EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

Transkrypt

1 entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0

2 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis wymagań Wykonanie obliczeń procentowych (III..d) Poprawna odpowiedź ( p.) Wersja arkusza Wersja arkusza D Zadanie. (0 ) Zastosowanie praw działań na potęgach o wykładnikach wymiernych, obliczenie potęgi o wykładniku wymiernym (II..g) Zadanie. (0 ) Wykonanie obliczeń na liczbach rzeczywistych z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia (II..a;.g;.a) Zadanie 4. (0 ) Obliczenie wartości logarytmu (II..h) Zadanie 5. (0 ) pojęcia wartości bezwzględnej do rozwiązania równania typu x a b (II..f) Zadanie 6. (0 ) Obliczenie sumy rozwiązań równania kwadratowego (II..a) Zadanie 7. (0 ) i interpretowanie informacji Odczytanie z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej jej miejsc zerowych (I.4.j) Zadanie 8. (0 ) interpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowej (I.4.g) D

3 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 9. (0 ) i interpretowanie informacji Odczytanie z wykresu funkcji jej miejsc zerowych (I.4.b) D Zadanie 0. (0 ) i interpretowanie informacji Planowanie i wykonanie obliczeń na liczbach rzeczywistych (I..a; 6.a) D Zadanie. (0 ) definicji do wyznaczenia wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta ostrego (II.6.a) Zadanie. (0 ) Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa (II.7.c) Zadanie. (0 ) Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa (II.7.c) D Zadanie 4. (0 ) i interpretowanie informacji Posłużenie się własnościami figur podobnych do obliczania długości odcinków (I.7.b) D Zadanie 5. (0 ) związku między promieniem koła opisanego na kwadracie i długością jego boku (II.7.c) Zadanie 6. (0 ) i interpretowanie informacji związków między kątem wpisanym i środkowym do obliczenia miary kąta (I.7.a)

4 4 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 7. (0 ) Modelowanie matematyczne Obliczenie wyrazów ciągu arytmetycznego (III.5.a) Zadanie 8. (0 ) i interpretowanie informacji Obliczenie wyrazu ciągu określonego wzorem ogólnym (I.5.a) D Zadanie 9. (0 ) Obliczenie objętości sześcianu z wykorzystaniem związków miarowych w sześcianie (II.9.b) Zadanie 0. (0 ) Wyznaczenie wysokości stożka z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych lub własności kwadratu (II.9.b) Zadanie. (0 ) i interpretowanie informacji Wskazanie równania prostej równoległej do danej (I.8.c) Zadanie. (0 ) pojęcia układu współrzędnych na płaszczyźnie (II.8.a) D Zadanie. (0 ) Zbadanie czy dany punkt spełnia równanie okręgu (II.8.g) D Zadanie 4. (0 ) Zliczenie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych, stosowanie zasady mnożenia (II.0.b) Zadanie 5. (0 ) Obliczenie średniej arytmetycznej i interpretowanie tego parametru w kontekście praktycznym (II.0.a) D

5 Egzamin maturalny z matematyki 5 Zadanie 6. (0 ) Rozwiązanie nierówności kwadratowej (II..a) Zdający otrzymuje... pkt gdy: prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x 5, x i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy rozłoży trójmian kwadratowy x 8x 5 na czynniki liniowe i zapisze nierówność xx5 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, np. x, x 5, x,5, doprowadzi nierówność do postaci x 4 (na przykład z postaci x 4 0 otrzymujex 4, a następnie x 4 ) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci:, 5, x 5 lub x x5, x w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki. Jeśli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x 5, x i zapisze, np. x, 5, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci, 5,, to przyznajemy punkty.

6 6 Egzamin maturalny z matematyki Zadania 7. (0 ) Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej (V..b) I sposób rozwiązania by wykazać prawdziwość podanej nierówności, przekształcimy ją najpierw do prostszej postaci równoważnej. Rozpoczynamy od podanej nierówności: a b c a b Mnożymy obie strony tej nierówności przez 6: a bca b Redukujemy wyrazy podobne: ca b Uzyskana nierówność jest równoważna nierówności wyjściowej, zatem wystarczy wykazać jej prawdziwość. Z założenia wiemy, że c aoraz c b. Wobec tego c cca b o należało wykazać. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt jeśli przekształci podaną nierówność do postaci ca b lub cacb 0, abc lub 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. 6 Zdający otrzymuje... pkt jeśli przedstawi kompletny dowód podanej nierówności. II sposób rozwiązania Zdający prowadzi ciąg nierówności, wychodząc od jednej ze stron podanej nierówności i na końcu dochodząc do drugiej. Założenie: 0 ab c abc a b a b c a b b a b a b b a a b a b 6 6 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt jeśli co najmniej jedna z nierówności występująca w zapisanym ciągu nierówności wynika w sposób poprawny z podanych założeń, ale zdający nie podaje kompletnego dowodu wyjściowej nierówności. Zdający otrzymuje... pkt jeśli poda kompletny dowód podanej nierówności.

7 Egzamin maturalny z matematyki 7 Zadanie 8. (0 ) i interpretowanie reprezentacji Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu na czynniki (II..d) Uwaga Gdy zdający poda poprawną odpowiedź (trzeci pierwiastek wielomianu: x ) nie wykonując żadnych obliczeń, to otrzymuje punkt. I sposób rozwiązania Przedstawiamy wielomian W( x ) w postaci W x x4 x x a, gdzie a oznacza trzeci pierwiastek wielomianu. Stąd W( x) x x ax xax a = x a x a x a, Porównując współczynniki wielomianu W( x ) otrzymujemy a 4 a 9 a 6 Stąd a. Trzecim pierwiastkiem wielomianu W( x ) jest liczba x. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy przedstawi wielomian W( x ) w postaci W x x4 x x a i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: x. II sposób rozwiązania Przedstawiamy wielomian W( x ) w postaci iloczynu: W( x) x 4x 9x6 x x4 9 x4 x4 x x. Pierwiastkami wielomianu W x są zatem x 4, x oraz x. Odpowiedź: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba x. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy przedstawi wielomian w postaci iloczynu, np.: W( x) x 9 x 4 lub W( x) x 4 x x W( x) x x x lub lub W( x) x 7xx i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: x.

8 8 Egzamin maturalny z matematyki III sposób rozwiązania Liczba 4 jest pierwiastkiem wielomianu W x, więc wielomian x W jest podzielny przez dwumian x 4. Dzielimy wielomian W x przez dwumian x 4 x 9 x 4x 9x6 : x4 x 4x Wielomian 9x6 9x6 W x zapisujemy w postaci 4 9 W x x x, stąd W x x 4x x. Liczby i 4 są pierwiastkami wielomianu W x, więc wielomian W x jest podzielny przez xx 4 = x x. Dzielimy wielomian x x x W x przez x 4x 9x6 : x x x x 6 x x6 x x x Liczba jest pierwiastkiem wielomianu W x, więc wielomian W x jest podzielny przez dwumian x. Dzielimy wielomian W x przez dwumian x x 7x x 4x 9x6 : x x x 7x 9x 7x x x 6 x 6 Wielomian W x zapisujemy w postaci 7 W x x x x. Wyznaczamy pierwiastki trójmianu x 7x : x 4 i x. Zatem W x x x x 4 x x x. Zatem pierwiastkami wielomianu są: 4 x, x oraz x. Odpowiedź: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba x.

9 Egzamin maturalny z matematyki 9 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy: wykona dzielenie wielomianu przez dwumian x 4, otrzyma iloraz x 9 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy wykona dzielenie wielomianu przez dwumian x, otrzyma iloraz x 7x i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy wykona dzielenie wielomianu przez x x, otrzyma iloraz x i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy wykona dzielenie wielomianu przez x 4 lub x, lub przez x x popełniając błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu wyznacza pierwiastki otrzymanego ilorazu. Zdający otrzymuje... pkt gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: x. Uwaga Dzieląc wielomian x Hornera, np. przy dzieleniu przez W przez dwumian x p x 4 otrzymuje zdający może posłużyć się schematem IV sposób rozwiązania Korzystamy z jednego ze wzorów Viète a dla wielomianu stopnia trzeciego i otrzymujemy 6 4 x, stąd x lub 4 4 x, stąd x, lub x x. W Proste sprawdzenie pokazuje, że rzeczywiście 0 Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawnie zastosuje jeden ze wzorów Viète a dla wielomianu stopnia trzeciego i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawnie obliczy trzeci pierwiastek: x.

10 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadania 9. (0 ) Użycie i tworzenie strategii własności symetralnej odcinka do wyznaczenia jej równania (IV.8.b, 8.c, 8.e) I sposób rozwiązania Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej : kierunkowy prostej prostopadłej do prostej jest równy 0 ma równanie y x b Symetralna tego odcinka przechodzi przez punkt S, więc. Punkt S, 0,6 symetralna odcinka ma równanie y x Zatem współczynnik. Symetralna odcinka jest środkiem odcinka. 6 0 b. Stąd b 6, a więc Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawnie wyznaczy lub poda współrzędne środka odcinka : S 0,6 oraz współczynnik kierunkowy prostej : a i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy gdy popełni błędy rachunkowe przy wyznaczaniu współrzędnych środka odcinka współczynnika kierunkowego prostej i konsekwentnie wyznaczy równanie symetralnej gdy obliczy współczynnik kierunkowy prostej : a oraz współczynnik kierunkowy prostej do niej prostopadłej a i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka : y x 6 lub x y 0. II sposób rozwiązania. Obliczamy współrzędne wektora. Ponieważ symetralna odcinka jest prostopadła do wektora i przechodzi Obliczamy współrzędne środka odcinka : S 0,6 4,8 przez punkt S, więc jej równanie ma postać x y , czyli x y 0. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy współrzędne wektora : 4,8 oraz środek odcinka : S 0,6 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.

11 Egzamin maturalny z matematyki Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawnie wyznaczy równanie symetralnej odcinka : x y 0 lub y x 6. III sposób rozwiązania Z rysunku w układzie współrzędnych 0 9 y y=x S x odczytujemy współrzędne punktu S 0,6 : a i zapisujemy równanie symetralnej odcinka :, współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka y x 6. Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy odczyta, z dokładnie sporządzonego rysunku w układzie współrzędnych, współrzędne środka odcinka i współczynnik kierunkowy symetralnej prostej i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze równanie symetralnej odcinka : x y 0 lub y x 6. IV sposób rozwiązania Korzystamy z tego, że symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów równo P x, y leży na symetralnej, to P P. oddalonych od jego końców. Jeśli punkt Zatem x y x y 0, czyli x y x y 0. Po uporządkowaniu równania i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy x y 0. Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze równanie y x y 0 x i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka : x y 0 lub y x 6.

12 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeśli zdający przepisze z błędem współrzędne punktów i wyznaczy konsekwentnie równanie symetralnej odcinka, to za takie rozwiązanie przyznajemy punkty. Zadanie 0. (0 ) Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu geometrycznego (V.7.c) I sposób rozwiązania Niech,,, P. P Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie równa jest mamy 80. Ponieważ 0, więc 80, stąd 90. W trójkącie P mamy 80. Stąd i z otrzymanej nierówności 90 wynika, że Oznacza to, że kąt P jest kątem rozwartym. o należało uzasadnić. 80, więc w trójkącie 90. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że kąt P jest kątem rozwartym. II sposób rozwiązania Niech,,, P. P

13 Egzamin maturalny z matematyki Ponieważ 80 oraz suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie P jest równa 80, więc otrzymujemy Ponieważ 90, więc jest kątem ostrym, zatem jest kątem rozwartym. Oznacza to, że kąt P jest kątem rozwartym. o należało uzasadnić. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że kąt P jest rozwarty. Zadanie. (0 ) Modelowanie matematyczne Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia z zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa (III.0.b;0.d) I sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary uporządkowane x, y dwóch liczb ze zbioru,,, 4,5,6,7. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6, gdy: jedna z tych liczb jest równa 6 (wówczas druga jest dowolna) jedną z liczb jest, a drugą jest lub 4. Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu jest więc równa 7 7. Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe: II sposób rozwiązania (metoda tabeli) 7 P Symbole w tabeli oznaczają odpowiednio: - zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu i 7, zatem P. 49

14 4 Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: 7 49 obliczy (zaznaczy poprawnie w tabeli) liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu : 7. Zdający otrzymuje... pkt 7 gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia : P ( ). 49 Uwaga Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( ), to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów. III sposób rozwiązania (metoda drzewa) Drzewo z istotnymi gałęziami: , 4, 5, Dowolna z siedmiu, 6, 4, 6 6 Prawdopodobieństwo zdarzenia (iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6) 7 7 jest więc równe: P Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy: narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo narysuje drzewo tylko z istotnymi gałęziami. Zdający otrzymuje... pkt 7 gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia : P ( ). 49 Uwaga Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( ), to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek, 7 np. P ( ), to otrzymuje punkty. 49

15 Egzamin maturalny z matematyki 5 Zadanie. (0 4) Modelowanie matematyczne Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego (III.5.c) I sposób rozwiązania iąg 9, x,9 jest arytmetyczny, więc wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów 99 sąsiednich: x 4. 4 Wiemy, że ciąg 4,4, y, z jest geometryczny, zatem jego iloraz jest równy q. 4 Wobec tego y 4 6 i z Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt 99 wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie, np. x lub x 9 9 lub x 4 wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie, np. 4 xy lub y 4z. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego q. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Obliczenie x 4, y 6, z 78. II sposób rozwiązania iąg 9, x,9 jest arytmetyczny, zatem x 9 9, x 4. iąg 4,4, y, z jest geometryczny, zatem 4 4 y i y 764 y 6 i z, stąd z z, Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt 99 wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie, np. x lub x 9 9, lub x 4 wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie, np. 4 xy lub y 4z. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Obliczenie x 4 i zapisanie równania 4 4y lub 764 4y. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Obliczenie y 6 i zapisanie równania y 4z lub 6 4z.

16 6 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie pełne... 4 pkt Obliczenie x 4, y 6, z 78. Uwaga Jeśli zdający pomyli własności ciągów, to za całe zadanie otrzymuje 0 punktów. Zadanie. (0 4) Użycie i tworzenie strategii Obliczenie objętości wielościanu (IV.9.b) Strategia rozwiązania tego zadania sprowadza się do realizacji następujących etapów: a) obliczenie wysokości E ostrosłupa, b) obliczenie pola podstawy tego ostrosłupa, c) obliczenie objętości ostrosłupa. Rozwiązanie a) Obliczenie pola podstawy ostrosłupa Podstawa D ostrosłupa jest kwadratem o boku. Stosując wzór na przekątną kwadratu, mamy: 4, stąd 4. Obliczamy pole P podstawy ostrosłupa: P 8. b) Obliczenie wysokości E ostrosłupa Rysujemy trójkąt E. 8 E 4. c) Obliczenie objętości ostrosłupa Objętość ostrosłupa jest równa V 84. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Obliczenie wysokości E ostrosłupa: E 4 obliczenie pola P podstawy ostrosłupa: P 8. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Obliczenie pola podstawy i wysokości ostrosłupa.

17 Egzamin maturalny z matematyki 7 Uwaga Jeśli zdający obliczy jedną z tych wielkości z błędem rachunkowym, to otrzymuje punkty. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Obliczenie objętości ostrosłupa: V. Uwaga Jeśli zdający pominie współczynnik we wzorze na objętość ostrosłupa, ale rozwiązanie doprowadzi konsekwentnie do końca z tym jednym błędem, to za takie rozwiązanie otrzymuje punkty. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Nie obniżamy punktacji zadania za błędy nieuwagi, np. gdy zdający poprawnie obliczył wysokość ostrosłupa, ale przy obliczaniu objętości ostrosłupa podstawił błędna wartość. Zadanie 4. (0 5) Modelowanie matematyczne Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego (III..b) I sposób rozwiązania Przyjmujemy oznaczenia np.: t czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, v średnia prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę. Zapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla t v4 0 pociągu pospiesznego: tv0 Następnie zapisujemy układ równań t v 4 0 Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.: 0 t 4 0 t 0 0 4t 4 0 t 4t 4t0 0 4t 4t t, t,5 8 8 t jest sprzeczne z warunkami zadania. Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny:,5,5. Odp. zas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy,5 godziny.

18 8 Egzamin maturalny z matematyki II sposób rozwiązania Zapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla pociągu pospiesznego: tv4 0 tv0 Następnie zapisujemy układ równań t v 4 0 Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.: 0 v 4 0 v v 4 0 v 5040 v 4 0 v v 4v v 60, v 84, v jest sprzeczne z warunkami zadania Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg osobowy: t,5 v 60. Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny:,5 =,5. Odp. zas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy,5 godziny. III sposób rozwiązania Przyjmujemy oznaczenia np.: t czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, v średnia prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę. v+4 v Narysowane duże prostokąty reprezentują odległości przebyte przez obydwa pociągi, mają zatem równe pola. Wobec tego pola zakreskowanych prostokątów są równe. Stąd równość 4 vt 4 t t. t v. Droga przebyta przez pociąg osobowy wyraża się wzorem Ponieważ trasa pociągu ma długość 0 km, otrzymujemy równanie 4t t 0. Stąd 4t 4t0 0 4t 4t t, t,5 8 8 t t

19 Egzamin maturalny z matematyki 9 t jest sprzeczne z warunkami zadania. Zatem pociąg osobowy jechał przez,5 godziny, a pociąg pospieszny:,5,5 godziny. Odp. zas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy,5 godziny. Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Zapisanie równania z dwiema niewiadomymi tv4 0 gdy t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, a v średnią prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę, lub t v4 0 gdy t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg pospieszny, a v średnią prędkość pociągu pospiesznego w kilometrach na godzinę. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t, np.: t v 0 tv0 lub t v 4 0 t v 4 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą v lub t, np.: 0 0 t 4 0 lub v 4 0 lub 4tt 0 t v Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały popełnione błędy rachunkowe lub usterki... pkt Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 pkt rozwiązanie równania z niewiadomą v lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie czasu pokonania drogi przez pociąg pospieszny obliczenie czasu jazdy pociągu osobowego: t, 5 i nie obliczenie czasu pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny. Rozwiązanie pełne... 5 pkt Obliczenie czasu pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny:,5 godziny. Uwagi. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający odgadnie czas jazdy pociągu pospiesznego i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje punkt.

20 0 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Przykład. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość pociągu osobowego, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy 0 v 4 t 0 vt 0 v4t i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp i przyznajemy punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie ujął wyrażenia t w nawias. Zapis równania interpretację zależności między wielkościami. 0 v 4 wskazuje na poprawną t Przykład. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość pociągu osobowego, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy 0 v 0 t 0 0 v 4 4 t 0 t t v 4 t i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych 0 0 trudności zadania i przyznajemy punkty, mimo że w równaniu 4 zdający t t przestawił cyfry w zapisie liczby 0 i pominął liczbę w mianowniku ułamka. Przykład. Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np. 4t 4t5 0 zamiast równania 4t 4t5 0 (np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik, który może być realnym czasem jazdy pociągu pospiesznego, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów.