Wstęp do topologii Ćwiczenia

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wstęp do topologii Ćwiczenia"

Transkrypt

1 Wstęp do topologii Ćwiczenia Spis treści Przestrzeń metryczna, metryka 2 Kule w przestrzeni metrycznej 2 3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych 4 4 Domknięcie, wnętrze i brzeg 6 5 Zbiory gęste, brzegowe i nigdzie gęste 7 6 Funkcje ciągłe 8 7 Przestrzeń ośrodkowa 9 8 Przestrzeń zupełna 0 9 Przestrzeń zwarta

2 Zestaw. Przestrzeń metryczna, metryka Zadanie.. Udowodnić, że z warunków metryki wynika jej nieujemność. Zadanie.2. Niech X oznacza dowolny niepusty zbiór. Czy funkcja d 0 : X X R określona wzorem d 0 (x, y) = gdy x y jest metryką w X? Zadanie.3. Czy podane funkcje są metrykami w zbiorze X = R? d 3 (x, y) = 3x y d 2 (x, y) = 2 x 2 y d (x, y) = minx, y} d 4 (x, y) = x + y d 5 (x, y) = x 2 + y 2 gdy x y x y gdy x, y Q x, y / Q d 6 (x, y) = x + y w przeciwnym przypadku Zadanie.4. Czy podane funkcje są metrykami w zbiorze X = R 2? d((x, y ), (x 2, y 2 )) = x x 2 + y + y 2 d e ((x, y ), (x 2, y 2 )) = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 d((x, y ), (x 2, y 2 )) = x x 2 + y y 2 d max ((x, y ), (x 2, y 2 )) = max x x 2, y y 2 } 0 gdy (x, y ) = (x 2, y 2 ) d p ((x, y ), (x 2, y 2 )) = x + y + x 2 + y 2 gdy (x, y ) (x 2, y 2 ) Renata Wiertelak

3 Zestaw 2. Kule w przestrzeni metrycznej Zadanie 2.. Niech X oznacza dowolny niepusty zbiór. Jakiej postaci są kule w przestrzeni (X, d 0 )?, jeśli d 0 funkcją określoną wzorem d 0 (x, y) = gdy x y. Zadanie 2.2. Czy funkcja określona wzorem d(n, k) = n k jest metryką w N? Jeśli jest, to narysuj kule K(, 2), K(5, 2), K(2, /5), K(3, 6 ). Zadanie 2.3. Jeśli (N, d) jest przestrzenią metryczną, gdy d(n, k) = + n+k gdy x y, to narysuj kule K(, 2), K(5, 2), K(2, /5), K(3, 6 ). Zadanie 2.4. Jeśli podane funkcje są metrykami w zbiorze X = R, to narysuj kule K(0, ), K(, 2), K(2, /5), K(3, 6 ). d nat (x, y) = x y x 2y 2 x 2 y ln( + x y ) maxx, y} x + y gdy x y x 2 + y 2 gdy x y x y gdy x, y Q x, y / Q x + y w przeciwnym przypadku Zadanie 2.5. Jeśli podane funkcje są metrykami w zbiorze X = R 2, to narysuj kule K((0, 2), ), K((0, 2), 3), K((2, ), 3), K((, 2), 3). d((x, y ), (x 2, y 2 )) = x x 2 + y + y 2 d((x, y ), (x 2, y 2 )) = 2 x x y + 3 y 2 d e ((x, y ), (x 2, y 2 )) = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 Renata Wiertelak 2

4 d((x, y ), (x 2, y 2 )) = x x 2 + y y 2 d((x, y ), (x 2, y 2 )) = 3 x x y y 2 d max ((x, y ), (x 2, y 2 )) = max x x 2, y y 2 } d((x, y ), (x 2, y 2 )) = max2 x x 2, 3 y y 2 } y y 2 gdy x = x 2 d rz ((x, y ), (x 2, y 2 )) = y + x x 2 + y 2 gdy x x 2 0 gdy (x, y ) = (x 2, y 2 ) d p ((x, y ), (x 2, y 2 )) = x + y + x 2 + y 2 gdy (x, y ) (x 2, y 2 ) Zadanie 2.6. Jeśli X = [0, ] z funkcją d: X X R określoną wzorem x y gdy x y Q 2 gdy x y / Q jest przestrzenią metryczną, to wyznacz kule K(0, ), K( 2, 4 ), K(, 2 )? Zadanie 2.7. Jeśli X = [0, ] z funkcją d: X X R określoną wzorem x y gdy x y / Q 2 gdy x y Q jest przestrzenią metryczną, to wyznacz kule K(0, ), K( 2, 4 ), K(, 2 )? Renata Wiertelak 3

5 Zestaw 3. Zbieżność w przestrzeniach metrycznych Zadanie 3.. Udowodnij, że ciąg zbieżny posiada dokładnie jedną granicę. Zadanie 3.2. Udowodnij, że jeśli ciąg (x n ) n N jest zbieżny do x 0, to każdy jego podciąg jest zbieżny do x 0. Zadanie 3.3. Udowodnij, że jeśli ciąg (x n ) n N x, y, x 2, y 2,... jest zbieżny do x 0 w metryce d. d n x 0 oraz (y n ) n N Zadanie 3.4. Udowodnij, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Zadanie 3.5. Udowodnij, że każdy ciąg Cauchy ego jest ograniczony. Zadanie 3.6. Niech X = N. Czy funkcja d: X X R określona wzorem d((n, m) = n m d n x 0, to ciąg jest metryką w X? Jeśli jest, to narysuj kule K(5, 2), K(2, /5), K(3, /3). Jak wygląda zbieżność w tej metryce? Zadanie 3.7. Podać przykład takiego ciągu (x n ) n N, który nie jest ciągiem Cauchy ego oraz spełnia warunek: a) d(x n, x 3n ) 0 b) d(x n, x n+ ) 0 c) d(x n, x n+k ) 0 n n k N n Zadanie 3.8. Wyznacz d nat (0, A), d nat (2, A), d 0 (0, A), d 0 (2, A), d nat (B, A), d 0 (B, A), gdy A = (5, 7), B = [0, ]. Zadanie 3.9. Udowodnij, że jeśli ciąg (x n ) n N d(a, x n ) d n d(a, x 0). d n x 0, oraz A X, to Zadanie 3.0. Czy z tego, że A (B C) wynika, że δ(a) δ(b) + δ(c)? Zadanie 3.. Która z podanych nierówności jest prawdziwa? Kiedy są one prawdziwe? d(a B) d(a) + d(b) d(a B) d(a) + d(b) Zadanie 3.2. Udowodnij, że dla dowolnych A, B zachodzi d(a B) d(a) + d(b) + dist(a, B). Renata Wiertelak 4

6 Zadanie 3.3. x + y gdy x y Czy podane ciągi są zbieżne w (R, d)? Czy są ciągami Cauchy ego w (R, d)? Jeśli są zbieżne, to podaj ich granicę. a)x n = 3n, b) x n = 3 n, c) x n = 2n n +, d) x n = 5 + n, e) x n = n + n Zadanie 3.4. x y gdy x, y Q x, y / Q x + y w przeciwnym przypadku Czy podane ciągi są zbieżne w (R, d)? Czy są ciągami Cauchy ego w (R, d)? Jeśli są zbieżne, to podaj ich granicę. a)x n = 2 3n, b) x n = 3, c) x n n = 2n n +, d) x n = n, e) x n = n Zadanie 3.5. d((x, y ), (x 2, y 2 )) = 0 gdy (x, y ) = (x 2, y 2 ) x + y + x 2 + y 2 gdy (x, y ) (x 2, y 2 ) Czy podane ciągi są zbieżne w (R 2, d)? Czy są ciągami Cauchy ego w (R 2, d)? Jeśli są zbieżne, to podaj( ich granicę. a)(x n, y n ) = 3n, ) ( 2n, b) (x 3 n n, y n ) = n +, 5 + ), n ( c) (x n, y n ) = n, n + ) ( ) 5 d) (x n, y n ) = 3 n n, 4n Zadanie 3.6. d((x, y ), (x 2, y 2 )) = y y 2 gdy x = x 2 y + x x 2 + y 2 gdy x x 2 Czy podane ciągi są zbieżne w (R 2, d)? Czy są ciągami Cauchy ego w (R 2, d)? Jeśli są zbieżne, to podaj ich granicę. a)(x n, y n ) = (, ) (, b) (x n n, y n ) = 3 n, ), c) (x n, y n ) = ( 0, n + ) n d) (x n, y n ) = 2n ) ( n, 2 3n Renata Wiertelak 5

7 Zestaw 4. Domknięcie, wnętrze i brzeg Zadanie 4.. W (R, d nat ) wyznacz domknięcia, wnętrza oraz brzegi następujących zbiorów A = [0, ) 2} C = [ n N 4n, ] 4n E = n : n N} B = (, ) Q D = ( n N 2n, ) 2n F = E 0} Zadanie 4.2. W (R 2, d e ) wyznacz domknięcia, wnętrza oraz brzegi następujących zbiorów A = [0, ) (, 2] C = (/n, y): n N, y (0, )} B = (x, y): y = x 2 } D = (x, y): y x Q}. Zadanie 4.3. Niech X = [0, ] oraz w X X będzie dana funkcja: x y gdy x, y Q lub x, y / Q d((x, y) = x + y w przeciwnym wypadku. Wyznacz domknięcie, wnętrze oraz brzeg zbiorów: Q, [0, ] \ Q w (X, d). Czy są to zbiory otwarte? domknięte? Zadanie 4.4. Niech X = [0, ] oraz w X X będzie dana funkcja: x y gdy x y Q lub x, y / Q d((x, y) = 2 gdy x y / Q. Wyznacz domknięcie, wnętrze oraz brzeg zbiorów: Q [0, ), [0, ] \ Q w (X, d). Czy są to zbiory otwarte? domknięte? Zadanie 4.5. W (R, d nat ) wyznacz A, Int(A), IntA,Int(A), jeśli Zadanie 4.6. Udowodnij, że A = ([0, ) Q) 2} (3, 4) (4, 5) x F r(a) ε>0 K(x, ε) A K(x, ε) \A Zadanie 4.7. Jakie relacje (,, =) zachodzą pomiędzy zbiorami: a) A B i A B d) IntA IntB i IntA B b)a B i A B e) IntA IntB i IntA B c) A \ B i A \ B f) IntA \ IntB i IntA \ B Renata Wiertelak 6

8 Zestaw 5. Zbiory gęste, brzegowe i nigdzie gęste Zadanie 5.. Udowodnić, że zbiór nigdzie gęsty jest brzegowy; zbiór domknięty i brzegowy jest nigdzie gęsty; suma dwóch zbiorów nigdzie gęstych jest zbiorem nigdzie gęstym; suma zbioru brzegowego i nigdzie gęstego jest zbiorem brzegowym; Zadanie 5.2. Czy suma dwóch zbiorów brzegowych jest zbiorem brzegowym? Zadanie 5.3. Czy brzeg zbioru jest zbiorem brzegowym? Zadanie 5.4. W (R, d nat ) wyznacz domknięcie wnętrze następujących zbiorów, a następnie podaj czy są to zbiory domknięte, otwarte, gęste, brzegowe, nigdzie gęste. A = (, ) 2} B = [ n N 3n, ] 3n C = n : n N} D = (, ) Q E = n N ( 2n, 2n G = (, ) \ Q H = N ( 2n, 2n ) ) F = C 0} I = C } J = ((, ) Q) ((, ) \ Q) K = 2 + 2n : n N} (, 2) Zadanie 5.5. W (R, d 0 ) wyznacz domknięcie wnętrze następujących zbiorów, a następnie podaj czy są to zbiory domknięte, otwarte, gęste, brzegowe, nigdzie gęste. A = (, ) 2} B = [ n N 3n, ] 3n C = n : n N} D = (, ) Q E = n N ( 2n, 2n G = (, ) \ Q H = N ( 2n, 2n ) ) F = C 0} I = C } Zadanie 5.6. W (R 2, d e ) wyznacz domknięcia, wnętrza następujących zbiorów, a następnie podaj czy są to zbiory domknięte, otwarte, gęste, brzegowe, nigdzie gęste. A = [0, ] [, 2] B = (x, y): 0} /n: n N}, y [0, ]} C = (0, ) (, 2) D = (x, y): n N, y R} E = (x, y): y x Q} F = (x, y): max x, y } < 4} G = (x, y): y = x 2 } H = ([0, ] Q) ([, 2] \ Q). Zadanie 5.7. W (R 2, d 0 ) wyznacz domknięcia, wnętrza następujących zbiorów, a następnie podaj czy są to zbiory domknięte, otwarte, gęste, brzegowe, nigdzie gęste. A = [0, ] [, 2] B = (x, y): 0} /n: n N}, y [0, ]} C = (0, ) (, 2) D = (x, y): n N, y R} E = (x, y): y = x 2 } F = ([0, ] Q) ([, 2] \ Q). Renata Wiertelak 7

9 Zestaw 6. Funkcje ciągłe Zadanie 6.. Czy f : N R określona wzorem f(n) = ( ) n jest ciągła, jeśli: a) d X = d Y = d nat, b) d X = d nat, d Y = d 0 c) d X = d 0, d Y = d nat? Zadanie 6.2. Niech funkcja f : R R będzie określona wzorem x + gdy x > 0 f(x) = x gdy x 0 Czy jest ona ciągła, jeśli: a) d X = d Y = d nat, b) d X = d nat, d Y = d 0 c) d X = d Y = d 0, d)d X = d 0, d Y = d nat Zadanie 6.3. Niech funkcja f : R R będzie określona wzorem x gdy x Q f(x) = x gdy x / Q Podaj zbiór punktów ciągłości funkcji f, jeśli: a) d X = d Y = d nat, b) d X = d nat, d Y = d 0 c) d X = d Y = d 0, d)d X = d 0, d Y = d nat Zadanie 6.4. Czy funkcja f : R R określona wzorem f(x) = x jest ciągła, jeśli d X = d nat oraz d X (x, y) = x + y gdy x y? Podaj również zbiór punktów ciągłości funkcji f. Zadanie 6.5. Czy funkcja f : R R określona wzorem f(x) = x jest ciągła, jeśli d Y = d nat oraz d X (x, y) = x + y gdy x y? Podaj również zbiór punktów ciągłości funkcji f. Zadanie 6.6. Czy funkcja f : R R określona wzorem f(x) = 2x jest ciągła, jeśli d X = d nat oraz d Y (x, y) = 3 gdy x y? Podaj również zbiór punktów ciągłości funkcji f. Zadanie 6.7. Czy funkcja f : R R określona wzorem f(x) = 2x jest ciągła, jeśli d Y = d nat oraz d X (x, y) == 3 gdy x y? Podaj również zbiór punktów ciągłości funkcji f. Renata Wiertelak 8

10 Zestaw 7. Przestrzeń ośrodkowa Zadanie 7.. Udowodnij, że jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią ośrodkową oraz funkcja f : (X, d X ) (Y, d Y ) jest funkcją ciągła i "na", to (Y, d Y ) jest przestrzenią ośrodkową. Zadanie 7.2. Udowodnij, że jeśli w przestrzeni metrycznej (X, d) istnieje nieprzeliczalny zbiór A oraz t > 0 takie, że to przestrzeń ta nie jest ośrodkowa. x,y A x y d(x, y) > t, Zadanie 7.3. Udowodnij, że przestrzeń metryczna (X, d) jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby r > 0 przestrzeń X jest sumą co najwyżej przeliczalnej ilości kul o promieniu r. Zadanie 7.4. Czy zbiór X = R \ Q z funkcją x + y jest przestrzenią metryczną? Jeśli tak, to czy jest ona ośrodkowa? Zadanie 7.5. Czy zbiór X = [0, ] z funkcją x y gdy x, y Q lub x, y / Q x + y w przeciwnym wypadku. jest przestrzenią metryczną? Jeśli tak, to czy jest ona ośrodkowa? Zadanie 7.6. Niech będzie dana funkcja f : [0, ) [0, ) spełniająca warunki: f(t) = 0 t = 0; f jest niemalejąca; f(t + s) f(t) + f(s). Czy jeśli (X, d)) jest przestrzenią metryczną ośrodkową, to dla d (x, y) = f(d(x, y)) przestrzeń (X, d ) też jest przestrzenią metryczną ośrodkową? Od czego to zależy? Zadanie 7.7. Niech (X, d X ), (Y, d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi ośrodkowymi. Czy przestrzeń (X Y, d ), gdzie d ((x, y ), (x 2, y 2 )) = d X (x, x 2 ) + d Y (y, y 2 ) też jest przestrzenią metryczną ośrodkową? Renata Wiertelak 9

11 Zestaw 8. Przestrzeń zupełna Zadanie 8.. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zupełną oraz funkcja f : (X, d X ) (Y, d Y ) jest funkcją ciągłą i "na", to (Y, d Y ) jest przestrzenią zupełną? Zadanie 8.2. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zupełną oraz funkcja f : (X, d X ) (Y, d Y ) jest ciągłą funkcją różnowartościową i "na", to (Y, d Y ) jest przestrzenią zupełną? Zadanie 8.3. Niech X = R \ Q oraz x + y gdy x y Czy (X, d) jest przestrzenią zupełną? Zadanie 8.4. Czy zbiór X = [0, ] z funkcją x y gdy x, y Q lub x, y / Q x + y w przeciwnym wypadku. jest przestrzenią metryczną zupełną? Zadanie 8.5. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zupełną oraz d (x, y) = maxd(x, y), } to (X, d ) jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zupełną? Zadanie 8.6. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zupełną, a jest ustalonym elementem X, X zawiera przynajmniej 2 różne elementy oraz d (x, y) = d(x, a) + d(a, y) to (X, d ) jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zupełną? Zadanie 8.7. Niech (X, d X ), (Y, d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi zupełnymi. Czy przestrzeń (X Y, d ), gdzie d ((x, y ), (x 2, y 2 )) = maxd X (x, x 2 ), d Y (y, y 2 )} też jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zupełną? Zadanie 8.8. Niech (X, d X ), (Y, d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi zupełnymi. Czy przestrzeń (X Y, d ), gdzie d ((x, y ), (x 2, y 2 )) = (d X (x, x 2 )) 2 + (d Y (y, y 2 )) 2 też jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zupełną? Renata Wiertelak 0

12 Zestaw 9. Przestrzeń zwarta Zadanie 9.. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zwartą oraz funkcja f : (X, d X ) (Y, d Y ) jest funkcją ciągłą i "na", to (Y, d Y ) jest przestrzenią zwartą? Zadanie 9.2. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zwartą oraz funkcja f : (X, d X ) (Y, d Y ) jest ciągłą funkcją różnowartościową i "na", to (Y, d Y ) jest przestrzenią zwartą? Zadanie 9.3. Niech X = R \ Q oraz x + y gdy x y Czy (X, d) jest przestrzenią zwartą? Zadanie 9.4. Czy zbiór X = [0, ] z funkcją x y gdy x, y Q lub x, y / Q x + y w przeciwnym wypadku. jest przestrzenią metryczną zwartą? Zadanie 9.5. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zwartą oraz d (x, y) = maxd(x, y), } to (X, d ) jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zwartą? Zadanie 9.6. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zwartą, a jest ustalonym elementem X, X zawiera przynajmniej 2 różne elementy oraz d(x, a) + d(a, y) gdy x y d (x, y) = to (X, d ) jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zwartą? Zadanie 9.7. Niech (X, d X ), (Y, d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi zwartymi. Czy przestrzeń (X Y, d ), gdzie d ((x, y ), (x 2, y 2 )) = d X (x, x 2 ) + d Y (y, y 2 ) też jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zwartą? Zadanie 9.8. Niech (X, d X ), (Y, d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi zwartymi. Czy przestrzeń (X Y, d 0 ) też jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zwartą? Renata Wiertelak

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna - Zadania

Analiza Funkcjonalna - Zadania Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

TEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty

TEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych

Bardziej szczegółowo

A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty

A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii

Bardziej szczegółowo

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy 5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x)) Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,

Bardziej szczegółowo

1 Elementy analizy funkcjonalnej

1 Elementy analizy funkcjonalnej M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,

Bardziej szczegółowo

1,5 1,5. WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Analiza matematyczna M1 2. Wstęp do logiki i teorii mnogości

1,5 1,5. WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Analiza matematyczna M1 2. Wstęp do logiki i teorii mnogości WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim TOPOLOGIA Nazwa w języku angielskim TOPOLOGY Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli dotyczy): Matematyka

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).

Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Topologia Topology Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Semestr: IV Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Liczba godzin/tydzień:

Bardziej szczegółowo

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Krzysztof Frączek Analiza Matematyczna II Wykład dla studentów II roku kierunku informatyka Toruń 2009 Spis treści 1 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013 Eliza Wajch Wykłady i ćwiczenia z geometrii analitycznej z elementami topologii w UPH w Siedlcach w semestrze zimowym roku akad. 2012/2013. Literatura podstawowa: 1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria

Bardziej szczegółowo

Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych

Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 8 IX AD MMXIII Streszczenie Celem pracy jest zaprezentowanie jednej z metod dowodzenia istnienia

Bardziej szczegółowo

Zastosowania twierdzeń o punktach stałych

Zastosowania twierdzeń o punktach stałych 16 kwietnia 2016 Abstrakt Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Ustalmy odwzorowanie ciągłe f : X X. Twierdzeniem o punkcie stałym nazywamy prawdę matematyczną postulującą pod pewnymi warunkami istnienie

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Analiza 4

Notatki do wykładu Analiza 4 Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego Grzegorz Plebanek Notatki do wykładu Analiza 4 Rozdział I: Funkcje na przestrzeniach metrycznych Wrocław 2004 O skrypcie Skrypt ten, traktowany łącznie

Bardziej szczegółowo

Metryzowalne przestrzenie topologiczne.

Metryzowalne przestrzenie topologiczne. I-1 H. Toruńczyk, Wykład z Topologii I, jesień 2013. Notatki te są uzupełnieniem wykładu. Układ materiału i jego ujęcie są bliskie skryptowi [BCPP], osiągalnemu pod http://duch.mimuw.edu.pl/~betley/wyklad1/,

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje wielu zmiennych

3. Funkcje wielu zmiennych 3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla

Bardziej szczegółowo

Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania

Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I wykłady i zadania WSTĘP. Materiał w skrypcie odpowiada programowi zajęć z Topologii I w trzecim semestrze studiów na Wydziale MIM Uniwersytetu

Bardziej szczegółowo

Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania. luty 2013

Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania. luty 2013 Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I wykłady i zadania luty 2013 WSTĘP. Materiał w skrypcie odpowiada programowi zajęć z Topologii I w trzecim semestrze studiów na Wydziale

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową

Bardziej szczegółowo

Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem

Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)

Bardziej szczegółowo

1. Zbiory domknięte, otwarte, ograniczone, zwarte. Domknięcie, wnętrze, brzeg.

1. Zbiory domknięte, otwarte, ograniczone, zwarte. Domknięcie, wnętrze, brzeg. Zbiory i funkcje wypukłe, 2005/06 1. Zbiory domknięte, otwarte, ograniczone, zwarte. Domknięcie, wnętrze, brzeg. Oznaczenia, definicje, twierdzonka. Wszystkie rozważania prowadzone są w przestrzeni euklidesowej

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie metryczne

1 Przestrzenie metryczne 1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii

Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą

Bardziej szczegółowo

Dekompozycje prostej rzeczywistej

Dekompozycje prostej rzeczywistej Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii

Bardziej szczegółowo

Analiza I.2*, lato 2018

Analiza I.2*, lato 2018 Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Przedmowa. Zielona Góra, lipiec 2001.

Przedmowa. Zielona Góra, lipiec 2001. rzedmowa Książka jest zbiorem zadań z analizy matematycznej przeznaczonym dla studentów pierwszego roku matematyki. otrzebne do rozwiązania podanych zadań definicje twierdzenia komentarze i oznaczenia

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II Zalecane podręczniki W. Krysicki, L. Włodarski naliza matematyczna w zadaniach, część I i II c Ł. Pawelec G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D.

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna I. Ryszard Szwarc

Analiza funkcjonalna I. Ryszard Szwarc Analiza funkcjonalna I Ryszard Szwarc Wrocław 2010 2 Spis treści 1 Przestrzenie unormowane 3 1.1 Dodatek.............................. 13 2 Operatory liniowe 15 3 Przestrzenie Hilberta 26 3.1 Podstawowe

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II Zalecane podręczniki W. Krysicki, L. Włodarski naliza matematyczna w zadaniach, część I i II c Ł. Pawelec G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D.

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk

Bardziej szczegółowo

Zbiory liczbowe widziane oczami topologa

Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,

Bardziej szczegółowo

Funkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Funkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Informacja o przestrzeniach Sobolewa Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe

Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe Wykłady z matematyki inżynierskiej Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe JJ, IMiF UTP 17 f (x, y) DEFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D R 2, to przyporządkowanie każdemu punktowi

Bardziej szczegółowo

Zadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach.

Zadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach. Topologia I*, jesień 2013 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach. Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Kwantyfikatory. 5 6 Relacje 7

Bardziej szczegółowo

O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)

O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych) (niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie

Bardziej szczegółowo

sa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński)

sa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński) Zadanie 1 Pokazać, że dowolne dwie kule w R z metryka sa homeomorficzne Niech ρ be dzie metryka równoważna z, to znaczy wyznaczaja ca topologie na R Czy wynika z tego, że dowolne dwie kule w metryce ρ

Bardziej szczegółowo

O zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych

O zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych O zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych Marcin Borkowski Streszczenie Wszyscy znamy twierdzenie Banacha o kontrakcji czy twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. Stosunkowo rzadko jednak mamy okazję

Bardziej szczegółowo

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N 14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech

Bardziej szczegółowo

Ciągłość i topologia. Rozdział Ciągłość funkcji wg. Cauchy

Ciągłość i topologia. Rozdział Ciągłość funkcji wg. Cauchy Rozdział 1 Ciągłość i topologia Nadanie precyzyjnego sensu intiucyjnemu pojęciu ciągłości jest jednym z głównych tematów dziedziny matematyki, zwanej topologią. Definicja funkcji ciągłej znana z podstawowego

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn. WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 7: STRUKTURY TOPOLOGICZNE

WYKŁAD 7: STRUKTURY TOPOLOGICZNE MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI WYKŁAD 7: STRUKTURY TOPOLOGICZNE KOGNITYWISTYKA UAM, 2016 2017 JERZY POGONOWSKI Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Topologia jest stosunkowo młodą

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. w języku polskim Analiza Matematyczna 1 w języku angielskim Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW

KARTA PRZEDMIOTU. w języku polskim Analiza Matematyczna 1 w języku angielskim Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW Kod przedmiotu Nazwa przedmiotu KARTA PRZEDMIOTU AM1_M w języku polskim Analiza Matematyczna 1 w języku angielskim Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek studiów Forma

Bardziej szczegółowo

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. 7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących

Bardziej szczegółowo

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy

Bardziej szczegółowo

TOPOLOGIA I* Pomocnik studenta Notatki do wykładu na Wydziale MIM UW Semestr zimowy r. akad. 2016/17.

TOPOLOGIA I* Pomocnik studenta Notatki do wykładu na Wydziale MIM UW Semestr zimowy r. akad. 2016/17. TOPOLOGIA I* Pomocnik studenta Notatki do wykładu na Wydziale MIM UW Semestr zimowy r. akad. 2016/17 Stefan.Jackowski@mimuw.edu.pl 23 kwietnia 2018 2 Spis treści Wstęp i 1 Ciągłość i topologia 1 1.1 Ciągłość

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.

Bardziej szczegółowo

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna Wykłady

Analiza funkcjonalna Wykłady Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.. Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Analiza funkcjonalna

Bardziej szczegółowo

Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I

Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I Czas na rozwiązanie zadań cz. I: 2 godz. Do zdobycia: 60 pkt. Nie wolno korzystać z notatek, kalkulatorów, telefonów, pomocy sąsiadów,

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie metryczne

1 Przestrzenie metryczne Topologia I Notatki do wyk ladu LITERATURA UZUPE LNIAJA CA R. Duda, Wprowadzenie do topologii, czȩść I. R. Engelking, Topologia ogólna. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstȩp do topologii. W. Rudin, Podstawy

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia

Analiza Matematyczna Ćwiczenia Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.

ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE. ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Granica i ciągłość.

Funkcje. Granica i ciągłość. Ćwiczenia 10.1.01: zad. 344-380 Kolokwium nr 9, 11.1.01: materiał z zad. 1-380 Ćwiczenia 17.1.01: zad. 381-400 Kolokwium nr 10, 18.1.01: materiał z zad. 1-400 Konw. 10,17.1.01: zad. 401-44 Funkcje. Granica

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n

EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Instrukcja obsługi. Za każde zadanie można dostać 4 punkty. Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie. W nagłówku rozwiązania należy

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Elementy Teorii Miary i Całki

Elementy Teorii Miary i Całki Elementy Teorii Miary i Całki c Lech Drewnowski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. dama Mickiewicza w Poznaniu Poznań 2008 http://main2.amu.edu.pl/ drewlech/dydaktyka.html http://main2.amu.edu.pl/

Bardziej szczegółowo

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.

Bardziej szczegółowo

(c) Wykazać, że (X, ϱ) jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy (X j, ϱ j ) jest spójna, j = 1,..., N.

(c) Wykazać, że (X, ϱ) jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy (X j, ϱ j ) jest spójna, j = 1,..., N. 1. Przestrzenie metryczne Zadanie 1.1. Czy może się zdarzyć, że B(a, r) B(a, r)? Zadanie 1.2. Czy może się zdarzyć, że kula nie jest zbiorem spójnym? Zadanie 1.3. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną

Bardziej szczegółowo

7 Twierdzenie Fubiniego

7 Twierdzenie Fubiniego M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną

Bardziej szczegółowo