EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

Transkrypt

1 entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIE 0

2 Zadanie. (0 ) Zakres umiejtnoci (standardy) Opis wymaga Wykonuje obliczenia procentowe; wykorzystuje wasnoci figur podobnych. Poprawna odpowied ( p.) Zadanie. (0 ) Stosuje prawa dziaa na potgach o wykadnikach wymiernych; oblicza potgi o wykadniku wymiernym. Zadanie 3. (0 ) Oblicza wartoci logarytmu. D Zadanie 4. (0 ) Wykonuje obliczenia z wykorzystaniem wzorów skróconego mnoenia. D Zadanie 5. (0 ) i tworzenie Wyznacza wzór funkcji liniowej. Zadanie 6. (0 ) Wykorzystuje pojcia wartoci bezwzgldnej i jej interpretacje geometryczn; zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane nierównoci. A Zadanie 7. (0 ) Wyznacza pierwsz wspórzdn wierzchoka paraboli. Zadanie 8. (0 ) i tworzenie Odczytuje z wykresu zbiór wartoci funkcji.

3 Zadanie 9. (0 ) i tworzenie Rozwizuje nierównoci kwadratowe; zapisuje rozwizanie w postaci przedziaów liczbowych. A Zadanie 0. (0 ) Rozkada wielomian na czynniki stosujc grupowanie wyrazów. Zadanie. (0 ) i tworzenie Rozwizuje proste równanie wymierne. Zadanie. (0 ) i tworzenie Wyznacza wyraz cigu okrelonego wzorem ogólnym. D Zadanie 3. (0 ) Wyznacza n-ty wyraz cigu geometrycznego. Zadanie 4. (0 ) i tworzenie Znajc warto jednej funkcji trygonometrycznej wyznacza wartoci pozostaych funkcji trygonometrycznych. Zadanie 5. (0 ) Wykorzystuje definicje funkcji trygonometrycznych i wyznacza wartoci funkcji trygonometrycznych dla któw ostrych. A Zadanie 6. (0 ) Znajduje i wykorzystuje zwizki miarowe w figurach paskich.

4 Zadanie 7. (0 ) Zadanie 8. (0 ) i tworzenie Zadanie 9. (0 ) i tworzenie Zadanie 0. (0 ) Zadanie. (0 ) i tworzenie Zadanie. (0 ) Zadanie 3. (0 ) Zadanie 4. (0 ) i tworzenie Zadanie 5. (0 ) i tworzenie Wykorzystuje zwizki midzy ktem wpisanym i rodkowym do obliczenia miary kta. Znajduje i wykorzystuje zwizki miarowe w figurach paskich; wyznacza promie okrgu wpisanego w trójkt równoboczny majc dan dugo boku trójkta. Wskazuje równania prostej prostopadej do danej. Oblicza odlego punktów w ukadzie wspórzdnych; oblicza pole kwadratu. Posuguje si postaci równania okrgu; z zapisu równania okrgu odczytuje wspórzdne jego rodka. Wyznacza zwizki miarowe w wielocianach; wykorzystuje zwizek miedzy polem powierzchni cakowitej szecianu a jego objtoci. Wyznacza zwizki miarowe w bryach obrotowych; na podstawie danych przekroju osiowego stoka oblicza jego objto. Oblicza median podanych danych liczbowych. Stosuje definicj prawdopodobiestwa; oblicza prawdopodobiestwo zdarze. A D D

5 Zadanie 6. (0 ) Rozwi nierówno x 8x 7 0. Rozwizuje nierówno kwadratow. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: prawidowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x, x 7 i na tym poprzestanie lub dalej popeni bdy rozoy trójmian kwadratowy x 8x 7 na czynniki liniowe i zapisze nierówno x x 7 0 i na tym poprzestanie lub dalej popeni bdy popeni bd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popenionego bdu rozwie nierówno doprowadzi nierówno do postaci x 4 3 (na przykad z postaci x otrzymuje x 4 9, a nastpnie x 4 3) i na tym poprzestanie lub dalej popeni bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poda zbiór rozwiza nierównoci w postaci:, 7, x lub x 7 x, x 7 w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi kocami przedziaów. Uwaga: W zwizku z rozbienoci w rozumieniu i uywaniu spójników w jzyku potocznym i formalnym jzyku matematyki akceptujemy zapis, np. x, i x 7,. Kryteria oceniania uwzgldniajce specyficzne trudnoci w uczeniu si matematyki. Jeli zdajcy poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x 7, x i zapisze np. x, 7,, popeniajc tym samym bd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to otrzymuje punkty.. Jeli zdajcy pomyli porzdek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiza nierównoci w postaci,7,, to przyznajemy punkty.

6 Zadanie 7. (0 ) Rozwi równanie Schemat oceniania 3 x x x Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: x 9 x 6 lub przedstawi lew stron równania w postaci iloczynu x 3 x 3 x 6 i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy sprawdzi, e liczba 3 jest jednym z rozwiza równania, podzieli wielomian 3 x 6x 9x 54 3 x 9x 8 i na tym poprzestanie przez dwumian x i otrzyma lub dalej popenia bdy sprawdzi, e liczba 3 jest jednym z rozwiza równania, podzieli wielomian 3 x 6x 9x 54 3 x 3x 8 i na tym poprzestanie przez dwumian x i otrzyma lub dalej popenia bdy sprawdzi, e liczba 6 jest jednym z rozwiza równania, podzieli wielomian 3 x 6x 9x 54 6 x 9 i na tym poprzestanie lub przez dwumian x i otrzyma dalej popenia bdy Zdajcy otrzymuje... pkt gdy wyznaczy bezbdnie wszystkie rozwizania równania: x 3, x 3, x 6. Zadanie 8. (0 ) Pierwszy wyraz cigu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego cigu jest równy 5. Oblicz sum szeciu pocztkowych wyrazów tego cigu. Schemat oceniania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: obliczy rónic cigu arytmetycznego ( r 4 ) i na tym poprzestanie lub bdnie wyznaczy S 6 obliczy lub zapisze poprawnie jeden z pozostaych wyrazów cigu i na tym poprzestanie lub dalej popenia bdy popeni bd rachunkowy przy obliczaniu r i konsekwentnie do tego bdu wyznaczy S 6. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy S6 78. Rozwizuje równanie wielomianowe. Oblicza sum n pocztkowych wyrazów cigu arytmetycznego.

7 Uwaga: Zdajcy otrzymuje 0 punktów, jeeli: bdnie zapisze zwizek midzy a, a 4 i r, np. a 4r 5 i konsekwentnie do tego bdu wyznaczy S 6, a 5r zacytuje odpowiednie wzory, np. a4 a 3r lub S6 6 i na tym poprzestanie. Zadanie 9. (0 ) W trójkcie równoramiennym A dane s A 6 i A 30 (zobacz rysunek). Oblicz wysoko AD trójkta opuszczon z wierzchoka A na bok. 30 A D Uycie i tworzenie strategii Znajduje zwizki miarowe w figurach paskich z zastosowaniem trygonometrii. Schemat oceniania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy zapisze zaleno, z której mona obliczy wysoko AD, np.: AD sin 30 lub sin 30 6 AD. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy wysoko opuszczon z wierzchoka A na bok : AD 3. Uwaga: Jeli zdajcy od razu zapisze, e AD 3, to otrzymuje punkty.

8 Zadanie 30. (0 ) Dany jest równolegobok AD. Na przedueniu przektnej A wybrano punkt E tak, e E A (zobacz rysunek). Uzasadnij, e pole równolegoboku AD jest cztery razy wiksze od pola trójkta DE. E D A Rozumowanie i argumentacja Znajduje zwizki miarowe w figurach paskich; wykorzystuje zwizek midzy polami trójktów o takiej samej wysokoci. Rozwizanie D E A D Rysujemy wysoko DD trójkta AD. Wysoko DD jest równie wysokoci trójkta DE o podstawie E. PDE E DD Poniewa E A, wic PDE A DD PAD. P P 4P. AD AD DE Schemat oceniania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy zapisze zwizek midzy polem trójkta AD, a polem trójkta DE, np.: PDE PAD. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy wykae, e P 4P. AD DE

9 Zadanie 3. (0 ) Wyka, e jeeli c 0, to trójmian kwadratowy zerowe. y x bx c ma dwa róne miejsca Rozumowanie i argumentacja ada funkcj kwadratow. Rozwizanie Zapisujemy wyrónik danego trójmianu kwadratowego: b 4c. Poniewa c 0 to 4c 0. Std jest sum dwóch wyrae: nieujemnego i dodatniego, czyli jest dodatnia. A zatem trójmian y x bx c ma dwa róne miejsca zerowe. Schemat oceniania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy uzasadni, e trójmian ma dwa róne miejsca zerowe. Uwaga: Jeeli zdajcy podstawi konkretn warto w miejsce c, to otrzymuje 0 punktów. Zadanie 3. (0 4) Dany jest trójkt równoramienny A, w którym A oraz A, i,9. Podstawa A tego trójkta jest zawarta w prostej y x. Oblicz wspórzdne wierzchoka. Uycie i tworzenie strategii Oblicza odlego midzy punktami, wyznacza rodek odcinka, interpretuje wspóczynniki funkcji liniowej, wyznacza miejsca zerowe funkcji kwadratowej. I sposób rozwizania: (odlego) Punkt ley na prostej o równaniu y x, wic jego wspórzdne mona zapisa w postaci x, x. Obliczamy odlego punktu od punktu A: A 65 oraz odlego punktu od punktu : x x 9. Poniewa A, wic moemy zapisa równanie z jedn niewiadom x równanie kwadratowe 5 4 x x 7 0 lub x 9 65, skd otrzymujemy x x. Równanie to ma dwa

10 34 rozwizania x lub x. Poniewa drugie rozwizanie tego równania prowadzi 5 do punktu o wspórzdnych,, co oznacza, e otrzymujemy podany w treci zadania punkt A, zatem szukany punkt 34 7,. 5 5 Schemat oceniania I sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania... pkt Obliczenie odlegoci A: A 65. Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt zapisanie równania x y y 9 65 zapisanie ukadu równa: x 9 65 y x x y 9 65 lub lub x x 9 65 lub y x x y 9 65 Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania...3 pkt Doprowadzenie do równania kwadratowego, np. lub 5y y x x lub 7 0 5x 44x 68 0 Rozwizanie pene...4 pkt Wyznaczenie wspórzdnych wierzchoka II sposób rozwizania: (rodek odcinka) 34 7,. 5 5 Niech punkt D bdzie spodkiem wysokoci opuszczonej z wierzchoka. Wyznaczamy równanie prostej D: y x. Obliczamy wspórzdne punktu D,. 5 5 Wyznaczamy wspórzdne punktu : x 5 wykorzystujc na przykad wzór na wspórzdne rodka odcinka: y 5 x 5 wykorzystujc wzór na wspórzdne rodka odcinka i równanie prostej: y x

11 porównujc dugoci odcinków AD i D: x y y x Otrzymujemy 34 7,. 5 5 Schemat oceniania II sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania... pkt Wyznaczenie równania prostej D, np. w postaci y x Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... 3 pkt Obliczenie wspórzdnych punktu D: D,. 5 5 Uwaga: y x Jeeli zdajcy zapisze ukad równa: lub analogiczny i popeni bd y x rachunkowy w jego rozwizaniu, to otrzymuje punkty. Rozwizanie pene... 4 pkt 34 7 Wyznaczenie wspórzdnych wierzchoka,. 5 5 III sposób rozwizania: (kt midzy prostymi) Wyznaczamy wspóczynnik kierunkowy prostej A: a 8. Zapisujemy równanie: 8 a 4 a, korzystajc ze wzoru na tangens kta midzy prostymi A i, 8 9 a to wspóczynnik kierunkowy prostej A). Zapisujemy gdzie a jest wspóczynnikiem kierunkowym prostej. Obliczamy a : a (drugie rozwizanie tego równania 8 8 równanie prostej : y x 9, a nastpnie wyznaczamy punkt wspólny tej prostej 9 i prostej A o równaniu y x. Rozwizujemy ukad równa:

12 8 y 9 y x x 9 Otrzymujemy wspórzdne szukanego punktu: 34 7,. 5 5 Schemat oceniania III sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt Zapisanie równania z niewiadomym wspóczynnikiem kierunkowym prostej : 8 a 4 a Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania...3 pkt 8 Wyznaczenie wspóczynnika kierunkowego prostej : a. 9 Rozwizanie pene...4 pkt 34 7 Wyznaczenie wspórzdnych wierzchoka, jako punktu wspólnego prostych o równaniach y x oraz y x 9. 9 Kryteria oceniania uwzgldniajce specyficzne trudnoci w uczeniu si matematyki Jeli zdajcy przepisze z bdem wspórzdne punktów lub zamieni miejscami liczby bdce wspórzdnymi danych punktów i rozwie konsekwentnie zadanie do koca, to za takie rozwizanie otrzymuje 4 punkty.

13 Zadanie 33. (0 4) W ostrosupie prawidowym czworoktnym ADS o podstawie AD i wierzchoku S trójkt AS jest równoboczny i ma bok dugoci 8. Oblicz sinus kta nachylenia ciany bocznej do paszczyzny podstawy tego ostrosupa (zobacz rysunek). S b h H A E a D O Uycie i tworzenie strategii Wyznacza zwizki miarowe w wielocianach; znajduje zwizki miarowe w figurach paskich, w tym stosuje wasnoci trójkta równobocznego i prostoktnego i wykorzystuje definicj i wasnoci funkcji trygonometrycznych. I sposób rozwizania: ) Obliczenie H (wysokoci ostrosupa), np. z wasnoci trójkta równobocznego AS: b 3 H 4 3, gdzie b 8 b b lub z trójkta prostoktnego AOS : H Zdajcy moe wykona obliczenia i zapisa wynik w przyblieniu: H 6,93. ) Obliczenie a (dugoci krawdzi podstawy ostrosupa), np. ze wzoru na dugo przektnej kwadratu: a 8, a 4 lub a 5,66. 3) Obliczenie h SE (wysokoci ciany bocznej) z trójkta prostoktnego SOE: h a H, h 4 lub z trójkta prostoktnego SEA: h a b

14 Zdajcy moe wykona obliczenia i zapisa wynik w przyblieniu: h 7, 48. H 4 4) Obliczenie sinusa kta : sin h 7 lub obliczenie cosinusa kta, np. z twierdzenia cosinusów: h a h ah cos, 7 cos, a nastpnie sinusa kta, np. z jedynki trygonometrycznej: sin cos 49 7 lub wykorzystanie dokonanych przyblie do obliczenia sin 0,93. Schemat oceniania I sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania... pkt 8 3 obliczenie H (wysokoci ostrosupa): H 4 3 lub H 6,93 obliczenie a (dugoci krawdzi podstawy): a 4 lub a 5,66. Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania...3 pkt obliczenie h (wysokoci ciany bocznej ostrosupa): h 4 lub h 7, 48 oraz 8 3 obliczenie H (wysokoci ostrosupa): H 4 3 lub H 6,93. Zostay pokonane zasadnicze trudnoci zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostay popenione bdy rachunkowe, usterki... pkt Rozwizanie pene...4 pkt Obliczenie sinusa kta : 4 sin lub sin 0,93. 7 II sposób rozwizania: ) Obliczenie H (wysokoci ostrosupa), np. z wasnoci trójkta równobocznego AS b 3 H 4 3, gdzie b 8 b b lub z trójkta prostoktnego AOS : H Zdajcy moe wykona obliczenia i zapisa wynik w przyblieniu: H 6,93. ) Obliczenie a (dugoci krawdzi podstawy ostrosupa), np. ze wzoru na dugo przektnej kwadratu a 8, a 4 lub a 5,66.

15 3) Obliczenie tangensa kta : tg H H 6 a a lub tg, 45. 4) Odczytanie wartoci kta : 68 i sinusa tego kta z tablic trygonometrycznych: sin 0, 93 lub obliczenie sin z ukadu równa: 4 Std sin. 7 Schemat oceniania II sposobu rozwizania sin 6 cos sin cos Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania... pkt 8 3 obliczenie H (wysokoci ostrosupa): H 4 3 lub H 6,93 obliczenie a (dugoci krawdzi podstawy): a 4 lub a 5,66. Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... 3 pkt Obliczenie tangensa kta : tg 6 lub tg, 45. Zostay pokonane zasadnicze trudnoci zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostay popenione bdy rachunkowe, usterki... pkt Rozwizanie pene... 4 pkt 4 Obliczenie sinusa kta : sin lub sin 0,93. 7 Kryteria oceniania uwzgldniajce specyficzne trudnoci w uczeniu si matematyki Nie obniamy punktacji za rozwizanie, w którym zdajcy poprawnie obliczy wysoko ostrosupa, ale przy obliczaniu sinusa kta nachylenia ciany bocznej do paszczyzny podstawy podstawi bdn warto. Zadanie 34. (0 5) Kolarz pokona tras 4 km. Gdyby jecha ze redni prdkoci mniejsz o 9,5 km/h, to pokonaby t tras w czasie o godziny duszym. Oblicz, z jak redni prdkoci jecha ten kolarz. Modelowanie matematyczne Rozwizuje zadania dotyczcych sytuacji praktycznych, prowadzce do równania kwadratowego. I sposób rozwizania: Przyjmujemy oznaczenia, np.: t czas pokonania caej trasy w godzinach, v rednia prdko w kilometrach na godzin. Zapisujemy zalenoci midzy czasem a prdkoci w obu sytuacjach opisanych w zadaniu: v t 4 v 9,5 t 4. oraz

16 v t 4 Nastpnie zapisujemy ukad równa v 9,5 t 4 Rozwizujc ukad równa doprowadzamy do równania z jedn niewiadom, np.: 4 9,5 t 4 t 8 4 9,5t 9 4 t Mnoymy obie strony przez t: 9,5t 9t 8 0 Dzielimy obie strony przez 9,5: t t 4 0 t 6 t 4 0 t 6 lub t 4 t jest sprzeczne z warunkami zadania. Obliczamy redni prdko, z jak jecha kolarz: 4 v 8,5. 4 II sposób rozwizania: Zapisujemy zalenoci midzy czasem a prdkoci w obu sytuacjach opisanych w zadaniu: v t 4 v 9,5 t 4 oraz v t 4 Nastpnie zapisujemy ukad równa v 9,5 t 4 Rozwizujc ukad równa doprowadzamy do równania z jedn niewiadom, np.: 4 v 9,5 4 v v 9 4 v Mnoymy obie strony przez v v 9v v v 8, v jest sprzeczne z warunkami zadania. rednia prdko, z jak jecha kolarz, jest równa 8,5 km/godzin.

17 III sposób rozwizania: Przyjmujemy oznaczenia, np.: t czas pokonania caej trasy w godzinach, v rednia prdko w kilometrach na godzin. v v 9,5 Narysowane due prostokty reprezentuj tras przebyt przez kolarza w obu sytuacjach opisanych w zadaniu, maj zatem równe pola. Wobec tego pola zakreskowanych prostoktów 9,5 t v 9,5 9,5 t v v 4,75 t. s równe. Std równo i nastpnie i Poniewa trasa przebyta przez kolarza ma dugo 4 km, otrzymujemy równanie: 4, 75 t t 4 4, 75t 9,5t 4 0. Dzielimy obie strony przez 4,75: t t 4 0 t 6 t 4 0 t 6 lub t 4 t jest sprzeczne z warunkami zadania. 4 Obliczamy redni prdko, z jak jecha kolarz: v 8,5. 4 Odp. rednia prdko, z jak jecha kolarz, jest równa 8,5 km/godzin. Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania... pkt Zapisanie równania w sytuacji domniemanej (t oznacza czas pokonania caej trasy w godzinach, a v redni prdko rowerzysty w kilometrach na godzin) t v 9,5 4 Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt Zapisanie ukadu równa z niewiadomymi v i t, np.: t v 4 t v 9,5 4 Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... 3 pkt Zapisanie równania z jedn niewiadom v lub t, np.: 4 4 9,5 t 4 lub v 9,5 4 t v t t + lub t 4, 75 t 4

18 Zdajcy nie musi zapisywa ukadu równa, moe bezporednio zapisa równanie z jedn niewiadom. Zostay pokonane zasadnicze trudnoci zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostay popenione bdy rachunkowe lub usterki... pkt Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, które jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np. bdy rachunkowe)... 4 pkt obliczenie czasu: t 4 lub t 6 i nie obliczenie prdkoci lub obliczenie prdkoci z bdem rachunkowym obliczenie czasu: t 4 lub t 6 i obliczenie prdkoci: v 8,5 i v 9 i niewyeliminowanie prdkoci niezgodnej z warunkami zadania obliczenie czasu z bdem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prdkoci rozwizanie równania z niewiadom v z bdem rachunkowym. Rozwizanie pene... 5 pkt Obliczenie redniej prdkoci, z jak jecha kolarz: v 8,5km/godzin. Uwagi:. Jeeli zdajcy porównuje wielkoci rónych typów, to otrzymuje 0 punktów.. Jeeli zdajcy odgadnie redni prdko jazdy kolarza i nie uzasadni, e jest to jedyne rozwizanie, to otrzymuje punkt. Kryteria oceniania uwzgldniajce specyficzne trudnoci w uczeniu si matematyki Przykad. Jeli zdajcy przedstawi nastpujce rozwizanie: v - prdko kolarza, t - czas pokonania caej trasy w godzinach przez kolarza 4 v 9,5 t 4 v t 4 v 9,5t i na tym zakoczy, to takie rozwizanie kwalifikujemy do kategorii Rozwizanie, w którym jest istotny postp i przyznajemy punkty, mimo e w drugim równaniu ukadu zdajcy nie 4 uj wyraenia t w nawias. Zapis równania v 9,5 wskazuje na poprawn t interpretacj zalenoci midzy wielkociami.

19 Przykad. Jeli zdajcy przedstawi nastpujce rozwizanie: v - prdko kolarza, t - czas pokonania caej trasy w godzinach przez kolarza 4 v 4 t 4 4 v 9,5 9,5 t 0 t t v 9,5 t i na tym zakoczy, to takie rozwizanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych 4 4 trudnoci zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo e w równaniu 9,5 zdajcy t t przestawi cyfry w zapisie liczby 4 i pomin liczb w mianowniku uamka. Przykad 3. Jeli zdajcy otrzyma inne równanie kwadratowe, np. v 9v v 9v zamiast równania (np. w wyniku zego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak rozwie otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwizanie i pozostawi wynik, który moe by realn prdkoci jazdy kolarza, to takie rozwizanie kwalifikujemy do kategorii Rozwizanie pene i przyznajemy 5 punktów.