EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 Miejsce na naklejk z kodem szkoy dysleksja MMA-P_P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut Instrukcja dla zdajcego. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 5 stron (zadania ). Ewentualny brak zgo przewodniczcemu zespou nadzorujcego egzamin.. Rozwizania zada i odpowiedzi zamie w miejscu na to przeznaczonym.. W rozwizaniach zada przedstaw tok rozumowania prowadzcy do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. Uywaj dugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie uywaj korektora, a bdne zapisy przekrel. 6. Pamitaj, e zapisy w brudnopisie nie podlegaj ocenie. 7. Obok kadego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, któr moesz uzyska za jego poprawne rozwizanie. 8. Moesz korzysta z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 9. Wypenij t cz karty odpowiedzi, któr koduje zdajcy. Nie wpisuj adnych znaków w czci przeznaczonej dla egzaminatora. 0. Na karcie odpowiedzi wpisz swoj dat urodzenia i PESEL. Zamaluj pola odpowiadajce cyfrom numeru PESEL. Bdne zaznaczenie otocz kókiem i zaznacz waciwe. yczymy powodzenia! MAJ ROK 007 Za rozwizanie wszystkich zada mona otrzyma cznie 50 punktów Wypenia zdajcy przed rozpoczciem pracy PESEL ZDAJCEGO KOD ZDAJCEGO

2 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (5 pkt) Znajd wzór funkcji kwadratowej y f x, której wykresem jest parabola o wierzchoku (, 9) przechodzca przez punkt o wspórzdnych (, 8). Otrzyman funkcj przedstaw w postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres. Zapisuj funkcj opisujc parabol, korzystajc ze wspórzdnych jej wierzchoka: y a x 9. Wyznaczam wspóczynnik a, korzystajc z tego, e parabola przechodzi przez punkt o wspórzdnych (, 8): 8a 9 std a. Wzór funkcji w postaci kanonicznej: f x x Wyznaczam miejsca zerowe funkcji f: 9. x 9 0, std po zastosowaniu odpowiedniego wzoru skróconego mnoenia otrzymuj x x 0 i po redukcji x x Miejscami zerowymi funkcji s liczby: x, x Szkicuj wykres funkcji, biorc pod uwag miejsca zerowe oraz wspórzdne wierzchoka. 9 y x

3 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. ( pkt) Wysoko prowizji, któr klient paci w pewnym biurze maklerskim przy kadej zawieranej transakcji kupna lub sprzeday akcji jest uzaleniona od wartoci transakcji. Zaleno ta zostaa przedstawiona w tabeli: Warto transakcji do 500 z od 500,0 z do 000 z od 000,0 z do 8000 z od 8000,0 z do 5000 z powyej 5000 z Wysoko prowizji 5 z % wartoci transakcji + 5 z,5% wartoci transakcji + 0 z % wartoci transakcji + 60 z 0,7% wartoci transakcji + 05 z Klient zakupi za porednictwem tego biura maklerskiego 50 akcji w cenie 5 z za jedn akcj. Po roku sprzeda wszystkie kupione akcje po 45 z za jedn sztuk. Oblicz, ile zarobi na tych transakcjach po uwzgldnieniu prowizji, które zapaci. Obliczam warto transakcji: zakupu z sprzeday z. Obliczam, jak prowizj naley zapaci przy transakcjach: przy zakupie 50 0,060 9,50 z przy sprzeday 850 0, ,95 z. Obliczam zysk ze sprzeday: ,50 7,95 05,55 z. Odpowied: Klient zarobi 05,55 z.

4 4 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (4 pkt) Korzystajc z danych przedstawionych na rysunku, oblicz warto wyraenia: tg 5sin ctg cos. 8 C 6 A B Stosuj twierdzenia Pitagorasa do obliczenia przeciwprostoktnej trójkta ABC: AB Obliczam wartoci funkcji trygonometrycznych kta : 4 cos, 5 4 ctg. Obliczam wartoci funkcji trygonometrycznych kta : 4 sin, 5 4 tg. Obliczam warto wyraenia tg 5sin ctg cos :

5 Egzamin maturalny z matematyki 5 Zadanie 4. (5 pkt) Samochód przeby w pewnym czasie 0 km. Gdyby jecha ze redni prdkoci o 0 km/h wiksz, to czas przejazdu skróciby si o pó godziny. Oblicz, z jak redni prdkoci jecha ten samochód. Wprowadzam oznaczenia: v rednia prdko samochodu, 0 v 0 v 0 czas, w którym samochód przeby drog ze redni prdkoci v, czas, w którym samochód przeby drog ze redni prdkoci v +0. Warunki zadania zapisuj za pomoc równania: które po przeksztaceniu przyjmuje posta: v 0 0, v v0 0v Rozwizaniem równania s liczby: v 60, v 70. Odrzucam rozwizanie v 70, które jest niezgodne z warunkami zadania. Odpowied: Samochód jecha ze redni prdkoci 60 km/h.

6 6 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 5. (5 pkt) n Dany jest cig arytmetyczny a, gdzie n. Wiadomo, e dla kadego n suma n pocztkowych wyrazów S aa... a wyraa si wzorem: a) Wyznacz wzór na n ty wyraz cigu n b) Oblicz a 007. c) Wyznacz liczb n, dla której an 0. n n a. Sn n n. a) Do wyznaczenia wzoru na n-ty wyraz cigu a n stosuj wasno sum czciowych: an Sn Sn. an n n n n, std a 4 n n. b) Obliczam a 007 : a c) Obliczam, który wyraz cigu przyjmuje warto zero: n 4 0 n 7 Odpowied: an 0 gdy n 7.

7 Zadanie 6. (4 pkt) Dany jest wielomian W xx ax 4x b. a) Dla a 0 i 0 Egzamin maturalny z matematyki 7 b otrzymamy wielomian W x x 4x. Rozwi równanie x 4x 0. b) Dobierz wartoci a i b tak, aby wielomian W(x) by podzielny jednoczenie przez x oraz przez x. a) Rozwizuj równanie: x 4x 0 x x 7 0 x x x z zapisanej postaci iloczynowej odczytuj rozwizania równania: x 0, x 7, x 7. b) Aby znale warto wspóczynników a i b korzystam z twierdzenia o podzielnoci wielomianu przez dwumian, z którego wynika, e: W 0 oraz W 0. Otrzymuj ukad równa: 6 4a8 b0, z którego wyznaczam a i b. 54 9a 4 b 0 4a b 9a b Rozwizanie ukadu równa s liczby: a = 0, b =. Wielomian przyjmuje posta: W x x 4x.

8 8 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 7. (5 pkt) Dany jest punkt, C i prosta o równaniu y x 8 bdca symetraln odcinka BC. Wyznacz wspórzdne punktu B. Wykonaj obliczenia uzasadniajce odpowied. 5 y y=x-8 l 4 C S B=(x,y) x Poszukiwany punkt B xy, ley na prostej l, która jest prostopada do prostej yx 8. Wyznaczam wspóczynnik kierunkowy a prostej l: a. Prosta l przechodzi przez punkt C,, wic zachodzi równo b, z której wyznaczam wspóczynnik b. b 4, wic równanie prostej l ma posta: y x 4.

9 Egzamin maturalny z matematyki 9 Wyznaczam wspórzdne punktu S bdcego punktem przecicia prostych: yx 8 oraz y x 4. y x 4 Rozwizaniem ukadu równa s liczby: yx8 4 8 Punkt S ma wic wspórzdne:, 5 5. Punkt S jest rodkiem odcinka BC. 4 x, 5 8 y. 5 Zapisuj zaleno midzy wspórzdnymi punktu S i kocami odcinka BC: x y 4 8,, i rozwizuj równania: 5 5 x 4 8, std x oraz 5 5 y 8, std y. 5 5 Punkt B ma wspórzdne: 8 B, 5 5.

10 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 8. (4 pkt) Na stole leao 4 banknotów: banknoty o nominale 00 z, banknoty o nominale 50 z i 0 banknotów o nominale 0 z. Wiatr zdmuchn na podog 5 banknotów. Oblicz prawdopodobiestwo tego, e na pododze ley dokadnie 0 z. Odpowied podaj w postaci uamka nieskracalnego. jest zbiorem wszystkich picioelementowych podzbiorów czternastoelementowego zbioru banknotów. Zbiór ma moc: Zdarzenie A na podog spado 5 banknotów, które daj kwot 0 z. Jest tylko jeden ukad nominaów opisanych w zdarzeniu A: z. Obliczam liczb zdarze sprzyjajcych zajciu zdarzenia A: 0 A Obliczam prawdopodobiestwo P A szukanego zdarzenia: P A i otrzymany uamek skracam do postaci uamka nieskracalnego: P A. 4

11 Zadanie 9. (6 pkt) Egzamin maturalny z matematyki Oblicz pole czworokta wypukego ABCD, w którym kty wewntrzne maj odpowiednio miary: A 90, B 75, C 60, D 5, a boki AB i AD maj dugo cm. Sporzd rysunek pomocniczy. Sporzdzam rysunek pomocniczy. B 0 45 C 60 A D 45 Trójkt DAB jest równoramiennym trójktem prostoktnym, dlatego kty przy wierzchokach B i D s równe i maj miar 45. Obliczam miar kta BDC: BDC Trójkt CDB jest wic prostoktny. Obliczam dugo przektnej BD czworokta ABCD: BD cm. Z trójkta CDB obliczam dugo boku CD: CD ctg60 BD, std CD BD ctg60 i po podstawieniu otrzymuj: CD 6 cm. Obliczam pole trójkta DAB oraz pole trójkta CDB: P DAB 4,5 cm, P CDB cm. Pole czworokta ABCD jest sum pól tych trójktów: 9 PABCD cm.

12 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 0. (5 pkt) Dany jest graniastosup czworoktny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH oraz krawdziach bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD graniastosupa jest rombem o boku dugoci 8 cm i ktach ostrych A i C o mierze 60. Przektna graniastosupa CE jest nachylona do paszczyzny podstawy pod ktem 60. Sporzd rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymienione w zadaniu kty. Oblicz objto tego graniastosupa. Sporzdzam rysunek pomocniczy graniastosupa i zaznaczam opisane w zadaniu kty. H G E F h D 60 C A 60 B Obliczam pole P podstawy graniastosupa: P 8 sin60 cm. Dugo duszej przektnej rombu AC wyznaczam, korzystajc z pola rombu: Prombu P ABC AB AC sin0 8 AC std AC 8 cm. Wysoko graniastosupa h wyznaczam z trójkta CAE: h 4cm. Obliczam objto graniastosupa:, V cm. h AC tg60 std

13 Zadanie. (4 pkt) Egzamin maturalny z matematyki Dany jest rosncy cig geometryczny a n dla n, w którym a Oblicz x oraz y, jeeli wiadomo, e x y 5. x, a 4, a y. Wykorzystuj wasnoci cigu geometrycznego do zapisania ukadu równa uwzgldniajcego warunki zadania: x y5 x y 4 Doprowadzam ukad równa do równania postaci: x Rozwizaniem równania s liczby: x 7, x 8. 5x Wyznaczam pary liczb, które s rozwizaniem ukadu równa: x 7 oraz y 8 x y 8. 7 Rosncy cig geometryczny otrzymamy, gdy x 7, y 8.

14 4 Egzamin maturalny z matematyki BRUDNOPIS