y) =min{ ma { y y }} dla =( ) y =(y y ) jest zwarta? 4.7. Czy przestrzeń liczb naturalnych N (patrz zad..) z metryką d określonąwzorem d (n m) = n m jest zwarta? 4.8. Czy przestrzeń m ograniczonych ciągów liczb rzeczywistych (patrz zad..7) zmetryką d określonąwzorem d ( y) =sup{ n y n : n N} dla =( n ) y=(y n ) jest zwarta?

Zbiory zwarte i zbiory spójne. rzestrzenie metryczne ośrodkowe 49 4.9. Czy przestrzeń s ciągów liczb rzeczywistych (patrz zad..8) z metryką d określonąwzorem X d ( y) = n n y n + n y n dla ( n) y=(y n ) jest zwarta? 4.0. Niech (X d) będzie przestrzenią metryczną zwartą. Czy (X d ) gdzie d jest metryką określonąwzorem d ( y) = d ( y) dla y X +d ( y) jest przestrzeniązwartą. 4.. Wykazać żezkażdego otwartego pokrycia przestrzeni metrycznej zwartej (X d) można wybrać pokrycie skończone. 4.. Udowodnić że przestrzeń metryczna jest spójna wtedy i tylko wtedy gdy nie istnieją dwa niepuste rozłączne zbiory domknięte których suma jest całą przestrzenią. 4.3. Udowodnić że przestrzeń metryczna jest spójna wtedy i tylko wtedy gdy nie istnieje niepusty właściwy podzbiór otwarty i domknięty w tej przestrzeni. 4.4. Udowodnić że niejednoelementowa przestrzeń metryczna spójna nie posiada punktów izolowanych. 4.5. Niech (X d) będzie przestrzenią metryczną spójną. W zbiorze X określmy metrykę d następująco: d ( y) =min{d( y)} dla y X. Udowodnić że przestrzeń (X d ) jest spójna. 4.6. Niech (X d) będzie przestrzenią metrycznąspójną. Wykazać że (X d ) gdzie d jest określona następująco: d d ( y) ( y) = dla y X +d ( y) jest przestrzenią metryczną spójną. 4.7. Czy przestrzeń [0 ] zmetryką d (patrz zad..) określonąwzorem: y gdy y W d ( y) = gdy y/ W jest spójna?

50 RZESTRZENIE METRYCZNE 4.8. Czy zbiór E =[(R \ W ) W ] [W (R \ W )] jest spójny na płaszczyźnie R z naturalnąmetryką? 4.9. Udowodnić że jeżeli A jest zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X d) to (A d) jest przestrzenią metrycznąośrodkową. 4.0. Udowodnić że podprzestrzeń przestrzeni metrycznej ośrodkowej jest przestrzeniąośrodkową. 4.. Czy przestrzeń R zmetryką d określonąwzorem d ( y) =min{ ma { y y }} dla =( ) y=(y y ) jest ośrodkowa? 4.. Udowodnić że jeżeli (X d ) i (X d ) są przestrzeniami metrycznymi ośrodkowymi to (X d) gdzie X = X X i q a) d ( y) = [d ( y )] +[d ( y )] b) d ( y) =ma{d ( y ) d ( y )} dla =( ) y=(y y ) jest przestrzeniąośrodkową. 4.3. Czy przestrzeń (Nd) gdy metryka d jest określona wzorem d (n m) = n m jest ośrodkowa? 4.4. Czy przestrzeń l wszystkich ciągów ograniczonych z metryką d określonąwzorem d ( y) = sup{ n y n : n N} dla = ( n ) y =(y n ) jest ośrodkowa? 4.5. Czy przestrzeń s wszystkich ciągów liczb rzeczywistych z metryką d określonąwzoremd ( y) = n n y n + n y n dla =( n) y=(y n ) jest ośrodkowa? 4.6. Udowodnić że jeśli (X d) jest przestrzenią metryczną ośrodkową to (X d )gdzie a) d ( y) = d(y) +d(y) b) d ( y) =α d ( y) gdzie α jest liczbą rzeczywistą dodatnią c) d ( y) =min{d( y)} dla y X jest przestrzenią metrycznąośrodkową.

Twierdzenie Banacha o punkcie stałym 5 5. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym 5.. Korzystając z ciągu kolejnych przybliżeńrozwiązać równanie 0 3 +0 =0 z dokładnościądo0 000. 5.. Wykazać że równanie = 3 π cos posiada dokładnie jedno rozwiązanie R. 6. rzestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha 6.. Wykazać że a) zbiór R z normą = dla R s k b) zbiór R k z normą = i dla =(... k ) R k i= są przestrzeniami Banacha. 6.. Wykazać że a) zbiór m ograniczonych ciągów liczb rzeczywistych b) zbiór c zbieżnych ciągów liczb rzeczywistych c) zbiór c 0 zbieżnych do zera ciągów liczb rzeczywistych są przestrzeniami Banancha z normą =sup{ t n : n N} dla =(t n ). 6.3. Czy przestrzeń R znormą = + dla =( ) jest przestrzenią Banacha? 6.4. Czy przestrzeń R z normą =ma{ } dla =( ) jest przestrzenią Banacha? 6.5. Czy zbiór s ciągów liczb rzeczywistych z normą X = k= k jest przestrzenią Banacha? t k + t k dla =(t k)

5 RZESTRZENIE METRYCZNE 7. rzestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta 7.. Wykazać że przestrzeń R k z iloczynem skalarnym określonym wzorem (/y) = k i y i dla =(... k ); y =(y y... y k ) jest przestrzeniąhilberta. i= 7.. Wykazać że norma w przestrzeni unitarnej spełnia następującą identyczność równoległoboku 7.3. Wykazać że przestrzenie: + y + y = + y. a) przestrzeńciągów ograniczonych m b) przestrzeńciągów zbieżnych c c) przestrzeńciągów zbieżnych do zera znormą =sup{ n : n N} nie są przestrzeniami unitarnymi.

Rozdział 5 GRANICA I CIAGŁOŚĆ FUNKCJI. Granica odwzorowania.. Udowodnić że jeżeli Y jest przestrzenią metryczną zupełną to na to by g Y było granicą odwzorowania f : E Y (E X X przestrzeń metryczna) w punkcie 0 ( 0 punkt skupienia zbioru E) potrzeba i wystarcza by był spełniony następujący warunek Cauchy ego 0 <dx 0 0 < δ 0 <dx 00 0 < δ ε>0 δ>0 0 00 E d Y f 0 f 00 < ε... Niech X Y Z będą danymi przestrzeniami metrycznymi i niech będą dane odwzorowania f : D f D g i g : D g Z gdzie D f X i D g Y. Jeżeli 0 jest punktem skupienia zbioru D f lim f () =y 0 0 oraz istnieje otoczenie U punktu 0 takie że ) f () 6= y 0 dla U \{ 0 } a y 0 jest punktem skupienia zbioru D g i lim g (y) =z 0 to y y0 lim g (f ()) = z 0. 0 okazać że założenie ) jest istotne.. Granica właściwa funkcji w punkcie.. Korzystając z definicji granicy funkcji (i) wg Heinego (ii) wg Cauchy ego wykazać że a) lim (3 ) = b) lim 3 4 +5 = c) lim 3 + +5 + =3 d) lim 4+ = e) lim 3 +6=3 g) lim 0 a =a>0 f) lim a sin =sina h) lim e ln =.

54 GRANICA I CIAGŁOŚĆ FUNKCJI.. Wykazać że nie istnieją granice funkcji a) f () =sin w punkcie = b) f () =cos π w punkcie =0 c) f () = w punkcie =0..3. Obliczyć granice: a) lim 3 4 +3 4 c) lim k n e) lim g) lim 5 i) lim π 6 k) lim 0 (k n N) b) lim 3 4 3 +64 d) lim 3 5 4+8 f) lim +4 3 5+ 4 3+ h) lim sin +sin sin 3sin+ sin 6 + + 3+ 6 +3 3 3 3 3 + 5 + m) lim a ctg ctg a a (a 6= kπk C) n) lim 0 sin k sin n o) lim π sin k sin n (k n N) sin a j) lim 0 b (a b R b 6= 0) sin sin a l) lim a a (a R) p) lim r) lim 0 cos s) lim 0 cos π t) lim 0 tg a b (a b R b 6= 0) u) lim 0 tg k sin n w) lim k y) lim 0 sin tg π +k (k N) cos ( + ) tg sin ) lim 0 3 q z) lim cos 0. (k n N) (k n N)

Granice jednostronne i granice niewłaściwe 55 3. Granice jednostronne i granice niewłaściwe 3.. Korzystając z definicji granicy funkcji (i) wg Heinego (ii) wg Cauchy ego wykazać że: a) lim + = b) lim + c) lim = d) lim 0 e) lim + = f) lim g) lim 3 + + =+. 3.. Wykazać że a a) lim k k +a k k +...+a 0 b m m +b m m +...+b 0 = + = =+ sin + sin =0 dla k>m a k b m dla k = m a k 6=0b m 6=0 0 dla k<m dla a> b) lim a = 0 dla 0 <a< 0 dla a> c) lim a = dla 0 <a< d) lim log + dla a> a = dla 0 <a< dla a> e) lim log a = 0 + + dla 0 <a< f) lim + = lim + = e g) lim 0 ( + ) = e.

56 GRANICA I CIAGŁOŚĆ FUNKCJI 3.3. Wykazać że funkcja f () =E () R ma w dowolnym punkcie R granice jednostronne. 3.4. Wykazać że funkcja f () =sin R {0} nie ma granic jednostronnych w punkcie =0. 3.5. okazaćnaprzykładzie funkcji Dirichleta dla W f () = 0 dla R W że istnieją funkcje nie posiadające granic jednostronnych w żadnym punkcie. 3.6. Obliczyć granice jednostronne funkcji: a) f () = e w punkcie =0 e + b) f () =3 w punkcie = c) f () = tg π w punkcie = d) f () = cos w punkcie =0. 3.7. Wykazać że nie istnieją granice: a) lim tg 0 µ + 3+4 c) lim 3.8. Znaleźćnastępujące granice: b) lim cos d) lim 0 E(). a) lim 0 ln(+) b) lim 0 e (+) c) lim 0 p R cos d) lim 0 p R. 3.9. Obliczyć granice: a) lim b) lim ³ + + + + k m (k m N) d) lim c) lim e) lim 0 ( + 5) + 7 ³ 3 f) lim 0 ( 3) g) lim 0 ( + k) m (k m N) h) lim 0 ( + tg 3) ctg

Granice jednostronne i granice niewłaściwe 57 ³ i) lim +tg sin 0 +sin j) lim 5 k) lim 4 ln 0 3 l) lim 3 3 e e (+sin ) m) lim 3 ln cos 0 e 7 n) lim 0 cos o) lim (cos ) sin 0 e r) lim cos 0 s) lim t) lim E 0 u) lim E() + w) lim E( ++) (E()) +E()+ p) lim (ln ( + a) ln ) sin ) lim a +a a>0 y) lim ( +sin). 3.0. Niech f : E R (E R) i niech 0 będzie punktem skupienia zbioru E. Mówimy że f jest nieskończenie małą w punkcie 0 gdy lim f () =0. Jeżeli funkcje f i g są nieskończenie małe przy 0 0 oraz lim (i) 0 f() g() = c to f i g nazywamy nieskończenie małymi tego samego rzędu gdy 0 <c< ; (ii) f i g nazywamy równoważnymi gdy c =ipiszemy f () g () 0 (mówimy wtedy że f i g są asymptotycznie równe); (iii) f nazywamy nieskończenie małąwyższego rzędu w porównaniu z g gdy c =0ipiszemy f () =o (g ()) 0. a) odaćprzykłady funkcji nieskończenie małych b) podaćprzykłady funkcji równoważnych c) wykazać że przy 0 sin = + o () tg = + o () ln ( + ) = + o () e =+ + o () cos p = p + o ( + ) p =+p + o ().

58 GRANICA I CIAGŁOŚĆ FUNKCJI 3.. Wykazać że jeżeli f () f () 0 oraz g () g () 0 f to z istnienia granicy lim () f() 0 g () wynika istnienie granicy lim 0 g() oraz równość lim 0 f () g () =lim 0 f () g (). 3.. Korzystając z zad. 3. obliczyćnastępujące granice: a) lim sin + tg 3+3 0 ln(+3+sin )+e e cos sin b) lim 0 + c) lim 0 d) lim 0 e) lim f) lim 0 ln cos 4 + sin 3 ln(+3) (tg ) (e 3 ) ln( cos ) 0 ln (sin 3+) +sin 3 ln(+tg ) tg(tg ) sin(sin ) g) lim 0 tg sin. 4. Odwzorowania ciagłe 4.. Korzystając z definicji Heinego wykazaćciągłość funkcji a) f () = + w punkcie =4 b) f () =sin w punkcie = π c) f () = 3 w punkcie =. 4.. Korzystając z definicji Cauchy ego wykazaćciągłość funkcji: a) f () = + +3 w punkcie = b) f () =cos w punkcie = π c) f () = +4w punkcie =5

Odwzorowania ciagłe 59 dla < d) f () = dla w punkcie =. 4.3. Niech f : E R (E R) i niech 0 będzie punktem izolowanym zbioru E (tzn. 0 E i 0 nie jest punktem skupienia zbioru E). Wykazać że f jest ciągła w punkcie 0. 4.4. Korzystając z wniosku (5. [5]) wykazać ciągłość funkcji f w podanych punktach: sin 4 e a) f () = e dla 6= 0 w punkcie =0 b) f () = c) f () = d) f () = e) f () = dla =0 ln(+) e dla 6= 0 dla =0 ( ) sin dla 6= 0 dla = cos dla 6= 0 4 dla =0 e (+) dla 6= 0 dla = w punkcie =0 w punkcie = w punkcie =0 w punkcie =. lim + 0 lim 0 4.5. Funkcję f : E R (E R) nazywamy prawostronnie (lewostronnie) ciągłą wµ punkcie 0 E wtedy i tylko wtedy gdy istnieje granica lim + 0 f () lim 0 f () µ i zachodzi równość f () =f ( 0 ) f () =f ( 0 ). Wykazać że f jest ciągła w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy gdy jest ona lewostronnie i prawostronnie ciągła w tym punkcie.

60 GRANICA I CIAGŁOŚĆ FUNKCJI 4.6. Zbadaćciągłośćnastępujących funkcji: + dla [0 ] a) f () = 3 dla =3 sin dla 6= 0 b) f () = dla =0 sin dla 6= 0 c) f () = dla =0 sin dla 6= 0 d) f () = dla =0 cos dla 6= 0 e) f () = 0 dla =0 f) f () =E ( ) [0 ) g) f () =E () R E dla 6= 0 h) f () = dla =0 dla W i) f () = dla R W dla W j) f () = dla R W dla W k) f () = dla R W

Odwzorowania ciagłe 6 6 +7 dla W l) f () = dla R W dla W m) f () = 3 dla R W sin π dla W n) f () =. 0 dla R W 4.7. Wykazać że funkcja Riemanna 0 dla R W =0 f () = q dla = p q p C q N oraz p q względnie pierwsze jest ciągła wkażdym punkcie niewymiernym oraz w punkcie =0 aw pozostałych punktach jest nieciągła. 4.8. Jakąwartośćnależy nadać funkcji f w punkcie 0 aby była ona ciągław tym punkcie: a) f () = 5 + 0 =0 b) f () = 3 cos 0 =0 ln c) f () = e 0 = e d) f () = sin dla <0 ln(+) dla >0 0 =0. 4.9. Dobrać parametry a b c tak aby podane funkcje byłyciągłe: +sin sin 3 5 dla 6= 0 a).f () = a 0 5 dla =0 dla b) f () = + a + b dla >