dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl dem zmiennej x w punkcie (x 0 y 0 ) okre±lamy wzorem: (x f(x 0 + h y 0 ) f(x 0 y 0 ) 0 y 0 ) := lim h 0 h Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl dem zmiennej y w punkcie (x 0 y 0 ) okre±lamy wzorem: y (x f(x 0 y 0 + h) f(x 0 y 0 ) 0 y 0 ) := lim h 0 h Je»eli funkcja f(x y) posiada pochodne cz stkowe w ka»dym punkcie zbioru otwartego D to funkcje (x y) (x y) nazywamy pochodnymi cz stkowymi pierwszego rz du funkcji f w zbiorze D y Uwaga 2 Pochodna cz stkowa (x y) jest pochodn funkcji f(x y) gdzie zmienna y traktowana jest jako staªa Analogicznie mo»na interpretowa pochodn cz stkow (x y) : d (x y) = d x [f(x y) y=const)]; d (x y) = y d y [f(x y) x=const)] Zatem obliczanie pochodnych cz stkowych mo»na wykonywa z wykorzystaniem znanych reguª ró»- niczkowania Pami taj c»e przy obliczaniu pochodnej cz stkowej wzgl dem x (symbol (x y) lub f x (x y)) nale»y uwa»a y za staªa a przy obliczaniu pochodnej cz stkowej wzgl dem y (symbol (x y) y lub f y (x y)) nale»y uwa»a x za staªa Denicja 3 (ró»niczkowalno± funkcji w punkcie) Niech istniej pochodne cz stkowe (x 0 y 0 ) (x y 0 y 0 ) Wówczas mówimy»e funkcja f(x y) jest ró»niczkowalna w punkcie (x 0 y 0 ) gdy: lim (xy) (x 0 y 0 ) f(x y) f(x 0 y 0 ) (x 0 y 0 )(x x 0 ) (x y 0 y 0 )(y y 0 ) = 0 (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 Denicja 4 (ró»niczka funkcji trzech zmiennych) Niech funkcja f ma pochodne cz stkowe pierwszego rz du w punkcie (x 0 y 0 z 0 ) Ró»niczk funkcji f w punkcie (x 0 y 0 z 0 ) nazywamy wyra»enie: df(x 0 y 0 z 0 ) def = (x 0 y 0 z 0 )(x x 0 ) + y (x 0 y 0 z 0 )(y y 0 ) + z (x 0 y 0 z 0 )(z z 0 ) (1) Fakt 5 (zastosowanie ró»niczki do oblicze«przybli»onych) Niech funkcja f ma ci gªe pochodne cz stkowe pierwszego rz du w punkcie (x 0 y 0 z 0 ) Wówczas f df co oznacza : f(x y z) f(x 0 y 0 z 0 ) + df(x 0 y 0 z 0 ) (2) 1
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Fakt 6 (równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji) Niech funkcja z = f(x y) ma ci gle pochodne cz stkowe pierwszego rz du w punkcie (x 0 y 0 ) Wówczas dowolny [ wektor normalny] pªaszczyzny stycznej do funkcji f w punkcie (x 0 y 0 ) jest postaci n = (x 0 y 0 ) (x y 0 y 0 ) 1 a równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0 y 0 ) wyra»a si wzorem: ( z z 0 ) + (x 0 y 0 )(x x 0 ) + y (x 0 y 0 )(y y 0 ) = 0 (3) Denicja 7 Pochodnymi cz stkowymi rz du drugiego funkcji dwóch zmiennych f(x y) oznaczamy symbolami nazywamy pochodne cz stkowe jej pochodnych cz stkowych 2 y y y 2 y tzn = ( ) 2 y = ( ) y y = ( ) y y = ( ) 2 y y U»ywamy nast puj cych oznacze«: 2 = f xx y = f xy y = f yx y 2 = f yy Denicja 8 (pochodna kierunkowa) Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 ) Wówczas pochodn kierunkow funkcji f w kierunku wektora jednostkowego(wersora) [v] = [v 1 v 2 ] okre±lamy wzorem: v (x 0 y 0 ) def f(x 0 + tv 1 y 0 + tv 2 ) f(x 0 y 0 ) = lim t 0 + t Denicja 9 Gradientem funkcji f(x y) w punkcie (x 0 y 0 ) nazywamy wektor: [ gradf(x 0 y 0 ) def = (x 0 y 0 ) ] y (x 0 y 0 ) Twierdzenie 10 Je»eli funkcja f(x y) ma w punkcie (x 0 y 0 ) ci gªe pochodne cz stkowe pierwszego rz du to: v (x 0 y 0 ) = gradf(x 0 y 0 ) v = (x 0 y 0 )v 1 + y (x 0 y 0 )v 2 Twierdzenie 11 Je»eli funkcja f(x y) ma w punkcie (x 0 y 0 ) ci gªe pochodne cz stkowe pierwszego rz du to: v (x 0 y 0 ) = gradf(x 0 y 0 ) [cos α cos β] = (x 0 y 0 ) cos α + y (x 0 y 0 ) cos β gdzie α β to k ty jakie tworzy wektor v kolejno z osiami Ox i Oy Ponadto cos 2 α + cos 2 β = 1 wi c cos β = sin α W podobny sposób deniujemy gradient i pochodn kierunkow funkcji trzech zmiennych 2
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Denicja 12 Mówimy»e funkcja z=f(xy) posiada w punkcie (x 0 y 0 ) maksimum (minimum) lokalne je»eli istnieje otoczenie O punktu (x 0 y 0 ) takie»e dla ka»dego punktu (x y) O speªniona jest nierówno± : ( ) f(x y) f(x 0 y 0 ) f(x y) f(x 0 y 0 ) (4) Tak jak w rachunku funkcji jednej zmiennej minima i maksima lokalne funkcji dwóch zmiennych nazywamy ekstremami lokalnymi Twierdzenie 13 (warunek konieczny ekstremum funkcji dwóch zmiennych) Je»eli funkcja f(x y) ma w punkcie (x 0 y 0 ) ekstremum lokalne oraz w punkcie tym istniej pochodne cz stkowe pierwszego rz du (x 0 y 0 ) (x y 0 y 0 ) to obie w tym punkcie s równe zeru tzn zachodzi: (x 0 y 0 ) = 0 y (x 0 y 0 ) = 0 (5) Twierdzenie 14 Niech wyznacznik pochodnych cz stkowych drugiego rz du funkcji f w punkcie (x 0 y 0 ) tzw wyznacznik Hessa (hesjan) oznaczymy przez = 2 : (x 2 = 2 0 y 0 ) (x y 0 y 0 ) (x y 0 y 0 ) (x y 2 0 y 0 ) Je»eli funkcja f(x y) posiada pochodne cz stkowe rz du drugiego na otoczeniu punktu (x 0 y 0 ) oraz obie pochodne cz stkowe pierwszego rz du w tym punkcie s równe zeru Wówczas: (x 0 y 0 ) = 0 y (x 0 y 0 ) = 0 a) je±li 2 > 0 oraz 1 = 2 (x 0 y 0 ) > 0 to w punkcie (x 0 y 0 ) funkcja f ma wªa±ciwe minimum lokalne; b) je±li 2 > 0 oraz 1 < 0 to w punkcie (x 0 y 0 ) funkcja f ma wªa±ciwe maksimum lokalne; c) je»eli 2 < 0 to w punkcie(x 0 y 0 ) funkcja f nie ma ekstremum lokalnego d) je»eli 2 = 0 to badanie istnienia ekstremum w punkcie (x 0 y 0 ) przeprowadzamy innymi metodami Algorytm wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych: 1 wyznaczamy dziedzin funkcji f; 2 obliczamy pochodne cz stkowe pierwszego rz du; { 3 wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f tzn rozwi zujemy ukªad równa«(x 0 y 0 ) = 0 (x y 0 y 0 ) = 0 oznaczmy je przez (x 1 y 1 ) (x n y n ) -wybieramy tylko te które nale» do dziedziny; 4 w ka»dym z punktów krytycznych obliczamy Hesjan 2 oraz warto± 1 ; 5 sprawdzamy który z punktów a) d) Twierdzenia 14 zachodzi 3
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Zadania na wiczenia 1 Wyznacz dziedziny naturalne funkcji: (a) f(x y) = x 2 y 3 x sin y; (b) f(x y z) = x 5 y 10 x 3 ln z + y 2 e x ; (c) f(x y) = x2 sin x+y 3 1 ; (d) f(x y) = ln(4x + yx); x 2 +y 2 9 (e) f(x y) = arcsin x; (f) f(x y) = 2x y 2 y 2 2 Na podstawie denicji oblicz pochodne cz stkowe pierwszego rz du podanych funkcji w punkcie (0 0) : (a) f(x y) = { x 2 + y 2 dla xy = 0 0 dla xy 0; ; (b) f(x y) = 3 x 3 y 3 3 Oblicz pochodne cz stkowe pierwszego rz du podanych funkcji (z wykorzystaniem reguª ró»- niczkowania): (a) f(x y) = x 2 y 3 x sin y; (b) f(x y z) = x 5 y 10 x 3 sin z + y 2 e z ; (c) f(x y) = x y ; (d) f(x y) = (ln x) sin y ; (e) f(x y z) = (2x + 3z) yz ; (f) f(x y z) = xy z ; (g) f(x y) = ln sin(x 2y); (h) f(x y) = (1 + xy) y ; (i) f(x y) = ye x+xy ; (j) f(x y) = ln(x + x 2 + y 2 ); (k) f(x y) = (x + y) ln 2 (1 x y); (l) f(x y) = x ln y (m) f(x y) = e 3x arctg(xy); (o) f(x y) = (xy 2 + 1) arctg 2 (y x); (n) f(x y) = arcsin 5+2xy ln x ; x 2 y 2 x 2 +y 2 ; 4 Oblicz pochodne cz stkowe drugiego rz du podanych funkcji: (a) f(x y) = 1 2 ln(x2 + y 2 ); (b) f(x y) = arctg x+y ; 1 xy (c) f(x y) = sin xy; (d) f(x y) = x sin(x + y) + y cos(x + y); (e) f(x y z) = e xyz ; (f) f(x y z) = x 2 + y 2 + z 2 5 Wyka»»e: (a) funkcja z(x y) = x ln y x (b) funkcja u(x y) = x y speªnia równanie x y speªnia równanie x z + y z u + 1 ln x = z ; y 2 u = 2u y 6 Napisz ró»niczk zupeªn podanych funkcji: x (a) f(x y) = ; (b) f(x y) = ln tg(x + y); x 2 +y2 (c) f(x y) = ln x 2 + y 2 ; w (x 0 y 0 ) = ( 4 3) (d) f(x y) = x sin(x + z) + z cos(x + y); 7 Napisz równanie pªaszczyzny stycznej do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: (a) f(x y) = x 2 + xy + y 2 P 0 = (0 1 z 0 ); (b) f(x y) = sin x + cos(x + y) P 0 = ( π π z 6 6 0); (c) f(x y) = x2 2 y2 P 0 = (2 1 z 0 ); (d) f(x y) = y ln(2 + x 2 y y 2 ) P 0 = (2 1 z 0 ) 8 Korzystaj c z ró»niczki funkcji oblicz przybli»one warto±ci podanych wyra»e«: (a) 1 07 397 ; (b) 1 04 2 + 3 01 2 ; (c) arctg 102 ; (d) ln(0 095 093 + 0 99 3 ); (e) sin 29 o sin 46 o zakªadaj c»e π = 3142; (f) (sin 2 1 55 + 8e 0015 ) 5 ; (g) cos 2 36 arctan 0 97 3 205 103 ; (h) 098 4 2 105 3 3 4
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 9 Oblicz gradient podanej funkcji w podanym punkcie: (a) f(x y) = 5x 2 y 3xy 3 + y 4 (x 0 y 0 ) = (1 2); (b) f(x y) = sin (π ) x 2 + y 2 (x 0 y 0 ) = (3 4); (c) f(x y z) = xy3 z 2 (x 0 y 0 z 0 ) = ( 2 1 3) 10 Oblicz pochodn kierunkow podanej funkcji w punkcie (x 0 y 0 ) i okre±lonym kierunku (gdzie α to k t jaki tworzy wektor v z osi Ox): (a) f(x y) = y 2 + ln(xy) (x 0 y 0 ) = (2 1) v = [1 1] (b) f(x y) = x 2 y (x 0 y 0 ) = (5 1) w kierunku punktu (x 1 y 1 ) = ( 1 2); (c) f(x y) = ln(e x + e y ) (x 0 y 0 ) = (1 1) α = 45 o ; (d) f(x y) = 3x 4 + xy + y 3 (x 0 y 0 ) = (1 2) α = 135 o ; (e) f(x y) = xy (x 0 y 0 ) = (1 1) w kierunku wektora najszybszego wzrostu 11 Znajd¹ wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji dwóch zmiennych: (a) f(x y) = (x 2) 2 + 2y 2 ; (b) f(x y) = x 4 + 4xy 2y 2 ; (c) f(x y) = 4x 2 y + 24xy + y 2 + 32y 6; (d) f(x y) = x 4 +y 4 2x 2 +4xy 2y 2 ; (e) f(x y) = x 3 + 3xy 2 15x 12y; (f) f(x y) = e x 2 (x + y 2 ); (g) f(x y) = xy + 50 + 20 x y > 0; (h) f(x y) = ln(y + 2x) 3x x y 2y3 ; (i) f(x y) = 2 x 1 + 3 y + 5 ; (j) f(x y) = x 4 +y 4 8x 2 2y 2 2016; (k) f(x y) = x 2 + y 2 2 ln x 18 ln y x y > 0; 5