EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

Transkrypt

1 Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0

2 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie. (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji Opis wymaga pojcia wartoci bezwzgldnej Poprawna odpowied ( p.) C Zadanie. (0 ) Wykonanie oblicze procentowych B Zadanie. (0 ) i tworzenie informacji Rozoenie wielomianu na czynniki z zastosowaniem wyczenia wspólnego czynnika poza nawias B Zadanie. (0 ) Modelowanie matematyczne Rozwizanie ukadu równa D Zadanie. (0 ) Rozwizanie równania liniowego i sprawdzenie czy rozwizanie naley do danego przedziau D Zadanie 6. (0 ) Sprawdzenie, które z podanych liczb speniaj nierówno i wybranie z nich najmniejszej B Zadanie. (0 ) Zinterpretowanie rozwizania nierównoci kwadratowej i liniowej na osi liczbowej C Zadanie 8. (0 ) definicji logarytmu B

3 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie 9. (0 ) Okrelenie funkcji za pomoc wzoru i interpretowanie wykresów funkcji kwadratowych A Zadanie 0. (0 ) Obliczenie miejsca zerowego funkcji liniowej D Zadanie. (0 ) Zastosowanie wzory na n-ty wyraz cigu geometrycznego D Zadanie. (0 ) Uycie i tworzenie strategii Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz cigu arytmetycznego C Zadanie. (0 ) Wyznaczenie wartoci pozostaych funkcji tego samego kta ostrego, gdy dana jest warto jednej z nich A Zadanie. (0 ) Zastosowanie prostych zwizków midzy funkcjami trygonometrycznymi kta ostrego B Zadanie. (0 ) Uycie i tworzenie strategii Znalezienie zwizków miarowych w przestrzeni C Zadanie 6. (0 ) Skorzystanie ze zwizków midzy ktem rodkowym i ktem wpisanym B Zadanie. (0 ) Uycie i tworzenie strategii Znalezienie zwizków miarowych w figurach paskich A

4 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie 8. (0 ) Zbadanie równolegoci i prostopadoci prostych na podstawie ich równa kierunkowych C Zadanie 9. (0 ) Posuenie si równaniem okrgu x a y b r i sprawdzanie czy dana prosta jest styczn B Zadanie 0. (0 ) Wyznaczenie zwizków miarowych w szecianie D Zadanie. (0 ) Wyznaczenie zwizków miarowych w bryach obrotowych B Zadanie. (0 ) Modelowanie matematyczne Zastosowanie twierdzenia znanego jako klasyczna definicja prawdopodobiestwa do obliczenia prawdopodobiestwa zdarzenia D Zadanie. (0 ) Obliczenie redniej arytmetycznej D

5 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie. (0 ) Rozwizanie nierównoci kwadratowej Rozwizanie Rozwizanie nierównoci kwadratowej skada si z dwóch etapów. Pierwszy etap moe by realizowany na sposoby: I sposób rozwizania (realizacja pierwszego etapu) Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego x 0x obliczamy wyrónik tego trójmianu: i std x oraz x 6 6 stosujemy wzory Viète a: 0 xx oraz xx i std x oraz x podajemy je bezporednio, np. zapisujc pierwiastki trójmianu lub posta iloczynow trójmianu, lub zaznaczajc na wykresie x, x lub x x lub y x II sposób rozwizania (realizacja pierwszego etapu) Wyznaczamy posta kanoniczn trójmianu kwadratowego nierówno w postaci, np x 0, std x a nastpnie x 0x i zapisujemy

6 6 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy przeksztacamy nierówno, tak by jej lewa strona bya zapisana w postaci iloczynowej x x xx 0 przeksztacamy nierówno do postaci równowanej, korzystajc z wasnoci wartoci bezwzgldnej 0 6 x 6 6 Drugi etap rozwizania: 0 8 x 6 6 Podajemy zbiór rozwiza nierównoci: x lub Schemat oceniania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwizania i na tym poprzestanie lub bdnie zapisze zbiór rozwiza nierównoci, np. o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x, x i na tym poprzestanie lub bdnie zapisze zbiór rozwiza nierównoci o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f x x 0x i na tym poprzestanie lub bdnie zapisze zbiór rozwiza nierównoci o rozoy trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. x x i na tym poprzestanie lub bdnie rozwie nierówno 0 8 o zapisze nierówno x i na tym poprzestanie lub bdnie zapisze 6 6 zbiór rozwiza nierównoci realizujc pierwszy etap, popeni bd (ale otrzyma dwa róne pierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwie nierówno, np. o popeni bd rachunkowy przy obliczaniu wyrónika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popenionego bdu rozwie nierówno 0 o bdnie zapisze równania wynikajce ze wzorów Viète a, np.: xx 0 i xx lub xx i x x i konsekwentnie do popenionego bdu rozwie nierówno, lub x,.

7 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy o bdnie zapisze nierówno, np. bdu rozwie nierówno. 0 8 x i konsekwentnie do popenionego 6 6 Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiza nierównoci:, lub x, lub x, sporzdzi ilustracj geometryczn (o liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiza nierównoci w postaci: x, x poda zbiór rozwiza nierównoci w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi kocami przedziaów Uwaga Jeeli zdajcy poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x i x i zapisze np. x,, popeniajc tym samym bd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za takie rozwizanie otrzymuje punkty. Zadania. (0 ) x Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie zalenoci arytmetycznej z zastosowaniem wzorów skróconego mnoenia I sposób rozwizania Poniewa a b a abb. Poniewa a, wic ab, czyli b, wic ab. Std mamy, e Stosujc wzory skróconego mnoenia, zapisujemy wyraenie a b a b czyli II sposób rozwizania Przeksztacamy tez w sposób równowany: a b a b a b 9 ab ab 9. 9 co naleao uzasadni. ab ab 9. ab i a b w postaci:

8 8 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Korzystajc z zaoe a b i ab, otrzymujemy ab. Std ab. Zatem ab 9, co koczy dowód. Schemat oceniania I i II sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: korzystajc z zaoe obliczy, e ab i na tym poprzestanie lub dalej popenia bdy przeksztaci tez w sposób równowany do postaci ab 9 i na tym poprzestanie lub dalej popenia bdy Zdajcy otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pene rozumowanie. III sposób rozwizania Tak jak w sposobie I obliczamy, e ab. Korzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona: 6 6 ab a a b a b ab b a ab a b ab b a b 6 a b 8a b 0 Std a b. Schemat oceniania III sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poda lub obliczy warto wyraenia ab i na tym poprzestanie lub dalej popeni bdy wykorzysta wzór dwumianowy Newtona i zapisze np. 6 ab a ab a b ab b. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pene rozumowanie. IV sposób rozwizania Rozwizujemy ukad równa, wyznaczajc a i b : a b std: ab

9 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 9 a b lub a b a b Ukad równa a b moemy rozwiza jednym z podanych sposobów. I sposób Podstawiamy b a do równania a a a b, std otrzymujemy równanie, które jest równowane równaniu a a 0. Obliczamy oraz a a 6 0, czyli a b lub a b II sposób Oznaczamy: a x, b x. Wtedy a b x, std x, czyli Std otrzymujemy: x, wic x, x. a b lub a b III sposób Obliczamy ab tak jak w I sposobie rozwizania. Mamy zatem ukad równa: ab ab Std otrzymujemy: a b lub a b

10 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Obliczamy a a b, korzystajc ze wzoru cd cd c c d d : b Uwaga Zdajcy moe take obliczy: a 9 6 a oraz b 9 6 b Zatem a b. Schemat oceniania IV sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy jedn z wartoci a lub a lub b lub b i na tym poprzestanie lub dalej popeni bdy Zdajcy otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pene rozumowanie. Uwaga Jeeli zdajcy obliczy jedn z wartoci a lub a, lub b, lub b i uzasadni tez tylko dla tej jednej wartoci, to otrzymuje punkty.

11 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie 6. (0 ) i tworzenie informacji Odczytanie z wykresu funkcji: zbioru wartoci oraz maksymalnego przedziau, w którym funkcja maleje Rozwizanie Odczytujemy z wykresu zbiór wartoci funkcji:,. Zapisujemy przedzia maksymalnej dugoci, w którym funkcja jest malejca:,. Schemat oceniania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: zapisze zbiór wartoci funkcji f :, i na tym poprzestanie zapisze zbiór wartoci funkcji f :, i bdnie zapisze przedzia maksymalnej dugoci, w którym ta funkcja jest malejca zapisze przedzia maksymalnej dugoci, w którym funkcja f jest malejca:, i na tym poprzestanie zapisze przedzia maksymalnej dugoci, w którym funkcja f jest malejca, np.:, i bdnie zapisze zbiór wartoci funkcji f. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy zapisze zbiór wartoci funkcji f :, oraz przedzia maksymalnej dugoci, w którym funkcja f jest malejca:,. Uwagi. Zdajcy moe zapisa przedzia maksymalnej dugoci, w którym funkcja f jest malejca, w postaci x lub x,, lub x,, lub x,, lub x,.. Zdajcy moe zapisa zbiór wartoci funkcji f, w postaci y lub x,.. Zdajcy moe zapisa przedzia maksymalnej dugoci, w którym funkcja f jest malejca, w postaci,0 0,.. Nie akceptujemy, jeeli zdajcy zapisze przedzia maksymalnej dugoci, w którym funkcja f jest malejca, w postaci,.

12 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadania. (0 ) Modelowanie matematyczne Zastosowanie wzorów na n-ty wyraz cigu arytmetycznego lub wykorzystanie wasnoci trzech kolejnych wyrazów tego cigu I sposób rozwizania Liczby x, y, 9 w podanej kolejnoci tworz cig arytmetyczny, std y x 9. Zapisujemy wic ukad równa y x9 x y 8 którego rozwizaniem jest x i y 9. Schemat oceniania I sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy wykorzysta wasnoci cigu arytmetycznego i zapisze równanie np. y x 9 i na tym poprzestanie lub dalej popenia bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy: x i y 9. Uwaga Zdajcy moe jako rozwizanie poda cig, 9, 9 i wtedy równie otrzymuje punkty. II sposób rozwizania Liczby x, y, 9 w podanej kolejnoci tworz cig arytmetyczny. Niech r bdzie rónic tego cigu i x a, y a a r, 9 a a r. Otrzymujemy ukad równa aar 8 a r 9 Rozwizaniem tego ukadu jest a, r 0. Std: x a, y a 9. Uwaga Moemy równie otrzyma nastpujce ukady równa: a r 8 y xr a 9 lub 9 x r a r x y 8 Schemat oceniania II sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy wprowadzi oznaczenia x a, y a a r i zapisze równanie a r 9 i na tym poprzestanie lub dalej popenia bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy: x i y 9.

13 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy III sposób rozwizania Wprowadzamy oznaczenia x a, y a, 9 a. Obliczamy: S x y Korzystajc ze wzoru na sum trzech pocztkowych wyrazów cigu arytmetycznego, a 9 otrzymujemy. Std a, zatem x, y 9. Schemat oceniania III sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje... pkt a a gdy wprowadzi oznaczenia x a, y a, 9 a i zapisze równanie i na tym poprzestanie lub dalej popenia bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy: x i y 9. Uwaga Jeeli zdajcy zapisze x i y 9 bez oblicze i nie uzasadni, e jest to jedyne rozwizanie, to otrzymuje punkt. Zadanie 8. (0 ) Uycie i tworzenie strategii Zastosowanie prostych zwizków midzy funkcjami trygonometrycznymi kta ostrego I sposób rozwizania sin cos Sprowadzamy wyraenie do wspólnego mianownika i otrzymujemy cos sin sin cos. Korzystajc z tosamoci sin cos, otrzymujemy sincos sincos, a std sincos. Schemat oceniania I sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: sin cos sprowadzi wyraenie do wspólnego mianownika i na tym cos sin poprzestanie lub dalej popenia bdy. sin cos doprowadzi wyraenie do postaci sin cos sincos cos sin i na tym poprzestanie lub dalej popenia bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy, e sincos.

14 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy II sposób rozwizania Rysujemy trójkt prostoktny, w którym oznaczamy dugoci przyprostoktnych a i b oraz zaznaczamy kt ostry taki, e sin a c lub cos b. c a c b Korzystajc z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy dugo przeciwprostoktnej: c a b. Poniewa sin cos a b a b c, wic, czyli. Std cos sin b a ab ab. Poniewa sincos ab, to sincos. c III sposób rozwizania Rysujemy trójkt prostoktny, w którym oznaczamy dugoci przyprostoktnych a i b oraz zaznaczamy kt ostry taki, e sin a c lub cos b. c a c b Poniewa sin cos, wic otrzymujemy kolejno: cos sin a b a b,, a b ab, b a ab std ab 0, wic a b. Zatem. Wtedy sin sin i cos cos. Obliczamy sincos.

15 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Schemat oceniania II i III sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy narysuje trójkt prostoktny o przyprostoktnych dugoci a i b, zaznaczy w tym trójkcie kt i zapisze: sin a c, cos b c i a b i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy ab sin a c, cos b c i a b a b i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy, e sincos. Uwaga Zdajcy moe take odczyta z tablic przyblione wartoci funkcji trygonometrycznych i obliczy: sin cos0,00,0 0,999 0,. Nie akceptujemy innych przyblie. IV sposób rozwizania Wyraenie sin cos zapisujemy w postaci cos sin Std. tg tg 0 tg. tg Zatem tg i std. Obliczamy warto wyraenia, sin cos. Schemat oceniania IV sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy zapisze równanie tg i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy. tg Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy sincos. V sposób rozwizania Zauwaamy, e suma liczby i jej odwrotnoci jest równa wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba sin jest równa. Zatem tg i std, a wic sin cos. cos

16 6 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Schemat oceniania V sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy zapisze, e suma liczby i jej odwrotnoci jest równa wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba jest równa, zapisze tg lub sin i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy. cos Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy sincos. Uwaga Jeeli zdajcy w V sposobie rozwizania zapisze bez uzasadnienia: sin tg lub lub i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy, cos to otrzymuje 0 punktów. tg lub sin lub cos i poprawnie obliczy sincos, to otrzymuje punkt. Zadania 9. (0 ) Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie, e wskazany kt jest prosty I sposób rozwizania Niech CED. Poniewa trójkt DCE jest równoramienny i EC CD, to EDC CED. Zatem DCE 80. Podobnie, poniewa trójkt ABE jest równoramienny i AEB EAB, to ABE 80. Kty ABE i DCE s ktami wewntrznymi trapezu ABCD i DCE ABE 80. Std , czyli Zatem AED 80 CED AEB Schemat oceniania I sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy napisze zalenoci midzy miarami któw w trójktach równoramiennych ABE i DCE, np. DCE 80 i ABE 80 i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poprawnie uzasadni, e AED 90.

17 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy II sposób rozwizania D C F E Niech CED i AEB Trójkty DCE i ABE s równoramienne. Zatem EDC CED oraz AEB EAB. Dorysowujemy w danym trapezie odcinek EF równolegy do podstaw trapezu ABCD. Kty naprzemianlege CDE i DEF maj równe miary, zatem EDC DEF. Analogicznie EAB AEF. Zatem BEC 80, wic 90. Std AED 90, co koczy dowód. Schemat oceniania II sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy napisze, e trójkty DCE i ABE s równoramienne, dorysuje odcinek EF równolegy do podstaw trapezu ABCD i zapisze, e EDC DEF i EAB AEF. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poprawnie uzasadni, e AED 90 (uzasadnienie równoci któw moe by przedstawione na rysunku). A B

18 8 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy III sposób rozwizania D 80 C F E Niech ABC, std BCD 80. Poniewa CE A CD i EB BA, wic trójkty DCE i ABE s równoramienne. 80 Zatem AEB EAB 90 oraz EDC CED. Dorysowujemy w danym trapezie odcinek EF równolegy do podstaw trapezu ABCD, wic zachodzi równo: EDC CED DEF i AEB EAB AEF 90 Std otrzymujemy AED AEF DEF Schemat oceniania III sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy napisze, e trójkty DCE i ABE s równoramienne i przyjmie, e ABC, dorysuje odcinek EF równolegy do podstaw trapezu ABCD i zapisze, 80 e AEB EAB AEF i EDC CED DEF. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poprawnie uzasadni, e AED 90 (uzasadnienie równoci któw moe by przedstawione na rysunku). 90 B

19 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 9 IV sposób rozwizania D C E A B Niech CED. Poniewa trójkt DCE jest równoramienny i EC CD, to EDC CED. Podobnie, poniewa trójkt ABE jest równoramienny, to AEB EAB Kty ADC i BAD s ktami wewntrznymi trapezu ABCD i ADC BAD 80. Std ADE EAD 80. Zatem w trójkcie DAE mamy: AED. Std BEC 80 DEC AED AEB, czyli 90. Zatem AED 90. Schemat oceniania IV sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy zapisze zalenoci midzy miarami któw w trójktach równoramiennych ABE i DCE, np. EDC CED oraz AEB EAB i zapisze, e ADC BAD 80. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poprawnie uzasadni, e AED 90. Uwaga Jeeli zdajcy przyjmie dodatkowe zaoenia o trapezie ABCD, przez co rozwaa tylko szczególny przypadek, np. ABC 90 lub DEC, to za cae rozwizanie otrzymuje 0 punktów.

20 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie 0. (0 ) Uycie i tworzenie strategii Obliczenie prawdopodobiestwa zdarzenia I sposób rozwizania (metoda klasyczna) Zdarzeniami elementarnymi s wszystkie paryab, klasyczny. Obliczamy liczb wszystkich zdarze elementarnych: liczb z podanego zbioru. Jest to model. Obliczamy liczb zdarze elementarnych sprzyjajcych zdarzeniu A polegajcym na otrzymaniu liczb, których suma jest podzielna przez, np. wypisujc je i zliczajc: A,,,,,,,,,,,,,6,,,,,,,,,, 6,, 6,6,,,,, czyli A 6 6 Obliczamy prawdopodobiestwo zdarzenia A: PA ( ). 9 II sposób rozwizania (metoda tabeli) Zdarzeniami elementarnymi s wszystkie paryab, liczb z podanego zbioru. Jest to model klasyczny. Tworzymy tabel ilustrujc sytuacj opisan w zadaniu 6 X X X X X X X X X X X X 6 X X X X Obliczamy liczb wszystkich zdarze elementarnych:. Zliczamy oznaczone krzyykami zdarzenia elementarne sprzyjajce zdarzeniu A: A 6. Obliczamy prawdopodobiestwo zdarzenia A: 6 PA ( ). 9 Schemat oceniania I i II sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy liczb wszystkich moliwych zdarze elementarnych: 9 obliczy liczb zdarze elementarnych sprzyjajcych zdarzeniu A : A 6 Zdajcy otrzymuje... pkt 6 gdy obliczy prawdopodobiestwo zdarzenia A: PA ( ). 9

21 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy III sposób rozwizania (metoda drzewa) Rysujemy drzewo, uwzgldniajc tylko istotne gazie. Prawdopodobiestwo na kadym odcinku tego drzewa jest równe Obliczamy prawdopodobiestwo zdarzenia A: IV sposób rozwizania (metoda drzewa) 6 PA ( ) 6. 9 Rysujemy drzewo, uwzgldniajc tylko istotne gazie i zapisujemy na nich prawdopodobiestwo., 6,,,, 6,,, Obliczamy prawdopodobiestwo zdarzenia A: 6 P A

22 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Schemat oceniania III i IV sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: narysuje pene drzewo i przynajmniej na jednej gazi opisze prawdopodobiestwo narysuje drzewo tylko z istotnymi gaziami. Zdajcy otrzymuje... pkt 6 gdy obliczy prawdopodobiestwo zdarzenia A: PA ( ). 9 Uwagi. Jeli zdajcy rozwie zadanie do koca i otrzyma PA ( ), to otrzymuje za cae rozwizanie 0 punktów.. Jeeli zdajcy opuci przez nieuwag w rozwizaniu niektóre gazie i konsekwentnie obliczy prawdopodobiestwo, to za cae rozwizanie otrzymuje punkt.. Jeeli zdajcy poprawnie obliczy prawdopodobiestwo i bdnie skróci uamek, np. 6 PA ( ), to otrzymuje punkty. 9 Zadanie. (0 ) Uycie i tworzenie strategii Wyznaczenie wspórzdnych punktu stycznoci prostej z okrgiem I sposób rozwizania Wyznaczamy wspóczynnik kierunkowy m prostej prostopadej do prostej o równaniu y x : m. S, : Zapisujemy równanie prostej prostopadej do stycznej i przechodzcej przez punkt y x. Zapisujemy i rozwizujemy ukad równa: y x y x x x x Std y. Zatem punkt stycznoci ma wspórzdne:,.

23 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Schemat oceniania I sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania... pkt Zapisanie wspóczynnika kierunkowego prostej prostopadej do prostej o równaniu y x, np. m. Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt y x Zapisanie ukad równa y x Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... pkt Przeksztacenie ukadu równa do równania z jedn niewiadom, np. x x lub y y. Rozwizanie pene... pkt Obliczenie wspórzdnych punktu stycznoci:,. Uwaga Jeli zdajcy zapisa ukad równa liniowych i odgad jego rozwizanie, to otrzymuje punkty II sposób rozwizania Obliczamy odlego d rodka okrgu S (,) od prostej y x : 6 d. Punkt P( x,x ) jest punktem stycznoci okrgu o rodku w punkcie S (,) i prostej y x. Zatem PS d oraz PS x x ( ) ( 0). 6 Przeksztacamy równanie ( x ) (x 0) do postaci x 6x 09 0 Rozwizujemy równanie x 6x 0 0, std x. Zatem punkt stycznoci ma wspórzdne: P,. Schemat oceniania II sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania... pkt 6 obliczenie odlegoci punktu S od danej prostej d zapisanie dugoci odcinka PS : PS x x ( ) ( 0). Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt y x Zapisanie ukad równa, np. ( x) y

24 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... pkt Zapisanie równania z jedn niewiadom, np. x 6x 0 0 ( x ) (x 0). Rozwizanie pene... pkt Obliczenie wspórzdnych punktu P stycznoci:,. III sposób rozwizania P x, y jest punktem stycznoci okrgu o rodku S (,) i prostej y x. Punkt ( x ) ( y) r Zapisujemy ukad równa: y x Przeksztacamy ukad równa do równania kwadratowego z niewiadom x: ( x ) (x0) r x 6x09r 0. Zapisujemy warunek 0, dla którego okrg ma jeden punkt wspólny z prost y x i obliczamy r : 6 0r, 0r 6 0, Rozwizujemy równanie: 6 x 6x 09 0 x 6x 0 0 x. 0r 6, 6 6 r. 0 Zatem punkt stycznoci ma wspórzdne: P,. Schemat oceniania III sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania... pkt Zapisanie ukadu równa i warunku pozwalajcego wyznaczy promie okrgu: ( x ) ( y) r y x Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt Przeksztacenie ukadu do równania z jedn niewiadom x 6x09r 0, zapisanie 6 warunku 0i obliczenie r : r. Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... pkt Zapisanie równania kwadratowego, np. x 6x 0 0. Rozwizanie pene... pkt Obliczenie wspórzdnych punktu stycznoci: P,.

25 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Uwaga Jeli zdajcy popeni bd rachunkowy, przeksztacajc ukad równa do równania kwadratowego, rozwiza to równanie i otrzyma dwa punkty stycznoci, to za cae rozwizanie otrzymuje punkty. Zadanie. (0 ) Modelowanie matematyczne Rozwizanie zadania umieszczonego w kontekcie praktycznym, prowadzcego do równania kwadratowego z jedn niewiadom I sposób rozwizania Niech x oznacza liczb dni wdrówki, y liczb kilometrów przebytych kadego dnia przez turyst. Drog przebyt przez turyst opisujemy równaniem x y. Turysta moe przeznaczy na wdrówk o dni wicej, idc kadego dnia o km mniej, x y. wówczas zapisujemy równanie: xy Zapisujemy ukad równa, np. xy Z pierwszego równania wyznaczamy y x x y podstawiamy do drugiego równania i rozwizujemy x x y y Przeksztacamy to równanie do równania Przeksztacamy to równanie do równania kwadratowego, np. x x8 0. kwadratowego, np. y y x sprzeczne z za. x 0 y 6 sprzeczne z za. y 0 x y 8 Obliczamy y: y 8 Odp.: Turysta przechodzi dziennie 8 km. Odp.: Turysta przechodzi dziennie 8 km. II sposób rozwizania Niech x oznacza liczb dni wdrówki, y liczb kilometrów przebytych kadego dnia przez turyst. Drog przebyt przez turyst opisujemy równaniem x y. Turysta moe przeznaczy na wdrówk o dni wicej, idc kadego dnia o km mniej, x y. wówczas zapisujemy równanie: xy Zapisujemy ukad równa, np. xy xy Std otrzymujemy kolejno x y x y 6

26 6 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy xy xy6 xy x y 6 0 W równaniu x y 6 0 obie strony dzielimy przez Otrzymujemy x y 0, std wyznaczamy y x x y podstawiamy do równania pierwszego i rozwizujemy xx x x 0 y y x x y y y y8 0 x sprzeczne z za. x x y 6 sprzeczne z za. y 0 Obliczamy y: y 8 y 8 Odp.: Turysta przechodzi dziennie 8 km. Odp.: Turysta przechodzi dziennie 8 km.. Schemat oceniania I i II sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania... pkt Zapisanie zalenoci midzy przebyt drog, liczb dni wdrówki oraz liczb kilometrów przebytych kadego dnia przez turyst, np.: x y xy. Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt Zapisanie ukadu równa z niewiadomymi x i y odpowiednio: liczb dni wdrówki i liczb xy kilometrów przebytych kadego dnia przez turyst, np. xy Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... pkt Zapisanie równania z jedn niewiadom x lub y, np: x lub y, x y lub xx, lub y y Uwaga Zdajcy nie musi zapisywa ukadu równa, moe bezporednio zapisa równanie z jedn niewiadom.

27 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, które jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np. bdy rachunkowe)... pkt rozwizanie równania z niewiadom x bezbdnie i nie obliczenie liczby kilometrów przebytych kadego dnia przez turyst rozwizanie równania z niewiadom x lub y z bdem rachunkowym i konsekwentne obliczenie liczby kilometrów przebytych kadego dnia przez turyst. Rozwizanie pene... pkt Obliczenie liczby kilometrów przebytych kadego dnia przez turyst: 8 km. III sposób rozwizania Niech x oznacza liczb dni wdrówki, y liczb kilometrów przebytych kadego dnia przez turyst. Liczb kilometrów przebytych kadego dnia przez turyst opisujemy równaniem y. x Turysta moe przeznaczy na wdrówk o dni wicej, idc kadego dnia o km mniej, wówczas zapisujemy równanie:. x x Przeksztacamy to równanie do postaci x x8 0. Rozwizaniem równania s: x sprzeczne z zaoeniem x 0 i x Obliczamy y: y 8 Schemat oceniania III sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania... pkt Przyjcie oznacze: x - liczba dni wdrówki, y liczba kilometrów przebytych kadego dnia przez turyst i zapisanie zalenoci, np. y x y. x Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... pkt Zapisanie równania z jedn niewiadom:. x x Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, które jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np. bdy rachunkowe)... pkt rozwizanie równania z niewiadom x bezbdnie i nie obliczenie liczby kilometrów przebytych kadego dnia przez turyst rozwizanie równania z niewiadom x bdem rachunkowym i konsekwentne obliczenie liczby kilometrów przebytych kadego dnia przez turyst, przy czym obliczona liczba kilometrów musi by wiksza od.

28 8 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Rozwizanie pene... pkt Obliczenie liczby kilometrów przebytych kadego dnia przez turyst: 8 km. Uwagi. Jeeli zdajcy porównuje wielkoci rónych typów, to otrzymuje 0 punktów.. Jeeli zdajcy odgadnie liczb kilometrów przebytych kadego dnia przez turyst i nie uzasadni, e jest to jedyne rozwizanie, to otrzymuje punkt. Zadanie. (0 ) Uycie i tworzenie strategii Wyznaczenie zwizków miarowych w szecianie Rozwizanie H L G E F M A D B K C Trójkt ABK jest trójktem prostoktnym, zatem AK. Std AK. Trójkt MAK jest trójktem prostoktnym, zatem MK MA AK. Analogicznie dla trójktów MEL i LGK obliczamy kwadraty dugoci boków ML i KL: ML KL. Poniewa ML KL MK, wic trójkt KLM jest równoboczny. Zatem jego pole wyraa si wzorem MK P, std P. 8 Uwaga Zdajcy nie musi oblicza kwadratów dugoci boków ML i KL. Wystarczy, e korzystajc z przystawania trójktów MAK, MEL, LGK uzasadni równo boków: ML KL MK.

29 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 9 Schemat oceniania Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt Obliczenie kwadratu dugoci odcinka AK : AK. Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... pkt obliczenie kwadratów dugoci lub dugoci boków trójkta KLM: 6 ML KL MK lub ML KL MK i na tym poprzestanie lub dalej popeni bdy zauwaenie, e trójkt KLM jest równoboczny i obliczenie kwadratu dugoci jednego z boków tego trójkta, np. MK. Rozwizanie pene... pkt Obliczenie pola trójkta KLM : P. 8 Uwaga Akceptujemy rozwizanie, w którym zdajcy przyjmuje, e dugo krawdzi szecianu jest oznaczona liter l.