Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Funkcje wielu zmiennych str. 1/65

Funkcje wielu zmiennych Niech R n def = {(x 1, x 2,..., x n ): x 1 R x 2 R x n R }. Funkcja n zmiennych określoną na zbiorze D R n o wartościach w R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru D dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Funkcję taką oznaczamy przez f : D R lub w = f (x 1, x 2,..., x n ), gdzie (x 1, x 2,..., x n ) D. Wartość funkcji f w punkcie (x 1, x 2,..., x n ) oznaczamy przez f (x 1, x 2,..., x n ). Funkcje wielu zmiennych str. 2/65

Dla n = 2 mamy funkcję dwóch zmiennych z = f(x, y) y D (x, y) z = f(x, y) R 2 (x, y) R x z = f(x, y) Funkcje wielu zmiennych str. 3/65

Dla n = 3 mamy funkcję trzech zmiennych w = f(x, y, z) z (x, y, z) w = f(x, y, z) D R 3 R x y w = f(x, y, z) Funkcje wielu zmiennych str. 4/65

Dziedzina funkcji Zbiór wszystkich punktów przestrzeni R n, dla których funkcja f jest określona nazywamy dziedzina funkcji f i oznaczamy przez D f. Jeżeli dany jest wzór określający funkcję, to zbiór punktów przestrzeni R n, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedzina naturalna funkcji. Funkcje wielu zmiennych str. 5/65

Przykład funkcji dwóch zmiennych Niech f(x, y) = x 2 + y 2. Wówczas D f = R 2. y x Funkcje wielu zmiennych str. 6/65

Przykład funkcji dwóch zmiennych Niech f(x, y) = 4 x 2 y 2. Wówczas D f = {(x, y) : x 2 + y 2 4}. y x Funkcje wielu zmiennych str. 7/65

Przykład funkcji dwóch zmiennych Niech f(x, y) = arc sin x y. Wówczas D f = {(x, y) : 1 x y 1 y 0}. y x Funkcje wielu zmiennych str. 8/65

Przykład funkcji trzech zmiennych Niech g(x, y, z) = 1 x 2 y 2 z 2. Wówczas D g = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 1}. z y x Funkcje wielu zmiennych str. 9/65

Inne przykłady Natężenie I prądu w oporniku o oporze R jest według prawa Ohma funkcją napięcia U, przyłożonego do zacisków tego opornika, oraz oporu R, tzn. I = U R. Temperatura T w punkcie P (x, y, z) ogrzewanego ciała w chwili t jest funkcją czterech zmiennych, mianowicie tego punktu oraz czasu t, tzn. T = T (x, y, z, t). Funkcje wielu zmiennych str. 10/65

Wykres funkcji n-zmiennych Wykresem funkcji n-zmiennych nazywamy zbiór {(x 1,..., x n, w) : (x 1,..., x n ) D f w = f(x 1,..., x n )} R n R. Dla n = 2 {(x, y, z) : (x, y) D f z = f(x, y)} R 3. z z = f(x, y) y x D f Funkcje wielu zmiennych str. 11/65

Poziomice wykresu funkcji dwóch zmiennych Poziomica wykresu funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) odpowiadającą poziomowi h R nazywamy zbiór {(x, y) : (x, y) D f f(x, y) = h} R 2. z z = f(x, y) x f(x, y) = h y poziomica wykresu funkcji f Funkcje wielu zmiennych str. 12/65

Warstwice wykresu funkcji wielu zmiennych Warstwica wykresu funkcji f : D f R, n 3 odpowiadającą warstwie h R nazywamy zbiór {(x 1,..., x n ) D f : (x 1,..., x n ) D f f(x 1,..., x n ) = h} R n. Funkcje wielu zmiennych str. 13/65

Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennych f : R 2 R Wykresem funkcji z = Ax + By + C jest płaszczyzna o wektorze normalnym n = [ A, B, 1], przechodząca przez punkt (0, 0, C). z y x Funkcje wielu zmiennych str. 14/65

Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennych f : R 2 R Wykresem funkcji z = a(x 2 + y 2 ) jest paraboloida obrotowa, t.j. powierzchnia obrotowa powstała z obrotu paraboli z = ax 2 (lub z = ay 2 ) wokół osi Oz. z a > 0 x y Funkcje wielu zmiennych str. 15/65

Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennych f : R 2 R Wykresem funkcji z = ± R 2 x 2 y 2 jest górna lub dolna półsfera o środku w początku układu współrzędnych i promieniu R. z z z = R 2 x 2 y 2 z = R 2 x 2 y 2 x y x y Funkcje wielu zmiennych str. 16/65

Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennych f : R 2 R Wykresem funkcji z = k x 2 + y 2 jest stożek, t.j. powierzchnia powstała z obrotu półprostej z = kx, y = 0, dla x 0 wokół osi Oz. z k > 0 x y Funkcje wielu zmiennych str. 17/65

Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennych f : R 2 R Wykresem funkcji z = h ( x2 + y 2 ) jest powierzchnia obrotowa powstała z obrotu wykresu funkcji z = h(x), y = 0, dla x 0 wokół osi Oz. z x y Funkcje wielu zmiennych str. 18/65

Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennych f : R 2 R Wykresem funkcji z = g(x) lub z = k(y) jest powierzchnia walcowa powstała z przesunięcia wykresu funkcji z = g(x), dla y = 0 równolegle do osi OY lub wykresu funkcji z = k(y), dla x = 0 równolegle do osi z OX. z y y x x Funkcje wielu zmiennych str. 19/65

Wykres funkcji z = f(x a, y b) + c powstaje z wykresu funkcji z = f(x, y) przez przesunięcie o wektor v = [a, b, c]. z v = [a, b, c] y x Funkcje wielu zmiennych str. 20/65

Wykres funkcji z = f(x, y) powstaje z wykresu funkcji z = f(x, y) przez symetryczne odbicie względem płaszczyzny OXY. z y x Funkcje wielu zmiennych str. 21/65

Powierzchnie obrotowe Krzywa obracająca się dookoła prostej zatacza powierzchnię obrotową. Obróćmy krzywą o równaniu x = x(t), y = y(t), z = z(t), t a, b dookoła osi OZ. Wówczas punkt P (x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )) krzywej zatoczy okrąg o równaniu ( ) x 2 + y 2 = [x(t 0 )] 2 + [y(t 0 )] 2 leżący na płaszczyźnie z = z(t 0 ). Po eliminacji t 0 z ( ) otrzymujemy równanie powierzchni obrotowej zataczanej przez krzywą. Funkcje wielu zmiennych str. 22/65

Powierzchnie obrotowe z x y Funkcje wielu zmiennych str. 23/65

Przykład powierzchni obrotowej Niech linia prosta x = t, y = t, z = 2t, t R obraca się dookoła osi OZ. Wówczas punkt P (t 0, t 0, 2t 0 ) prostej zatoczy okrąg o równaniu ( ) x 2 + y 2 = 2(t 0 ) 2 leżący na płaszczyźnie z = 2t 0. Po eliminacji t 0 z ( ) otrzymujemy równanie x 2 + y 2 = z2 < równanie stożka 2 powierzchni obrotowej zataczanej przez daną prostą. Funkcje wielu zmiennych str. 24/65

Przykład powierzchni obrotowej x 2 + y 2 = z2 2 < równanie stożka z x y Funkcje wielu zmiennych str. 25/65

Przykład powierzchni obrotowej Niech okrąg x = a + r cos t, y = 0, z = r sin t, t R obraca się dookoła osi OZ. Wówczas punkt P (a + r cos t 0, 0, r sin t 0 ) prostej zatoczy okrąg o równaniu ( ) x 2 + y 2 = (a + r cos t 0 ) 2. Po eliminacji t 0 z ( ) otrzymujemy równanie ( x 2 + y 2 a) 2 + z 2 = r 2 < równanie torusa powierzchni obrotowej zataczanej przez okrąg x = a + r cos t, y = 0, z = r sin t, t R. Funkcje wielu zmiennych str. 26/65

Przykład powierzchni obrotowej ( ) 2 x2 + y 2 a + z 2 = r 2 < równanie torusa z x y Funkcje wielu zmiennych str. 27/65

Granice funkcji wielu zmiennych Niech (P k (x k1,..., x kn )) ki N będzie ciągiem punktów w Rn. Mówimy, że ciąg (P k ) dąży do punktu P 0 (x 01,..., x 0n ) R n, jeżeli lim x k i = x 0i, dla każdego i = 1, 2,..., n, k i + oznacza to zbieżność dla każdej ( współrzędnej. ) 1 Przykład: Niech P n (x n, y n ) = n, ( 1)n ciąg punktów w n przestrzeni R 2. Wówczas lim (x n, y n ) = (0, 0). n + Funkcje wielu zmiennych str. 28/65

Granice funkcji wielu zmiennych Niech f : R n R będzie funkcją n-zmiennych. Niech P 0 (x 01,..., x 0n ) R n oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na S(P 0 ) def = {(x 1,..., x n ) R n : gdzie r > 0 jest pewną liczbą. (x 1 x 01 ) 2 + + (x n x 0n ) 2 < r} \ {P 0 }, lim f(x 1,..., x n ) = g P P 0 [ def ] (x k1,..., x kn ) x ki x 0i lim x k i = x 0i, i = 1,..., n k i lim f(x k 1,..., x kn ) = g k i. i = 1, 2,..., n Funkcje wielu zmiennych str. 29/65

Własności granic funkcji wielu zmiennych Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie P 0 R n, to lim [f(p ) ± g(p )] = lim f(p ) ± lim g(p ). P P 0 P P 0 P P 0 lim c f(p ) = c lim f(p ) P P 0 P P 0 lim [f(p ) g(p )] = lim f(p ) lim g(p ) P P 0 P P 0 P P 0 f(p ) lim f(p ) lim P P 0 g(p ) = P P 0 lim g(p ), o ile P P 0 lim g(p ) 0. P P 0 Funkcje wielu zmiennych str. 30/65

Własności granic funkcji wielu zmiennych Jeżeli funkcje ϕ i, i = 1,..., n i f spełniają warunki: lim ϕ i (T) = x 0i, T T 0 T R m T S(T 0 ) (ϕ 1 (T),..., ϕ n (T)) (x 01,..., x 0n ) lim f(p ) = g, P P 0 to lim f (ϕ 1 (T),..., ϕ n (T)) = g. T T 0 Funkcje wielu zmiennych str. 31/65

Ciagłość funkcji wielu zmiennych Niech f : R n R będzie funkcją n-zmiennych. Funkcja jest ciągła w punkcie P 0 (x 01,..., x 0n ) def lim f(x 1,..., x n ) = f(x 01,..., x 0n ). P P 0 Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie P 0 (x 01,..., x 0n ), to w tym punkcie ciągłe są także funkcje f + g, f g, c f, c R, f g, f g, o ile g(p 0) 0. Jeżeli funkcje ϕ i, i = 1,..., n są ciągłe w punkcie T 0 R m i f jest ciągła w punkcie P 0 = (ϕ 1 (T 0 ),..., ϕ n (T 0 )), to funkcja f (ϕ 1 (t 1,..., t m ),..., ϕ n (t 1,..., t m )) jest ciągła w T 0. Funkcje wielu zmiennych str. 32/65

Pochodne czastkowe Niech f oznacza funkcję n-zmiennych określona w otoczeniu O punktu P 0 (x 01,..., x 0n ). Symbolem x i oznaczamy przyrost zmiennej niezależnej x i, 1 i n, różny od zera i taki, żeby P (x 01,..., x 0i 1, x 0i + x i, x 0i+1,..., x 0n ) O. f(p ) f(p 0 ) Granicę właściwą lim nazywamy x i 0 x i pochodna czastkow a rzędu pierwszego funkcji f względem zmiennej x i w punkcie P 0 i oznaczamy symbolem f x i (P 0 ). Funkcje wielu zmiennych str. 33/65

Pochodne czastkowe funkcji dwóch zmiennych Dla funkcji dwóch zmiennych f(x, y) definicje pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego względem zmiennych x i y w punkcie P 0 (x 0, y 0 ) są następujące f x (P 0) def = lim x 0 f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x oraz f y (P 0) def = lim y 0 f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) y. Funkcje wielu zmiennych str. 34/65

Interpretacja geometryczna pochodnych czastkowych dla f : R 2 R Niech f : R 2 R, z = f(x, y). Załóżmy, że f ma pochodne rzędu pierwszego w punkcie P 0 (x 0, y 0 ). f x (x 0, y 0 ) = tg α z z f y (x 0, y 0 ) = tg β x α y x β f x (x 0, y 0 ) jest miarą lokalnej szybkości wzrostu funkcji f wzgl. zmiennej x przy ustalonej wartości y. f y (x 0, y 0 ) jest miarą lokalnej szybkości wzrostu funkcji f wzgl. zmiennej y przy ustalonej wartości x. y Funkcje wielu zmiennych str. 35/65

UWAGA: Nie ma zwiazku między ciagłości a funkcji wielu zmiennych a istnieniem pochodnych czastkowych. Funkcja wielu zmiennych może mieć w punkcie obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu i może nie być ciągła w tym punkcie, np. funkcja f(x, y) = 1, dla xy = 0 0, dla xy 0 f ma pochodne cząstkowe w punkcie (0, 0): nie jest ciągła w punkcie (0, 0), ale f (0, 0)= lim x x 0 f( x, 0) f(0, 0) x = lim x 0 1 1 x = 0 i f (0, 0)= lim y y 0 f(0, y) f(0, 0) y = lim y 0 1 1 y = 0. Funkcje wielu zmiennych str. 36/65

Przykład funkcji ciagłej nie majacej pochodnych czastkowych Niech f(x, y) = x 2 + y 2. Funkcja f jest ciągła w punkcie (0, 0), gdyż lim (x,y) (0,0) x2 + y 2 = 0 = f(0, 0), ale f (0, 0)= lim x x 0 x2 + 0 2 0 x = lim x 0 x x nie istnieje i f (0, 0)= lim y y 0 02 + y 2 0 y = lim y 0 y y nie istnieje. Funkcje wielu zmiennych str. 37/65

Jeżeli funkcja ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru otwartego D R n, to funkcje f x 1 (x 1,..., x n ), f x 2 (x 1,..., x n ),..., f x n (x 1,..., x n ), gdzie (x 1,..., x n ) D, nazywamy pochodnymi czastkowymi pierwszego rzędu funkcji f na zbiorze D i ozn. f x 1, f x 2,..., f x n lub f x 1, f x 2,..., f x n. Funkcje wielu zmiennych str. 38/65

Przykłady Niech f(x, y) = e x ln(x + y). Niech g(x, y, z) = 3 arc tg(x + e yz ). Funkcje wielu zmiennych str. 39/65

Pochodna kierunkowa funkcji f : D R n R Niech f oznacza funkcję n-zmiennych określona w otoczeniu O punktu P 0 (x 01,..., x 0n ) D. Pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie P 0 w kierunku wersora v = [v x1, v x2,..., v xn ] określamy wzorem df d v df d v (P 0) def f(x 01 + tv x1,..., x 0n + tv xn ) f(x 01,..., x 0n ) = lim t 0 t jest też oznaczana następująco f v lub f v. Dla f : D R 2 R Dla f : D R 3 R df d i = f x, df d j = f y. df d i = f x, df d j = f y, df d k = f z. Funkcje wielu zmiennych str. 40/65

Przykład Niech f(x, y, z) = x 2 2yz, P 0 (1, 0, 1) i v = Wówczas df d v (P 0) def = lim t 0 1 + lim t 0 ( 1 + 1 ) 2 ( 3 t 2 0 ) ( 3 3 t 1 + t 2 3 t + 1 9 t2 2 2 3t + 15t 2 1 3 9 t 1 3, 3 3, ) 5 3 t = 2 3 1 5. 3 = ( 1 3 ) Funkcje wielu zmiennych str. 41/65

Przykład Niech f(x, y, z) = e x+y+z, P 0 (0, 0, 0) i v = [1, 1, 1]. Wówczas df d v (P 0) def e 3t 1 = lim t 0 t [ 0 0 ] = lim t 0 3e 3t 1 = 3 Funkcje wielu zmiennych str. 42/65

Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej funkcji dwóch zmiennych Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ). Ponadto niech γ oznacza kąt nachylenia do płaszczyzny XOY półstycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju wykresu funkcji f { x = x 0, półpłaszczyzną przechodzącą przez prostą oraz równoległą do wersora v. Wtedy y = y 0 df d v (x 0, y 0 ) = tg γ. z (x 0, y 0, 0) γ y x v Pochodna kierunkowa określa szybkość zmiany wartości funkcji f w kierunku v. Funkcje wielu zmiennych str. 43/65

Gradient funkcji Niech f : D R n R. Gradientem funkcji f w punkcie P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ) nazywamy wektor określony wzorem f(p 0 ) def = [ f x 1 (P 0 ), f x 2 (P 0 ),..., f x n (P 0 ) Gradient w punkcie P 0 jest również oznaczany przez gradf(p 0 ) lub f (P 0 ),tak jak pochodna jednej zmiennej. ]. Przykład: Niech f(x, y) = x 3 y 2 + 3x y i P 0 ( 2, 1). Wówczas [ f f= x, f ] = [3x 2 y 2 + 3, 2x 3 y 1], więc f( 2, 1)=[15, 17] y Funkcje wielu zmiennych str. 44/65

Pochodna kierunkowa a gradient funkcji Twierdzenie (wzór do obliczania pochodnej kierunkowej): Niech pochodne cząstkowe f x i, i = 1,..., n będą ciągłe w punkcie P 0 (x 01,..., x 0n ) oraz niech v będzie dowolnym wersorem. Wtedy df d v (P 0) = f(p 0 ) v. Przykład: Niech f(x, y) = x 3 y 2 + 3x y, P 0 ( 2, 1) i [ 1 v = 2, 1 ]. Wówczas 2 df ( 2, 1) = f( 2, 1) v = [15, 17] d v [ 1 2, 1 ] 2 = 32 2. Funkcje wielu zmiennych str. 45/65

Pochodna kierunkowa a gradient funkcji Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie liczona w kierunku gradientu ma wartość największą spośród wszystkich pochodnych kierunkowych liczonych w różnych kierunkach i df d f(p 0 ) (P 0) = f(p 0 ). Funkcje wielu zmiennych str. 46/65

Interpretacja geometryczna gradientu funkcji dwóch zmiennych Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie. z y x (x 0, y 0 ) f(x 0, y 0 ) Funkcje wielu zmiennych str. 47/65

Interpretacja geometryczna gradientu funkcji dwóch zmiennych Gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji przechodzącej przez ten punkt. y y 0 (x 0, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x 0 x Funkcje wielu zmiennych str. 48/65

Pochodne czastkowe drugiego rzędu Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe f x i, i = 1, 2,..., n, na obszarze D R n oraz niech P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ) D. Pochodne czastkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie P 0 określamy wzorami: 2 f x 2 i (P 0 ) = ( x i ( f x i )) (P 0 ), 2 f x i x j (P 0 ) = ( x i ( f x j )) (P 0 ), dla i, j = 1, 2,..., n. Powyższe pochodne oznaczamy także odpowiednio przez f x i x i (P 0 ), f x j x i (P 0 ) lub f xi x i (P 0 ), f xj x i (P 0 ). Funkcje wielu zmiennych str. 49/65

Pochodne czastkowe drugiego rzędu na obszarze Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe drugiego rzędu w każdym punkcie obszaru D R n, to funkcje 2 f x 2 i (x 1,..., x n ), 2 f x i x j (x 1,..., x n ), i, j = 1, 2,..., n gdzie (x 1,..., x n ) D, nazywamy pochodnymi czastkowymi drugiego rzędu funkcji f na obszarze D i oznaczamy odpowiednio przez 2 f x 2 i, 2 f x i x j lub f x i x i, f x j x i. Funkcje wielu zmiennych str. 50/65

Pochodne czastkowe wyższych rzędów Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu k 2 przynajmniej na otoczeniu punktu P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ) D R n, to k+1 f x i x s j x p l (P 0 ) = x i k f x s j x p l (P 0 ), gdzie s + p = k. Funkcje wielu zmiennych str. 51/65

Twierdzenie Schwarza Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ). Ponadto niech pochodne cząstkowe 2 f x i x j, 2 f x j x i istnieją na otoczeniu punktu P 0 pochodne cząstkowe P 0. 2 f x i x j, 2 f x j x i, będą ciągłe w punkcie Wtedy 2 f x i x j (P 0 ) = 2 f x j x i (P 0 ), i j i i, j = 1, 2,..., n UWAGA: Prawdziwe są analogiczne równości dla pochodnych mieszanych wyższych rzędów. Funkcje wielu zmiennych str. 52/65

Różniczkowalność funkcji n-zmiennych Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ) oraz niech istnieją pochodne cząstkowe f x i (P 0 ), i = 1,,..., n. Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie P 0 wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek: lim ( x 1,..., x n ) (0,...,0) f(p ) f(p 0 ) f x 1 (P 0 ) x 1 f x n (P 0 ) x n =0, ( x 1 ) 2 + + ( x n ) 2 gdzie P = (x 01 + x 1,..., x 0n + x n ). Funkcje wielu zmiennych str. 53/65

Warunek konieczny różniczkowalności funkcji Twierdzenie: Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest ciagła w tym punkcie. Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Świadczy o tym przykład funkcji f(x, y) = x 2 + y 2, która jest ciągła w punkcie (0, 0), ale nie jest w tym punkcie różniczkowalna. Funkcje wielu zmiennych str. 54/65

Warunek wystarczajacy różniczkowalności funkcji Twierdzenie: Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ). Ponadto niech pochodne cząstkowe f x i, i = 1,..., n istnieją na otoczeniu punktu P 0 pochodne cząstkowe punkcie P 0. f x i, i = 1,..., n będą ciągłe w Wtedy funkcja f jest różniczkowalna w punkcie P 0. Funkcje wielu zmiennych str. 55/65

Interpretacja geometryczna funkcji dwóch zmiennych różniczkowalnej w punkcie Różniczkowalność funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) oznacza, że istnieje płaszczyzna styczna (niepionowa) do wykresu tej funkcji w punkcie (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). z z = f(x, y) płaszczyzna styczna (x 0, y 0, z 0 ) y x Funkcje wielu zmiennych str. 56/65

Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie P 0 (x 0, y 0 ). Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, y 0, z 0 ), gdzie z 0 = f(x 0, y 0 ), ma postać: z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). Funkcje wielu zmiennych str. 57/65

Różniczka funkcji n-zmiennych Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ). Ponadto niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ). Różniczka funkcji f w punkcie P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ) nazywamy funkcję zmiennych x 1, x 2,..., x n określoną wzorem: df(p 0 )( x 1, x 2,..., x n ) def = n i=1 f x i (P 0 ) x i, Różniczkę funkcji f oznacza się także przez df(x 01, x 02,..., x 0n ) lub krótko df. Funkcje wielu zmiennych str. 58/65

Zastosowanie różniczki funkcji n-zmiennych Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ). Wtedy f(x 01 + x 1,..., x 0n + x n ) f(p 0 ) + df(p 0 )( x 1,..., x n ), przy czym błąd δ( x 1, x 2,..., x n ) powyższego przybliżenia dąży szybciej do 0 niż ( x 1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + + ( x n ) 2, tzn. lim x i 0, i=1,...,n δ( x 1, x 2,..., x n ) ( x 1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + + ( x n ) 2 = 0. Funkcje wielu zmiennych str. 59/65

Przykład Wykorzystując różniczkę obliczymy wartość przybliżoną wyrażenia 2,1 8,05. Definiujemy funkcję f(x, y) = xy. Przyjmujemy x 0 =2 y 0 =8 x=0,1 i y =0,05. Ponieważ f x = 1 y 2 x i f y = 1 x 2 y,więc 2, 1 8, 05 2 8 + 1 0,1 + 1 4 0,05 = 4,1125. Funkcje wielu zmiennych str. 60/65

Zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów pomiarów Niech wielkości fizyczne x 1, x 2,..., x n, y będą związane zależnością y = f(x 1, x 2,..., x n ). Ponadto niech xi, i = 1, 2,..., n oznaczaja odpowiednio błędy bezwzględne pomiaru wielkości x 1, x 2,..., x n. Wtedy błąd bezwzględny y obliczeń wielkości y wyraża się wzorem przybliżonym y n i=1 f x x i. i Funkcje wielu zmiennych str. 61/65

Przykład Przy pomocy menzurki można zmierzyć objętość ciała z dokładnością V = 0,1 cm 3, a przy pomocy wagi sprężynowej można ustalić jego masę z dokładnością 1 g. Objętość ciała zmierzona tym sposobem wynosi V = 25 cm 3, a masa M = 200 g. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć gęstość ρ tego ciała? Ponieważ ρ(m, V ) = M V, więc ρ M = 1 V i ρ V = M V 2, więc ρ ρ M M + ρ V V = 1 25 1 + 200 25 2 0,1 = 0,072. Funkcje wielu zmiennych str. 62/65

Różniczka zupełna Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ). Ponadto niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ). Przyrosty x 1, x 2,..., x n nazywamy różniczkami zmiennych niezależnych x 1, x 2,..., x n, odpowiednio i oznaczamy symbolami dx 1, dx 2,..., dx n. Różniczka zupełna funkcji f w punkcie P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ) nazywamy wyrażenie: df(p 0 ) def = n i=1 f x i (P 0 )dx i. Funkcje wielu zmiennych str. 63/65

Podsumowanie Funkcje wielu zmiennych - ich warstwice i wykresy. Granice funkcji wielu zmiennych. Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Pochodna kierunkowa. Gradient. Różniczka zupełna. Funkcje wielu zmiennych str. 64/65

Dziękuję za uwagę ;) Funkcje wielu zmiennych str. 65/65