Podstawowe informacje nt. LNOWA MECHANKA PĘKANA Wytrzymałość materiałów J. German
PRZYKŁADY Przykład Przeanaizować szczeinę o długości, która tworzy kąt α z kierunkiem x, znajdującą się w nieograniczonym paśmie, poddanym działaniu obciążenia oraz k odpowiednio wzdłuż kierunku x i x rys.. Wyprowadzić wzory na WN. x x α x x x x α k x k x a b Rys.. Nachyona szczeina w paśmie nieograniczonym: a) dwuosiowe obciążenie, b) transformacja naprężeń. Korzystając z ogónych wzorów transformacyjnych da PSN w postaci: = + + cosα sinα = + cosα + sinα = sinα + cosα gdzie: α = 90 α, w wyniku transformacji naprężeń =k, =, otrzymujemy naprężenia,, w układzie ( x, x ) w następującej postaci: k+ k = cos α k+ k = + cos α (P.)) k = sin α W przypadku odniesień do wzorów o numeracji (.x), naeży ich szukać w piku mp_wn.pdf
Obciążenie ciała ze szczeiną, pokazane na rys., można - korzystając z zasady superpozycji - zastąpić innym, równoważnym, przedstawionym na rys.. x x α x x x x α k x k x a b x b x = + + - - Rys.. Zasada superpozycji da obciążeń. Szczeina poddana jest zatem działaniu następujących obciążeń: a) dwuosiowemu rozciąganiu - otwarcie szczeiny ( typ ), b) jednoosiowemu rozciąganiu ( - ) wzdłuż osi x (obciążenie nie wywołuje osobiwego poa naprężeń, ae musi być uwzgędnione w ostatecznej postaci naprężenia * wzdłuż osi x ), c) obciążeniu ścinającemu - poprzeczne ścinanie szczeiny ( typ). Z równań (P.) oraz równań (.) i (.6) otrzymujemy: K θ θ 3θ K θ θ 3θ = + π r πr cos sin sin sin cos cos (k ) cos α K θ θ 3θ K θ θ 3θ = cos + sin sin + sin cos cos πr πr K θ θ 3θ K θ θ 3θ = cos sin cos + cos sin sin πr πr (P.) (P.3) (P.4) gdzie: K = k+ + ( k ) cosα π (P.5) k K = sinα π (P.6)
Zauważmy, że da przypadku jednoosiowego rozciągania w kierunku osi x, co jest równoważne przyjęciu k = 0, z zaeżności (P.5) i (P.6) otrzymujemy wzory znane da nieskończonego pasma ze szczeiną nachyoną pod kątem α do kierunku obciążenia rozciągającego: K = [ cosα] π = π sin α (P.7) K = sinα π= π sinα cosα (P.8) PRZYKŁAD Rozważmy krótkie pęknięcie o długości wychodzące z brzegu otworu kołowego wzdłuż osi x w płycie poddanej jednoosiowemu rozciąganiu wzdłuż osi x (rys. 3) Okreśić współczynnik intensywności naprężeń. Następnie rozważyć drugie pęknięcie o długości rozprzestrzeniające się z otworu wzdłuż osi x i okreśić WN. Na koniec wyznaczyć WN da obu szczein, gdy płyta poddana jest dodatkowo obciążeniu k wzdłuż osi x. Wykorzystać rozwiązanie Kirscha da pasma z otworem kołowym, rozciąganego wzdłuż kierunku x obciążeniem, z którego wynika, że naprężenia obwodowe na brzegu otworu w punktach A i B wynoszą odpowiednio 3 i - (rozwiązanie np. Timoshenko, Goodier). b szczeina x B 3 k A x k a szczeina 3 Rys. 3. Krótkie szczeiny wychodzące z otworu kołowego przy dwuosiowym rozciąganiu pasma nieograniczonego. Jako pierwszy przeanaizujemy przypadek jednoosiowego rozciągania płyty wzdłuż osi x Rozważmy eement materiany na obwodzie otworu w pobiżu punktu A w paśmie bez szczeiny. Zakładając, że wymiary eementu są małe, można przyjąć iż na skutek koncentracji naprężeń wywołanej otworem eement poddany jest działaniu stałego naprężenia rozciągającego 3 wzdłuż osi x ; pozostałe dwa naprężenia są równe - zgodnie z rozwiązaniem Kirscha - zero. Zakładając, że szczeina jest bardzo krótka, można w przybiżeniu przyjąć konfigurację szczeina-eement-obciążenie taką, jak na rys. 3 a. Wykorzystując wzór (.9) otrzymujemy da krótkiej szczeiny bocznej "" o długości współczynnik intensywności naprężeń w postaci:
K =. (3 ) π = 3.36 π (P.) Anaogiczne rozumowanie da szczeiny "" eżącej wzdłuż osi x - rys. 3 b - prowadzi do współczynnika intensywności naprężeń w postaci: K =. π (P.) Gdy płyta poddana jest dodatkowo działaniu obciążenia wzdłuż osi x, którego wartość wynosi k, możemy dokonać superpozycji otrzymanych rezutatów. Otrzymamy wówczas: da szczeiny "" ( ) K = 3.36 π. k π =. 3 k π (P.3) da szczeiny "" ( ) K = 3.36 k π. π =. 3k π (P.4) Zauważmy, że da k= wyrażenia (P.3) i (P.4) upraszczają się do tej samej postaci: K =.4 π (P.5) Przywołajmy w tym miejscu wzór Bowi ego (.5) wraz z tabeą. Widać, że wartość współczynnika korekcyjnego da jednej szczeiny, wychodzącej z brzegu otworu przy jednoosiowym rozciąganiu wzdłuż osi x i da bardzo krótkiej szczeiny (/r=0 ) wynosi 3.39. W niniejszej przybiżonej anaizie otrzymaiśmy wartość bardzo zbiżoną tzn. 3.36 (rów. P.). Da przypadku dwuosiowego rozciągania i k=, rozwiązanie numeryczne podane tabei wynosi.6, zaś anaiza przybiżona (rów. P.5) daje rezutat.4. Tak więc uzyskane stosunkowo prosto wyniki dobrze odpowiadają rezutatom numerycznym. PRZYKŁAD 3 Cyindryczny zbiornik ciśnieniowy (powłoka wacowa z zamkniętymi końcami) o promieniu R i grubości t posiada skośną szczeinę o długości zorientowaną pod kątem β do kierunku obwodowego. Okreśić współczynniki intensywności naprężeń w wierzchołku szczeiny przy obciążeniu zbiornika ciśnieniem wewnętrznym p - patrz rys. 4. Naprężenie obwodowe θ i podłużne z w zbiorniku otrzymujemy z warunków równowagi sił - rys. 4, 5. z z θ θ β θ p R t z Rys. 4. Cienkościenny zbiornik ciśnieniowy ze szczeiną.
a b p =p sinα p α p =p cosα p p R t θ p R θ t Rys. 5. Równowaga sił na kierunku: a) południkowym, b) równoeżnikowym (obwodowym) w cienkościennym zbiorniku ciśnieniowym. Równowaga sił wzdłuż osi zbiornika (kierunek południkowy) - rys. 5 a - prowadzi do równania : Rp π = π z = (P3.) t R t z R p W ceu wyznaczenia naprężenia obwodowego skorzystajmy z rys. 5 b. Ciśnienie p działające w dowonym punkcie wewnętrznego brzegu zbiornika -prostopade do tego brzegu - można rozłożyć na składową poziomą p i pionową p. Ze wzgędu na antysymetrię składowych poziomych - wywołana nimi siła zeruje się. Równowaga sił pionowych (rys. 5 b) prowadzi do równania: Całka występująca w (P5.) wynosi: p ds t= 0 (P3.) θ s p ds = p sinα ds= p R sinα dα = pr (P3.3) s s 0 Ostatecznie zatem równanie równowagi i wynikające z niego naprężenie obwodowe mają postaci: Rp tθ = Rp θ = (P3.4) t Zauważmy, że wprowadzając oznaczenia: naprężenia obwodowe i południkowe mają postaci: π = Rp t k= (P3.5) = = k (P3.6) θ Obciążenie eementu powierzchni zbiornika zawierającego szczeinę jest zatem identyczne jak to, które anaizowano w przykładzie (rys. a). Korzystając z uzyskanych w tym przykładzie rozwiązań (P.5) i (P.6), po wstawieniu do nich (P3.6) i prostych przekształceniach, otrzymujemy da niniejszego zadania następujące postaci współczynników intensywności naprężeń: z Rp Rp K = ( + sin β ) π K = sinβ cos β π (P3.7) t t
DYGRESJA - Na marginesie rozwiązania tego zadania nasuwa się autorowi pewna dygresja, którą uważa za godną przedstawienia. Chcąc przybiżyć ten przykład studentom, od wieu at posługuję się w czasie wykładów z wytrzymałości materiałów anaogią cienkościennego zbiornika z zamkniętymi denkami do parówki. zadaję studentom pytanie, jak gotowana parówka (a zatem rozpychana od wewnątrz ciśnieniem pochodzącym od pęczniejącej zawartości) pęka. Wszyscy udzieają prawidłowej odpowiedzi, że zawsze wzdłuż. wówczas wykorzystuję wiedzę ścisłą (która wiedzie do tej samej konkuzji), aby wykazać słuchaczom, jak życie codzienne jest biskie nauk technicznych. W wieu przypadkach jak miałem okazję się przekonać jest to jedyny przykład, który po wieu atach pamiętają byi studenci! PRZYKŁAD 4 Obiczyć dopuszczaną długość szczeiny umieszczonej centranie w paśmie o szerokości 30 cm, poddanym równomiernemu rozciąganiu ciśnieniem o wartości 40 MPa. Krytyczna wartość współczynnika intensywności naprężeń wynosi 55 MPa m /, wytrzymałość doraźna na rozciąganie ma wartość 350 MPa. b b = 0,5 m = 40 MPa R m = 350 MPa K c = 55 MPa m / Dopuszczaną długość szczeiny wyznaczamy z warunku: K = K (P4.) Współczynnik intensywności naprężeń da anaizowanej konfiguracji ma postać okreśoną przez równanie (.7), tzn.: c ( ) ( ) ( ) 3 π K = + 0.8 b 0.88 b +.53 b (P4.) Rozwiązanie zadania sprowadza się zatem do znaezienia pierwiastka nieiniowego równania agebraicznego o postaci: 3.03 3 ( 0.853.8 45.6 ) 0 + + = (P4.3) Do jego rozwiązania użyto programu Mathcad, przy czym obiczenia wykonano da różnych wartości obciążenia, dzięki czemu możiwe było wyznaczenie krzywej nośności pasma - tzn. krzywej pozwaającej okreśić długość szczeiny dopuszczanej przy dowonym poziomie obciążenia, bądź aternatywnie okreśenie obciążenia dopuszczanego przy danej długości szczeiny. Wyniki obiczeń przedstawiono na rys. 6.
Rys. 6. Krzywe nośności da pasma ze szczeiną centraną. Z wykresu widać, że czym większe obciążenie tym mniejsza jest długość dopuszczana szczeiny. Zauważmy, że da szczein bardzo krótkich (.6 cm) obciążenie niszczące wynikające z rozwiązania zgodnego z mechaniką pękania jest większe niż wytrzymałość doraźna. Oznacza to, że pasmo uegnie zniszczeniu nie wskutek obecności szczeiny, ae w wyniku przekroczenia wytrzymałości (utrata nośności). Szczeina nie powoduje w tym wypadku zmniejszenia nośności pasma. Zwróćmy także uwagę na to, że da szczein o długości przekraczającej cm uzyskane rozwiązanie jest wątpiwe, gdyż wykorzystany w rozwiązaniu współczynnik intensywności naprężeń obowiązuje w zasadzie da stosunku /b nieprzekraczającego wartości 0.7. Z rys. 6 możemy odczytać rozwiązanie naszego zadania. Da obciążenia 40 MPa dopuszczana wartość długości szczeiny wynosi = 8,88 cm. Na rys. 6 pokazano również krzywą wytrzymałości uzyskaną na podstawie współczynnika intensywności naprężeń da pasma o nieograniczonych wymiarach. Równanie tej krzywej ma postać = K π (P4.4) c Z porównania obu krzywych na rys. 6 widać, że w przypadku szczein krótkich różnica między nimi jest znikomo mała. Wraz ze wzrostem długości szczeiny coraz siniejszy jest wpływ skończonej szerokości pasma, objawiający się tym, że da ustaonej długości szczeiny wytrzymałość takiego pasma jest mniejsza niż pasma nieskończonego. W anaogiczny sposób do przedstawionego powyżej można wyznaczać krzywe nośności da innych konfiguracji ciała ze szczeiną. PRZYKŁAD 5 Obiczyć dopuszczaną długość centranej szczeiny, jaką można wprowadzić do rozciąganego pasma o szerokości b osłabionego dwiema szczeinami krawędziowymi o długości każda, nie zmniejszając nośności pasma.
b b = 0 5 m = 0.05 m Zadanie rozwiążemy przy założeniu, że szczeina centrana znajduje się dostatecznie daeko od szczein krawędziowych, można więc zaniedbać interakcję szczein. WN da pasma ze szczeinami krawędziowymi opisuje równanie (.0). 3 π K =. + 0.. +.93 b b b Obciążenie krytyczne wynikające z warunku K =K c wyraża się zaeżnością: (P5.) kr =.379 K c (P5.) Da szczeiny centranej współczynnik intensywności naprężeń obiczamy z równania (.7): 3 K = π + 0.8 0.88 +.53 b b b Obciążenie krytyczne da takiej szczeiny wyraża się zaeżnością: ( ) = K.77 + 0.907 8.67 + 7.76 3 kr c (P5.3) (P5.4) Z tematu zadania wynika, że wprowadzenie szczeiny centranej do pasma ze szczeinami krawędziowymi nie może zmniejszać jego nośności - między obciążeniami krytycznymi da tych dwu sytuacji musi zachodzić zatem warunek: < (P5.5) kr kr Wstawiając (P5.) i (P5.4) do (P5.5), po wykonaniu obiczeń otrzymujemy dopuszczaną długość szczeiny centranej <.88 cm (P5.6) Zauważmy, że długość szczeiny, jaką można wprowadzić do pasma bez zmniejszenia jego nośności jest większa nie tyko od długości pojedynczej szczeiny krawędziowej (5 cm), ae nawet od sumy długości obu szczein krawędziowych. Świadczy to o tym, że obniżenie nośności na skutek obecności szczeiny zaeży nie tyko od jej długości, ae również konfiguracji ciało-obciążenie-szczeina, wyrażonej postacią współczynnika intensywności naprężeń.
PRZYKŁAD 6 Porównać nośność rozciąganego pasma o szerokości b w trzech przypadkach: ) ze szczeiną centraną, ) z jedną szczeiną krawędziową, 3) z dwiema szczeinami krawędziowymi o długości każda. Współczynniki intensywności naprężeń da rozważanych konfiguracji mają postaci: 3 b=0.5 m b=0.5 m b=0.5 m 3 π K = + 0.8 0.88 +.53 b b b 3 4 π K =. 0.3 + 0.55.7 + 30.39 b b b b (P6.) (P6.) 3 π 3 K =. + 0.. +.93 b b b (P6.3) Obciążenie krytyczne kr, a zatem i nośność, wynika z warunku K =K c. Wyniki odpowiednich obiczeń przedstawiono na rys. 7. Rys. 7. Obciążenie krytyczne kr /K c w funkcji bezwymiarowej długości szczeiny /b.
Z rys. 7 widać, że przy ustaonej długości szczeiny najmniejszą nośność ma zawsze pasmo z jedną szczeiną krawędziową, mimo że nominana powierzchnia przekroju (tzn. powierzchnia całkowita pomniejszona o powierzchnię szczeiny) w płaszczyźnie szczeiny jest w tym przypadku największa. Uogóniając tę obserwację można powiedzieć, że niesymetryczne konfiguracje ciało-szczeinaobciążenie są szczegónie niebezpieczne, gdyż najbardziej obniżają nośność eementu konstrukcyjnego. PRZYKŁAD 7 Porównać nośność rozciąganego pasma o szerokości b ze szczeiną centraną stosując met. mechaniki pękania oraz met. naprężeń nominanych. b=0.5 m B żeiwo sferoidane Zs 3707 K c = 58.5 MNm -3/ R m = 480 MPa Kasyczny sposób wyznaczania nośności rozciąganego eementu osłabionego otworem czy nacięciem poega na wykorzystaniu przy obiczaniu naprężenia tzw. przekroju nominanego. Jego powierzchnia jest równa powierzchni przekroju całkowitego pomniejszonej o powierzchnię nacięcia. Przekrój nominany ma więc powierzchnię równą: gdzie: A = b B. Warunek równowagi sił ma postać: Anom = A Aszcz = A b (P7.) A= nom Anom nom = b (P7.) Korzystając z warunku wytrzymałościowego nom <R m otrzymujemy następującą zaeżność okreśającą nośność pasma: kr nom = Rm b (P7.3) Mechanika pękania wykorzystuje kryterium zniszczenia K =K c. Współczynnik intensywności naprężeń da pasma ze szczeiną centraną ma postać: 3 π K = + 0.8 0.88 +.53 b b b Nośność opisana jest zatem następującym równaniem: (P7.4)
kr szcz = K c π + 0.8 0.88 +.53 b b b Krzywe nośności (P7.3) i (P7.5) przedstawiono na rys. 8. 3 (P7.5) Rys. 8. Nośność rozciąganego pasma ze szczeiną centraną. Widać, że o nośności eementu może decydować zarówno kryterium naprężeń nominanych, jak i kryterium mechaniki pękania - zaeżnie od stosunku długości szczeiny i szerokości pasma. W anaizowanym zadaniu taką wartością graniczną tego stosunku jest /b 0.0. Oznacza to, że da szczein o długości całkowitej mniejszej od ok. cm odpowiednie jest kryterium naprężeń nominanych (daje ono mniejszą nośność eementu), a da szczein dłuższych od cm naeży posługiwać się metodami mechaniki pękania.