Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że: μ, α,, α K, β,, β T to iezae, ale stałe (ielosowe) parametry, które spełiają astępujące założeia ormujące: α + + α K = 0, β + + β T = 0 ε t,k jest jedyym losowym składikiem zmieej X t,k, Wszystkie składiki losowe (dla k =,2,, K oraz t =,2,, T) są iezależymi zmieymi losowymi o zerowej wartości oczekiwaej i takiej samej, iezaej wariacji σ 2. Wioskowaie o iezaych parametrach modelu μ, α,, α K, β,, β T, σ 2 opieramy a astępujących średich z próbki: X = K T X KT k= t= k,t, X k = T X T t= k,t, k =,2,, K, X t = K X K k= k,t, t =,2,, T, oraz a sumach kwadratów odchyleń z próbki: Sε = K T (X k,t X k X t + X ) 2 t= Sα = K k= (X k X ) 2, Sβ = (X t X ) 2 k=, T t= Wybierz zdaie prawidłowo określające związki między zmieymi losowymi Sα, Sβ oraz Sε. (A) (B) (C) (D) (E) Zależości występują dla każdej pary z trzech zmieych Sα, Sβ oraz Sε Sα oraz Sβ są zależe, zaś Sε jest iezależa od każdej z ich Wszystkie trzy zmiee są iezależe Sε oraz Sβ są zależe, zaś Sα jest iezależa od każdej z ich Sα oraz Sε są zależe, zaś Sβ jest iezależa od każdej z ich
Zadaie 2. Mamy day ciąg liczb q, q2,..., q z przedziału 0,. Rozważmy dwie zmiee losowe: o Y o rozkładzie dwumiaowym i parametrach, q, gdzie q q i i o Z, której warukowy rozkład (przy daej wartości Q) jest rozkładem dwumiaowym z parametrami, Q, zaś zmiea Q ma rozkład -puktowy taki, że Pr( Q qi ), i,2,..., Wariacje tych dwóch zmieych związae są rówością: var(z) = var(y) + a (q i q ) 2 Stała a występująca w tej rówości wyosi: i= (A) (B) (C) (D) (E) 2 2
Zadaie 3. Pary zmieych losowych (N, X ) oraz (N 2, X 2 ) są iezależe, i ozaczają odpowiedio liczbę i wartość szkód dla dwóch ryzyk. Wartość szkód w obu przypadkach ma złożoy rozkład Poisso z parametrami odpowiedio (λ, F ) oraz (λ 2, F 2 ). Oczekiwae liczby szkód λ, λ 2, oraz dystrybuaty F, F 2, dae są wzorami: i λ i F i (x) dla x < F i (x) dla x [, 2) F i (x) dla x 2 3 0 7/0 2 0 3/0 Wobec tego E (N + N 2 X + X 2 = 3) wyosi: (A) 8/8 (B) 9/8 (C) 20/8 (D) 2/8 (E) 22/8 3
Zadaie 4. Łącza wartość szkód X ma złożoy rozkład ujemy dwumiaowy. Liczba szkód ma wartość oczekiwaą rówą /2 i wariację rówą 2/3. Rozkład wartości pojedyczej szkody: ma a przedziale (0, 5) gęstość daą wzorem f(x) = 0.25 0.03x, oraz w pukcie 5 masę prawdopodobieństwa rówą 0.25. Wariacja zmieej X wyosi: (A) (B) (C) (D) (E) 25 3 96 25 5 96 25 7 96 25 9 96 25 2 96 4
Zadaie 5. Rozważamy zdyskotowaą a momet początkowy wartość składek pomiejszoą o wartość szkód w klasyczym procesie adwyżki ubezpieczyciela: exp( t) Bt c exp( Tk ) Yk, gdzie: k: T t k ct jest sumą składek które apłyęły do mometu t, T, to momet wystąpieia i wartość bieżąca k-tej szkody Y k k, Y2, Y3,... T,( T2 T ),( T3 T2, ( T2 T ),( T3 T2, Y2, Y3 Y ),... są iezależe T ),... mają rozkład wykładiczy o wartości oczekiwaej 0. 0 Y mają rozkład o mometach rówych:,... E Y, EY 2 3 6% to zakładaa przy dyskotowaiu itesywość oprocetowaia Dobierz stałą c tak, aby współczyik zmieości (odchyleie stadardowe podzieloe przez wartość oczekiwaą) zmieej: c B exp( T k ) Y k k wyiósł /4. (A) 06 (B) 00 4 3 (C) 00 6 2 (D) 2 (E) 00 2 2 5
Zadaie 6. Kierowca, którego charakteryzuje wartość q parametru ryzyka Q, zgłasza szkody (jedą lub więcej) w ciągu roku z prawdopodobieństwem q, zaś ie zgłasza szkód z prawdopodobieństwem p = q, przy czym zdarzeia te w kolejych latach są zdarzeiami iezależymi. Rozkład parametru ryzyka Q w populacji kierowców jest a przedziale (0, ) day gęstością: f Q (x) = Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) xα ( x) β Zakładamy, że populacja jest zamkięta (starzy kierowcy ie zikają, owi się ie pojawiają). Kierowcy migrują pomiędzy klasami bardzo prostego, 4-klasowego systemu bous-malus. W systemie tym każdy kierowca, który w daym roku zgłosił jedą lub więcej szkód, ląduje w roku astępym w klasie pierwszej (z ajwyższą składką). Jeśli jedak ie zgłosił żadej szkody, wtedy: Ląduje w klasie drugiej, o ile w daym roku był w klasie pierwszej; Ląduje w klasie trzeciej, o ile w daym roku był w klasie drugiej; Ląduje w klasie czwartej, o ile w daym roku był w klasie trzeciej lub czwartej. Wiadomo, że rozkład prawdopodobieństwa a przestrzei klas dla dowolego kierowcy w takim systemie bous-malus stabilizuje się (przestaje zależeć od klasy startowej) po upływie kilku pierwszych lat. Ozaczmy przez p 4 wartość oczekiwaą udziału kierowców przebywających w klasie czwartej w całkowitej liczebości kierowców w tej populacji, po osiągięciu ww. stabilizacji. Przyjmijmy, że parametry (α, β) = (2, 8). Wobec tego p 4 wyosi: (A) 22/55 (B) 24/55 (C) 26/55 (D) 28/55 (E) 30/55 6
Zadaie 7. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem ciągłym: U(t) = u + (c du)t S(t), gdzie: S(t) jest procesem o przyrostach i.i.d., o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą rówą μt i wariacją σ 2 t, d to stopa dywidedy wypłacaej akcjoariuszom od kapitału początkowego u (c du) to itesywość apływu składki pomiejszoej o wypłacaą dywidedę Podejmujemy rówocześie decyzję a temat pożądaego poziomu kapitału początkowego u oraz itesywości składki c. Wyzaczamy te parametry tak, aby zachować kokurecyjy (jak ajiższy) poziom składki c, przy ograiczeiu, iż prawdopodobieństwo ruiy ie może przekroczyć z góry zadaego poziomu ψ. Przy tych założeiach kokurecyjy poziom itesywości składki wyraża się wzorem: c = μ + aσ Jeśli stopa dywidedy wyosi d = 6%, a dopuszczale prawdopodobieństwo ruiy ψ = exp ( 3), to parametr a formuły składki przyjmie wartość: (A) (B) (C) (D) (E) 6 0 3 2 0 2 3 0 4 0 3 0 7
Zadaie 8. Ubezpieczyciel prowadzi dwa portfele ubezpieczeń. W każdym z portfeli pojedycze ryzyko geeruje szkody zgodie ze złożoym procesem Poissoa z taką samą itesywością. Portfele różią się rozkładem wartości pojedyczej szkody i liczbą ryzyk w portfelu ( i 2 odpowiedio). Stosukowy arzut a składkę etto dla ryzyk w obu portfelach jest te sam i wyosi. W rezultacie parametry modelu są astępujące: portfel: itesywość łącza, rozkład wartości pojedyczej szkody o gęstości f y 2exp( 2y ; ), składka za jedo ryzyko 2 2 portfel: itesywość łącza f 2, rozkład wartości pojedyczej szkody o gęstości. y 5exp( 5y), składka za jedo ryzyko 5 Jeśli wiemy, że fukcja prawdopodobieństwa ruiy ubezpieczyciela jest postaci: 2 5 u exp u exp u, 3 2 2 to wartości parametrów modelu, wyoszą: 2 (A) (B) (C) (D) (E), 3, 3, 3 2, 3 2, 3 7 2 2 2 2 2 7 8
Zadaie 9. Niech N ozacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewego ubezpieczeia, z czego: M to liczba szkód zgłoszoych przed końcem tego roku, K to liczba szkód które zostaą zgłoszoe w ciągu lat astępych, Zachodzi oczywiście N = M + K. Liczba szkód zgłoszoych przed końcem roku: M = Z + Z 2 + + Z N, jest sumą składików, z których każdy przyjmuje wartość jede gdy daą szkodę zgłoszoo w ciągu roku, zaś zero, gdy zgłoszeie astąpiło późiej. Przyjmujemy, że zmiee losowe N, Z, Z 2, Z 3, są iezależe, oraz iż Z, Z 2, Z 3, mają taki sam rozkład: Pr(Z = ) = /2, Pr(Z = 0) = /2. Jeśli teraz założymy, że liczba szkód zaszłych w ciągu roku ma rozkład dwumiaowy o postaci: Pr(N = ) = ( 0 ) ( 5 ) ( 4 5 )0, = 0,,2,,0. to warukowa wartość oczekiwaa E(K M = 0) wyiesie: (A) (B) 0/9 (C) 4/3 (D) 5/3 (E) 2 9
Zadaie 0. Rozważamy klasyczy model procesu adwyżki Ut u ct S N t u to adwyżka początkowa ct to suma składek zgromadzoych do mometu t, S Y i i proces liczący t to łącza wartość szkód zaszłych do mometu t,, gdzie: N oraz wartości poszczególych szkód Y, Y2, Y3,... są iezależe, przy czym: N t jest procesem Poissoa z parametrem itesywości, wartości poszczególych szkód Y, Y2, Y3,... mają te sam rozkład wykładiczy o wartości oczekiwaej rówej c ( ), 0 Wiadomo, że zmiea losowa: L : sup u U( t) t 0 daje się przedstawić jako zmiea o rozkładzie złożoym: L l l... l 2 N, ( L 0 gdy N 0), gdzie składik l jest zmieą określoą w przypadku, gdy adwyżka spadie poiżej u, i rówy jest wtedy: l u U( t ), gdzie t jest tym mometem czasu, kiedy po raz pierwszy do takiego spadku doszło. Jeśli / 5, oraz u 3, to warukowa wartość oczekiwaa liczby takich spadków, pod warukiem że astąpiła ruia: wyosi: (A) 7 ( N L u) (B) 7 2 (C) 8 (D) 8 2 (E) 9 0
Egzami dla Aktuariuszy z 5 czerwca 205 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i azwisko :...K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadaie r Odpowiedź Puktacja C 2 B 3 B 4 E 5 D 6 E 7 A 8 C 9 B 0 D * Oceiae są wyłączie odpowiedzi umieszczoe w Arkuszu odpowiedzi. Wypełia Komisja Egzamiacyja.