EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

etrala Komisja Egzamiacyja EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceiaia odpowiedzi ZERWIE 01

Zadaie 1. (0 1) Obszar stadardów i iterpretowaie iformacji Opis wymaga Usuwaie iewymieroci z miaowika (I.1.a) Poprawa odpowied (1 p.) D Zadaie. (0 1) i iterpretowaie iformacji pojcia wartoci bezwzgldej do sprawdzeia czy dae liczby s rozwizaiami rówaia typu x a b (I.1.f) A Zadaie 3. (0 1) i iterpretowaie iformacji Odczytaie z postaci iloczyowej rówaia wielomiaowego jego rozwiza (I.3.d) A Zadaie 4. (0 1) Modelowaie matematycze Wykoaie oblicze procetowych (III.1.d) Zadaie 5. (0 1) Wskazaie wykresu fukcji kwadratowej daej wzorem (II.4.a) A Zadaie 6. (0 1) Wyzaczeie wspórzdych wierzchoka paraboli bdcej wykresem fukcji kwadratowej (II.4.b) D Zadaie 7. (0 1) Modelowaie matematycze Zalezieie zwizków miarowych w figurach paskich. Zastosowaie rachuku któw w trójkcie (III.7.c) Zadaie 8. (0 1) Zalezieie zwizków miarowych w figurach paskich. Zastosowaie fukcji trygoometryczych (II.7.c)

3 Zadaie 9. (0 1) Zalezieie zwizków miarowych w figurach paskich. Zastosowaie twierdzeia Pitagorasa (II.7.c) Zadaie 10. (0 1) zwizków midzy ktem wpisaym i rodkowym (II.7.a) D Zadaie 11. (0 1) i iterpretowaie iformacji Wskazaie trójkta przystajcy do daego (I.7.c) B Zadaie 1. (0 1) Wskazaie rówaia okrgu o podaym rodku i promieiu (II.8.g) A Zadaie 13. (0 1) Obliczeie róicy wyrae wymierych (II..f) A Zadaie 14. (0 1) i iterpretowaie iformacji Obliczeie wyrazu cigu liczbowego okreloego wzorem ogólym (I.5.a) A Zadaie 15. (0 1) Obliczeie wyrazu cigu geometryczego z wykorzystaiem wasoci cigu (II.5.c) B Zadaie 16. (0 1) i iterpretowaie iformacji Wyzaczeie miary kta ostrego (I.6.b) Zadaie 17. (0 1) Uycie i tworzeie strategii Okreleie wzoru fukcji o podaej dziedziie (IV.4.a) D

4 Zadaie 18. (0 1) Ziterpretowaie zaków wspóczyików a i b we wzorze fukcji liiowej (II.4.g) Zadaie 19. (0 1) wspórzdych rodka odcika (II.8.f) A Zadaie 0. (0 1) Wyzaczeie mediay zbioru daych (II.10.a) Zadaie 1. (0 1) wzoru skrócoego moeia (II..a) Zadaie. (0 1) Modelowaie matematycze Obliczeie objtoci stoka (III.9.b) Zadaie 3. (0 1) Uycie i tworzeie strategii Obliczeie prawdopodobiestwa zdarzeia z zastosowaiem klasyczej defiicji prawdopodobiestwa (IV.10.b) D Zadaie 4. (0 1) Modelowaie matematycze Wyzaczeie zwizków miarowych w walcu (III.9.b) B

5 Zadaie 5. (0 ) Rozwizaie ierówoci kwadratowej (II.3.a) Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy: prawidowo obliczy pierwiastki trójmiau kwadratowego x1, x 5 i a tym poprzestaie lub dalej popei bdy, albo rozoy trójmia kwadratowy x 3x 10 a czyiki liiowe i zapisze ierówo x x 5 0 i a tym poprzestaie lub dalej popei bdy, albo albo popei bd rachukowy przy obliczaiu pierwiastków trójmiau kwadratowego i kosekwetie do popeioego bdu rozwie ierówo, p., x1, x 5, std x 5,, doprowadzi ierówo do postaci 3 7 x (a przykad z postaci 3 49 3 49 x 0 otrzymuje x, a astpie 4 4 i a tym poprzestaie lub dalej popei bdy. 3 7 x ) Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiza ierówoci w postaci: x 5,5 x,5 albo albo lub lub sporzdzi ilustracj geometrycz (o liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiza ierówoci w postaci: x, x 5 poda zbiór rozwiza ierówoci w postaci graficzej z poprawie zazaczoymi kocami przedziaów: - 5 x Kryteria oceiaia uwzgldiajce specyficze trudoci w uczeiu si matematyki 1. Jeli zdajcy poprawie obliczy pierwiastki trójmiau x, x 5 i zapisze p.: x,5, popeiajc tym samym bd przy przepisywaiu jedego z pierwiastków, to za takie rozwizaie otrzymuje pukty.

6 Zadaia 6. (0 ) Modelowaie matematycze Zastosowaie defiicj rediej arytmetyczej do wyzaczeia liczby elemetów zbioru daych (III.10.a) I sposób rozwizaia Niech x ozacza liczb studetów w daej grupie. Wtedy cza liczba lat studetów w daej grupie wyosi 3x, za cza liczba lat studetów i opiekua to 3x 39. Zatem redia 3x 39 wieku studetów wraz z opiekuem jest rówa:. x 1 Otrzymujemy rówaie 3 x 39 4 std 3x 39 4 x 1, a wic x 15. x 1 Odpowied: W tej grupie jest 15 studetów. Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy zapisze ow redi wieku studetów wraz z opiekuem: 3x 39 x 1 i a tym poprzestaie lub dalej popei bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy liczb studetów w grupie: 15 osób. II sposób rozwizaia Zapisujemy zaleoci pomidzy liczb studetów daej grupy, a cz liczb lat wszystkich studetów. Niech x ozacza liczb studetów w grupie, za S cz liczb lat studetów. S 3 x Zapisujemy ukad rówa: S 39 4 x 1 S 3x Rozwizujemy ukad rówa 3x 39 4 x 1 3x 39 4 x 1 x 15 Odpowied: W tej grupie jest 15 studetów. Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt S 3 x gdy zapisze ukad rówa opisujcy redie wieku, p. S 39 4 x 1 gdzie x jest liczb studetów w daej grupie, za S jest cz liczb lat studetów, i a tym poprzestaie lub dalej popei bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy liczb studetów w daej grupie: 15 studetów.

7 III sposób rozwizaia Róic wieku opiekua i rediej wieku studetów rozdzielamy midzy x studetów i jedego opiekua. Obliczamy róic wieku opiekua i rediej wieku studetów 39 3 16. Poiewa redia wieku wzrosa o 1 rok, wic te 16 lat rozdzielamy pomidzy studetów i opiekua, kademu dodajc 1 rok. Zatem 16 x 1 1, std x 15. Zapisujemy odpowied: W tej grupie jest 15 studetów. Schemat oceiaia III sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy obliczy róic lat opiekua i rediej wieku studetów 39 3 16 i sowie zapisze sposób rozumowaia, p.: Poiewa redia lat wzrosa do 4 lat, wic kademu studetowi z tych 16 lat dodajemy 1 rok oraz 1 rok dla opiekua i a tym poprzestaie lub dalej popei bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy liczb studetów w daej grupie: 15 studetów. Zadaie 7. (0 ) Uycie i tworzeie strategii Rozwizaie Obliczeie pole trapezu prostoktego. Zastosowaie fukcji trygoometryczych (IV.7.c) 6 Obliczamy wysoko trapezu h, korzystajc z faktu, e tages kta ostrego jest rówy 3: h 3, std h 1. 4 Zatem pole trapezu jest rówe 6 10 1 96. Schemat oceiaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy: obliczy wysoko trapezu h 1 i a tym poprzestaie lub bdie obliczy pole, albo obliczy wysoko trapezu z bdem rachukowym i kosekwetie do popeioego bdu obliczy pole trapezu. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poprawie obliczy pole trapezu 96 P. h 6 4

8 Zadaia 8. (0 ) Rozumowaie i argumetacja Uzasadieie tosamoci trygoometryczej z zastosowaiem prostych zwizków midzy fukcjami trygoometryczymi kata ostrego (V.6.c) I sposób rozwizaia 4 4 si si cos cos si si 1 cos cos 1 si cos cos si L P Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy przeksztaci lew lub praw stro tej rówoci do postaci: si si 1 cos cos 1 i a tym poprzestaie lub dalej popeia bdy. lub Zdajcy otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pee rozumowaie i uzasadi, e tosamo jest prawdziwa. II sposób rozwizaia 4 4 si cos si cos si cos si cos si cos 1si cos si cos L P Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt si cos si cos i a tym gdy uzyska po lewej stroie wyraeie poprzestaie lub dalej popeia bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pee rozumowaie i uzasadi, e tosamo jest prawdziwa. III sposób rozwizaia 4 L si cos si si cos si 1 cos cos si si cos cos 1 1 cos cos 1 cos cos 4 si cos 4 P Schemat oceiaia III sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy przeksztacajc lew lub praw stro rówo uzyska wyraeie si si cos cos i a tym poprzestaie lub dalej popeia bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pee rozumowaie i uzasadi, e tosamo jest prawdziwa.

9 IV sposób rozwizaia 4 si si cos si cos 4 1 cos 1 cos cos 1 cos cos 4 4 1 cos cos cos 1 cos cos 4 4 1 cos cos 1 cos cos L P lub 4 si cos si cos cos si 4 1 si si 1 si 1 si 4 4 si si 1 si 1 si si 4 4 si si 1 si si 1 L P Schemat oceiaia IV sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy przeksztaci rówo do postaci, w której wystpuje tylko jeda fukcja 4 1 cos 1 cos cos 1 cos cos trygoometrycza, p.: lub si 4 1 si si 1 si 1 si i a tym poprzestaie lub dalej popeia bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt jeeli przeprowadzi pee rozumowaie i uzasadi, e tosamo jest prawdziwa. V sposób rozwizaia 4 4 Da rówo zapisujemy w postaci si cos si cos. Przeksztacamy: 4 4 4 4 L si cos si cos 1 cos cos 4 4 1 cos cos cos 1 cos 1 cos cos si cos P Schemat oceiaia V sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy uzyska po lewej stroie wyraeie 4 1 cos cos i a tym poprzestaie lub dalej popeia bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pee rozumowaie i uzasadi, e tosamo jest prawdziwa.

10 Zadaie 9. (0 ) Rozumowaie i argumetacja Przeprowadzeie dowodu algebraiczego (V.1.a) I sposób rozwizaia Wemy trzy koleje liczby cakowite 1,, 1. Wówczas 1 1 1 1 3, wic reszta z dzieleia sumy ich kwadratów przez 3 jest rówa. Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy zapisze sum kwadratów trzech kolejych liczb cakowitych w postaci 1 1 3 II sposób rozwizaia Wemy trzy koleje liczby cakowite, 1,. Wówczas 1 3 6 5 3 1, wic reszta z dzieleia sumy ich kwadratów przez 3 jest rówa. Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy zapisze sum kwadratów trzech kolejych liczb cakowitych, doprowadzi wyraeie do postaci 1 3 6 5 i a tym poprzestaie lub dalej popei bd. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy zapisze sum kwadratów trzech kolejych liczb cakowitych w postaci 1 3 6 3 lub 1 3 1. Uwaga Mog si zdarzy rozwizaia wykorzystujce kogruecje: wród trzech kolejych liczb jest jeda podziela przez 3 (ozaczymy j przez a), jeda dajca przy dzieleiu przez 3 reszt 1 (ozaczymy j przez b) i jeda dajca przy dzieleiu przez 3 reszt (ozaczymy j przez c). a 0 mod 3, b 1 mod 3, c mod 3. Mamy zatem Wówczas a b c 0 1 5 mod 3.

11 Zadaie 30. (0 ) Modelowaie matematycze Zastosowaie wzoru a -ty wyraz i sum cigu arytmetyczego (III.5.c) I sposób rozwizaia Obliczamy wartoci sum czciowych: S1 a 1 1 1 S a1 a 4 4 0. Zatem a 0 1 1 oraz r a a1 1 1. Korzystamy ze wzoru a -ty wyraz cigu arytmetyczego i otrzymujemy: a a1 1 r 1 ( 1) 3 Odpowied: -ty wyraz cigu a wyraa si wzorem a 3. Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy obliczy wartoci sum czciowych: S1 a 1 1 1 S a1 a 4 4 0 i a tym poprzestaie lub dalej popeia bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy bezbdie wyzaczy -ty wyraz cigu a : a 3. Uwagi a1 1 1. Zdajcy moe od razu zapisa ukad a1 a 0 a1 1. Jeeli zdajcy zapisze ukad, to otrzymuje 0 puktów. a 0 II sposób rozwizaia Zauwaamy, e dla 1 mamy a S S 1. S 1 1 1 4 3 a S S 1 4 3 3 oraz a1 S1 1. Obliczamy Zauwaamy poadto, e wzór a 3 dla 1 daje otrzyma warto a1 1. Zatem dla kadego 1 otrzymujemy a 3. Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy zapisze, e a S S 1 S 1 1 1 4 3 i a tym poprzestaie lub dalej popei bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy bezbdie wyzaczy -ty wyraz cigu: a 3., wyzaczy

1 Uwaga Przyzajemy pukty awet wtedy, gdy zdajcy ie sprawdzi, czy a1 1. III sposób rozwizaia a1 a Zauwaamy, e i wyzaczamy a 4 a1. Obliczamy a1 S1 1. Std otrzymujemy a 4 1, czyli a 3. Schemat oceiaia III sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt a1 a gdy ze wzoru wyzaczy a 4 a1 i a tym poprzestaie lub dalej popei bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy wyzaczy -ty wyraz cigu: a 3. Uwagi 1. Zdajcy moe od razu zapisa, e a 4 a1. a1 a. Jeli zdajcy zapisze, e, wyzaczy z bdem rachukowym a p.: a a i z tym bdem doprowadzi rozwizaie do koca, to otrzymuje 1 pukt. 1 Zadaie 31. (0 ) Uycie i tworzeie strategii zwizków miarowych w figurach paskich (IV.7.c) I sposób rozwizaia Z waruków zadaia otrzymujemy ukad rówa: a h 50 h si 45 a Zatem h a si 45 a oraz a a 50.

13 Wobec tego a 100, a 10, h 10 5. Odpowied: Wysoko rombu jest rówa 5. Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy zapisze dwa zwizki midzy liczbami a i h i a tym poprzestaie lub dalej popei bd. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poprawie obliczy wysoko rombu h 5. II sposób rozwizaia Ze wzoru a pole rówolegoboku, gdy dae s jego dwa ssiedie boki oraz kt midzy imi zawarty, mamy a si 45 50. Zatem a 50, a 100, a 10. Z iego wzoru a pole rówolegoboku mamy a h 50. Wobec tego 10 h 50 oraz h 5. Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy poprawie obliczy dugo a boku rombu i a tym poprzestaie lub dalej popei bd. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poprawie obliczy wysoko rombu h 5. Zadaie 3. (0 4) Uycie i tworzeie strategii Wyzaczeie puktu przecicia si prostych prostopadych (IV.8.b, 8.c, 8.d) I sposób rozwizaia Wyzaczamy rówaie prostej AB: y x 7. Wyzaczamy rówaie prostej D prostopadej do prostej AB i przechodzcej przez pukt : 1 y x 17. y x 7 Zapisujemy ukad rówa: 1 y x 17 Rozwizujemy ukad rówa i zapisujemy wspórzde puktu D: D 4,15. Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Rozwizaie, w którym postp jest iewielki, ale koieczy a drodze do peego rozwizaia zadaia... 1 pkt Wyzaczeie rówaia prostej AB: y x 7 albo obliczeie wspóczyika kierukowego prostej AB: a.

14 Rozwizaie, w którym jest istoty postp... pkt Wyzaczeie rówaia prostej D prostopadej do prostej AB i przechodzcej przez pukt 1 y x 17. Pokoaie zasadiczych trudoci zadaia... 3 pkt y x 7 Zapisaie ukadu rówa: 1 y x 17 Rozwizaie pee... 4 pkt D 4,15. Rozwizaie ukadu rówa i zapisaie wspórzdych puktu D: Uwagi 1. Jeli zdajcy le wyzaczy rówaie prostej AB i kosekwetie do popeioego bdu rozwie zadaie do koca, to otrzymuje 3 pukty (wspóczyik kierukowy prostej AB powiie by jedak liczb dodati).. Jeli zdajcy odczyta wspórzde puktu D a podstawie dokadie sporzdzoego rysuku to otrzymuje 4 pukty. 3. Jeli zdajcy poda wspórzde puktu D bez dokadego rysuku lub uzasadieia to otrzymuje 0 puktów. II sposób rozwizaia Obliczamy pole trójkta AB: PAB 15. Obliczamy dugo podstawy AB trójkta AB: 1 AB 6 5. Ze zwizku PAB D AB obliczamy wysoko D trójkta AB: D 5. Wyzaczamy rówaie prostej AB: y x 7. Zapisujemy wspórzde puktu D w zaleoci od zmieej x: D x, x 7 rówaia x x. Wyraamy zwizek D 5 za pomoc 6 7 14 5, gdzie x ozacza pierwsz wspórzd puktu D. Rozwizujemy rówaie i otrzymujemy x 4. Zapisujemy zatem wspórzde puktu D: D 4,15. Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia Rozwizaie, w którym postp jest iewielki, ale koieczy a drodze do peego rozwizaia zadaia... 1 pkt Obliczeie pola trójkta AB: PAB 15. Rozwizaie, w którym jest istoty postp... pkt Obliczeie wysokoci D trójkta AB: D 5. Pokoaie zasadiczych trudoci zadaia... 3 pkt D x, x 7 Zapisaie wspórzdych puktu D w zaleoci od jedej zmieej: i zapisaie rówaia x x 6 7 14 5. Rozwizaie pee... 4 pkt D 4,15. Rozwizaie rówaia i zapisaie wspórzdych puktu D: Uwaga Jeeli zdajcy popei bd rachukowy przy obliczaiu pola trójkta AB i kosekwetie do popeioego bdu rozwie zadaie do koca, to otrzymuje 3 pukty.

15 Zadaie 33. (0 4) Uycie i tworzeie strategii Zliczeie obiektów w prostej sytuacji kombiatoryczej (IV.10.b) I sposób rozwizaia Zauwaamy, e dla poprawego rozwizaia zadaia istote s trzy grupy cyfr: cyfra 7, cyfry parzyste bez zera oraz cyfry ieparzyste róe od 7. Miejsce dla cyfry 7 moemy wybra a 5 sposobów. Miejsce dla cyfry parzystej moemy wybra a 4 sposoby. yfr parzyst do wpisaia a wybraym miejscu moemy wybra sporód 4 cyfr parzystych, czyli a 4 sposoby. Na pozostaych trzech miejscach moemy wpisa cyfry ieparzyste róe od 7. 3 Moemy to zrobi a 4 64 sposoby. Zatem wszystkich liczb piciocyfrowych speiajcych waruki zadaia jest: 3 5 54 44 54 5104 510. Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Rozwizaie, w którym jest istoty postp... pkt Obliczeie, a ile sposobów moa ustawi cyfry z dwóch grup cyfr (sporód trzech rozwaaych). Pokoaie zasadiczych trudoci zadaia... 3 pkt Obliczeie, a ile sposobów moa ustawi cyfry z trzech grup cyfr: Miejsce dla cyfry 7 a 5 sposobów. Miejsce dla cyfry parzystej a 4 sposoby. yfr parzyst do wpisaia a wybraym miejscu a 4 sposoby. 3 yfry ieparzyste róe od 7 a pozostaych trzech miejscach a 4 64 sposoby. Rozwizaie pee... 4 pkt 5 Obliczeie, ile liczb piciocyfrowych speia waruki zadaia: 54 510. II sposób rozwizaia Rozpatrujemy astpujce trzy wariaty ustawie cyfr: 1) a pierwszym miejscu cyfra 7, a jedym z czterech miejsc cyfra parzysta, a a kadym z pozostaych trzech miejsc cyfra ieparzysta róa od 7. Kad z czterech cyfr parzystych moemy umieci a jedym z czterech miejsc a 4 4 sposobów, za kad z czterech pozostaych cyfr ieparzystych (bez cyfry 7 ) moemy 3 rozmieci a trzech miejscach a 444 4 sposobów. Zatem liczba moliwych 3 5 ustawie cyfr w tym wariacie rówa si: 444 4 104. ) a pierwszym miejscu cyfra parzysta róa od 0, a jedym z czterech pozostaych miejsc cyfra 7, za a kadym z pozostaych trzech miejsc cyfra ieparzysta róa od 7. Na pierwszym miejscu moemy ustawi kad z czterech cyfr parzystych róych od zera, za a kadym z pozostaych czterech miejsc moemy umieci cyfr 7, std otrzymujemy 4 4 moliwoci ustawie cyfry parzystej oraz cyfry 7. Natomiast kad z czterech pozostaych cyfr ieparzystych róych od 7 moemy rozmieci a 3 pozostaych trzech miejscach a 444 4 sposobów. Zatem liczba moliwych ustawie cyfr w tym wariacie jest rówa: 3 5 444 4 104.

16 3) a pierwszym miejscu cyfra ieparzysta róa od 7, a jedym z pozostaych czterech miejsc cyfra parzysta, a jedym z trzech pozostaych miejsc cyfra 7, a a pozostaych dwóch miejscach cyfra ieparzysta róa od 7. Kad z czterech cyfr ieparzystych (ró od 7 ) moemy umieci a pierwszym miejscu (4 sposoby). Na kadym z czterech pozostaych miejsc moemy umieci kad z czterech cyfr parzystych a 4 4 sposobów. yfr 7 moemy umieci a kadym z trzech pozostaych miejsc, za kad z czterech pozostaych cyfr ieparzystych róych od 7 umiecimy a dwóch miejscach a 344 3 4 sposobów. Zatem, w tym wariacie, liczba moliwych 5 ustawie jest rówa: 44434 34 307. Liczba wszystkich moliwych ustawie jest sum liczb ustawie w poszczególych wariatach i rówa si: 104 104 307 510. Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia Przyzajemy po 1 pukcie za obliczeie liczby moliwych ustawie cyfr w kadym z trzech wariatów i 1 pukt za obliczeie sumy tych moliwoci. Zadaie 34. (0 4) Uycie i tworzeie strategii Obliczeie objtoci graiastosupa z zastosowaiem zwizków miarowych w wielociaach (IV.9.b) F E D A I sposób rozwizaia Niech G bdzie rodkiem krawdzi AB. Rysujemy wysoko FG trójkta ABF. AB FG 8 FG Pole trójkta ABF jest rówe: PABF 4 FG 5. Std FG 13. W trójkcie rówoboczym AB mamy G 4 3. Korzystamy z twierdzeia Pitagorasa w trójkcie FG do obliczeia F : G F G FG, std F 11. AB 3 64 3 Obliczamy objto graiastosupa: V F 11 176 3. 4 4 B

17 Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Rozwizaie, w którym postp jest iewielki, ale koieczy a drodze do peego rozwizaia zadaia... 1 pkt Narysowaie wysokoci G trójkta AB i obliczeie dugoci odcika G wysokoci trójkta rówoboczego AB, podstawy graiastosupa prawidowego: G 4 3 albo obliczeie wysokoci trójkta ABF : FG 13. Rozwizaie, w którym jest istoty postp... pkt Narysowaie wysokoci G trójkta AB i obliczeie dugoci odcika G wysokoci trójkta rówoboczego AB, podstawy graiastosupa prawidowego: G 4 3 oraz obliczeie wysokoci trójkta ABF : FG 13. Pokoaie zasadiczych trudoci zadaia... 3 pkt Obliczeie wysokoci F graiastosupa prawidowego trójktego ABDEF: F 11. Rozwizaie pee... 4 pkt Obliczeie objtoci graiastosupa: V 176 3. F D E A II sposób rozwizaia Niech G bdzie rodkiem krawdzi AB. Rysujemy wysoko FG trójkta ABF. AB FG Pole trójkta ABF: PABF 5, std FG 13. Korzystamy z twierdzeia Pitagorasa dla trójkta AFG i obliczamy kwadrat dugoci odcika AF: AF 13 4 185. Nastpie korzystamy z twierdzeia Pitagorasa w trójkcie AF, aby obliczy wysoko graiastosupa F: F A AF, czyli F 185 64 11. Zatem F 11. AB 3 64 3 Obliczamy objto graiastosupa: V F 11 176 3. 4 4 G B

18 Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia Rozwizaie, w którym postp jest iewielki, ale koieczy a drodze do peego rozwizaia zadaia... 1 pkt Obliczeie wysokoci FG trójkta ABF: FG 13. Rozwizaie, w którym jest istoty postp... pkt Obliczeie dugoci przektej ciay boczej lub kwadrat jej dugoci: AF 185. Pokoaie zasadiczych trudoci zadaia... 3 pkt Obliczeie wysokoci F graiastosupa: F 11. Rozwizaie pee... 4 pkt Obliczeie objtoci graiastosupa: V 176 3.