1 Przestrzenie metryczne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Przestrzenie metryczne"

Transkrypt

1 1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność trójkąta) 3 o d(x, y) = 0 x = y. Gdy spełnione są jedynie warunki 1 o i 2 o, wtedy d nazywa się półmetryką. Parę (, d) nazywamy przestrzenią metryczną. Uwaga. Z definicji wynika, że zawsze d(x, y) 0. Definicja 1.2 (zbiór ograniczony) Niech (, d) - przestrzeń metryczna. Zbiór nazywamy ograniczonym, jeśli sup d(x, y) <. x, y Definicja 1.3 Przekształcenie f : Y, gdzie Y - przestrzeń metryczna nazywamy ograniczonym, jeśli obraz przekształcenia f() (zbiór wartości f) jest ograniczony. Zbiór przekształceń ograniczonych z przestrzeni do przestrzeni metrycznej (Y, d Y ) oznaczamy B(, Y ). Definicja 1.4 (metryka supremum) Niech f, g B(, Y ). Określamy: d(f, g) = sup d Y (f(x), g(x)) x Wtedy (B(, Y ), d) jest przestrzenią metryczną. W szczególności, gdy za Y przyjmiemy R z metryką euklidesową otrzymamy B(, R) - zbiór funkcji o wartościach rzeczywistych ograniczonych określonych na przestrzeni. Metryka przyjmuje wówczas postać: d(f, g) = sup f(x) g(x) x dla f, g B(, R). 1.1 Zbiory w przestrzeni metrycznej Definicja 1.5 (kula) Kulą (otwartą) o środku w punkcie p i promieniu r (ozn. K(p, r), B(p, r)) nazywamy zbiór: B(p, r) = {x : d(p, x) < r}. Definicja 1.6 (wnętrze zbioru) Niech. Punkt a nazywamy punktem wewnętrznym zbioru, jeśli istnieje kula o środku w tym punkcie zawarta w zbiorze. Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru nazywamy wnętrzem zbioru i oznaczamy int. Uwaga. Mamy oczywiście int dla każdego zbioru. Definicja 1.7 (zbiór otwarty) Zbiór U nazywamy otwartym, jeśli int U = U. Uwaga. Zbiór pusty traktujemy jako otwarty. 1

2 Stwierdzenie 1.8 Kula otwarta jest zbiorem otwartym w sensie powyższej definicji. Twierdzenie 1.9 Dla dowolnego zbioru zbiór int jest zbiorem otwartym. Twierdzenie 1.10 Suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Przecięcie skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Definicja 1.11 (otoczenie) Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty U taki, że x U. Definicja 1.12 (domknięcie zbioru) Punkt x nazywamy punktem skupienia zbioru jeśli dla każdego otoczenia U punktu x mamy: U \ {x} =. Jeśli x oraz x nie jest punktem skupienia zbioru to x nazywamy punktem izolowanym zbioru. Domknięciem zbioru nazywamy zbiór złożony z wszystkich jego punktów skupienia i punktów izolowanych i oznaczamy cl. Mamy oczywiście cl dla każdego zbioru. Definicja 1.13 (zbiór domknięty) Zbiór F nazywamy domkniętym jeśli cl F = F. Uwaga. Zbiór pusty traktujemy jako domknięty. Twierdzenie 1.14 Dla dowolnego zbioru zbiór cl jest zbiorem domkniętym. Twierdzenie 1.15 Niech. Wtedy otwarty wtedy i tylko wtedy gdy domknięty. = \ jest Definicja 1.16 (brzeg zbioru) Brzegiem zbioru nazywamy zbiór bd = cl \ int. Wniosek: Brzeg dowolnego zbioru jest zbiorem domkniętym (bo bd = cl ( \ int)). 2 Ciągi Definicja 2.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze nazywamy odwzorowanie x: N. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Uwaga. Przestrzeń wszystkich podzbiorów danego zbioru będziemy oznaczali jako P(). Definicja 2.2 (ciąg zbieżny) Niech (, d) będzie przestrzenią metryczną. Niech (x n ) będzie ciągiem z przestrzeni. Ciąg ten nazywamy zbieżnym jeśli istnieje x takie, że: ε>0 n0 N n>n0 x n K(x, ε) x spełniające powyższy warunek nazywamy granicą ciągu. Jeśli granica nie istnieje, ciąg nazywamy rozbieżnym. Stwierdzenie 2.3 Granica ciągu zbieżnego jest wyznaczona jednoznacznie. Stwierdzenie 2.4 Ciąg zbieżny jest ograniczony. 2

3 Definicja 2.5 (zbiór zwarty) Zbiór, (, d) - przestrzeń metryczna nazywamy zwartym, jeśli z każdego ciągu elementów zbioru można wybrać podciąg zbieżny do granicy w zbiorze. Definicja 2.6 (norma) - przestrzeń liniowa nad R (ogólnie nad ciałem K). Funkcja N : R + nazywa się normą, gdy dla t R, u, v spełnione są warunki: N(tu) = t N(u) (jednorodność) N(u) = 0 u = 0 (niezdegenerowaność) N(u + v) N(u) + N(v) (warunek trójkąta) Parę (, N) nazywamy przestrzenią unormowaną. Stwierdzenie 2.7 Norma definiuje metrykę: d(u, v) = N(u v). Mówimy, że jest to metryka indukowana przez normę. 3 Funkcje i zbiory Definicja 3.1 (obraz zbioru) Obrazem zbioru dla funkcji f : Y nazywamy zbiór {y Y : x y = f(x)} i oznaczamy przez f() lub f[]. Definicja 3.2 (obraz funkcji) Obrazem funkcji f : Y nazywamy obraz całego zbioru, czyli f(). Definicja 3.3 (przeciwobraz zbioru) Przeciwobrazem zbioru B Y dla funkcji f : Y nazywamy zbiór {x : f(x) B} i oznaczamy przez f 1 () lub f 1 []. Definicja 3.4 (różnowartościowość) Mówimy, że funkcja f : Y jest różnowartościowa (jest injekcją), jeśli dla każdego y f() istnieje dokładnie jeden x, taki że f(x) = y. Inaczej mówiąc: f jest różnowartościowa, jeśli zachodzi implikacja f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2. Definicja 3.5 (na) Mówimy, że funkcja f : Y jest na (jest suriekcją), jeśli dla każdego y Y istnieje x, taki że f(x) = y. Definicja 3.6 (bijekcja) Mówimy, że funkcja f : Y jest bijekcją, jeśli jest różnowartościowa i na. Definicja 3.7 (złożenie) Dane są funkcje f : Y oraz g : Y Z. Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję h: Z daną wzorem h(x) = g ( f(x) ) i oznaczamy h = g f. Definicja 3.8 (funkcja odwrotna) Dana jest funkcja f : Y. Funkcją odwrotną do f nazywamy funkcję g : Y (o ile istnieje) spełniającą zależności f g = id oraz g f = id Y, gdzie id Z jest funkcją identycznościową na zbiorze Z. Funkcję odwrotną oznaczamy g = f 1. Uwaga. Funkcja odwrotna do f istnieje wtedy i tylko wtedy gdy f jest bijekcją. Definicja 3.9 (suma) Dana jest rodzina (zbiór) podzbiorów { i } i I przestrzeni. Sumą zbiorów i nazywamy zbiór = {x : i I x i } i oznaczamy = i I i. Definicja 3.10 (przecięcie) Dana jest rodzina podzbiorów { i } i I przestrzeni. Przecięciem (częścią wspólną) zbiorów i nazywamy zbiór = {x : i I x i } i oznaczamy = i. i I 3

4 4 Ciągi funkcyjne Definicja 4.1 (zbieżność punktowa) Ciąg funkcji f n : R jest zbieżny punktowo na zbiorze do funkcji f : R jeśli: x f n (x) f(x) dla n Definicja 4.2 (zbieżność jednostajna) Niech f, f n B(, R) dla n N. Ciąg funkcji f n jest zbieżny jednostajnie do funkcji f ((f n f) jeśli jest zbieżny w sensie normy supremum, tzn: f f n sup 0 Wniosek: ciąg funkcji ograniczonych zbieżny jednostajnie jest zbieżny punktowo. Implikacja przeciwna nie zachodzi!!! Uwaga. Powyższe definicje można w sposób oczywisty uogólnić na przypadek funkcji których zbiorem wartości jest dowolna przestrzeń metryczna. Twierdzenie 4.3 Jeśli ciąg funkcji ciągłych f n jest zbieżny jednostajnie na zbiorze do funkcji f, to funkcja graniczna f jest ciągła na. Wniosek. W wielu sytuacjach ułatwia to badanie zbieżności - jeśli funkcje f n są ciągłe, a funkcja graniczna jest nieciągła, wtedy od razu wiemy, że zbieżność nie jest jednostajna. Uwaga. Implikacja przeciwna nie zachodzi - mimo że funkcja graniczna jest ciągła, zbieżność może nie być jednostajna. 4.1 Szeregi funkcyjne Definicja 4.4 Niech dany będzie ciąg funkcyjny f n, gdzie f n : R. Oznaczmy przez S k funkcję k S k (x) = f i (x) i=1 Dla szeregu S(x) = i=1 f i (x) pojęcia zbieżności punktowej i jednostajnej definiujemy jak powyżej wykorzystując ciąg funkcyjny S k (x), przy czym szereg S(x) jest określony na zbiorze tych x dla których jest on zbieżny jako szereg liczbowy. Uwaga. Z twierdzenia (4.3) można otrzymać, że suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą wewnątrz koła zbieżności. 5 Ciągłość odwzorowań Definicja 5.1 (granica odwzorowania) Niech (, d ), (Y, d Y ) przestrzenie metryczne,. Mówimy że odwzorowanie f : Y ma w punkcie x 0 granicę y 0, jeśli dla każdego ciągu x n elementów dziedziny zbieżnego do x 0 mamy f(x n ) y 0. Definicja 5.2 (ciągowa definicja ciągłości (wg Heinego)) Niech (, d ), (Y, d Y ) przestrzenie metryczne,. Mówimy, że odwzorowanie f : Y jest ciągłe w punkcie x 0, jeśli dla każdego ciągu x n elementów dziedziny zbieżnego do x 0 ciąg f(x n ) jest zbieżny do f(x 0 ). 4

5 Definicja 5.3 (otoczeniowa definicja ciągłości) Niech (, d ), (Y, d Y ) przestrzenie metryczne,. Mówimy, że odwzorowanie f : Y jest ciągłe w punkcie x 0, jeśli dla każdego otoczenia U punktu f(x 0 ) przeciwobraz f 1 (U) jest zbiorem otwartym w przestrzeni. Definicja 5.4 (epsilonowa definicja ciągłości (wg Cauchy ego)) Niech (, d ), (Y, d Y ) przestrzenie metryczne,. Mówimy, że odwzorowanie f : Y jest ciągłe w punkcie x 0, jeśli zachodzi: ε>0 δ>0 x d (x, x 0 ) < δ d Y (f(x), f(x 0 )) < ε Uwaga. Definicje 2.2, 2.3 i 2.4 są równoważne. Odwzorowanie ciągłe w każdym punkcie dziedziny nazywamy odwzorowaniem ciągłym. Zbiór przekształceń ciągłych z w Y oznaczamy przez C(, Y ). Stwierdzenie 5.5 Niech (, d ), (Y, d Y ), (Z, d Z ) będą przestrzeniami metrycznymi oraz odwzorowania f : Y, g : Y Z są ciągłe. Wówczas złożenie g f : Z jest ciągłe. Stwierdzenie 5.6 Niech f, g : R n R k będą ciągłe. Wówczas f + g, f g, f g są ciągłe. f g jest funkcją ciągłą w punktach, gdzie g 0. Stwierdzenie 5.7 Funkcja stała, funkcje potęgowe x p (dla p 0), sin(x), cos(x), e x, ln(x) są ciągłe w swoich dziedzinach. Uwaga. Powyższe stwierdzenia pozwalają łatwo wykazać ciągłość np. ln(x 2 3x + 2) cos(e x ). 6 Różniczkowanie odwzorowań Przyjmijmy następujące oznaczenia: (, ), (Y, Y ) - przestrzenie liniowe unormowane (u nas najczęściej R n i R k ), G - podzbiór otwarty, p G, f : G Y. Definicja 6.1 (pochodna kierunkowa funkcji) Pochodną kierunkową odwzorowania f : G Y w punkcie p G w kierunku wektora h nazywamy granicę f h (p) = f h(p) = D h f(p) = lim t 0 1 (f(p + th) f(p)), t o ile istnieje i jest skończona. Wyrażenie występujące pod znakiem granicy rozważamy oczywiście dla tych t R, dla których p + th G. Przez e 1,..., e n oznaczamy bazę kanoniczną przestrzeni R n, tzn. e i = (}{{} 0,..., }{{} 1,..., }{{} 0 ) 1 i n Definicja 6.2 (pochodna cząstkowa) Pochodną cząstkową funkcji f w punkcie p względem i-tej zmiennej nazywamy pochodną kierunkową tej funkcji w punkcie p w kierunku e i o ile ona istnieje i oznaczamy f x i (p) = D xi f(p) = D i f(p) = f x i (p). Definicja 6.3 (pochodna funkcji (odwzorowania)) Pochodną funkcji f w punkcie p nazywamy odwzorowanie liniowe L L(, Y ) spełniające warunek: Oznaczamy je najczęściej L = Df(p). f(p + u) f(p) L(u) lim u 0 u 5 = 0.

6 Oznacza to, że: f(p + u) = f(p) + Lu + α(u), gdzie α(u) = o(u), tzn lim u 0 α(u) u = 0. Stwierdzenie 6.4 Jeśli funkcja jest różniczkowalna w p, to jest ciągła w tym punkcie. Twierdzenie 6.5 Niech G będzie otoczeniem punktu p. Wówczas, jeśli funkcja f jest różniczkowalna w p, to: a) przy każdym h istnieje pochodna kierunkowa f (p) oraz jest równa Df(p)h; h b) istnieją pochodne cząstkowe D i f(p) oraz: n Df(p)h = D i f(p)h i, gdzie h = (h 1,..., h n ) R n. i=1 Twierdzenie 6.6 (o różniczkowalności funkcji o ciągłych pochodnych cząstkowych) Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe funkcji f w otoczeniu punktu p istnieją i są ciągłe w p, to funkcja ta jest różniczkowalna w punkcie p. 6.1 Pochodna złożenia Twierdzenie 6.7 Niech G R m =, G 1 R n = Y, R k = Z, G jest otoczeniem punktu x 0, a G 1 otoczeniem punktu y 0. Niech f : G G 1 będzie odwzorowaniem różniczkowalnym w punkcie x 0, a g : G 1 Z odwzorowaniem różniczkowalnym w punkcie y 0 = f(x 0 ), gdzie Wówczas odwzorowanie g f jest różniczkowalne w punkcie x 0 oraz zachodzi wzór: D(g f)(x 0 ) = Dg(y 0 ) Df(x 0 ). Rozpiszmy powyższy napis przyjmijmy, że f = (f 1,..., f n ), gdzie f i : R dla i = 1,... n, g j : Y R, gdzie j = 1,... k. (W celu nie komplikowania zapisu przyjmujemy na chwilę, że odwzorowania te są określone na całych przestrzeniach, Y, Z.) Możemy wtedy zapisać, że: f 1 f x g 1 g x m y Df =....., Dg = y n..... f n g x 1... k y 1... Daje to na mocy twierdzenia: D(g f) = Jeśli teraz przyjmiemy, że to otrzymamy wzór: D(f g) = g 1 f n x m g 1 y n y g k y 1... [ ] (g f)i x j (g f) i x j = g k y n f 1 f 1 x m x f n x 1... f n x m i = 1,... k, j = 1..., m, n l=1 g i y l f l x j. W powyższych zapisach (żeby nie zaciemnianiać) pominęliśmy punkty w jakich liczone są pochodne cząstkowe i różniczki. 6 g k y n.

7 6.2 Twierdzenie o odwracaniu odwzorowań Definicja 6.8 Odwzorowanie F : G R n, gdzie G R k nazywamy klasy C 1, jeśli jest różniczkowalne, oraz odwzorowanie G x w h (x) = DF (x)h jest ciągłe dla każdego ustalonego h R k. Uwaga. Zbiór wszystkich odwzorowań klasy C 1 z w Y oznaczamy przez C 1 (, Y ). Twierdzenie 6.9 Na to by odwzorowanie F : G R n, F = (f 1, f 2,..., f n ), gdzie f i - funkcje rzeczywiste, i = 1, 2,..., n było klasy C 1 potrzeba i wystarcza, by istniały w G wszystkie pochodne cząstkowe D j f i, j = 1, 2,..., k i były w nim ciągłe. Definicja 6.10 (dyfeomorfizm) Odwzorowanie ϕ: U R n, gdzie U R n - zbiór otwarty, nazywa się dyfeomorfizmem, jeśli jest ono klasy C 1, jest nieosobliwe i różnowartościowe, a odwzorowanie ϕ 1 jest ciągłe. Twierdzenie 6.11 Jeśli ϕ: U V, ψ : V R k są dyfeomorfizmami, to ψ ϕ jest też dyfeomorfizmem ( U, V -podzbiory otwarte przestrzeni R k ). Definicja 6.12 Niech f : Y. Powiemy, że f jest lokalnie odwracalne w punkcie p, jeśli istnieje otoczenie U punktu p takie, że f obcięte do U jest odwracalne. Twierdzenie 6.13 Niech f : U R k będzie odwzorowaniem klasy C 1, gdzie U R k - zbiór otwarty. Wówczas, jeśli det Df 0, to: a) zbiór f(u) jest otwarty; b) odwzorowanie f zawężone do pewnego otoczenia punktu x 0 jest różnowartościowe. c) jeśli f jest różnowartościowe, to f 1 istnieje, jest klasy C 1 oraz zachodzi: gdzie y = f(x), x U. Df 1 (y) = (Df(x)) 1 Wniosek. Jeśli odwzorowanie ϕ: U R m klasy C 1, U R n jest nieosobliwe i różnowartościowe, to jest ono dyfeomorfizmem oraz ϕ 1 jest też dyfeomorfizmem. 6.3 Odwzorowania uwikłane Definicja 6.14 (odwzorowanie uwikłane) Niech będzie dane odwzorowanie f : U Y, gdzie U Y, = R n, Y = R m, oraz odwzorowanie ϕ: V Y, gdzie V. Jeśli f(x, ϕ(x)) = 0 dla każdego x V, to mówimy, że odwzorowanie f generuje odwzorowanie uwikłane ϕ: V Y. Twierdzenie 6.15 (o istnieniu) Przypuśćmy, że = R n, Y = R m, U podzbiór otwarty Y, f C 1 (U, Y ), f(x 0, y 0 ) = 0, f (x Y 0, y 0 ) I(Y, Y ). Wówczas istnieją otoczenia U 1 x 0 i U 2 y 0, takie że U 1 U 2 U, oraz funkcja ϕ C 1 (U 1, U 2 ) takie że: a) dla (x, y) U 1 U 2 mamy f(x, y) = 0 y = ϕ(x); b) dla x U 1 ϕ (x) = f Y (x, ϕ(x)) 1 f (x, ϕ(x)) 7

8 7 Pochodne wyższych rzędów Definicja 7.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech G R k oraz f : G R m. Wówczas, jeśli istnieje pochodna cząstkowa D j ( Di f ) (x 0 ), to nazywamy ją drugą pochodną cząstkową (pochodną cząstkową drugiego rzędu) odwzorowania f w punkcie x 0 względem i-tej i j-tej zmiennej i oznaczamy ją przez D j D i f(x 0 ), (i, j = 1,..., k). Inne stosowane oznaczenia: 2 f (x 0 ), lub f x x j x i x j (x 0 ). i Cząstkowe pochodne drugiego rzędu dla i j nazywa się pochodnymi mieszanymi. Pochodną D i D i f(x 0 ) oznaczamy również Di 2 f(x 0 ), lub 2 f (x 0 ). x 2 i Definicja 7.2 (Pochodna drugiego rzędu) Odwzorowanie f o wartościach w R m określone w otoczeniu G punktu x 0 R k nazywamy dwukrotnie różniczkowalnym w tym punkcie, jeśli: 1) jest ono różniczkowalne w każdym punkcie pewnego otoczenia punktu x 0 ; 2) przy każdym ustalonym h R k odwzorowanie (określone w pewnym otoczeniu punktu x 0, o wartościach w R m ) x Df(x)h jest różniczkowalne w punkcie x 0. Wówczas dwuliniowe (liniowe ze względu na każdą z dwóch współrzędnych oddzielnie) odwzorowanie: (h, h) D(Df(x)h)h określone na produkcie R k R k ( o wartościach w R m ) nazywamy pochodną drugiego rzędu odwzorowania f w punkcie x 0 i oznaczamy D 2 f(x 0 ). Twierdzenie 7.3 Warunkiem dostatecznym dwukrotnej różniczkowalności odwzorowania f w punkcie x 0 jest istnienie w pewnym otoczeniu punktu x 0 ciągłych pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu oraz istnienie w pewnym otoczeniu tego punktu drugich pochodnych cząstkowych i ich ciągłość w punkcie x 0. Twierdzenie 7.4 Jeśli odwzorowanie f jest dwukrotnie różniczkowalne w punkcie x 0, to istnieją drugie pochodne cząstkowe D j D i f(x 0 ) (i, j = 1,..., k) oraz zachodzi wzór D 2 f(x 0 )h h = dla dowolnych h = (h 1,..., h k), h = (h 1,..., h k ) k i,j=1 h jh i D j D i f(x 0 ) Twierdzenie 7.5 (Schwarza o symetrii drugiej pochodnej) Jeśli odwzorowanie f jest dwukrotnie różniczkowalne w punkcie x 0, to pochodna jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym, tzn. dla dowolnych h, h R k zachodzi: D 2 fhh (x 0 ) = D 2 fh h(x 0 ), w szczególności: D i D j f(x 0 ) = D j D i f(x 0 ). Twierdzenie 7.6 (Wzór Taylora) Jeśli odwzorowanie f jest n-krotnie różniczkowalne (przy danym n N) w punkcie x 0, to zachodzi wzór: f(x 0 + h) = f(x 0 ) + 1 1! Df(x0 )h n! Dn f(x 0 )h n + α(h) gdzie α(h) = o(h n ), tzn lim h 0 α(h) h n = 0. 8

9 8 Moce zbiorów Definicja 8.1 Zbiory i B nazywamy równolicznymi (tej samej mocy), jeśli istnieje bijekcja f : B. Piszemy wtedy: = B lub B. Zbiór ma co najwyżej tyle elementów co zbiór B, jeśli istnieje podzbiór C zbioru B równoliczny ze zbiorem. Piszemy wtedy: B. Twierdzenie 8.2 Dla dowolnych zbiorów i B następujące warunki są równoważne: (i) B (ii) istnieje funkcja różnowartościowa ze zbioru w zbiór B (iii) istnieje funkcja ze zbioru B na zbiór. Twierdzenie 8.3 (Cantor Bernstein) Dla dowolnych zbiorów i B, jeśli B i B, to = B. Definicja 8.4 Powiemy, ze zbiór ma mniej elementów niż B, gdy zachodzi B oraz zbiory i B nie są równoliczne. Definicja 8.5 Powiemy, że zbiór jest zbiorem skończonym jeśli jest on zbiorem pustym lub istnieje liczba naturalna n N taka, że {1, 2,..., n}. W takim przypadku mówimy, że zbiór ma n elementów. Zbiór, który nie jest skończony nazywamy nieskończonym. Zbiór nazywamy przeliczalnym jeśli jest on równoliczny ze zbiorem licz naturalnych. Piszemy wtedy = ℵ 0. Zbiór nazywamy co najwyżej przeliczalnym, jeśli jest on skończony lub przeliczalny. Zbiór nazywamy nieprzeliczalnym jeśli nie jest on zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Twierdzenie 8.6 Podzbiór zbioru skończonego, suma oraz iloczyn kartezjański skończenie wielu zbiorów skończonych jest zbiorem skończonym. Twierdzenie 8.7 Każdy zbiór zawierający zbiór przeliczalny jest zbiorem nieskończonym. Każdy zbiór nieskończony, zawiera zbiór przeliczalny. Wniosek. by wykazać, że dany zbiór nieskończony jest przeliczalny, wystarczy ustawić jego elementy w ciąg. Twierdzenie 8.8 Zbiór wszystkich podzbiorów skończonych zbioru mocy ℵ 0 jest mocy ℵ 0. Twierdzenie 8.9 Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Wniosek. Zbiór liczb całkowitych Z jest zbiorem przeliczalnym. Twierdzenie 8.10 Przeliczalne suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Twierdzenie 8.11 Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym Wniosek. Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem przeliczalnym (jako nieskończony podzbiór zbioru przeliczalnego - iloczynu kartezjańskiego Z Z). 9

10 Twierdzenie 8.12 Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym Twierdzenie 8.13 Zbiór liczb rzeczywistych R nie jest zbiorem przeliczalnym. Definicja 8.14 Zbiory równoliczne ze zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy zbiorami mocy continuum. Twierdzenie 8.15 Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru przeliczalnego jest mocy continuum. Twierdzenie 8.16 Zbiór wszystkich nieskończonych ciągów o wartościach w zbiorze mocy continuum jest mocy continuum. Wniosek. R n = R. Twierdzenie 8.17 Niech zbiór będzie zbiorem mocy continuum i niech S. wtedy, jeśli S < R, to \ S = R. Wniosek. Zbiór liczb niewymiernych jest mocy continuum. Twierdzenie 8.18 Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru mocy continuum ma moc większą niż continuum. 9 σ-ciała Definicja 9.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli M, to \ M; 3 o jeśli n M dla każdego n N, to n N n M. Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze. Z powyższych warunków wynikają łatwo następujące własności σ - ciała M: M jeśli J jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem, oraz j M dla każdego j J, to: a) j J j M; b) j J j M tzn. suma i przecięcie co najwyżej przeliczalnej rodziny zbiorów należących do σ-ciała M, należą do M; jeśli, B M, to \ B M. 10

11 Definicja 9.2 Jeśli M jest σ- ciałem w zbiorze, to parę (, M) nazywamy przestrzenią mierzalną. Stwierdzenie 9.3 Część wspólna rodziny σ-ciał w jest σ- ciałem w. Powyższe stwierdzenie uprawnia nas do wprowadzenia następującego pojęcia: Definicja 9.4 Niech R - pewna rodzina podzbiorów przestrzeni. σ-ciałem generowanym przez R w nazywamy część wspólną wszystkich σ-ciał w zawierających R i oznaczamy σ(r). σ(r) bywa nazywane również najmniejszym σ-ciałem w zawierającym rodzinę R. Definicja 9.5 (zbiory borelowskie) Zbiorami borelowskimi względem danej przestrzeni metrycznej nazywamy zbiory należące do σ-ciała w generowanego przez rodzinę O() wszystkich zbiorów otwartych w. Rodzinę wszystkich zbiorów borelowskich względem oznaczamy B(). 9.1 Miara Definicja 9.6 Niech (, M) - przestrzeń mierzalna. Miarą na σ-ciele M nazywamy funkcję µ: M R + (czyli funkcję, która każdemu zbiorowi z σ-ciała M przyporządkowuje liczbę nieujemną µ() skończoną lub równą + ) spełniającą dwa warunki: 1 o µ( ) = 0 (miara zbioru pustego równa się 0); 2 o µ ( n N n ) = n N µ( n ) dla każdego ciągu zbiorów n M parami rozłącznych (miara sumy ciągu zbiorów parami rozłącznych równa się sumie ich miar). Własność 2 o nazywamy przeliczalną addytywnością funkcji zbioru µ. Jeśli µ jest miarą na σ-ciele M w, to trójkę (, M, µ) nazywamy przestrzenią z miarą. Jeśli M i µ() = 0 to mówimy, że zbiór jest miary µ zero. Jeśli M i µ() < + to mówimy, że zbiór jest miary µ skończonej. Miara µ na σ-ciele M w nazywa się: skończona, jeśli µ() < + ; unormowana lub probabilistyczna, jeśli µ() = 1; półskończona lub σ-skończona, jeśli przestrzeń daje się przedstawić w postaci sumy przeliczalnej rodziny zbiorów miary µ skończonej; zupełna, jeśli z warunku B, B M, µ(b) = 0 wynika, że M (tzn. każdy podzbiór zbioru miary zero należy do M). Stwierdzenie 9.7 Niech µ będzie miarą na σ-ciele M. Wówczas: (i) jeśli J jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, oraz { j : j J} - rodziną zbiorów parami rozłącznych należących do M, to µ j j J = j J µ( j ); 11

12 (ii) jeśli zbiór jest miary µ skończonej, B, B M, to µ(b \ ) = µ(b) µ(); (iii) jeśli B (, B M), to µ() µ(b) (tzw. monotoniczność funkcji zbioru µ.) (iv) jeśli J jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, oraz { j : j J} - rodziną zbiorów należących do M, to µ µ( j ); j J j j J (v) suma przeliczalnej rodziny zbiorów miary µ zero jest zbiorem miary µ zero; (vi) jeśli n, ( n M), to µ( n ) µ(); (vii) jeśli n, ( n M), to µ( n ) µ(), przy dodatkowym założeniu, że zbiór 1 jest miary µ skończonej; 9.2 Miara Lebesgue a Definicja 9.8 Przedziałem w R k nazywamy zbiór P R k postaci: P = P 1... P k gdzie P i są przedziałami jednowymiarowymi. Objętością przedziału k- wymiarowego nazywamy iloczyn długości przedziałów jednowymiarowych określających ten przedział: P = P 1... P k. Definicja 9.9 Mówimy, że rodzina przedziałów {P j } j J jest pokryciem zbioru jeśli j J P j. Definicja 9.10 (k-wymiarowa miara zewnętrzna Lebesgue a) k-wymiarową miarą zewnętrzną Lebesgue a zbioru R k określamy: l k () = inf P n : P n przedziały w R k, n N Twierdzenie 9.11 Powyżej określona funkcja l k jest miarą zewnętrzną. P n. n N Twierdzenie 9.12 Miara zewnętrzna Lebesgue a dowolnego przedziału k-wymiarowego równa się jego objętości. Zbiory o mierze zewnętrznej Lebesgue a równej zero nazywamy zbiorami miary zero. Przez L(R k ) oznaczamy σ-ciało w przestrzeni R k generowane przez rodzinę wszystkich k-wymiarowych przedziałów i rodzinę wszystkich podzbiorów R k miary zero. σ-ciało L(R k ) nazywamy klasą podzbiorów przestrzeni R k mierzalnych w sensie Lebesgue a. Twierdzenie 9.13 a) Wszystkie podzbiory miary zero przestrzeni R k oraz wszystkie jej podzbiory borelowskie są mierzalne (tzn. należą do L(R k )); b) l k jest miarą na σ-ciele L(R k ); c) miara l k jest zupełna i σ-skończona. Twierdzenie 9.14 Iloczyn kartezjański zbiorów mierzalnych jest zbiorem mierzalnym. 12

13 10 Funkcje mierzalne Przez R będziemy oznaczali zbiór liczb rzeczywistych uzupełniony o dwa elementy:, +. Przyjmujemy, że przedziały (a, + >, <, a), a R są zbiorami otwartymi w R. Definicja 10.1 (funkcja mierzalna) Niech (, M) - przestrzeń mierzalna. Funkcję f : R nazywamy mierzalną względem σ-ciała M (lub krótko M-mierzalną), jeśli f 1 (G) M dla każdego zbioru G otwartego w R. Twierdzenie 10.2 Jeśli M oraz f : R, to następujące warunki są równoważne: a) funkcja f jest M-mierzalna; b) dla każdego przedziału P postaci P =<, a), a R zachodzi: f 1 (P ) M; (*) c) (*) zachodzi dla każdego przedziału P postaci P =<, a >, a R; d) (*) zachodzi dla każdego przedziału P postaci P = (a, + >, a R; e) (*) zachodzi dla każdego przedziału P postaci P =< a, + >, a R. Twierdzenie 10.3 Niech f : R - M - mierzalna, g : R R - ciągła. Wtedy złożenie g f jest M - mierzalne. Stwierdzenie 10.4 Jeśli funkcja f : R jest M-mierzalna, to a R zbiory {x : f(x) = a}, {x : f(x) a} są mierzalne. Twierdzenie 10.5 Jeśli funkcje f, g : R są M-mierzalne oraz suma f + g jest wykonalna (tzn. dla żadnego x liczby f(x) i g(x) nie są jednocześnie nieskończonościami różnych znaków), to jest ona funkcją mierzalną. Podobnie dla funkcji f g, f g, max{f, g}, min{f, g}. Definicja 10.6 Częścią nieujemną funkcji f nazywamy funkcję f + = max{f, 0}, a częścią niedodatnią f = max{ f, 0}. Stwierdzenie 10.7 Następujące warunki są równoważne: (i) f jest mierzalna; (ii) f + i f są mierzalne; (iii) f i jedna z funkcji f +, f jest mierzalna. Stwierdzenie 10.8 Niech (f n ) n N będzie ciągiem funkcji M-mierzalnych o wartościach w R określonych na przestrzeni. Wtedy zbiór = {x : lim f n (x)istnieje} jest mierzalny i granica n lim f n jest funkcją mierzalną. n 13

14 10.1 Konstrukcja całki Lebesgue a Uwaga. Mówiąc funkcja nieujemna mamy na myśli funkcję ze zbioru R o wartościach w R +. Definicja 10.9 Funkcją charakterystyczną zbioru nazywamy funkcję χ : R określoną wzorem: { 1 dla x χ (x) = 0 dla x / Definicja Funkcją prostą nazywamy funkcję o skończonym zbiorze wartości. Uwaga. Każdą funkcję prostą można przedstawić w następującej postaci: n f = a i χ i, gdzie i = {x : f(x) = a i } i=1 Twierdzenie Jeśli f jest nieujemną funkcją mierzalną, to istnieje niemalejący ciąg f n funkcji prostych nieujemnych i mierzalnych, takich że x lim f n (x) = f(x). n Definicja Niech f n = n i=1 a i χ i - nieujemna funkcja prosta mierzalna określona na zbiorze. Całką funkcji f względem miary µ nazywamy liczbę (skończoną lub nie): n f(x)dµ = a i µ( i ). i=1 Definicja Niech f -nieujemna, mierzalna funkcja, f n - ciąg nieujemnych mierzalnych funkcji prostych zbieżnych punktowo do f. Całką na zbiorze funkcji f względem miary µ nazywamy liczbę: f(x)dµ(x) = lim f n (x)dµ(x). n Definicja Niech f - funkcja mierzalna. Jeśli przynajmniej jedna z wielkości: f + (x)dµ(x); f (x)dµ(x) jest skończona, to całką funkcji f względem miary µ nazywamy: f(x)dµ(x) = f + (x)dµ(x) f (x)dµ(x). Definicja Funkcję mierzalną f nazywamy całkowalną w sensie Lebesgue a na zbiorze jeśli: f(x)dµ(x) jest skończona. Definicja Niech. Całkę na mierzalnym zbiorze funkcji f względem miary µ definiujemy: f(x)dµ(x) = f(x)χ (x)dµ(x) 14

15 11 Własności całki Lebesgue a Definicja 11.1 Niech (, µ) - przestrzeń mierzalna. Powiemy, że pewien warunek zachodzi µ - prawie wszędzie jeśli zachodzi on wszędzie na zbiorze poza zbiorem miary µ 0. Stwierdzenie 11.2 Całka funkcji mierzalnej po zbiorze miary zero jest równa 0. Stwierdzenie 11.3 Jeśli B =, to: f(x)dµ(x) = B tzn. jeśli obie strony istnieją to są równe. f(x)dµ(x) + B f(x)dµ(x), Stwierdzenie 11.4 Jeśli f = 0 µ - p.w. to dla każdego zbioru mierzalnego zachodzi: f(x)dµ(x) = 0. Stwierdzenie 11.5 Jeśli f = g µ - p.w., to dla każdego zbioru mierzalnego zachodzi: f(x)dµ(x) = g(x)dµ(x). Stwierdzenie 11.6 Jeśli f, g - całkowalne, f g µ-p.w. to f(x)dµ(x) g(x)dµ(x). Stwierdzenie 11.7 Funkcja mierzalna f jest całkowalna na wtedy i tylko wtedy gdy f jest całkowalna na. Ponadto zachodzi: f(x)dµ(x) f(x) dµ(x). Stwierdzenie 11.8 Jeśli f funkcja mierzalna, oraz istnieje funkcja g całkowalna na taka, że f g µ - p.w, to f jest całkowalna na. Stwierdzenie 11.9 Jeśli f, g -całkowalne to: a,b R (af(x) + bf(x))dµ(x) = a f(x)dµ(x) + b g(x)dµ(x). oraz f funkcje Twierdzenie (Lebesgue a o zbieżności monotonicznej) Niech f n mierzalne. Jeśli 0 f n f to : f n (x)dµ(x) = f(x)dµ(x). lim n Uwaga. Z tego twierdzenia najczęściej korzystamy chcąc wykazać rozbieżność całki granicznej. Twierdzenie (Lebesgue a o ograniczonej zbieżności) Jeśli f n, f - funkcje mierzalne, lim n f n = f (µ - p.w. na ) oraz istnieje g - całkowalna, taka że f n g (µ p.w. na ), to: f n (x)dµ(x) = f(x)dµ(x), lim n tzn. obie całki istnieją i są sobie równe. Twierdzenie Niech f będzie funkcją ograniczoną na [a, b]. Jeśli f jest całkowalna w sensie Riemanna na [a, b], to f jest mierzalna i całkowalna w sensie Lebesgue a na [a, b], oraz b f(x)dx = f(x)dl 1 (x). Uwaga. Czyli całka Lebesgue a jest ulepszeniem całki Riemanna. a [a,b] 15

16 11.1 Całki iterowane Definicja Niech dane będą przestrzenie mierzalne ( 1, M 1, µ 1 ), ( 2, M 2, µ 2 ). Najmniejsze σ-ciało zawierające rodzinę wszystkich zbiorów postaci 1 2, gdzie 1 M 1, 2 M 2 nazywamy σ-ciałem produktowym σ-ciał M 1 i M 2. Twierdzenie Niech dane będą przestrzenie mierzalne ( 1, M 1, µ 1 ), ( 2, M 2, µ 2 ). Oznaczmy przez M odpowiednie σ-ciało produktowe. Wtedy funkcja µ : M R + określona jako µ () = inf n : n = n 1 n 2, n i M i, n n N jest miarą zewnętrzną, która staje się miarą po ograniczeniu do σ-ciała produktowego M. Miarę tą nazywamy miarą produktową i oznaczamy µ = µ 1 µ 2. Przykład: Miara Lebesgue a: l n+m = l n l m. Twierdzenie (Fubiniego) Niech ( 1, M 1, µ 1 ), ( 2, M 2, µ 2 ), (, M, µ), gdzie = 1 2, M = M 1 M 2, µ = µ 1 µ 2 - odpowiednio σ - ciało i miara produktowa będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi. Jeśli funkcja f : R jest całkowalna na zbiorze względem miary µ, to dla prawie wszystkich punktów x 2 2 funkcja f(, x 2 ): 1 R jest mierzalna, funkcja f 2 : 2 R dana wzorem f 2 (x 2 ) = f(x 1, x 2 )dµ 1 (x 1 ) 1 jest mierzalna i określona µ 2 -p.w. na 2 oraz: f(x)dµ(x) = gdzie x = (x 1, x 2 ). 2 f 2 (x 2 )dµ 2 (x 2 ) Twierdzenie (kryterium całkowalności (Tonellego)) Przy powyższych oznaczeniach, jeśli jedna z poniższych całek iterowanych: ( ) ( ) f(x 1, x 2 ) dµ 1 (x 1 ) dµ 2 (x 2 ) lub f(x 1, x 2 ) dµ 2 (x 2 ) dµ 1 (x 1 ) jest skończona, to funkcja f jest całkowalna na zbiorze względem miary µ Całkowanie przez podstawienie Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie) Niech ϕ: G R k będzie dyfeomorfizmem, gdzie G - zbiór otwarty w R k i niech dany będzie zbiór E G oraz funkcja f określona na zbiorze ϕ(e). Wówczas: 1 o funkcja f jest całkowalna na zbiorze ϕ(e) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja (f ϕ)jϕ (Jϕ oznacza jakobian przekształcenia ϕ ) jest całkowalna na zbiorze E; 2 o jeśli funkcja f jest mierzalna, całkowalna (lub nieujemna) na ϕ(e), to zachodzi wzór : f = (f ϕ) Jϕ. ϕ(e) E 1 n N 16

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X. 1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II Zalecane podręczniki W. Krysicki, L. Włodarski naliza matematyczna w zadaniach, część I i II c Ł. Pawelec G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D.

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II Zalecane podręczniki W. Krysicki, L. Włodarski naliza matematyczna w zadaniach, część I i II c Ł. Pawelec G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D.

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem

Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)

Bardziej szczegółowo

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. 7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów 1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje

Bardziej szczegółowo

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5 Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową

Bardziej szczegółowo

7 Twierdzenie Fubiniego

7 Twierdzenie Fubiniego M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna - Zadania

Analiza Funkcjonalna - Zadania Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.

Bardziej szczegółowo

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji

Bardziej szczegółowo

Całka podwójna po prostokącie

Całka podwójna po prostokącie Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44 Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści

Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd. 5. - Warszawa, 2010 Spis treści Wstęp 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe 13 1. Zbiory 13 2. Działania na zbiorach 14 3. Produkty kartezjańskie 15 4. Relacje

Bardziej szczegółowo

1 Elementy analizy funkcjonalnej

1 Elementy analizy funkcjonalnej M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,

Bardziej szczegółowo

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy 5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue

Bardziej szczegółowo

Liczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej.

Liczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej. Pytania na egzaminie magisterskim dotyczą głównie zagadnień związanych z tematem pracy magisterskiej. Należy być przygotowanym również na pytania sprawdzające podstawową wiedzę ze wszystkich zaliczonych

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje wielu zmiennych

3. Funkcje wielu zmiennych 3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. 1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

Analiza I.2*, lato 2018

Analiza I.2*, lato 2018 Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Krzysztof Frączek Analiza Matematyczna II Wykład dla studentów II roku kierunku informatyka Toruń 2009 Spis treści 1 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf 9. Różniczkowanie. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą, to granice D + f(x) = lim sup t x + f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x t x f(t) f(x), t x f(t) f(x) f(t) f(x) D + f(x) = lim inf oraz D f(x) = lim inf

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004. Adam Jakubowski

Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004. Adam Jakubowski Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, styczeń 2004 Spis treści

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest

Bardziej szczegółowo

Wstęp do topologii Ćwiczenia

Wstęp do topologii Ćwiczenia Wstęp do topologii Ćwiczenia Spis treści Przestrzeń metryczna, metryka 2 Kule w przestrzeni metrycznej 2 3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych 4 4 Domknięcie, wnętrze i brzeg 6 5 Zbiory gęste, brzegowe

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Informacja o przestrzeniach Sobolewa Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością

Bardziej szczegółowo

Funkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki

Funkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki Funkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki Ostatnio poprawiłem 25 stycznia 2015 r. Nadeszła pora na całkowanie. Pierwsza rzecza jest zdefiniowanie

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu z Analizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki

Notatki do wykładu z Analizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki Notatki do wykładu z nalizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w Białymstoku 23 stycznia 2008 1 c Jarosław Kotowicz 2007 Spis

Bardziej szczegółowo

Zbiory liczbowe widziane oczami topologa

Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne

Bardziej szczegółowo

Elementy Teorii Miary i Całki

Elementy Teorii Miary i Całki Elementy Teorii Miary i Całki c Lech Drewnowski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. dama Mickiewicza w Poznaniu Poznań 2008 http://main2.amu.edu.pl/ drewlech/dydaktyka.html http://main2.amu.edu.pl/

Bardziej szczegółowo

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N 14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1 Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien

Bardziej szczegółowo

O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)

O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych) (niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012.

Matematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012. Matematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa 9 CZĘŚĆ I. WSTĘP DO MATEMATYKI 11 Wykład 1. Rachunek

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych

Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 8 IX AD MMXIII Streszczenie Celem pracy jest zaprezentowanie jednej z metod dowodzenia istnienia

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. 1. Podstawowe definicje

FUNKCJE. 1. Podstawowe definicje FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

Całki powierzchniowe w R n

Całki powierzchniowe w R n Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Analiza 4

Notatki do wykładu Analiza 4 Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego Grzegorz Plebanek Notatki do wykładu Analiza 4 Rozdział I: Funkcje na przestrzeniach metrycznych Wrocław 2004 O skrypcie Skrypt ten, traktowany łącznie

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów. Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F

Bardziej szczegółowo