1. Miara i całka Lebesgue a na R d

1. Miara i całka Lebesgue a a R d 1. Miara. Mówimy, że rodzia podzbiorów S zbioru Ω jest σ-ciałem, jeśli wraz z każdym zbiorem zawiera oa jego dopełieie i jest zamkięta a sumowaie przeliczalych podrodzi. Fukcję zbioru ϕ : S [0, ], która jest przeliczalie addytywa, tz. spełia waruek ( ) (1.1) ϕ A k = ϕ(a k ), jeśli A k S są parami rozłącze, azywamy miarą a σ-ciele S. Zacziemy od pewych ogólych własości miary ϕ a σ-ciele S. 1.2. Jeśli E k S jest wstępującym ciągiem zbiorów, to ( ) ϕ E k = lim ϕ(e k). k Dowód. Niech A 1 = E 1 oraz A = E \ E 1 dla 2. Łatwo zauważyć, że zbiory A są parami rozłącze i E k = A. Zatem ( ϕ ) ( ) E k = ϕ E = =1 ( = lim ϕ k k =1 =1 ϕ(a ) = lim ϕ(a ) k =1 A ) = lim k ϕ(e k). 1.3. Jeśli E k S jest zstępującym ciągiem zbiorów skończoej miary, to ( ) ϕ E k = lim ϕ(e k). k Dowód. Niech E = E k i iech A k = E k \ E k+1 dla k 1. Łatwo zauważyć, że zbiory A k są parami rozłącze i E = E A k, Zatem ϕ(e ) = ϕ(e) + k= ϕ(a k ), gdzie drugi wyraz sumy dąży do zera, bo jest resztą zbieżego szeregu ϕ(a k ) ϕ(e 1 ). k=

2 Nietrudo zauważyć, że przekrój dowolej ilości σ-ciał jest też σ-ciałem. Dlatego dla każdej rodziy zbiorów A 2 Ω moża mówić o ajmiejszym σ-ciele zawierającym A. Fukcję zbioru ϕ : 2 Ω [0, ], która jest przeliczalie podaddytywa, tz. spełia waruek (1.4) ϕ ( ) A k ϕ (A k ), jeśli A k Ω, azywamy miarą zewętrzą a Ω. Pojęcie miary zewętrzej wystąpi w dowodzie aszego podstawowego twierdzeie. Zbiory postaci (2.1) A = 2. Półpierścień przedziałów [a k, b k ) będziemy azywali przedziałami (półotwartymi) w R, a rodzię wszystkich takich przedziałow ozaczymy przez P. Liczbę A = (b k a k ) azwiemy objętością przedziału. 2.2. Jeśli A i B są przedziałami, to A B jest także przedziałem, atomiast A \ B jest sumą ie więcej iż 2 rozłączych przedziałów. Rozbiciem przedziału A będziemy azywali rodzię parami rozłączych podprzedziałów π = {A k }, taką że A = k A k. 2.3. Dla każdej pary rozłączych przedziałów A 1, A 2 istieje rozdzielająca je hiperpłaszczyza. Dowód. Istieje oś, powiedzmy o umerze j, taka że rzuty A 1 i A 2 są rozłącze. Zatem dla pewej liczby 2.4. Jeśli {A k } jest rozbiciem A P, to, Dowód. Niech A 1 {x A : x j < c}, A 2 {x A : x j c}. A = A = A k. N A k R, k 1

gdzie suma jest rozłącza i A k są iepuste. Przeprowadzimy idukcję ze względu a N. Jeśli N = 1, to ie ma czego dowodzić. Gdy N 2, korzystając z (2.3), widzimy, że istieje hiperpłaszczyza x j = c, taka że A = B C, a poadto A 1 B, A N C. Mamy więc B = B = {x A : x j < c}, C = {x A : x j c}, N 1 B A k, C = N C A k. Zatem, jeśli twierdzeie jest prawdziwe dla rozbić co ajwyżej N 1-elemetowych (założeie idukcyje), to A = B + C = 2.5. Lemat. Jeśli P P i to P k=2 N B A k + C A k = I k, I k P, P I k. N A k. Dowód. Niech ε > 0. Dla każdego k iech A k P będzie takie, że I k A o k i A k ε/2 k. Niech poadto Q będzie przedziałem, takim że Q P i P Q + ε. Wtedy Q k A o k, 3 a więc a mocy zwartości Q istieje N, takie że N Q A k, skąd N P Q + ε A k + 2ε I k + 2ε. Wobec dowolości ε, otrzymujemy tezę. 2.6. Wiosek. Jeśli P P i P = I k, I k P, gdzie przedziały I k są parami rozłącze, to P = I k.

4 Dowód. Wiemy już, że P I k. Z drugiej stroy każda skończoa suma N I k ma dopełieie w P składające się ze skończoej liczby przedziałów A j, więc co wobec dowolości N daje N I k N M I k + A j = P, j=1 I k P. 3. Kostrukcja miary Lebesgue a 3.1. Twierdzeie. Istieje dokładie jeda miara borelowska µ, taka że (3.2) µ(i) = I. dla każdego przedziału I P. I. Dowód przeprowadzimy w kilku krokach. Najpierw zdefiiujemy miarę zewętrzą µ (E) = if{ I k : E I k }, gdzie I k P. Zdefiiowaa fukcja µ jest fukcją zbioru i ma astępujące własości µ : 2 Rd [0, ] 1) µ ( E k ) µ (E k ) dla dowolych E k R d, 2) µ (I) = I dla każdego I P. Własość pierwsza wyika wprost z defiicji, a druga z defiicji i Lematu 2.5. Widzimy więc, że µ jest miarą zewętrzą. Z 1) i 2) wyikają jeszcze dwie własości: 3) µ (A) µ (B), jeśli A B, 4) µ ( ) = 0. II. W drugim kroku zdefiiujemy pojęcie zbioru mierzalego. Zbiór E R d azywa się mierzaly, jeśli dla każdego A R µ (A) = µ (A E) + µ (A \ E). Ze względu a podaddytywość µ waruek te jest rówoważy ierówości (3.3) µ (A) µ (A E) + µ (A \ E). Będziemy cytować (3.3), mówiąc, że E spełia test mierzalości zbiorem A. Rodzię zbiorów mierzalych będziemy ozaczać przez M. 3.4. Jeśli µ (A) = 0, to A jest mierzaly.

Rodzię zbiorów miary zero będziemy ozaczać przez N. III. Trzecim i zasadiczym krokiem będzie 3.5. Twierdzeie. Rodzia M jest σ-ciałem, a µ : M [0, ] przeliczalie addytywą fukcją zbioru, a więc miarą. Dowód. Jest jase, że jeśli E M, to także E c M. Niech E, F M. Dla A R d µ (A (E F )) + µ (A \ (E F )) = µ ( ) (A E) (A E c F + µ (A E c F c ) µ (A E) + µ (A E c F ) + µ (A E c F c ) µ (A E) + µ (A E c ) µ (A), gdzie ajpierw testowaliśmy zbiór mierzaly F zbiorem A\E, a astępie zbiór mierzaley E zbiorem A. Stąd już łatwo wyika, że M jest zamkięta a skończoe sumy i iloczyy. Niech teraz E, F M będą rozłącze. Niech A R d. Z testu mierzalości zbioru F zbiorem A (E F ) wyika, że µ (A E) + µ (A F ) = µ (A (E F ) \ F ) + µ (A (E F ) F ) a stąd już przez łatwą idukcję µ ( A = µ (A (E F )), ) E k = µ (A E k ), o ile E k M są parami rozłącze. Ostatia własość pokazuje, że µ jest skończeie addytywa a M. Aby pokazać, że M jest zamkięta a przeliczale sumy, wystarczy ograiczyć się do sum zbiorów parami rozłączych. Jeśli E = i E k są parami rozłącze, to dla każdego µ (A \ E) + µ (A E k ) µ (A \ E k ) + µ (A E k ) µ (A), bo E k M, skąd a astępie µ (A \ E) + µ (A E k ) µ (A), µ (A \ E) + µ (A E) µ (A \ E) + µ (A E k ) µ (A), co pokazuje, że E M. Jeśli w ostatiej ierówości wstawimy A = E, otrzymamy µ (E k ) = µ (E), a więc przeliczalą addytywość µ a σ-ciele M. 5

6 IV. Możemy już uczyić ostati krok. 3.6. B(R d ) zawiera się w M. Dowód. Jako że M jest σ-ciałem, wystarczy w tym celu pokazać, że przedziały są mierzale. Niech więc I P i iech A R. Niech A I k. Wtedy I k = (I k I) I k \ I = (I k I) I kj, j gdzie przedziały I kj są parami rozłącze, więc I k = I k I + I kj µ (A I) + µ (A \ I), j skąd µ (A) µ (A I) + µ (A \ I). Położmy µ = µ B, µ = µ M. Skostruowaa fukcja µ to miara Lebesgue a, a µ uzupełioa miara Lebesgue a. Najczęściej ie będziemy (w aszej otacji) rozróżiać tych miar, pisząc µ zamiast µ. V. W te sposób zakończyliśmy aszą kostrukcję. Pozostaje jeszcze udowodić jedyość miary µ a zbiorach borelowskich. Przypuśćmy, że istieje druga miara borelowska ν : B [0, ] spełiająca waruek (3.2). Niech E B. Wtedy ν(e) ν(i ) = I, E I, =1 =1 =1 jeśli I są przedziałami, a wobec dowolości pokrycia ν(e) µ(e). Aby wykazać ierówość przeciwą, załóżmy, że E P, gdzie P jest przedziałem. Wtedy ν(p ) ν(e) = ν(p \ E) µ(p \ E) = µ(p ) µ(e), skąd µ(e) ν(e). Zatem obie miary zgadzają się a ograiczoych podzbiorach borelowskich. Dla dowolego E B, iech E = E [, ] d. Wtedy ν(e) = ν( E ) = lim ν(e ), µ(e) = µ( E ) = lim µ(e ), a poieważ obie miary zgadzają się a zbiorach E, zgadzają się też a zbiorze E. Zatem ν = µ. Tym samym zakończyliśmy dowód Twierdzeia 3.1.

4. Dalsze własości miary Lebesgue a 4.1. Miara Lebesgue a jest iezmieicza a traslacje. Iymi słowy, dla każdego x R d i każdego E M µ(e + x) = µ(e). Dowód. Z defiicji miary zewętrzej wyika, że dla dowolego zbioru A R d i dowolego x R d (4.2) µ (A + x) = µ (A). Wykorzystując (4.2) i test mierzalości łatwo sprawdzamy, że traslacja zbioru mierzalego jest też zbiorem mierzalym, co razem z (4.2) daje tezę. Pokażemy teraz, że uzupełioa miara Lebesgue a a M jest regulara. 4.3. Niech µ będzie uzupełioą miarą Lebesgue a a M. Dla każdego E M i każdego ε > 0 istieją zbiory F E G, gdzie F jest domkięty, a G otwarty, takie że µ(g\f ) < ε. Dowód. Niech E M i iech E = E [, ] dla N. Dla daego ε > 0 istieje zbiór otwarty G, taki że µ(g \ E ) < ε 2, E G. Zatem E G = =1 G, gdzie G jest otwarty, oraz µ(g \ E) µ(g \ E ) ε. =1 Na mocy praw de Morgaa istieje też zbiór domkięty F E, taki że µ(e \ F ) ε. Ostateczie więc µ(g \ F ) 2ε. 4.4. Wiosek. Jeśli E jest zbiorem mierzalym, to µ(e) = sup µ(k) = if µ(g), K E E G gdzie zbiory K są zwarte, a zbiory G otwarte. 5. Miara Lebesgue a a R Niech teraz d = 1. Zauważmy, że z faktu, że zbiory jedopuktowe mają miarę zero, i przeliczalej addytywości miary Lebesgue a wyika, iż a stąd µ(q) = 0, µ([0, 1] \ Q) = 1. Tak więc zbiór liczb iewymierych w odciku [0, 1] jest miary 1, chociaż ie zawiera żadego zbioru otwartego. a mocy regularości miary zawiera jedak zbiór domkięty miary tak bliskiej 1, jak tylko zechcemy. Warto się ad tym trochę zastaowić, bo asza ituicja butuje się przeciw temu! 7

8 Przypomijmy, że dla zbiorów A, B R i x R A + x = {a + x : a A}, A B = {a b : a A, b B}. Łatwo widzieć, że x A B wtedy i tylko wtedy, gdy A (B + x). 5.1. Twierdzeie (Steihaus). Jeśli E R jest zbiorem mierzalym miary dodatiej, to istieje ε > 0, taki że ( ε, ε) E E. Dowód. Niech I będą parami rozłączymi przedzałami takimi, że Wtedy E I, µ(e) 3 µ(i ). 4 =1 =1 µ(e I ) = µ(e) 3 µ(i ), 4 =1 =1 więc istieje przedział I = I, taki że µ(e I) 3 4 µ(i). Niech x < ε = µ(i) 4. Pokażemy, że x E E, co wobec dowolości x ozacza, że ( ε, ε) E E. Rzeczywiście, µ((e I) ((E I) + x) µ(i (I + x)) 5µ(I). 4 Gdyby zbiory E i i E I + x były rozłącze, mielibyśmy µ((e I) ((E I) + x) = 2µ(E I) 6µ(I), 4 co przeczy poprzediej ierówości. Tym bardziej, E (E + x), więc x E E, czego chcieliśmy dowieść. Widzimy więc, że chociaż zbiór miary dodatiej może ie zawierać żadego przedziału, to jest jedak a tyle duży, że zbiór różic jego elemetów taki przedział zawiera. Przykład. Odciek [0, 1) wraz z działaiem x y = m(x + y) tworzy grupę. Sprawdzimy, że jeśli E [0, 1) i q R, to µ (E q) = µ (E). W tym celu wystarczy się ograiczyć do 1 q 1. Niech ajpierw 0 < q 1. Mamy E q = (E + q) [0, 1) (E + q 1) [0, 1) c = E 1 E 2.. Niech ε > 0 i iech E + q P, P P,

9 gdzie P < µ (E) + ε. Wtedy ( µ (E q) µ (E 1 ) + µ (E 2 ) µ ) ( P [0, 1) + µ (P 1) [0, 1) c) ( µ ) ( P [0, 1) + µ (P ) [0, 1) c) ( = µ ) P P < µ (E) + ε, a więc (*) µ (E q) µ (E), gdy 0 < q 1. Aalogiczie postępujemy, by otrzymać (*) dla w przypadku 1 q < 0, co razem daje pożądaą rówość. Przykład. Podamy przykład zbioru iemierzalego. W zbiorze [0, 1) rozważmy relację x y x y Q. Nietrudo się przekoać, że jest to relacja rówoważości i klasą abstrakcji elemetu x R jest zbiór Q(x) = {m(x + q) : q Q}. Na mocy pewika wyboru istieje więc zbiór T [0, 1) mający z każdą klasą abstrakcji dokładie jede elemet wspóly. Zbiory T q 1 i T q 2 są rozłącze dla różych wymierych q 1, q 1 i mają wszystkie jedakową miarę zewętrzą µ(t q) = µ(t ) dla każdego q Q. Poadto [0, 1) = T q. q Q Twierdzimy, że zbiór T jest iemierzaly. W przeciwym bowiem razie zbiór [0, 1) przedstawiałby się jako przeliczala i rozłącza suma zbiorów mierzalych jedakowej miary, co jest iedorzeczością. Przykład. Rozważmy jeszcze przykład, który podaje pewe uogólieie kostrukcji zbioru Catora. Z odcika [0, 1] usuńmy przedział otwarty U 1 długości a 1 = q, gdzie 0 < q < 1. Następie ze zbioru [0, 1] \ U 1, który jest sumą dwóch rozłączych odcików domkiętych, usuńmy zbiór otwarty U 2 będący sumą dwóch przedziałow otwartych, po jedym z każdego odcika domkiętego, o łączej długości a 2 = q(1 a 1 ). Postępując idukcyje po krokach pozostaje am zbiór domkięty [0, 1] \ U będący sumą 2 rozłączych odcików domkiętych, a suma łącza długości usuiętych odcików otwartych µ(u ) = a. W kroku + 1 z każdego z tych odcików domkiętych usuwamy odciek otwarty, a łacza długość tych odcików wyosi (5.2) µ(u +1 ) = a +1 = q(1 a k ). Niech C = [0, 1] \ U k. Zbiór C jest iepustym zbiorem domkiętym miary 0, iezależie od wartości q. Zauważmy bowiem, że a k 1,

10 co wyika z kostrukcji. Zatem a 0 i a mocy (5.2) a k = µ(u k ) = 1, a więc µ(c) = 1 µ( U k ) = 0. Moża pokazać, że zbiór C jest rówoliczy ze zbiorem Catora, a więc ieprzeliczaly. 6. Fukcje mierzale Niech będzie day zbiór X z σ-ciałem B 2 X. Elemety B będziemy azywać zbiorami mierzalymi. Fukcja f : X [, ] azywa się mierzala, jeśli dla każdego α R zbiór f 1 ([, α)) = {x X : f(x) < α} ależy do B. 6.1. Fukcja f : X [, ] jest mierzala, wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego zbioru borelowskiego E B(R) jego przeciwobraz f 1 (E) jest elemetem σciała B. Jest rzeczą oczywistą, że jeśli f jest mierzala, to także fukcje f, αf, α R, są mierzale. 6.2. Lemat. Jeśli f, g są mierzale, a ϕ : (, ] 2 (, ] fukcją ciągłą, to h(x) = ϕ(f(x), g(x) jest mierzala. Dowód. Niech F : X (, ] 2 będzie określoa jako F (x) = (f(x), g(x)). Wtedy h 1 (U) = F 1 (ϕ 1 (U)). Jeśli U (, ] jest zbiorem otwartym, to istieją ciągi U k, V k otwartych zbiorów w (, ], takie że ϕ 1 (U) = k U k V k, więc h 1 (U) = k F 1 (U k V k ) = k f 1 (U k ) g 1 (V k ). Jako że f 1 (U k ), g 1 (V k ) B, także h 1 (U) B. 6.3. Wiosek. Jeśli f, g są fukcjami mierzalymi, to także f +g, f g i f są mierzale. 6.4. Jeśli (f ) jest ciągiem fukcji mierzalych zbieżym puktowo do fukcji f, to f jest też mierzala. Dowód. Wystarczy zauważyć, że {x X : f(x) > α} = N {x X : f (x) > α}. N

Fukcja mierzala f : X R azywa się prosta, jeśli przyjmuje tylko skończeie wiele wartości. Jeśli ϕ jest fukcją prostą o różych od zera i różych między sobą wartościach α 1,..., α N, to ( ) ϕ = gdzie N α k χ Ek, E k = {x X : ϕ(x) = α k } są zbiorami mierzalymi. Każda fukcja mierzala postaci ψ = β k χ Fk, k gdzie F k sa mierzale, a β k R, jest prosta, awet jeśli zbiory F k ie są parami rozłącze, a β k iekoieczie róże od zera. Postać ( ) fukcji prostej ϕ będziemy azywać kaoiczą. 6.5. Fukcje proste tworzą przestrzeń liiową. Jeśli ϕ jest fukcją prostą, to także ϕ jest fukcją prostą. 6.6. Jeśli f jest ieujemą fukcją mierzalą, to istieje rosący ciąg ieujemych fukcji prostych ϕ zbieży do f, przy czym zbieżość jest jedostaja, gdy f jest ograiczoa. Niech ajpierw 0 f M. Dla N iech { (k 1)M E,k = x X : f(x) < km i iech Jak łatwo zauważyć, ϕ = (k 1)M χ E.k. 0 f(x) ϕ (x) M, }, 1 k a więc zbieżość jest jedostaja w przypadku fukcji ograiczoej. Jeśli f jest ograiczoa, a awet przyjmuje wartość, postępujemy tak: Dla każdego M N defiiujemy f M = g M + Mχ EM, gdzie g M = mi(f, M), a E M = {x : f(x) > M}. Ciąg (f M ) zdąża do f, a każda z fukcji g M jest graicą odpowiediego ciągu fukcji prostych. 7. Defiicja całki Niech teraz µ będzie miarą a σ-ciele B 2 X. Dla ieujemej fukcji prostej w postaci kaoiczej 11 ϕ = k α k χ Ek defiiujemy ϕ dµ = k α k µ(e k ).

12 7.1. Jeśli ϕ jest ieujemą fukcją prostą, to µ ϕ (A) = ϕ dµ = χ A ϕ dµ jest miarą. 7.2. Jeśli ϕ, ψ 0 są proste,to (ϕ + ψ) dµ = A ϕ dµ + ψ dµ. Dowód. Niech ϕ = k α k χ Ek, ψ = j β j χ Fj będą postaciami kaoiczymi. Niech A kj = E k F j i A = k,j A kj. Wtedy (ϕ + ψ) dµ = + ψ) dµ = A(ϕ (ϕ + ψ) dµ k,j A kj = (α k + β j )µ(a kj ) dµ = α k µ(a kj ) + β j µ(a kj ) k,j k j j k = α k µ(e k ) = β j µ(f j ) = ϕ dµ + ψ dµ. k j Całkę dowolej ieujemej fukcji mierzalej defiiujemy jako f dµ = ϕ dµ, sup 0 ϕ f gdzie fukcje ϕ są proste. Poadto dla zbioru mierzalego E f dµ = fχ E dµ. E Następujące własości całki wyikają wprost z defiicji. Niech fukcje f, g 0 i zbiory A, B będą mierzale. Wtedy 1. Jeżeli f g, to 0 f dµ g dµ, 2. Jeżeli A B, to A f dµ B f dµ, 3. Jeżeli c [0, ], to cf dµ = c f dµ, 4. Jeśli µ({x : f(x) > 0}) = 0, to f dµ = 0. 8. Twierdzeia graicze 8.1. Lemat. Jeśli ciąg mierzalych fukcji ieujemych (f ) jest zbieży mootoiczie do fukcji f, to fdµ = lim f dµ.

Dowód. Jest jase, że lim f dµ fdµ. Dowiedziemy ierówości przeciwej. Niech 0 ϕ f będzie fukcją prostą, a 0 < c < 1. Niech E = {x X : f (x) cϕ(x)}. Łatwo zauważyć, że zbiory E są mierzale, mootoicze i X = E. Dlatego f dµ fdµ c ϕdµ E E a po przejściu do graicy lim f c ϕdµ. Wobec dowolości ϕ i c, otrzymujemy lim f fdµ. 13 8.2. Wiosek. Jeśli f, g są ieujemymi fukcjami mierzalymi, to (f + g)dµ = fdµ + gdµ. Dowód. Niech ϕ i ψ będą mootoiczymi ciągami ieujmych fukcji prostych zbieżymi odpowiedio do f i g. Wtedy (f + g) dµ = lim (ϕ + ψ ) dµ = lim ϕ dµ + lim ψ dµ = fdµ + gdµ. 8.3. Wiosek. Jeśli f 0 są mierzale, to f dµ = f dµ. 8.4. Lemat (Fatou). Jeśli f są ieujemymi fukcjami mierzalymi, to lim if f dµ lim if f dµ. Dowód. Niech f = lim if f i iech Mamy a więc g = if k f k. lim g = f, 0 g g +1 f +1, lim if f dµ = fdµ = lim g dµ lim if f dµ.

14 Będziemy mówili, że ciąg fukcji mierzalych jest zbieży puktowo prawie wszędzie, jeśli istieje zbiór miary zero E i fukcja mierzala f, taka że Zaczijmy od prostej uwagi. f(x) = lim f (x), x X \ E. 9. Przestrzeń fukcji całkowalych 9.1. Uwaga. Jeśli f jest ieujemą fukcją mierzalą i fdµ <, to zbiór ma miarę zero. E = {x X : f(x) = } Dowód. Istotie, zbiór E moża przedstawić jako przeliczaly przekrój gdzie więc E = E, E = {x X : f(x) }, µ(e ) 1 fdµ, µ(e) = lim µ(e ) = 0. Fukcję zespoloą f : X C { } azywamy mierzalą, jeśli dla dowolego otwartego U C { } przeciwobraz f 1 (U) jest mierzaly. Nietrudo zauważyć, że f = u + iv jest mierzala, wtedy i tylko wtedy gdy fukcje rzeczywiste u, v są mierzale. Zatem z mierzalości f wyika mierzalość fukcji f = u 2 + v 2, gdzie u = Re f, v = Im f. Jeśli f jest rzeczywista i mierzala, to mierzale są też fukcje f + = max(f, 0) 0, f = f + f 0. Fukcję f : f : X C { } azywamy całkowalą, jeśli f(x) µ(dx) <, a całkę z fukcji całkowalej określamy przez f(x)µ(dx) = u + (x)µ(dx) u (x)µ(dx) + i v + (x)µ(dx) i v (x)µ(dx). Zauważmy, że jeśli g ozacza jedą z czterech ieujemych fukcji składowych, to 0 g f,

a więc wszystkie cztery całki mają ses i są skończoe. Poadto, każda z tych fukcji jest skończoa poza zbiorem miary zero. Zbiór wszystkich fukcji całkowalych będziemy ozaczać przez L 1 = L 1 (X) = L 1 (X, µ). 15 9.2. Jeśli fukcje f, g są całkowale, to (f + g) dµ = f dµ + g dµ. Dowód. Wystarczy rozpatrzyć przypadek fukcji rzeczywistych. Niech F = f + g. Wtedy a więc skąd F + + F + F = f + f + g + g, F + + f + g = f + + g + + F, f + g = f + + g + + F +. Porządkując, mamy F ( F = f + f ) ( + g + g ), czyli F = f + 9.3. Jeśli f jest całkowala i α C, to αf dµ = α g. f dµ. Dowód. Najpierw łatwo sprawdzamy, że jeśli f jest rzeczywista, a liczba c R, to cf = c f, if = i f. Niech teraz f = u + iv, α = a + ib. Wtedy więc αf = au bv + i(av + bu), αf = a = a = α u b ( v + i a (u + iv) + ib f. v + b (u + iv) ) u 9.4. Jeśli f jest całkowala, to fdµ f dµ.

16 Dowód. Niech c będzie liczbą zespoloą o module 1, taką że fdµ = c fdµ. Wtedy fdµ = c fdµ = u + dµ + u + dµ u dµ = u dµ u dµ f dµ, gdzie po drugiej rówości pomięliśmy część urojoą, bo asza liczba fdµ jest rzeczywista. 9.5. Twierdzeie. Przestrzeń L 1 (X, µ) jest przestrzeią liiową ad C, a całka f fdµ ciągłym fukcjoałem liiowym. W przestrzei L 1 (X, µ) zdefiiujmy półormę f 1 = f dµ. 9.6. Twierdzeie (Lebesgue a o zbieżości zmajoryzowaej). Jeśli ciąg fukcji całkowalych f jest zbieży puktowo i ma majoratę f (x) g(x), g L 1 (X, µ), to graica f(x) = lim f (x) jest fukcją całkowalą i X f f 1 0. Dowód. Załóżmy a razie, że fukcje f są ieujeme i f 0. Wtedy rówież fukcje g f są ieujeme i a mocy lematu Fatou oraz rówości lim if( a ) = lim sup a mamy gdµ = lim(g f )dµ lim if (g f ) dµ gdµ + lim if ( f ) dµ = gdµ lim sup f dµ, skąd lim f dµ = lim sup f dµ = 0, bo fukcje f są ieujeme. Niech teraz f będą dowole. Niech f = lim f. Graica f jest mierzala i całkowala, bo f g. Stosując pierwszą część dowodu do ieujemego ciągu f f 0 fukcji całkowalych, który spełia f f 2g, otrzymujemy lim f f 1 = lim f f dµ = 0, co jest aszą tezą.

Jak łatwo widać, przestrzeń zerowa półormy f f 1, to L 1 0(X, µ) = {f L 1 (X, µ) : f 1 = 0} = {f L 1 (X, µ); f(x) = 0 dla p.w. x X}. Jako że L 0 (X, µ) zawiera się w jądrze fukcjoału f fdµ, fukcjoał te moża w aturaly sposób rozważać a przestrzei uormowaej L 1 (X, µ) = L 1 (Xµ)/L 0 (X, µ). 17 Jeśli f = f + L 1 0 (X, µ) jest klasą abstrakcji f, to fdµ = fdµ, f 1 = f dµ. Trzeba jedak pamiętać, że w przestrzei ilorazowej traci ses pojęcie zbieżości puktowej, które trzeba zastąpić pojęciem zbieżości puktowej prawie wszędzie. W dalszym ciągu będziemy operować fukcjami całkowalymi, pamiętając, że są oe reprezetatami klas abstrakcji fukcji rówoważych. Aby ie rozbudowywać admierie otacji będziemy opuszczać zak ad symbolem przestrzei ilorazowej. 9.7. Jeśli ciąg (f ) jest zbieży do f w L 1 (X), to istieje podciąg (f k ) zbieży do f prawie wszędzie. Dowód. Skoro ciąg (f ) jest zbieży w ormie L 1 (X), to istieje podciąg (f k ), taki że f k+1 f k 1 <. Przyjmijmy dla wygody, że f 1 = 0. Jeśli więc g = f k+1 f k, to g dµ f k+1 f k 1 < i w takim razie dla prawie wszystkich x f k+1 (x) f k (x) <, skąd wyika zbieżość szeregu, a więc i zbieżość ciągu (f k (x)) dla prawie wszystkich x. W istocie, mamy k k f k (x) = f 1 (x) + f j+1 (x) f j (x) = f j+1 (x) f j (x), a więc gdzie h(x) = j=1 lim k f k (x) = h(x), f k+1 (x) f k (x), j=1 h(x) g(x).

18 Na mocy twierdzeia Lebesgue a o zbieżości zmajoryzowaej, f k h 1 0, a więc f h 1 f f k 1 + f k h 1 0, gdy k, czyli f = h prawie wszędzie. 9.8. Przykład. Niech aszą przestrzeią miarową będzie odciek [0, 1] z miarą Lebesgue a. Dla każdego N rozważmy odciki [ k 1 E,k =, k ], 1 k. Ustawmy wszystkie te odciki w jede ciąg E m i zdefiujmy f m = χ Em. Łatwo widać, że f m 1 0, lim if f m (x) = 0, lim sup f m (x) = 1 dla wszystkich x [0, 1]. Tak więc ciąg zbieży w ormie L 1 może być rozbieży wszędzie. 9.9. Twierdzeie. Przestrzeń uormowaa L 1 (X, µ) jest zupeła. Dowód. Wystarczy pokazać, że każdy absolutie zbieży szereg elemetów L 1 jest zbieży. Niech więc f L 1 (X, µ) i f 1 <. =1 Niech g = =1 f. Fukcja g jest ieujemą fukcją mierzalą i a więc dla p.w. x X. Zatem szereg gdµ f dµ <, g(x) = f (x) < =1 f(x) = f (x) =1 jest zbieży p.w. i defiiuje fukcję całkowalą, bo f g p.w. Pozostaje pokazać, że f jest sumą szeregu f w ormie przestrzei L 1. Rzeczywiście, N N f f 1 = f f dµ = =1 =1 f dµ = =N+1 =N+1 =N+1 f dµ f 1 0, gdy N.

19 10. przestrzeie L p (X, µ) 10.1 (Nierówość Höldera). Niech p > 0, q > 0 oraz 1/p + 1/q = 1. Wtedy ( N N ) 1/p ( N 1/q a k b k a p k bk) q, a k, b k 0. 10.2 (Nierówość Höldera dla całek). Niech p > 0, q > 0 oraz 1/p + 1/q = 1. Wtedy ( ) 1/p ( 1/q fgdµ f p dµ g dµ) q, f, g 0. 10.3 (Nierówość Mikowskiego). Dla każdego 1 < p < mamy ( 1/p ( 1/p ( 1/p (f + g) dµ) p f dµ) p + g dµ) p, 0 f, g Mes. Dla fukcji mierzalej f i 1 < p defiiujemy ( f p = f p dµ oraz ) 1/p L p (X, µ) = {f Mes(X, µ) : f p < }. 10.4. Twierdzeie. Fukcjoał f f p jest ormą a przestrzei wektorowej L p (X, µ). Przestrzeń ta jest zupeła. Dowód. To że L p (Xµ) jest przestrzeią wektorową, a f f p ormą wyika z ierówośći Mikowskiego. Zupełości dowodzi się bardzo podobie do zupełości L 1 (X, µ). 10.5. Twierdzeie (Lebesgue a o zmajoryzowaej zbieżości dla L p ). Niech 1 < p <. Niech będzie daa ieujema fukcja g L p (X, µ) oraz ciąg fukcji f L p (X, µ), taki że f g. Jeśli ciąg (f ) jest zbieży p.w. do fukcji f, to f L p (X, µ) i f f p 0. Dowód. Ciąg fukcji całkowalych f p jest zbieży p.w. i zmajoryzoway fukcją całkowalą g p, więc a mocy twierdzeia Lebesgue a dla L 1 fukcja f p jest całkowala, czyli f L p (X, µ). Stosując raz jeszcze twierdzeie Lebesgue a do ciągu f f p zbieżego p.w. do 0 i zmajoryzowaego fukcją całkowalą 2 p+1 g p, otrzymujemy tezę. 10.6. Dla każdego 1 p < fukcje proste całkowale leżą gęsto w L p (X, µ). Dowód. Zauważmy ajpierw, że fukcja prosta ϕ = k α k χ Ek w postaci kaoiczej jest całkowala, wtedy i tylko wtedy gdy µ(e k ) < dla każdego k. Taka fukcja jest też całkowala z p-tą potęgą. Aby udowodić asze twierdzeie, wystarczy wskazać dla każdej fukcji ieujemej f L p (X, µ) ciąg całkowalych fukcji prostych ϕ, taki że f ϕ p 0.

20 Skoro f jest ieujema, istieje ciąg fukcji prostych 0 ϕ f zbieży puktowo do f. Fukcje ϕ są całkowale, bo f L p (X, µ). Na mocy twierdzeia Lebesgue a dla L p f ϕ p 0.