Agata Biderma Katedra Ekoometrii i Iformatyki, SGGW e-mail: abiderma@mors.sggw.waw.pl KLASYFIKACJA OBIEKTÓW OPARTA NA DWÓCH WZORCACH Streszczeie: W pracy, podao sposób porządkowaia obiektów (wierszy) w macierzy daych a podstawie dwóch wzorców. Propoowaa metoda, do budowy sytetyczego mierika geerującego porządek w zbiorze obiektów, wykorzystuje zarówo pojęcie wzorca, jak i fukcji uŝyteczości. Podae w pracy postacie fukcji uŝyteczości mają tą własość, Ŝe dwa obiekty, które są jedakowo odległe względem metryki Euklidesa od obiektu maksymalego oraz obiektu miimalego, mają tą samą uŝyteczość. W pracy zamieszczoy został przykład, który pokazuje, Ŝe obiekt uzay za ajgorszy według jedego wzorca moŝe być ajlepszy według drugiego wzorca. Słowa kluczowe: mieriki sytetycze, metryka, fukcja uŝyteczości, wzorzec, ormalizacja, klasyfikacja. WSTĘP Do aalizy zjawisk złoŝoych takich jak p.: rozwój gospodarczy i społeczy, poziom rozwoju i potecjał rolictwa, ocea przedsiębiorstw oraz województw i gmi, poziom i jakość Ŝycia społeczeństwa, koiecze jest rozwaŝeie wielu czyików ekoomiczych. Czyiki, które traktowae są jako zmiee objaśiające dae zjawisko, mogą być zarówo mierzale jak i iemierzale. Podaie oce a podstawie tych daych ma a ogół charakter iejedozaczy. Do ocey sumaryczej zjawisk złoŝoych stosuje się zmiee sytetycze (agregatowe). [Zeliaś A. 997]. Zastąpieie ciągu wielu zmieych objaśiających badaego zjawiska przez zmieą sytetyczą daje pewą oceę (iejedozaczą) badaego zjawiska. Zmiee sytetycze poza swą iejedozaczością mają jeszcze taką wadę, Ŝe ie zawsze moŝa im adać iterpretację merytoryczą. Istieje wiele metod tworzeia zmieych sytetyczych. Metody te moŝa podzielić a wzorcowe i bezwzorcowe (metoda sum stadaryzowaych wartości, pierwszego czyika wspólego), [Pociecha i i. 988]. Metody wzorcowe zakładają istieie pewego hipotetyczego obiektu wzorcowego, uporządkowaie badaych obiektów dokouje się w zaleŝości od osiągiętych przez ich odległości od obiektu wzorcowego. Metody te wykorzystują odpowiedio wybrae zmiee diagostycze (objaśiające), charakteryzujące badae zjawisko, róŝią się miedzy sobą, co do sposobu ormalizacji zmieych oraz postaci fukcji je agregujących [Hellwig 968; Bartosiewicz 976; Borys 978]. Wśród zmieych objaśiających wyróŝia się zmiee, które działają w sposób pobudzający (tzw. stymulaty), podczas gdy
26 ie wpływają hamująco a rozwój badaego zjawiska (tzw. destymulaty). Przyjmijmy załoŝeie, Ŝe zmieymi stymulatami azywać będziemy takie zmiee, których większe wartości świadczą o wyŝszym poziomie rozwoju badaego zjawiska, a zmieymi destymulatami azywać będziemy takie zmiee, których miejsze wartości świadczą o wyŝszym poziomie rozwoju [zob. Borkowski B., Dudek H., Szczesy W. 2004; Zeliaś A. 2000]. Oczywiście poza stymulatami i destymulatami występują rówieŝ omiaty - zmiee o trudym do sprecyzowaia sposobie oddziaływaia a poziom rozwoju badaego zjawiska, jak rówieŝ zmiee jakościowe. Określeie charakteru zmieych opiera się a przesłakach merytoryczych. Przy braku odpowiediej teorii moŝa się posłuŝyć p. metodą opiii zespołu ekspertów. Otrzymae w pracy rezultaty autorka wykorzystała do badaia przestrzeego zróŝicowaia polskiego rolictwa [Biderma A. 2006]. Spośród wielu prac, poświęcoym zastosowaiu wielowymiarowych metod porówawczych do badaia struktur ekoomiczych regioów wymieić moŝa prace [Zeliaś 2000; Malia 2004, Biderma 2005]. FUNKCJA UśYTECZNOŚCI W dalszej części rozwaŝań załóŝmy, Ŝe dae zjawisko jest opisae przez zmiee będące stymulatami. Osiągąć to moŝa poprzez elimiację zmieych eutralych, adaie zmieym jakościowym wartości liczbowych, przekształceie destymulat w stymulaty (p. odwróceie wartości destymulat). Bez straty dla ogólości rozwaŝań, załóŝmy rówieŝ, Ŝe rozwaŝae stymulaty po dokoaiu ormalizacji i zmiaie układu współrzędych poprzez przesuięcie, mają wartości ieujeme. Przy takim podejściu day obiekt (obserwacja) badaego zjawiska jest opisay za pomocą wektora, będącego elemetem przestrzei R := {x = (x,x 2,...,x ): x k 0,,2,...,}, gdzie jest ilością zmieych + zakwalifikowaych do ocey zjawiska. Do klasyfikacji daych obiektów obserwowaego zjawiska, przy pomocy mierików sytetyczych, wygode moŝe być uŝycie aparatu matematyczego stworzoego w teorii ekoomii dobrobytu (popytu) [zob. Alle R. 96; Paek E. 2000, 2003]. W teorii tej opisae jest pojęcie fukcji uŝyteczości i przyjmuje się, Ŝe idywiduala uŝyteczość badaego obiektu jest mierzala. RozwaŜmy teraz problem polegający a klasyfikacji m N obiektów badaego zjawiska za pomocą N zmieych. Zgodie z przyjętymi wcześiej załoŝeiami kaŝdy taki obiekt daje się przedstawić za pomocą wektora aleŝącego do przestrzei R +. Niech wektor x i =(x i,x i2,...,x i ), i=,2,...,m, opisuje i-ty obiekt. JeŜeli x ik >x (x ik x ) dla,2,..., to pisać będziemy x i >x j, (x i x j ), gdzie i, j [,m]. Nietrudo zauwaŝyć, Ŝe jeŝeli x i >x j i x i x j to aturalym jest azywać obiekt x i lepszym (wyŝej oceiaym) od obiektu x j. Istotie ozacza to, Ŝe Ŝada ze
składowych wektora x i ie jest miejsza od odpowiedich składowych wektora x j, a przyajmiej jeda z ich ma wartość większą, tj. istieje takie k [,], Ŝe x ik >x. Z tego względu, w celu uporządkowaia rozwaŝaych obiektów przyjmijmy astępującą defiicję fukcji uŝyteczości będącą liczbową charakterystyką aszych preferecji (porówaj z defiicją fukcji uŝyteczości w teorii popytu w warukach iedosytu [Paek 2000, 2003]). DEFINICJA. KaŜdą rosącą fukcję u: R+ R azywać będziemy fukcją uŝyteczości. Z defiicji wyika, Ŝe dla dowolej pary wektorów x, y R+ spełioa jest implikacja: x y x y u x > u y. ( ) ( ) Dlatego teŝ w dalszej części pracy obiekt x uwaŝać będziemy za lepszy od obiektu y, jeŝeli u(x)>u(y), ozacza to, Ŝe obiekt lepszy od drugiego obiektu ma większą od iego uŝyteczość. Fakt te zapisywać będziemy w astępujący y p x x f y. Obiekty x, y uwaŝać będziemy za jedakowo dobre sposób: ( ) (obojęte), względem przyjętej fukcji uŝyteczości u, jeŝeli u(x) = u(y). Fakt te zapisywać będziemy w astępujący sposób: y~x (x~y) W pierwszym przypadku mówić będziemy, Ŝe obiekt x jest silie preferoway ad y, w drugim, Ŝe obiekty y i x są idyferete. JeŜeli obiekty y i x są idyferete lub obiekt x jest silie preferoway ad y to mówić będziemy, Ŝe obiekt x jest słabo preferoway ad y. Symbol x f y lub y p x ozaczać będzie alteratywę: x fy lub x~y. % % Zdefiiowae powyŝej związki miedzy obiektami wyzaczają odpowiedio relację silej preferecji, relację idyferecji oraz relację preferecji (słabej) [zob. Paek 2000, 2003]. Oczywiście w teorii popytu relacja preferecji kosumeta moŝe idukować fukcję uŝyteczości. Przyjmując jakąkolwiek postać fukcji uŝyteczości przesądzamy istieie relacji preferecji, którą ta fukcja opisuje. WYKORZYSTANIE FUNKCJI UśYTECZNOŚCI DO KLASYFIKACJI DANYCH Przyjmijmy dla obiektów wzorcowych astępujące ozaczeia: x 0 :=(x 0,,x 0,2,...,x 0, ), x m+ :=(x m+,,x m+,2,...,x m+, ), gdzie mi max k =, 2,...,. x := x, x := x 0,k ik m+,k ik i m i m Oczywistym jest, Ŝe tak określoe obiekty x 0, x m+ (być moŝe fikcyje) są odpowiedio, iegorsze, ielepsze od pozostałych x,x 2,...,x m, tj. x m+ x i oraz x i x 0, dla kaŝdego i: m i. W przypadku, gdy x 0 i x m+ są róŝe od rozwaŝaych obiektów x,x 2,...,x m, to spełiają oe astępującą rolę: x m+ obiektu ajlepszego, x 0 obiektu ajgorszego. Obiekty te traktowae będą, jako wzorce. W tym przypadku, jeŝeli zaa jest, 27
28 fukcja uŝyteczości u określoa a przestrzei wektorów R + to dla kaŝdego i [,m]: u (x m+ ) > u (x i ) oraz u (x 0 ) < u (x i ). MoŜa przyjąć róŝe kryteria wyboru fukcji uŝyteczości, aby przy jej pomocy ustalić relację porządku liiowego [zob. Paek 2000, 2003, Malawski 999] określoą a iloczyie kartezjańskim W W R + R +, gdzie W:={x o,x,...,x m+ }. Kryterium przyjęte w pracy opiera się a pojęciu odległości pomiędzy rozwaŝymi obiektami. Pojęcie odległości między dwoma obiektami wiąŝe się bezpośredio z koieczością ormalizowaia zmieych, które wyraŝoe są w róŝych jedostkach fizyczych. Normalizacja ta polega a przekształceiu wartości zmieych wyraŝoych w róŝych jedostkach w celu doprowadzeia ich do wzajemej porówywalości. W literaturze przedmiotu wyróŝia się ormalizację cech poprzez przekształceie ilorazowe, stadaryzację i uitaryzację [zob. Kukuła. 2000; Gatar 998; Zeliaś 2000; Strahl, Walesiak 996, 997]. Normalizowaie jest koiecze do kostrukcji mierików sytetyczych. Pojęcie metryki (odległości) odgrywa fudametalą rolę w badaiach ekoomiczych, szczególie przy porówywaiu struktury ekoomiczej regioów [Stoe 970, Zeliaś 2002; Malia 2004]. Niech X=R, to metryką azywamy kaŝdą fukcję d: X X R + =[0,+ ) spełiającą astępujące trzy waruki: ) d(x,y) = 0 x=y, 2) d(x,y)=d(y,x), 3) d(x,y) d(x,z)+d(z,y), dla wszystkich x, y, z, aleŝących do X. Metryka kaŝdej parze wektorów przyporządkowuje liczbę ieujemą, zwaą odległością między imi, liczbę d(x,y) azywa się odległością wektora x od wektora y. W ekoomii stosuje się bardzo wiele róŝych metryk, przykłady ich moŝa zaleźć w pracach [Rolewicz 985; Zeliaś 2002; Kukuła 2000] i iych, są imi a przykład: d k (x,y):=( x -y k +...+ x -y k ) /k, k, d (x,y):=max{ x -y,..., x -y }, gdzie: x=(x,x 2,...,x ), y=(y,y 2,...y ) X. Metryki te są często azywae metrykami Mikowskiego. Dla jest to tzw. metryka liiowa Hammiga (miejska, ulicza, metropolitara), dla 2 to metryka Euklidesa, atomiast dla metryka Czebyszewa. Autorka propouje w pracy przyjąć aturale kryterium, według którego dwa obiekty o idetyczych odległościach od obiektu ajlepszego i ajgorszego byłyby względem siebie obojęte, tj. miały tę samą uŝyteczość. JeŜeli zatem d(x i,x j ) (i,j [,m]) ozacza odległość między obiektami x i i xj to x i ~x j u(x i ) = u(x j ) d(x i, x o ) = d(x j, x o ) d(x i, x m+ ) = d(x j, x m+ ). Fukcją uŝyteczości, która spełia powyŝszy waruek, przy wyborze odległości a podstawie metryki Euklidesa jest p. fukcja liiowa będąca iloczyem skalarym wektorów x m+ -x o i x i tj. ( ) m+ 0 ( ) i i m+,k 0,k ik u x := x - x, x = x - x x ; ()
gdzie i = 0,,2,...,m+. Dla tak określoej fukcji uŝyteczości słusze jest astępujące twierdzeie. TWIERDZENIE. Dwa obiekty x i, x j mają tą samą uŝyteczość wtedy i tylko wtedy, gdy róŝica kwadratów ich odległości (według metryki Euklidesa) od obiektu ajlepszego jest rówa róŝicy kwadratów ich odległości od obiektu ajgorszego tj. u(x i )=u(x j ) d 2 (x i,x m+ )-d 2 (x j,x m+ )=d 2 (x i,x o )-d 2 (x j, x o ), gdzie: 2 i j i k j k 2 d ( x, x ) = ( x - x ) ; i,j [0,m+]. DOWÓD. Waruek wystarczający. Niech u(x i )= u(x j ), wówczas x - x, x = x - x, x czyli: m+ 0 i m+ 0 (x - x )x = (x - x )x oraz (x - x )(x - x ) = 0. m+,k 0,k ik m+,k 0,k m+,k 0,k ik (x - x )(x + x - 2x - x - x +2x ) = 0, Stąd: ik ik m+,k ik 0,k (xik - x )(x ik +x -2x m+,k ) = (xik -x )(x ik +x -2x 0,k ), 2 2 {(x ik ) - 2x m+,k (xik -x )-(x ) } ik 0,k ik k = 2 2 {(xik -x m+,k ) - (x -x m+,k ) } = 2 2 {(xik -x 0,k ) - (x -x 0,k ) }, = 2 2 {(x ) - 2x (x -x )-(x ) }, czyli d 2 (x i, x m+ )- d 2 (x j, x m+ )=d 2 (x i, x o ) - d 2 (x j, x o ). W podoby sposób dowodzi się waruku koieczego. Z powyŝszego twierdzeia wyika waŝy wiosek. WNIOSEK JeŜeli obiekty x i, x j są jedakowo odległe od obiektu maksymalego x m+ oraz obiektu miimalego x 0, tj. d(x i, x m+ ) = d(x j, x m+ ), d(x i, x o ) = d(x j, x o ) to obiekty te mają tą samą uŝyteczość. Istotie, jeŝeli: d(x i, x m+ ) = d(x j, x m+ ) oraz d(x i, x o ) = d(x j, x o ) to d 2 (x i, x m+ ) - d 2 (x j, x m+ ) = d 2 (x i, x o ) - d 2 (x j, x o ) = 0, stąd u(x i ) = u(x j ). JeŜeli zatem dwa obiekty są jedakowo oddaloe względem metryki Euklidesa od obiektu ajlepszego x m+ i obiektu ajgorszego x 0 to ich uŝyteczości są idetycze. UWAGA. Powierzchiami obojętości (u(x)=costas) geerowaymi przez fukcję uŝyteczości u określoą za pomocą wzoru (), są hiperpłaszczyzy: proste dla =2, płaszczyzy dla =3. j 29
30 DEFINICJA 2. Układ wektorów x 0, x, x 2,..., x m, x m+ azywać będziemy zormalizowaym jeŝeli obiekty x 0, x m+ są reprezetowae przez wektor zerowy i jedostkowy tj. x 0 = 0 = (0,0,...,0), x m+ = = (,,...,). Oczywiście, jeŝeli układ wektorów x 0, x, x 2,..., x m, x m+ jest zormalizoway to 0 x i, k dla kaŝdego i = 0,,...,m+;,2,...,. Ze wzoru () wyika: UWAGA 2. JeŜeli układ wektorów x 0, x,x 2,...,x m,x m+ jest zormalizoway to: u(x 0 )=0, u(x m+ )=, u(x i )= xi,k (2) PRZYKŁAD. RozwaŜmy a płaszczyźie zmieych rzeczywistych 0xy, siedem puktów o współrzędych: 3 3 P0 = (0;0), P = (;0), P2 = ;, P3 = (0, 7;0, 7), P4 = ;, P5 = (0;), P6 = (;). 2 2 2 2 PołoŜeie puktów a płaszczyźie ilustruje poiŝszy rysuek. Rys Geometrycza iterpretacja przykładu Oś Y P5 P4 P6 0,7 P3 P2 P0 0,7 P Oś X Źródło: Opracowaie włase ZałóŜmy, Ŝe pukty te opisują odpowiedio pewe badae obiekty w 0, w, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6, charakteryzowae za pomocą pary cech będących stymulatami. Obiekt w 0 opisyway za pomocą puktu P 0 jest uzay za ajgorszy, obiekt zaś w 6 jest ajlepszy. Ocea pozostałych obiektów jest dokoywaa według odległości (obliczoej przy pomocy metryki Euklidesa) puktów P, P 2, P 3, P 4, P 5 ajpierw od puktu P 0 potem od puktu P 6. Przyjmijmy, Ŝe obiekt jest uwaŝay za lepszy od
drugiego obiektu, gdy jest: połoŝoy dalej od ajgorszego - według pierwszego kryterium, połoŝoy bliŝej ajlepszego obiektu- według drugiego kryterium. Łatwo zauwaŝyć, Ŝe przy takich kryteriach obiekt w 3 jest ajgorszy według pierwszego kryterium, lecz jest ajlepszy według drugiego kryterium, spośród obiektów w 5, w 4, w 3, w 2, w. JeŜeli a rozwaŝaym zbiorze obiektów określimy fukcję uŝyteczości u, określoą za pomocą wzoru (), to ich uŝyteczości przedstawiają się astępująco: u(w 0 )=0; u(w )=u(w 5 )=; u(w 2 )=u(w 4 )=,38; u(w 3 )=,4; u(w 6 )=2. Według kryterium większej uŝyteczości obiektu, mamy astępujące uporządkowaie: w 0 pw ~w 5 pw 2 ~w 4 pw 3 pw 6. Na odciku wyzaczoym przez pukty P i P 5 leŝą obiekty, które mają tę samą uŝyteczość, rówą. Odciek te jest tak zwaą krzywą obojętości geerowaą przez fukcje uŝyteczości u (zob. Paek E. 2000). Nietrudo zauwaŝyć, Ŝe w tym przypadku krzywe obojętości są odcikami prostych o rówaiach x+y=c, 0< c <2. Istotie, jeŝeli pukty P(s,t), Q(v,z), 0 < s,t,v,z < leŝą a prostej o rówaiu x + y = c, to: u ( P ) = (, ),( t,s ) = t+s = c, u(q) = (, ),( v,z ) = v+z = c. Ozacza to, Ŝe P ~ Q. PowyŜsze rozwaŝaia pokazują, Ŝe wybór wzorca odgrywa istotą rolę dla rakigów, jak rówieŝ przy grupowaiu obiektów. Poday w przykładzie sposób porządkowaia obiektów za pomocą fukcji uŝyteczości opiera się a dwóch wzorcach. JeŜeli daa fukcja uŝyteczości u idukuje relacje preferecji obiektów zbioru W to fukcja złoŝoa g(u(x)), gdzie g: R R jest fukcją rosącą, jest rówieŝ fukcją uŝyteczości, geerującą tą samą relację preferecji w zbiorze obiektów W co fukcja u. Wykorzystując powyŝszą własość celowe jest uormowaie fukcji uŝyteczości polegające a wybraiu takiej fukcji g, aby jej wartość dla obiektu ajgorszego wyosiła 0, wartość zaś dla obiektu ajlepszego wyosiła, to jest by: g(u(x 0 ))=0, g(u(x m+ ))=. Fukcją o tej własości moŝe być a przykład fukcja liiowa: g(t)=(t-t 0 )/(t -t 0 ), t [ t 0, t ], (3) gdzie t = u(x m+ ), t 0 =. u(x 0 ). Przy oczywistym załoŝeiu, Ŝe t > t 0, gdyŝ dopuszczeie przypadku t = t 0 ozaczałoby, Ŝe wszystkie rozwaŝae obiekty mają tą samą uŝyteczość, otrzymaą za pomocą fukcji u. W tym przypadku fukcja: f(x i ):=g((u(x i )) = (u(x i ) - u(x 0 ) / (u(x m+ ) - u(x 0 )), i=0,,,m+, (4) określoa a zbiorze obiektów W, jest fukcją uŝyteczości mającą tą własość, Ŝe f(x 0 )=0, f(x m+ )=. JeŜeli fukcja uŝyteczości u określoa jest za pomocą wzoru () to przy pomocy wzoru (4) otrzymujemy postać owej fukcji uŝyteczości: f( x i ) = x m+ - x 0, x i x m+ - x 0, x 0 x m+ - x 0, x m+ x m+ - x 0, x 0 = 3
32 = x m+ -x 0-2 xm+ - x0, xi - x 0, i=0,,,m+, (5) gdzie orma wektora x i :=(<x i,x i >) 2 (zob. Paek E., 2000, 2003). Fukcja f idukuje tą samą relację preferecji, co fukcja uŝyteczości u, oczywiście f(x 0 )=0, f(x m+ )=. JeŜeli układ wektorów x 0, x,x 2,...,x m,x m+ jest zormalizoway to: f ( x i ) = xi,k, i=0,,...,m+. (6) Wzór (2) jak i wzór (6) aleŝą do ajczęściej stosowych addytywych formuł agregacyjych [por. Cieślak M. 993, Kukuła K. 2000]. ZauwaŜmy poadto, Ŝe jeŝeli wektor s:=(x m+ +x 0 )/2 reprezetuje obiekt pośredi pomiędzy ajlepszym x m+ a ajgorszym x 0 to f(s)=/2. Istotie f(s) = x m+ -x 0-2 xm+ - x0, s - x 0 = x m+ - x 0-2 xm+ - x0, ( xm+ - x 0)/2 = 0,5 x m+ - x 0-2 xm+ - x0, xm+ - x 0 = 0,5. Istieje skończeie wiele rosących fukcji g jedej zmieej, spełiających waruki: g(t 0 )=0, g(t )=, g((t +t 0 )/2)=/2; t 0,t R, t 0 t. Oczywiście, istieje rówieŝ ieskończeie wiele fukcji, które będąc fukcjami rosącymi mają te same wartości dla obiektów, które są jedakowo odległe od obiektu maksymalego x m+ oraz obiektu miimalego x 0. Przykładem jest fukcja określoa w poiŝszym twierdzeiu. TWIERDZENIE 2. Fukcja: d( x0, xi ) + d( x0, xm+ ) d( xi, xm+ ) U( xi ) =, i = 0,,..., m, m +, 2d( x, x ) 0 m+ jest fukcją uŝyteczości przyjmującą wartości z przedziału [0,], przy czym U(x 0 )=0, U(x m+ )=. JeŜeli d(x i,x m+ )=d(x j,x m+ ) i d(x i,x o ) = d(x j,x o ) to U(x i )=U(x j ). Oczywistym jest, Ŝe powierzchie obojętości geerowae przez rówaie U(x)=costas, ie będą, jak w przypadku fukcji liiowej u hiperpłaszczyzami. Warto jedak zauwaŝyć, Ŝe w przypadku =2 krzywa obojętości wyzaczoa przez rówaie U(x)=c, c [0,] jest odcikiem prostej o rówaiu x 2 =-x (przekątą kwadratu) dla c=0,5 oraz hiperbolą dla pozostałych c. Wyika to z faktu, Ŝe hiperbola jest miejscem geometryczym puktów, których róŝica odległości od dwóch stałych puktów zwaych ogiskami jest stała. PRZYKŁAD 2 RozwaŜmy zbiór siedmiu obiektów w 0, w, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6, z poprzediego przykładu, charakteryzowaych za pomocą pary cech będących (7)
stymulatami. Obiekty te traktowae, jako wektory, tworzą zormalizoway układ wektorów (Defiicja 2). PoiŜsza tabela podaje ich uŝyteczości obliczoe za pomocą dwóch zormalizowaych fukcji uŝyteczości. Tabela. UŜyteczości obiektów Fukcja uŝyteczości w 0 w w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 f(w i )-wzór (5) 0 0,5 0,683 0,7 0,683 0,5 U(w i )-wzór (7) 0 0,5 0,67 0,7 0,67 0,5 Źródło: Opracowaie włase Łatwo zauwaŝyć, Ŝe fukcje te zachowują preferecje z przykładu pierwszego. WNIOSKI Przedstawioe w pracy rozwaŝaia pokazują, Ŝe przy klasyfikacji obiektów wybór wzorca odgrywa istotą rolę. Zapropooway sposób porządkowaia liiowego obiektów w rówym stopiu wykorzystuje obiekt wzorcowy ajgorszy jak i obiekt wzorcowy ajlepszy. Zaprezetowae w pracy podejście do problemu klasyfikacji obiektów ie wyczerpuje badań w tym zakresie a przydatość metody zweryfikować mogą tylko badaia oparte a rzeczywistych daych. LITERATURA Alle R. G. D. (964) Ekoomia matematycza, PWN, Warszawa. Bartosiewicz S. (976) Propozycja metody tworzeia zmieych sytetyczych, Prace Naukowe AE we Wrocławiu, r 84, Wrocław. Biderma A. (2005) O problemie wyboru wzorca przy badaiu przestrzeego zróŝicowaia potecjału rolictwa w Polsce, Metody ilościowe w badaiach ekoomiczych V, Warszawa, str. 46. Biderma A. (2006) Wykorzystaie fukcji uŝyteczości do badaia przestrzeego zróŝicowaia rolictwa-praca złoŝoa do Roczików Naukowych Stowarzyszeia Ekoomistów Rolictwa i Agrobizesu. Borkowski B, Dudek H., Szczesy W. (2004) Ekoometria. Wybrae zagadieia, PWN, Warszawa. Borys T. (978) Propozycja agregatowej miary rozwoju obiektów, Przegląd Statystyczy, z. 3. Cieślak M. (993) Ekoomicze zastosowaie mierików sytetyczych ze zmieym wzorcem, [w:] Przestrzeo-czasowe modelowaie i progozowaie zjawisk gospodarczych, AE, Kraków. Gatar E. (998) Symbolicze metody klasyfikacji daych, PWN, Warszawa. Hellwig Z. (968) Zastosowaie metody taksoomiczej do typologiczego podziału krajów ze względu a poziom ich rozwoju oraz zasoby i strukturę kwalifikowaych kadr, Przegląd Statystyczy, z. 4. Kukuła K. (2000) Metoda uitaryzacji zerowaej, PWN, Warszawa. Malawski A. (999) Wprowadzeie do ekoomii matematyczej, AE, Kraków. 33
34 Malia A. (2004) Wielowymiarowa aaliza przestrzeego zróŝicowaia struktury gospodarki Polski według województw, AE, Seria Moografie r 62, Kraków. Paek E. (2000) Ekoomia matematycza, Akademia Ekoomicza, Pozań. Paek E. (red.) (2003) Podstawy ekoomii matematyczej, AE, Pozań. Pociecha J., Podolec B., Sokołowski A., Zając K. (988) Metody taksoomicze w badaiach społeczo-ekoomiczych, PWN, Warszawa. Rolewicz S. (985) Metric liear spaces, PWN-Polish Scietific Publishers ad D. Reidel, Warszawa-Dordrecht. Stoe R., (970) Matematyka w aukach społeczych, PWE, Warszawa. Strahl D., Walesiak M. (996) Normalizacja zmieych w skali przedziałowej i ilorazowej w referecyjym systemie graiczym, Seria: Taksoomia, z. 3, Sekcja Klasyfikacji i Aalizy Daych, Wrocław Kraków - Jeleia Góra. Strahl D., Walesiak M. (997) Normalizacja zmieych w graiczym systemie referecyjym, Przegląd Statystyczy, z.. Zegar J. (2003) ZróŜicowaie regioale rolictwa, GUS, Warszawa. Zeliaś A. (997) Teoria progozy, PWE, Warszawa. Zeliaś A. (2000) Taksoomicza aaliza przestrzeego zróŝicowaia poziomu Ŝycia w Polsce w ujęciu dyamiczym, Kraków. O a classificatio of objects basig o two models Summary: I the preset paper, a maer of classificatio of objects which is based o two model objects is give. The applied method uses comparative multidimesioal aalysis ad coceptio of models, ormalizatio, preferece relatios ad utility fuctios as the preferece idicators. The give utility fuctios have such property that two cosidered objects have a idetical utility if their distaces from two differet fixed model objects are equal. Key words: sythetic measures, metrics, utility fuctio, model, ormalizatio, classificatio.