Zmęczenie Materiałów pod Kontrolą

Transkrypt

1 1 Zmęczenie Materiałów pod Kontrolą Wykład Nr 8 PODTAWY MECHANIKI PĘKANIA Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

2 8.1. PROBLEMY DO ROZWIĄZANIA W ANALIZIE TOLERANCJI UZKODZEŃ Rys.8.1. Wzrost pęknięcia w czasie (a) i wykres wytrzymałości resztkowej (b) a o a kr P res początkowa długość pęknięcia, tj. istniejąca przed rozpoczęciem pracy konstrukcji, krytyczna długość pęknięcia, długość pęknięcia przy której dla danego poziomu naprężenia lub obciążenia nastąpi zniszczenie konstrukcji (por. p. 1.1), tzn. że przy a = a kr prędkość wzrostu pęknięcia da/dt lub da/dn staje się nieskończona, wytrzymałość resztkowa, tj. wytrzymałość konstrukcji zawierającej pęknięcie - naprężenie lub obciążenie, które spowoduje gwałtowne zniszczenie konstrukcji zawierającej pęknięcie o określonej długości, P pr wytrzymałość projektowa - naprężenie lub obciążenie które spowoduje zniszczenie konstrukcji zawierającej pęknięcie o początkowej długości P max (P u ) maksymalne (normalne) przewidywane naprężenie lub obciążenie użytkowe.

3 8.1. PROBLEMY DO ROZWIĄZANIA W ANALIZIE TOLERANCJI UZKODZEŃ Rys.8.1. Wzrost pęknięcia w czasie (a) i wykres wytrzymałości resztkowej (b) Prędkość wzrostu pęknięcia tg - rys. (a) rośnie ze wzrostem długości pęknięcia a. a dop a < a u zniszczenie konstrukcji może nastąpić gdy w trakcie eksploatacji wydarzą się nieprzewidywane przeciążenia (P u < P P max ) a = a u zniszczenie przy normalnym przewidywanym obciążeniu użytkowym Komentarze: Bezpieczna praca konstrukcji: pęknięcie musi zostać wykryte i naprawione (lub element wymieniony) zanim osiągnie wymiar a dop. H okres bezpiecznej pracy konstrukcji, w której rozwija się pęknięcie; równocześnie czas dostępny na wykrycie i naprawę konstrukcji 3

4 PROBLEMY DO ROZWIĄZANIA W ANALIZIE TOLERANCJI UZKODZEŃ Rys.8.1. Wzrost pęknięcia w czasie (a) i wykres wytrzymałości resztkowej (b) Do przeprowadzenia analizy tolerancji uszkodzeń konieczna jest znajomość: I. prędkości rozwoju pęknięcia pod działaniem historii obciążenia przewidywanej w eksploatacji danej konstrukcji - wykres a) II. wpływu pęknięcia na zdolność konstrukcji do przenoszenia obciążeń - wykres b) Konstrukcję wykresów a) i b) umożliwia Mechanika Pękania

5 5 8.. LINIOWO PRĘŻYTA MECHANIKA PĘKANIA (LMP) tan naprężenia przed frontem pęknięcia Rys. 8.. Trzy sposoby pękania w zależności od sposobu obciążenia ciała. Najważniejszy praktycznie jest sposób pękania I (pierwszy sposób pękania) - rys. 8.. Przemieszczenia powierzchni pęknięcia są prostopadłe do płaszczyzny rozwoju pęknięcia (x, z), tzn. mają kierunek y.

6 6 8.. LINIOWO PRĘŻYTA MECHANIKA PĘKANIA (LMP) tan naprężenia przed frontem pęknięcia Rys Definicja współrzędnych przed frontem pęknięcia. Pole naprężeń przed frontem pęknięcia w ciele idealnie sprężystym: i i K i i= I, II lub III f ( ) (8.1) jk r jk j,k=x,y lub z gdzie: K (i) współczynnik intensywności naprężeń odnoszący się do jednego z 3 sposobów pękania z rys Wymiar K: MPa m = MNm -3/ lub MPa mm = Nmm -3/

7 8.. LINIOWO PRĘŻYTA MECHANIKA PĘKANIA (LMP) tan naprężenia przed frontem pęknięcia i i K i i= I, II lub III jk f jk ( ) (8.1) r Rys Definicja współrzędnych przed frontem pęknięcia. j,k=x,y lub z Komentarze do równań (8.1.): Gdy r 0, jk. Wszystkie składowe naprężenia mają osobliwość w wierzchołku pęknięcia (r = 0). Funkcje f jk (i) () są niezależne od geometrii i długości pęknięcia. tąd dla danego sposobu pękania (i) K (i) jednoznacznie określa stan naprężenia (a także stan odkształcenia i przemieszczenia) przed frontem pęknięcia. Równania (8.1) są ważne tylko w pobliżu wierzchołka pęknięcia, tzn. gdy r << a. Współczynnik intensywności naprężeń jest podstawowym parametrem LMP, który jednoznacznie określa stan naprężenia przed frontem pęknięcia. K (i) zależy od geometrii, sposobu obciążenia, wielkości obciążenia i długości pęknięcia a (jest rosnącą funkcją a i poziomu obciążenia). 7

8 8 8.. LINIOWO PRĘŻYTA MECHANIKA PĘKANIA (LMP) tan naprężenia przed frontem pęknięcia Postać równań (8.1) w przypadku sposobu pękania: i i= I, II lub III i K i jk f jk ( ) (8.1) r j,k=x,y lub z (8.)

9 9 8.. LINIOWO PRĘŻYTA MECHANIKA PĘKANIA (LMP) tan naprężenia przed frontem pęknięcia i i K i i= I, II lub III jk f jk ( ) (8.1) r j,k=x,y lub z (8.) Komentarz do równań (8.): Gdy = 0, xy = 0, tzn. naprężenia x i y są naprężeniami głównymi i wynoszą: x y K I r (8.3) Rys Naprężenia normalne do płaszczyzny pęknięcia wg sposobu pękania.

10 LINIOWO PRĘŻYTA MECHANIKA PĘKANIA (LMP) Typowa forma przedstawienia K I : K I = F gdzie: naprężenie w przekroju pęknięcia policzone zazwyczaj z pominięciem pęknięcia, tzw. naprężenie w przekroju brutto F bezwymiarowa funkcja zależna od geometrii, sposobu obciążenia oraz stosunku a/w, przy czym: a długość pęknięcia, W wymiar geometryczny na kierunku (w płaszczyźnie) propagacji pęknięcia, np. szerokość próbki (elementu) πa

11 8.. LINIOWO PRĘŻYTA MECHANIKA PĘKANIA (LMP) 8... Wyznaczanie współczynnika intensywności naprężeń K I Przykłady rozwiązań K I dla pęknięć w płycie o nieskończonych wymiarach (W=) a) Nieskończona płaszczyzna b) rozciągana nieskończenie daleko od pęknięcia naprężeniami Półnieskończona płaszczyzna z pęknięciem krawędziowym a B K I = πa (8.4) a B K I = 1. 1 πa (8.5) c) Okrągłe pęknięcie o promieniu r=a w d) bryle o nieskończonych wymiarach Powierzchniowe pęknięcie półkoliste w półnieskończonej bryle: a K I = π πa (8.6) K I = 1. 1 π πa (8.7) a W przypadku bardziej skomplikowanych geometrii K wyznacza się korzystając z rozwiązań przybliżonych, uzyskanych np. a) metodą elementów skończonych (standardowe programy); b) metodą funkcji wagi. 11

12 c c c 8.. LINIOWO PRĘŻYTA MECHANIKA PĘKANIA (LMP) 8... Wyznaczanie współczynnika intensywności naprężeń K I W literaturze znajdują się zbiory rozwiązań K dla różnych kształtów pęknięć (por. rys. 8.5), różnych geometrii (np. pęknięcia w osiach, rurach, krążkach, płytach z żebrami usztywniającymi, spoinach różnych kształtów i innych) oraz różnych sposobów obciążeń. a a a a a a pęknięcie narożne (ćwierćeliptyczne) pęknięcie powierzchniowe (półeliptyczne) pęknięcie wewnętrzne (eliptyczne) Rys chematyzacja kształtów pęknięć. 1

13 LINIOWO PRĘŻYTA MECHANIKA PĘKANIA (LMP) Tabela 8.1. Rozwiązania K I dla próbek najczęściej używanych w badaniach laboratoryjnych Próbka M(T) K I = P W a πa cos πa W a W a Próbka DE(T) K I = πa a W a W Próbka kompaktowa: C(T) K I = πa a W a W dla 0 < a/w < a W 3 dla 0 < a/w < a W a W 4 a W 3 Próbka E(T) a P W B K I = P B W + a W 1 a 3/ a W a W W dla a/w a W a W 4

14 a a W W LINIOWO PRĘŻYTA MECHANIKA PĘKANIA (LMP) Tabela 8.1. Wyznaczanie współczynnika intensywności naprężeń K I c.d. M g = Pb 4 P B P/ b P/ Próbka E(B) zginana trójpunktowo K I = 6M g BW πa a W 1 a W 3/ 1. 1 a W 1 a W a W a W M g = Pc P c P P c B P Próbka E(B) zginana czteropunktowo K I = 6M g BW πa a W a W a W a W 4

15 8.3. TREFA PLATYCZNA PRZED FRONTEM PĘKNIĘCIA Liniowo - sprężysta analiza naprężeń przewiduje, że w wierzchołku ostrego pęknięcia naprężenia osiągają nieskończone wartości. W rzeczywistości naprężenia są skończone z powodów: a) skończony promień wierzchołka pęknięcia b) zjawisko plastyczności w metalach (np. materiał sprężysto-idealnie plastyczny: R e ) Podstawiając y = R e w równaniu (8.3) dostajemy: r 0 1 K 1 R e (8.4) Materiał bez umocnienia: dla r r 0 y = R e Rys trefa plastyczna w wierzchołku pęknięcia 15

16 8.3. TREFA PLATYCZNA PRZED FRONTEM PĘKNIĘCIA r 0 1 K 1 R e (8.4) Rys Warunek równowagi wymaga by siły wewnętrzne w przekroju pęknięcia (płaszczyzna x, z, por. rys. 8.) były równe sile zewnętrznej. Dlatego przy uplastycznieniu następuje redystrybucja naprężeń: pole A = pole B. W konsekwencji zasięg strefy plastycznej r p r o. Wzór Irwina (1960): r 0 1 K gdzie: - współczynnik skrępowania ( 1) Wartość zależy od stanu naprężenia w strefie plastycznej pęknięcia, tzn. płaski stan naprężenia (PN: PN = 1) lub płaski stan odkształcenia (PO: PO = 3) - patrz. p R e (8.4) 16

17 PLAKI TAN NAPRĘŻENIA (PN) a PŁAKI TAN ODKZTAŁCENIA (PO) Ocena współczynnika w równaniu (8.9) Rys Trójosiowy stan naprężenia w wierzchołku pęknięcia. Materiał w pobliżu wierzchołka pęknięcia poddany jest w kierunku y naprężeniom wyższym, niż materiał otaczający. Duże odkształcenie w kierunku y wymagają transferu materiału w kierunku z i x, czemu zapobiega otaczający materiał. Konsekwencja: trójosiowy stan naprężenia w pobliżu wierzchołka pęknięcia, z wyjątkiem powierzchni płyty, gdzie z = 0. Powierzchnie płyty: PN: z = 0 Środek płyty r<<b: PO: z = 0; z = ( x + y ) tan naprężenia w obrębie strefy plastycznej: a) r p << B PO; ilościowo: B. 5 K Ic R e b) r p i B tego samego rzędu PN; (8.10)

18 8.4. PLAKI TAN NAPRĘŻENIA (PN) a PŁAKI TAN ODKZTAŁCENIA (PO) Wyznaczenie współczynnika w rów. (8.9) dla PO i PN: Na podstawie kryterium plastyczności von Misesa: R e 1 ( Współczynnik skrępowania: 1 ) ( 3) ( 3 1) PO σ 1 = σ = K I πr, σ 3 = ν σ 1 + σ (8.13) (8.11) α = σ 1 R e (8.1) PN σ 1 = σ = K I πr, σ 3 = 0 (8.16) (10.13) (10.11): σ 1 = σ = R e 1 ν (8.14) (10.16) (10.11): σ 1 = σ = R e (8.17) Dla = 1/3: = 3 tąd (por. rów. 8.9): co oznacza: = 1 tąd (por. rów. 8.9): r 0, PO 1 9 K R 1 e (8.15) r 0, PN 1 K R 1 e (8.18) 18

19 PLAKI TAN NAPRĘŻENIA (PN) a PŁAKI TAN ODKZTAŁCENIA (PO) Rys Rozkład naprężeń normalnych do płaszczyzny pęknięcia: a) PN; b) PO (dla = 1/3). Komentarz do rys. 8.8 b): Na skutek zaokrąglenia wierzchołka pęknięcia (r = 0) mamy: σ 1 = σ y = K I πr, σ = σ z = νσ y, σ 3 = σ x = 0 Z (8.11) otrzymujemy uwzględniając (8.1): α = 1 ν ν dla ν = 0. 1 α = 1. 33

20 PLAKI TAN NAPRĘŻENIA (PN) a PŁAKI TAN ODKZTAŁCENIA (PO) Rys chematyczne przedstawienie trzech przypadków stanu naprężenia w strefie plastycznej przed frontem pęknięcia: PN (r p B); b) PO (B.5 (K I /R e ) ); c) przypadek pośredni miedzy a) i b); d) kształt strefy plastycznej w przypadku c). Na podstawie licznych obserwacji przy doświadczalnym wyznaczaniu odporności na pękanie K IC (patrz p.8.6) sądzi się, że w strefie plastycznej pęknięcia panuje PO, gdy spełnione są następujące warunki: (8.19) B, a, W a, h. 5 K I R e Rys chemat objaśniający warunek 8.19

21 KIEDY MOŻNA TOOWAĆ LMP Założenie: r p << r k, gdzie: r k zakres ważności równań (8.) Uważa się, że LMP można stosować, gdy: a, W a, h 4r p.pn = 4 π K R e (8.0) Uwaga 1: (8.19) jest ze względu na a, (W a) i h warunkiem mocniejszym niż (8.0), bo.5 > 4/ Wniosek: wymagania LMP są zawsze spełnione w warunkach PO przed frontem pęknięcia Uwaga : Jeżeli koncepcję K stosujemy poza granicami ważności LMP, to nie doceniamy szkodliwości pęknięcia (wyniki niezachowawcze).

22 8.6. ODPORNOŚĆ NA PĘKANIE K IC W określonych warunkach pomiarów współczynnik intensywności naprężeń K I, przy którym pęknięcie osiąga wymiar krytyczny a kr (por. p. 8.1) jest stałą materiałową; nosi ona nazwę odporności na pękanie, K Ic Zasadniczo K IC charakteryzuje wrażliwość materiału na pęknięcia przy obciążeniach statycznych. Warunek ważności pomiaru K Ic : ponieważ K Ic jest wartością K I w chwili zniszczenia, muszą być spełnione założenia LMP tzn. nierówności (8.0) Ponieważ jednak odporność na pękanie jest stałą materiałową tylko w warunkach PO, w momencie zniszczenia muszą być spełnione nierówności (8.19), które są mocniejsze, niż (8.0) patrz p. 8.5, uwaga 1, tzn.: B, a, W a kr, h. 5 K Ic (8.1) R e gdzie: a kr długość pęknięcia w chwili zniszczenia próbki. pełnienie (8.1) wymaga oceny K Ic jeszcze przed badaniem.

23 ODPORNOŚĆ NA PĘKANIE K IC Pomiar K Ic Norma UA: E i będąca jej tłumaczeniem PN-87/H Rys Próbka C(T) (Compact Tension) znormalizowana geometria do pomiaru odporności na pękanie Procedura wyznaczania K Ic składa się z dwóch etapów: 1. Badanie zmęczeniowe przy stałej amplitudzie obciążenia do wytworzenia pęknięcia zmęczeniowego o określonej długości a (por. rys. 8.11);. Rozciąganie statyczne (rejestracja siły P w funkcji przemieszczenia rys. 8.1)

24 8.6. ODPORNOŚĆ NA PĘKANIE K IC Rys Typy wykresów siła - przemieszczenie w fazie badania K Ic : O E - wykres materiału idealnie sprężystego; 5% - linia o nachyleniu o 5% mniejszym niż linia O E; punkt B - zerwanie próbki. Wymaganie: nieliniowość wykresu P V spowodowane generacją strefy plastycznej w wierzchołku pęknięcia powinna być ograniczona do obszaru między liniami O E i 5%. Jeżeli punkt B znajduje się poza tym obszarem, jak na rys. 8.1 b, to do wyznaczenia K Ic należy przyjąć P kr = P 5. Po wykonaniu badania obliczamy krytyczną wartość współczynnika intensywności naprężeń w chwili zniszczenia próbki ze wzoru: gdzie: 3 4 F ( ) 3/ (1 ) przyjmując a kr = (a 1 + a + a 3 )/3 por. rys oraz P kr = P 5 por. rys K F Pkr B W kr (8.) a W - por. Tabela 8.1 4

25 ODPORNOŚĆ NA PĘKANIE K IC 3 możliwości: I. Jeżeli tak wyznaczona wartość K kr spełnia nierówność (8.1), to K kr = K Ic II. Jeżeli wyznaczona wartość K kr nie spełnia nierówność (8.1) warunkującej PO, ale spełnia nierówność (8.0) warunkującą ważność LMP, to odpowiada ona parametrowi K 1c. K 1c jest odpornością na pękanie zmierzoną w warunkach PN i ważną jedynie dla tej grubości materiału, przy której był wykonany pomiar. Uwaga: K 1c (B) > K Ic Rys Wpływ grubości próbki na krytyczną wartość współczynnika intensywności naprężeń w I sposobie pękania, K Ikr III. Jeżeli nie jest spełniona nierówność (8.0), pomiar jest nieważny

26 8.6. ODPORNOŚĆ NA PĘKANIE K IC Wpływ różnych parametrów na K Ic Wartości K Ic dla metali inżynierskich: najczęściej 0 do 00 MPa m. a) Wpływ doraźnej wytrzymałości na rozciąganie: Dla danej klasy materiałów ze wzrostem R m i R e maleje ciągliwość, czemu towarzyszy spadek K Ic, rys Rys Wpływ zmiany granicy plastyczności spowodowanej odpowiednią obróbką cieplną na odporność na pękanie stali konstrukcyjnej AII Wniosek: użycie materiału o wysokiej wytrzymałości obniża odporność konstrukcji na pękanie, co ilustruje przykład poniżej. 6

27 ODPORNOŚĆ NA PĘKANIE K IC Wpływ różnych parametrów na K Ic Przykład 8.1 a) Wpływ doraźnej wytrzymałości na rozciąganie: Obliczyć krytyczną długość pęknięcia przy naprężeniu równym 0.5R m w nieskończonej płaszczyźnie rozciąganej nieskończenie daleko od pęknięcia - geometria a) z p a B (8.4) K I = πa = 0. 5 R m a kr = 1 π K Ic R m Materiał R m R e a kr MPa MPa MPa m mm tal tal 300 ulep. cieplnie top Al T K Ic

28 ODPORNOŚĆ NA PĘKANIE K IC Wpływ różnych parametrów na K Ic a) Wpływ doraźnej wytrzymałości na rozciąganie: Dyskusja wyników przykładu 8.1: Materiał R m R e a kr MPa MPa MPa m mm tal tal 300 ulep. cieplnie top Al T Rys Wykresy wytrzymałości resztkowej res = K Ic πa w funkcji długości pęknięcia a (w tym przypadku a=a kr, bo przy = res zniszczenie). K Ic Wniosek: Im wyższa odporność na pękanie K Ic, tym wyższa wytrzymałość resztkowa.

29 ODPORNOŚĆ NA PĘKANIE K IC Wpływ różnych parametrów na K Ic a) Wpływ doraźnej wytrzymałości na rozciąganie: Dyskusja wyników przykładu 8.1: Materiał R m R e a kr MPa MPa MPa m mm tal tal 300 ulep. cieplnie top Al T Rys Wykresy znormalizowanej wytrzymałości resztkowej res /R m w funkcji długości pęknięcia a=a kr. K Ic Wniosek: Przy równej procentowo utracie wytrzymałości stop 7075-T6 toleruje dłuższe pęknięcie, niż pozostałe materiały, bo ma on najwyższy stosunek (K Ic /R m ), por. równanie (8.3).

30 ODPORNOŚĆ NA PĘKANIE K IC Wpływ różnych parametrów na K Ic b) Wpływ temperatury: Rys Zależność odporności na pękanie od temperatury dla stali wirnikowych. Dla danego gatunku stali istnieje zakres temperatur t tr, w którym K Ic maleje wraz z temperaturą. Przyczyna: zmiana fizycznego mechanizmu zniszczenia. Powyżej tego zakresu: zniszczenie poprzez tworzenie, łączenie i rozwój mikropustek - duże odkształcenie plastyczne. Poniżej tego zakresu: zniszczenie w płaszczyznach krystalograficznych o niskiej wytrzymałości (tzw. przełom łupliwy) - małe odkształcenie plastyczne Uwaga: przy ustalaniu temperatury pomiaru K Ic należy pamiętać, że region t tr może przesuwać się nawet o 50 0 C i że K Ic cechuje w tym regionie duży rozrzut statystyczny.

31 ODPORNOŚĆ NA PĘKANIE K IC Wpływ różnych parametrów na K Ic c) Wpływ innych czynników: i. Wartość K Ic maleje wraz ze wzrostem z szybkości obciążenia (w części statycznej pomiaru tzn. w fazie drugiej por ) ii. iii. Zanieczyszczenia niemetaliczne powodują obniżenie K Ic (np. wtrącenia siarki w stali) Procesy technologiczne, np. kucie, walcowanie, wyciskanie powodują silną anizotropię odporności na pękanie. Zniszczenie jest łatwiejsze, gdy pęknięcie rośnie równolegle do kierunku wydłużonych kryształów, wtrąceń, pustek (czyli np. równolegle od kierunku walcowania).

32 PĘKNIĘCIA W PŁAKIM TANIE NAPRĘŻENIA. Wykres Feddersena (1971) W materiałach ciągliwych, np. stal niskowęglowa, grubość B min wymagana do pomiaru K Ic (por. warunek 8.1) jest tak duża, że pomiar nie ma sensu praktycznego. Wyznaczamy wtedy K 1c (dla danej grubości B B min ); por. rys Wytrzymałość resztkowa, res K 1c kr = R A f(a W) e linia K 1c =const 3 R e B Rys Wykres Feddersena C πa płynięcie przekroju netto pl = R e 1 a W D a 1 a B a C =W/6 a a D =W/ Długość pęknięcia, a Linia kr naprężenie krytyczne przy danej długości pęknięcia a. Linia prosta pl uplastycznienie przekroju netto, A netto =(W a)b, przy danej długości pęknięcia a : gdy a= 0, pl = R e ; gdy a = W, pl = 0. Założenie: R e (materiał sprężysto idealnie plastyczny) Dla a a 1 i a a LMP (linia kr ) przewiduje, że naprężenia krytyczne osiągnąć mogą wartość kr > R e, co jest niemożliwe.

33 PĘKNIĘCIA W PŁAKIM TANIE NAPRĘŻENIA. Wytrzymałość resztkowa, res K 1c kr = R A f(a W) e linia K 1c =const 3 R e B Rys Wykres Feddersena C πa płynięcie przekroju netto pl = R e 1 a W D a 1 a B a C =W/6 a a D =W/ Długość pęknięcia, a Propozycja Feddersena: Wytrzymałość resztkową elementu z pęknięciem res określa linia A B C D. Odcinek A B: styczna do linii kr z punktu A ( A = R e ; a = 0) B = /3 R e Odcinek C D: styczna do linii kr z punktu D ( D = 0; a = W/) a C = W/6 Zaleta: Bardzo dobra korelacja z danymi eksperymentalnymi z wyjątkiem małych szerokości W. Wada: Generalnie parametr K 1c jest mniej wiarygodny niż K Ic.