1. Krótki ars teorii grup 1 1.1. Grup Co prawda w dalsej cęści wkładu będiem ajmować się tlko grupami operacji smetrii, ale najpierw wprowadim ścisłe, matematcne pojęcie grup niealeŝne od wobraŝeń geometrcnch, które później będą nam towarsć. Wobraźm sobie biór G kilku, powiedm n, abstrakcjnch obiektów i pewne diałanie (onacm je kropką: ), które kaŝdm dwóm obiektom prporądkowuje treci. Nawiem je odpowiednio elementami grup i diałaniem grupowm; cęsto umownie mówi się tu o mnoŝeniu, chociaŝ reguł nie ma ono nic wspólnego mnoŝeniem licb. Zbiór elementów i diałanie (jak pisą matematc: struktura (G, ) ) tworą raem grupę, jeśli spełnione są następujące warunki: 1. W biore G istnieje element neutraln (onacam go tradcjnie pre e), taki, Ŝe dla kaŝdego elementu a achodą równości e a = a e = a.. KaŜd element a bioru ma w tm biore swój element odwrotn, onacan jako a -1, taki Ŝe a -1 a = a a -1 = e. ZauwaŜm, Ŝe element moŝe bć odwrotn sam do siebie; tak jest np. awse dla elementu neutralnego: e -1 = e. 3. W prpadku mnoŝenia kilku elementów bioru wnik tego mnoŝenia nie aleŝ od kolejności wkonwania diałań, np. a (b c) = (a b) c. Z ocwistch wględów nawa się tę własność łącnością mnoŝenia grupowego. W wiąku ostatnią własnością wróćm natomiast uwagę, Ŝe wnik mnoŝenia reguł aleŝ od kolejności elementów: wkle a b b a. Jeśli jednak dla kaŝdej par elementów grup a b = b a, taką grupę nawam premienną lub abelową. MoŜna udowodnić, Ŝe w grupie istnieje dokładnie jeden element neutraln, a kaŝd element ma dokładnie jeden element odwrotn. MoŜna teŝ pokaać, Ŝe odwrotność ilocnu dwóch lub więcej elementów grup równa się ilocnowi odwrotności tch elementów więtemu w preciwnej kolejności, np. (a b c) -1 = c -1 b -1 a -1. Ta miana kolejności ma nacenie w prpadku grup niepremiennch. Grupą cklicną nawa się taką grupę, którą moŝna utworć potęg pewnego elementu a: G={a, a, a 3,..., a n e}. Element a nawa się w tm prpadku generatorem grup. Ocwiście grupa cklicna musi bć premienna. 1 Ctelnika ainteresowanego bardiej sformaliowanm wprowadeniem teorii odsłam do seregu podręcników, np. [Ham68], [Lub61], c [Cot73]. Od nawiska norweskiego matematka Nielsa Henrika Abela (180-189). 1
Licba elementów grup nosi nawę rędu grup. PoniewaŜ grup mogą takŝe awierać nieskońcenie wiele elementów, dielim je na skońcone i nieskońcone. MoŜe się darć, iŝ w danej grupie istnieje taki podbiór elementów, Ŝe ich wajemne mnoŝenie nie wprowadi nas nigd poa ten podbiór - tworą one tw. podgrupę, mniejsą grupę awartą w grupie głównej. WaŜne twierdenie mówi, Ŝe w prpadku grup skońconch rąd podgrup musi bć dielnikiem rędu grup. Tak więc na prkład dla grup 6-elementowej podgrup mogą składać się tlko lub 3 elementów; formalnie istnieje teŝ podgrupa 1-elementowa (sam element neutraln) i 6-elementowa (cała grupa jako podgrupa samej siebie), ale te są ocwistch powodów mało ciekawe. ZauwaŜm pr tm, Ŝe róŝne podgrup tej samej grup nie mogą bć rołącne - musą mieć awse wspóln element neutraln. Ilustrację własności nieduŝch grup ułatwiają tabele mnoŝenia grupowego (patr tab.1.1). W takiej tabeli kaŝda kolumna i kaŝd wiers odpowiadają jednemu elementowi grup. Na precięciu danej kolumn i wiersa najduje się element, któr jest ilocnem elementów odpowiadającch tej kolumnie i wiersowi. PoniewaŜ mnoŝenie grupowe jest cęsto niepremienne, waŝna jest konwencja kolejności mnoŝonch elementów. Prjmiem ją w postaci (kolumna) (wiers); godnie więc tabelą 1.1 c a = d, aś a c = f. Tabela 1.1 e a b c d f e e a b c d f a a b e d f c b b e a f c d c c f d e b a d d c f a e b f f d c b a e Konstrukcję tabeli mnoŝenia grupowego ułatwia następująca własność: w danm wiersu (bądź kolumnie) kaŝd element grup wstępuje dokładnie jeden ra. Kolejnm waŝnm pojęciem w teorii grup jest prekstałcenie pre podobieństwo. Niech i będą dowolnmi dwoma elementami grup. Ilocn -1 jest ocwiście równieŝ elementem grup; nawijm go. Mówi się, Ŝe element powstał w wniku prekstałcenia
elementu pre podobieństwo elementem. O elementach i mówi się teŝ, Ŝe są e sobą spręŝone (a pomocą elementu ). W ostatnim prkładie (tab.1.1) element c i d są e sobą spręŝone a pomocą elementu b: b -1 c b = a c b = f b = d; ale są teŝ spręŝone a pomocą elementu f: f --1 c f = f c f = a f = d! Łatwo wkaać podstawowe własności elementów spręŝonch: 1. KaŜd element jest spręŝon sam e sobą. Istotnie, prekstałcając dowoln element pre podobieństwo elementem neutralnm e, otrmam e -1 e =.. Jeśli element jest spręŝon elementem, to równieŝ jest spręŝon. 3. Jeśli jest spręŝone, a u, to takŝe jest spręŝone u. Pełn biór elementów grup, które są e sobą wajemnie spręŝone (a pomocą dowolnch elementów) nawa się klasą. Zatem, ab utworć klasę, bierem dowoln element grup i prekstałcam go pre podobieństwo po kolei wsstkimi elementami grup. Otrman w ten sposób biór wajemnie spręŝonch elementów twor pierwsą klasę w grupie. Jeśli w grupie poostał jesce jakieś element, bierem jeden nich i tworm następną klasę elementów wajemnie nim spręŝonch, nów a pomocą wsstkich elementów grup. Potem bierem kolejn element nie naleŝąc do obu otrmanch juŝ klas itd. Procedura ta pokauje, Ŝe w preciwieństwie do podgrup klas są biorami rołącnmi. Mimo to obowiąuje podobne twierdenie dotcące ich wielkości: licba elementów naleŝącch do klas musi bć dielnikiem rędu grup. ZauwaŜm jesce, Ŝe w grupie premiennej kaŝd element jest spręŝon tlko e sobą, tn. kaŝd element twor odrębną klasę (recwiście: wówcas -1 = -1 = dla dowolnego elementu i wsstkich ). Do pojęcia klas powrócim jesce w tm rodiale, nadając mu bardiej roumiał sens geometrcn. 1.. Operacje smetrii cąstecek Zajmiem się tera operacjami smetrii, odgrwającmi waŝną rolę w fice molekularnej. Mogą one tworć grup, a nasm celem będie wkorstanie własności tch grup do rowiąania seregu praktcnch problemów. Operacją smetrii cąstecki nawa się takie jej prekstałcenie, w wniku którego cąstecka prbiera nowe połoŝenie, nieodróŝnialne od połoŝenia wjściowego. Prkładem moŝe bć obrót cąstecki wod o 180 wokół osi anaconej na rs.1.1. Gdbśm umieli odróŝnić od siebie dwa atom wodoru awarte w cąstecce (i onacone na rsunku jako H i 3
H ), połoŝenia pocątkowe i końcowe nie błb równowaŝne. PoniewaŜ jednak takie odróŝnienie jest niemoŝliwe, obie konfiguracje treba unać a toŝsame. Obiekt geometrcn, wględem którego dokonuje się operacji smetrii (punkt, prosta lub płascna), to tw. element smetrii. Cąsteckę H O obracaliśm pred chwilą wokół prostej prechodącej pre atom tlenu i właśnie ta oś obrotu jest elementem smetrii odpowiadającm operacji obrotu. ZauwaŜm pr tej okaji ocwist fakt, Ŝe punkt połoŝone na osi prechodą pr obrocie na siebie. Jest to prejaw ogólnej własności smetrii tworów skońconch, a więc takŝe cąstecek: wsstkie ich smetrie są punktowe, to nac achowują nie mienione połoŝenie prnajmniej jednego punktu w prestreni. Wsstkie punkt stałe wględem danej operacji smetrii tworą właśnie odpowiedni element smetrii. WróŜniam pięć rodajów operacji smetrii: 1. Najprostsą operacją jest toŝsamość, onacana wkle smbolem E, która odgrwa wśród smetrii rolę elementu neutralnego.. Inwersja wględem ustalonego punktu (środka inwersji) premiesca kaŝd atom cąstecki w połoŝenie tak samo odległe od jej środka, ale po preciwnej stronie. Operację tę onaca się smbolem i. Łatwo auwaŝć, Ŝe pr n-krotnm wkonaniu operacji inwersji i n = E dla n parstego, a i n = i dla n nieparstego. Prkładem cąstecki mającej smetrię inwersji jest liniowa cąstecka dwutlenku węgla CO (rs.1.); środek inwersji pokrwa się ocwiście atomem węgla. 3. Obrót wględem prostej (osi obrotu), w teorii grup nawan obrotem właściwm, onaca się jako C n. C smboliuje ogólnie obrót właściw, natomiast indeks n podaje, o jaką cęść kąta π naleŝ go wkonać (tn. kąt obrotu φ = π/n). Zatem obrót o 180, taki jak w cąstecce wod, apisujem jako C, obrót o 10 to C 3, a obrót o 90 - C 4. Dwa kolejne obrot C 4 to operacja C (C 4 C 4 = C 4 4 = C ), cter takie obrot dają toŝsamość (C 4 = E). Operacją odwrotną do C 4 jest C 3 4, bo C 3 4 C 4 = E. W ogólności (C k n ) -1 = C n-k n. Innmi słow k kolejnch obrotów C n w jednm kierunku, C k n, jest równonacne obrotem C n-k n w preciwnm kierunku. 4. Odbicie wierciadlane wględem ustalonej płascn apisuje się jako σ. KaŜda płaska cąstecka (np. H O) ma taką smetrię wględem płascn, w której się awiera. Ale cąstecka H O jest takŝe smetrcna wględem drugiej, prostopadłej płascn, prechodącej pre atom O. ZłoŜenie dwóch kolejnch odbić wględem tej samej płascn jest ocwiście toŝsamością, σ = E, cli σ jest swoją własną odwrotnością. 4
5. Ostatnią smetrię punktową stanowi obrót niewłaściw (S n ), któr jest łoŝeniem wkłego obrotu i późniejsego odbicia wględem płascn prostopadłej do osi obrotu. MoŜna to apisać jako S n = σ C n, pr cm prjmujem konwencję, Ŝe najpierw wkonwana jest operacja najdująca się po prawej stronie; indeks n odnosi się, jak widać, do kąta obrotu właściwego (φ = π/n). Umiescenie na nasej liście operacji łoŝonej moŝe wdać się w pierwsej chwili nielogicne. ZauwaŜm jednak, Ŝe cąstecka moŝe mieć smetrię S n nawet wted, gd nie ma ani smetrii C n, ani σ. Ilustruje to prkład cąstecki trans-dichloroetlenu (rs.1.3), mającej smetrię S. MoŜna sprawdić, Ŝe w prpadku parstego n achodi wiąek (S k n ) -1 = S k+n n, natomiast dla n nieparstego (S k n ) -1 = S n-k n. 1.3. Punktowe grup smetrii Zbiór wsstkich operacji smetrii danej cąstecki ora diałanie polegające na składaniu (tn. kolejnm wkonwaniu) tch operacji tworą grupę. Tego tpu grup nawa się punktowmi grupami smetrii, podkreślając ra jesce fakt, Ŝe kaŝda operacji achowuje prnajmniej jeden punkt stał. Co więcej, moŝna auwaŝć, Ŝe wsstkie element smetrii precinają się w (co najmniej) jednm punkcie i ten punkt nie mienia swego połoŝenia pod wpłwem Ŝadnej dowolonch operacji smetrii. Okauje się, Ŝe cąsteckami realnie wstępującmi w prrodie wiąana jest skońcona licba grup punktowch. Ich pełn spis moŝna naleźć w literature (np. [Lan79], [Cot73]), tu predstawim tlko kilka prkładów. 1. Cąstecka H O (rs.1.1) dopusca cter operacje smetrii: toŝsamość E ora dskutowane juŝ: obrót o 180 (C ), odbicie wględem płascn awierającej cąsteckę (onacm je pre σ ) i odbicie wględem płascn do niej prostopadłej, prechodącej pre atom tlenu (σ ). Składanie tch operacji prowadi do następującej tabeli mnoŝenia grupowego: Tabela 1. E C σ σ E E C σ σ C C E σ σ σ σ σ E C σ σ σ C E 5
Tę punktową grupę smetrii onaca się tradcjnie smbolem C v, godnie nomenklaturą wprowadoną pre Schoenfliesa 3. Z tabeli 1. moŝna odctać, Ŝe grupa C v jest premienna, wobec tego kaŝd jej elementów stanowi odrębną klasę. Mam natomiast tr podgrup, łoŝone elementów {E, C }, {E, σ } i {E, σ }.. Nieco bardiej skomplikowana jest grupa smetrii cąstecki amoniaku NH 3, która ma kstałt ostrosłupa prawidłowego o podstawie trójkąta (rs.1.4). Jej elementami są: toŝsamość E, obrót o 10 wokół osi pokrwającej się wsokością ostrosłupa (C 3 ), obrót o 40 wokół tej samej osi (C 3 ) i tr odbicia wględem płascn, którch kaŝda awiera atom N, jeden atomów H ora wsokość ostrosłupa (σ 1, σ i σ 3 ). UłoŜenie tabeli 1.3 mnoŝenia grupowego nie jest juŝ tak trwialne, jak dla H O: Tabela 1.3 E C 3 C 3 σ 1 σ σ 3 E E C 3 C 3 σ 1 σ σ 3 C 3 C 3 C 3 E σ σ 3 σ 1 C 3 C 3 E C 3 σ 3 σ 1 σ σ 1 σ 1 σ 3 σ E C 3 C 3 σ σ σ 1 σ 3 C 3 E C 3 σ 3 σ 3 σ σ 1 C 3 C 3 E Tę grupę onaca się smbolem C 3v. Porównując tabele 1.3 i 1.1 widim, Ŝe jest ona toŝsama grupą rowaŝaną na pocątku tego rodiału. Grupa C 3v awiera 4 podgrup: {E, C 3, C 3 } (podgrupa cklicna), {E, σ 1 }, {E, σ } i {E, σ 3 }. Natomiast element neutraln {E}, obrot {C 3, C 3 } ora odbicia wierciadlane {σ 1, σ, σ 3 } stanowią klas. Wnik ten sugeruje geometrcn sens podiału grup na klas; jak widać, do tej samej klas naleŝą operacje smetrii tego samego rodaju. Stwierdenie to moŝna uściślić: dwie operacje naleŝą do wspólnej klas, jeśli jedna nich diała tak samo jak druga w nowm układie współrędnch, otrmanm w wniku prekstałcenia wjściowego układu operacją smetrii takŝe naleŝącą do grup. Najprosts, kartejański układ współrędnch, jaki moŝem wiąać cąstecką NH 3, ma oś skierowaną wdłuŝ wsokości ostrosłupa, osie i aś w 3 Artur Morit Schoenflies (1853-198), matematk niemiecki. 6
płascźnie wnaconej pre atom wodoru; niech jeden nich leŝ na osi (rs.1.5). Po obrocie układu współrędnch o 10 wokół osi (obrót C 3 jest elementem grup C 3v!) rolę odbicia σ 1 prejmuje odbicie σ i dlatego obie operacje naleŝą do tej samej klas. 3. Amoniak jest prkładem cteroatomowej cąstecki tpu XY 3. Nie kaŝda cąstecka tego tpu ma strukturę prestrenną. MoŜliwe jest teŝ ułoŝenie wsstkich atomów w płascźnie, jak na prkład w cąstecce trójtlenku siarki SO 3 (rs.1.6). NaleŜ ona ocwiście do innej grup punktowej niŝ NH 3, co łatwo roponać po dopuscalnch operacjach smetrii: E, C 3 i C 3 (obrot wokół osi prostopadłej do płascn cąstecki, prechodącej pre atom siarki), S 3 i S 3 (obrot niewłaściwe wokół tej samej osi odbiciem w płascźnie cąstecki), C, C i C (obrot wokół trech osi SO), σ h (odbicie wględem płascn cąstecki) ora σ v, σ v i σ v (odbicia wględem trech płascn prostopadłch do cąstecki, awierającch atom siarki i po jednm atomie tlenu). Zastosowane tu smbole σ h i σ v najdują cęste astosowanie w teorii grup: indeks h (ang. horiontal - poiom) onaca płascnę prostopadłą do osi obrotu o najwŝsej krotności 4, tj. takiej, wokół której moŝna tch obrotów wkonać najwięcej (tu oś obrotów C 3 i C 3 ); indeks v (ang. vertical - pionow) odnosi się do płascn awierającch tę oś. Punktowa grupa smetrii cąstecki SO 3 onacana jest smbolem D 3h. Skonstruowanie tabeli mnoŝenia grupowego poostawiam w tm prpadku Ctelnikowi. MoŜna sprawdić, Ŝe w grupie D 3h klas tworą element {E}, {C 3, C 3 }, {S 3, S 3 }, {C, C, C }, {σ h } i {σ v, σ v, σ v }. 4. Istotnie róŝne od dotchcas omawianch są grup smetrii cąstecek liniowch (np. CO, rs.), poniewaŝ są to grup nieskońcone. KaŜda cąstecka liniowa ma oś smetrii prechodącą pre wsstkie atom i operacjami smetrii są obrot wokół tej osi o dowoln kąt - mam więc juŝ nieskońcenie wiele operacji. TakŜe odbicie wierciadlane wględem dowolnej płascn awierającej oś cąstecki jest operacją smetrii. Takich płascn, więc i operacji, jest teŝ nieskońcenie wiele 5. Dalej istnieją dwie moŝliwości. (a) Cąstecka składa się dwóch róŝnch cęści, jak np. cąstecka tlenku aotu NO. Wówcas podane juŝ prekstałcenia wcerpują biór operacji smetrii. Odpowiednia grupa onacana jest smbolem C v. (b) Cąstecka składa się dwóch równowaŝnch połówek, tak jak CO. Dodatkowmi smetriami są wówcas: inwersja wględem środka cąstecki, obrót 4 Nawa się ją takŝe główną osią smetrii. 5 ZauwaŜm pr tm, Ŝe wsstkie te odbicia naleŝą do jednej klas. Natomiast w prpadku obrotów odrębne klas tworą par obrotów o kąt +φ i φ; takich klas jest nieskońcenie wiele. 7
8 inwersjn o dowoln kąt wokół osi cąstecki ora obrot C wokół nieskońcenie wielu osi do niej prostopadłch 6. Grupę awierającą wsstkie te operacje onaca się smbolem D h. 1.4. Predstawienie operacji smetrii a pomocą macier KaŜdą omawianch operacji smetrii moŝna predstawić a pomocą macier, która określa, jak pr danej operacji mieniają się współrędne dowolnego punktu w prestreni. Niech taki punkt ma współrędne (,, ). Najprościej naleźć macier M(E), opisującą operację toŝsamości. Po prekstałceniu toŝsamościowm współrędne punktu są nadal równe (,, ), co moŝem apisać jako M E ( ) = = 1 0 0 0 1 0 0 0 1, (1.1) cli toŝsamości odpowiada macier jednostkowa, onacana cęsto pre I. Z kolei inwersja i wględem środka układu, godnie definicją, mienia wsstkie tr współrędne punktu na preciwne. Zatem M i ( ) = = 1 0 0 0 1 0 0 0 1. (1.) Równie łatwo podać maciere M(σ) dla odbić wierciadlanch, jeśli płascnami odbicia są płascn, lub układu kartejańskiego. Na prkład odbicie wględem płascn mienia współrędną punktu na -, nie mieniając współrędnch i. Stąd M ( ) σ = = 1 0 0 0 1 0 0 0 1. (1.3) Podobnie dla dwóch poostałch odbić mam M ( ) σ = = 1 0 0 0 1 0 0 0 1, (1.4) M ( ) σ = = 1 0 0 0 1 0 0 0 1. (1.5) 6 I nów par obrotów inwersjnch o kąt +φ i φ tworą nieskońcenie wiele dwuelementowch klas. Obrot C naleŝą do wspólnej klas, inwersja aś jest odrębną klasą łoŝoną jednego elementu.
Ropatrując obrót o dowoln kąt φ, prjmiem, Ŝe osią obrotu jest oś. Wówcas współrędna punktu nie ulegnie mianie, natomiast mianę współrędnch i odctam łatwo rsunku 1.7 (prjęliśm na nim, Ŝe kierunek obrotu jest preciwn do kierunku ruchu wskaówek egara). Zgodnie rsunkiem = l cosα, = l sinα (1.6) (l jest odległością punktu od środka układu współrędnch, która ocwiście nie ulega mianie pr obrocie). Po dokonaniu obrotu = l cos(α+φ), = l sin(α+φ). (1.7) Korstając elementarnch toŝsamości trgonometrcnch, otrmujem = l cosα cosφ l sinα sinφ = cosφ sinφ, (1.8) = l sinα cosφ + l cosα sinφ = cosφ + sinφ, (1.9) co moŝna apisać jako 7 cosφ sinφ 0 M ( C,φ ) sinφ cosφ = = 0. (1.10) 0 0 1 W tm miejscu warto auwaŝć, Ŝe geometrcnego sensu operacji smetrii wnika, Ŝe nie mieniają one ani odległości punktów w prestreni, ani kątów. Maciere opisujące takie operacje nawa się macierami ortogonalnmi 8. MoŜna udowodnić (patr np. [Smi66]), Ŝe macier odwrotna do macier ortogonalnej jest identcna macierą transponowaną, M -1 = M T, odwracając więc macier wstarc amienić w niej wierse na kolumn. Łatwo sprawdić tę własność w prpadku operacji obrotu. Z jednej stron macier odwrotna do M(C,φ ) powinna odpowiadać obrotowi wokół osi o kąt (-φ). PoniewaŜ cos(-φ) = cosφ, sin(- φ) = -sinφ, na podstawie woru (1.10) otrmujem cosφ sinφ 0 M ( C,φ ) 1 = sinφ cosφ 0. (1.11) 0 0 1 Dokładnie ten sam wnik uskam astępując w macier M(C,φ ) wierse kolumnami. Poostało nam naleienie macier opisującej obrót niewłaściw; niech będie to nów obrót wokół osi. Prpomnijm, Ŝe polega on na obrocie właściwm wokół tej osi 7 NiealeŜnie od wprowadonej powŝej i powsechnie prjętej konwencji onacm tu pre C,φ obrót wokół osi o dowoln kąt φ. Analogicnie S,φ będie onacać podobn obrót niewłaściw. 8 Nawa biere się stąd, Ŝe kolumn takiej macier, traktowane jako odrębne wektor, są wajemnie prostopadłe. Warto teŝ auwaŝć, Ŝe kaŝd tch wektorów ma długość jednostkową. 9
(achodi więc miana współrędnch i jak pr obrocie), po którm następuje odbicie wględem płascn ( mienia się na -). Stąd odpowiednia macier ma postać cosφ sinφ 0 M ( S,φ ) = sinφ cosφ 0. (1.1) 0 0 1 MoŜna ją takŝe otrmać mnoŝąc pre siebie maciere obrotu i odbicia. Jest to prejaw ogólnej własności: macier opisującą łoŝenie dwóch kolejnch operacji smetrii najdujem mnoŝąc maciere odpowiadające tm operacjom. Jako prkład rowaŝm ponownie cąsteckę wod (rs.1.8). Pr orientacji osi układu współrędnch takiej, jak na rsunku, cterem operacjom smetrii grup C v odpowiadają następujące maciere: M ( E) = M ( C ) 1 0 0 1 0 0 0 1 0, M ( σ ) M ( σ ) = 0 1 0, 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 = 0 1 0, M M ( σ ) ( σ ) = 0 1 0. (1.13) 0 0 1 0 0 1 Łatwo spostrec, Ŝe te maciere (wra operacją ich mnoŝenia) tworą grupę, dla której tabela mnoŝenia grupowego jest identcna tabelą 1. mnoŝenia grup C v. MoŜna to sprawdić bepośrednim rachunkiem, np. godnie tabelą 1. C σ = σ, mnoŝąc aś maciere, otrmujem 1 0 0 1 0 0 1 0 0 M ( C ) M ( σ ) = 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 = M ( σ ). (1.14) 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Na koniec warto wrócić uwagę, Ŝe obok stosowanej pre nas konwencji aktwnego roumienia operacji smetrii (operacje smetrii mieniają połoŝenia punktów w prestreni) istnieje teŝ konwencja paswna (operacje smetrii diałają na osie współrędnch). Prjęcie konwencji paswnej wpłwa na postać macier obrotu i obrotu niewłaściwego - kąt φ naleŝ w nich astąpić kątem φ. Konsekwentne stosowanie kaŝdej tch konwencji prowadi ocwiście do równowaŝnch wników. 1.5. Repreentacje grup 10
Repreentacją grup nawa się biór macier prporądkowanch poscególnm elementom grup tak, ab to prporądkowanie achowwało diałanie w grupie: fakt, Ŝe a b = c musi pociągać a sobą równość M(a) M(b) = M(c). Te maciere takŝe tworą grupę i to, jak juŝ auwaŝliśm, identcną tabelą mnoŝenia grupowego. Wmiar repreentacji to rąd macier, które ją tworą. KaŜda punktowa grupa smetrii ma nieskońcenie wiele repreentacji. PowŜej podaliśm sposób na naleienie jednej nich - twor ją biór macier opisującch mian współrędnch kartejańskich punktów w prestreni pod wpłwem operacji smetrii. Równie dobrą repreentacją jest teŝ biór wnacników tchŝe macier (wnacnik macier jest licbą, którą moŝna traktować jako macier o wmiare 1 1), co wnika e nanej własności det(m 1 M ) = det(m 1 ) det(m ). (1.15) TakŜe prporądkowanie kaŝdemu elementowi grup tej samej macier jednostkowej jest repreentacją, bo w ocwist sposób achowuje mnoŝenie grupowe - licba pomsłów na tworenie repreentacji jest nielicona. Okauje się jednak, Ŝe dla kaŝdej grup istnieje skońcona licba pewnch scególnch repreentacji, nawanch repreentacjami nieprwiedlnmi 9. Zanim wjaśnim, cm się te repreentacje wróŝniają, krótka dgresja na temat własności macier. MnoŜenie macier pre macier jest Ŝmudną operacją, wmagającą cierpliwości i uwagi. KaŜd element macier wnikowej, C, dan jest pre ilocn elementów mnoŝonch macier A i B: c ik = a b. (1.16) j ij jk W prpadku macier kwadratowch rędu n wmaga to oblicenia n 3 ilocnów. Stuacja nacnie się uprasca, kied maciere mają postać blokową, to nac składają się kwadratowch macier niŝsego rędu ustawionch na prekątnej, a poa tm samch er 10. Oblicając ilocn takich dwóch macier na podstawie ogólnego woru (1.16), na prkład 9 Ściślej, tlko grupa skońcona ma skońconą licbę repreentacji nieprwiedlnch. 10 W matematce macier M, składająca się bloków M 1,..., M k ustawionch na prekątnej i er poa tm, nosi nawę sum prostej macier M 1,..., M k. 11
1 1 1 0 0 0 0 5 3 0 0 0 5 11 10 0 0 0 0 1 0 0 0 4 1 0 0 0 3 8 0 0 0 0 0 1 0 0 0 3 6 0 0 0 8 8 13 0 0 0 =, (1.17) 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 moŝna auwaŝć, Ŝe dostajem w wniku macier o podobnej strukture blokowej, pr cm kaŝd bloków ilocnu powstał pre wmnoŝenie odpowiednich bloków obu cnników 1 1 1 0 5 3 5 11 10 0 1 4 1 = 3 8 0, 0 1 3 6 8 8 13 [ ] [ 3] = [ 6], (1.18) 1 1 1 0 1 0 1 1 1 = 1 1. Weźm tera dowolną repreentację danej grup smetrii. NaleŜące do niej maciere I, A, B, C,... teŝ tworą grupę, moŝem więc poddać je prekstałceniu pre podobieństwo wbranm elementem grup, powiedm macierą X 11. Otrmane w ten sposób maciere I = X -1 I X = I, A = X -1 A X, B = X -1 B X itd. teŝ tworą repreentację grup, bo nadal odpowiadają tej samej tabeli mnoŝenia grupowego: gd A B = C, to A B = (X -1 A X) ( X -1 B X) = X -1 A (X X -1 ) B X = X -1 A I B X = X -1 A B X = X -1 C X = C. Jeśli udało się nam naleźć taką macier X, która prekstałciła wsstkie maciere repreentacji do identcnej postaci blokowej M1 M = M... M n, (1.19) to, skoro poscególne bloki moŝna mnoŝć niealeŝnie, bior macier {I 1, A 1, B 1,... }, {I, A, B,... }, itd. są teŝ repreentacjami grup. Gd wsstkie maciere odpowiadające danej repreentacji dają się robić na bloki a pomocą tej samej macier X, repreentacja nosi nawę prwiedlnej i moŝna ją rołoŝć na repreentacje o mniejsch wmiarach. Jeśli 11 Jeśli repreentacja grup smetrii składa się macier opisującch transformacje współrędnch punktów w prestreni, prekstałcenie pre podobieństwo ma prost sens geometrcn: odpowiada mianie układu współrędnch, pr której osie układu ostają prekstałcone a pomocą operacji smetrii opiswanej pre macier X. 1
prekstałcenie pre podobieństwo Ŝadną macierą naleŝącą do grup nie sprowada jednoceśnie wsstkich macier do postaci blokowej, repreentacja jest nieprwiedlna 1. Wspomnieliśm juŝ, Ŝe licba repreentacji nieprwiedlnch danej grup jest skońcona. Co więcej, istnieje teŝ ogranicenie ich wmiarów. Mówią o tm dwie reguł: 1. Repreentacji nieprwiedlnch danej grup jest tle, ile klas w grupie.. Jeśli grupa ma n elementów (jest rędu n), k i aś onaca wmiar macier tworącch i-tą repreentację nieprwiedlną, to ki = n. (1.0) i Na prkład cteroelementowa grupa smetrii cąstecki wod, C v, awiera 4 klas, a więc ma 4 repreentacje nieprwiedlne. Wsstkie te repreentacje są jednowmiarowe, gdŝ równość (1.0) moŝe bć spełniona tlko pre 1 +1 +1 +1 = 4. Jak je naleźć? ZauwaŜm, Ŝe cter maciere (1.13), które prpisaliśm operacjom smetrii grup C v i stanowiące ocwiście jej repreentację, mają juŝ postać blokową. Ściśle mówiąc, są to maciere diagonalne, tn. najdujące się w nich bloki są jednowmiarowe. Mam w ten sposób tr jednowmiarowe repreentacje nieprwiedlne grup C v. Ab naleźć cwartą nich, takŝe jednowmiarową, prpomnijm, Ŝe repreentację tworą teŝ wnacniki macier (1.13). Okauje się, Ŝe jest ona róŝna od trech poprednich, więc jest ostatnią, brakującą repreentacją nieprwiedlną: Tabela 1.4 C v E C σ σ Γ 1 1-1 1-1 Γ 1-1 -1 1 Γ 3 1 1 1 1 Γ 4 1 1-1 -1 W tabeli 1.4 onacliśm poscególne repreentacje nieprwiedlne po prostu smbolami Γ i. Istnieje jednak pewna konwencja nadawania im naw specjalnch. I tak jednowmiarowe repreentacje smetrcne pod diałaniem obrotu o najwŝsej krotności onaca się 1 PoniewaŜ prekstałcenie pre podobieństwo macier X daje w wniku tę samą macier (X = X -1 X X = X), moŝem spodiewać się robicia wsstkich macier repreentacji na bloki tlko wted, gd sama macier X ma postać blokową. Zmniejsa to licbę kanddatek do prób! 13
smbolem A (ta smetria dla repreentacji jednowmiarowej onaca po prostu, Ŝe takiemu obrotowi odpowiada licba 1); repreentacje antsmetrcne wględem tego obrotu onaca się pre B. W prpadku wstąpienia repreentacji dwu- lub trójwmiarowch nadaje się im onacenia E lub T. Kolejną własnością wartą anotowania w tabeli repreentacji nieprwiedlnch jest fakt, Ŝe godnie repreentacją Γ 1 B transformują się współrędne punktów w prestreni 13, godnie repreentacją Γ B 1 - współrędne, a repreentacją Γ 3 A 1 - współrędne. Wrescie e wględu na późniejse astosowania musim astanowić się, jak transformują się obrot wokół trech osi układu kartejańskiego. Nie agłębiając się w ścisłe rowaŝania będiem repreentować obrót a pomocą strałki owiniętej wokół osi (strałka wskauje więc nie tlko oś, ale i kierunek obrotu). Rsunek 1.9 pokauje, Ŝe np. obrót wokół osi, onacan jako R, transformuje się godnie repreentacją Γ B 1. W podobn sposób moŝna naleźć, Ŝe obrót R transformuje się godnie Γ 1 B, a R Γ 4 A. Ostatecnie więc moŝem apisać tabelę repreentacji nieprwiedlnch grup C v w taki sposób: Tabela 1.5 C v E C σ σ A 1 1 1 1 1 A 1 1-1 -1 R B 1 1-1 -1 1, R B 1-1 1-1, R Natomiast w grupie smetrii cąstecki amoniaku, C 3v, licącej 6 elementów, naleźliśm 3 klas, mam więc 3 repreentacje nieprwiedlne. Daje to jedną moŝliwość spełnienia warunku (1.0) w postaci +1 +1 = 6, cli dwie repreentacje nieprwiedlne są jednowmiarowe, jedna aś - dwuwmiarowa. Znów najłatwiej acąć od wpisania repreentacji (prwiedlnej!) opisującej transformacje punktów. Kilka macier najdiem natchmiast. Ocwiście 13 Cęsto uŝwa się tu racej określenia presunięcia w kierunku. Wektor takiego presunięcia, o współrędnch (,0,0), transformuje się ocwiście tak samo jak współrędna punktu. 14
M( E) = 1 0 0 0 1 0. (1.1) 0 0 1 Zgodnie e worem (1.13) astosowanm dla kątów 10 lub 40 1 3 0 3 1 M( C3 ) = 0, (1.) 0 0 1 1 3 0 3 1 M( C3 ) = 0. (1.3) 0 0 1 Wrescie prjmując układ współrędnch taki, jak na rsunku 5 (płascna smetrii σ 1 jest płascną ) 1 0 0 M( σ 1 ) = 0 1 0. (1.4) 0 0 1 Maciere odpowiadające dwóm poostałm odbiciom wierciadlanm, σ i σ 3, moŝna uskać albo na podstawie prostch rowaŝań geometrcnch, albo posługując się tabelą 1.3 mnoŝenia grupowego: 1 3 1 3 0 1 0 0 0 3 1 3 1 M( σ ) = M( C3 ) M( σ 1) = 0 0 1 0 = 0, (1.5) 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 3 1 3 0 1 0 0 0 3 1 3 1 M( σ 3) = M( C3 ) M( σ 1) = 0 0 1 0 = 0. (1.6) 0 0 1 0 0 1 0 0 1 ZauwaŜm tu ra jesce, Ŝe godnie ogólną regułą kolumn kaŝdej tch macier, traktowane jako odrębne wektor, są wajemnie prostopadłe. PowŜse maciere dielą się juŝ na bloki (co odpowiada transformacji współrędnch i ) ora 1 1 (transformacje współrędnej ). Łatwo się domślić, Ŝe skoro płascn smetrii σ 1, σ i σ 3 nie są do siebie prostopadłe, nie najdiem takiego układu, w którm współrędne i mogłb transformować się oddielnie, awse będą miesał się e sobą. A więc naleione bloki tworą dwuwmiarową repreentację nieprwiedlną (spodiewaliśm się takiej dla grup C 3v!), licb opisujące transformacje współrędnej są repreentacją jednowmiarową. 15
Brakuje nam jesce jednej repreentacji jednowmiarowej - i nów utworą ją wnacniki macier (1.1)-(1.6). Repreentacje nieprwiedlne grup C 3v mają więc ostatecnie postać: Tabela 1.6 Ctelnik sam łatwo sprawdi własności transformacjne translacji i obrotów. Na koniec warto podkreślić, Ŝe waŝne w fice cąsteckowej nieskońcone grup C v i D h awierają nieskońcenie wiele klas, mają więc teŝ nieskońcenie wiele repreentacji nieprwiedlnch. 1.6. Charakter repreentacji Mając dowolną repreentację grup (prwiedlną bądź nieprwiedlną), moŝem awse utworć niej nową repreentację, prekstałcając kaŝdą macier pre podobieństwo. Łatwo się jednak domślić, Ŝe ta nowa repreentacja nie wnosi nowch wiadomości o grupie (auwaŝliśm juŝ, Ŝe prekstałcenie pre podobieństwo onaca tlko mianę układu współrędnch, w którm apisane są maciere). Wgodnie więc błob naleźć takie wielkości, które jednej stron awierają wsstkie istotne informacje ukrte w macierach repreentacji, drugiej aś powalają roponać repreentacje istotnie róŝniące się od siebie. Taką rolę pełnią ślad macier repreentacji, tn. sum elementów wstępującch na głównej prekątnej: χ( M ) =. (1.7) i W teorii grup ślad nawa się reguł charakterem macier 14. W wielu prpadkach okauje się, Ŝe najomość jawnej postaci macier repreentacji wcale nie jest koniecna, wstarc najomość ich charakterów. M ii Prede wsstkim sprawdźm, Ŝe charakter macier spręŝonch (tj. wiąanch transformacją podobieństwa) są recwiście równe. Weźm dwie spręŝone maciere M i N = X -1 M X. Charakter macier N, godnie e worem (1.7), wnosi ii ii ij jk ki ki i i ijk ijk χ( N) = N = ( X 1 NX ) = X 1 M X = X X 1 M = kj jk kj jk 1 = ( XX ) M = δ M = M = χ ( M ). jk (1.8) jk j Skorstaliśm kolejno reguł mnoŝenia macier, premienności mnoŝenia elementów macier, które są precieŝ licbami, ora faktu, Ŝe XX -1 = I, element aś macier jj ij jk 14 W prpadku macier rędu pierwsego, cli po prostu licb, charakter macier jest tą samą licbą. 16
jednostkowej moŝna wraić a pomocą smbolu Kroneckera jako I ij = δ ij. Z własności (1.8) wnika waŝn wniosek: poniewaŝ element grup naleŝące do tej samej klas są e sobą spręŝone, więc w kaŝdej repreentacji charakter odpowiadającch im macier musą bć równe. Po naleieniu charakterów wsstkich macier I, A, B,... danej repreentacji Γ wgodnie jest traktować je jako składowe pewnego wektora, któr moŝem nawać wektorem charakterów repreentacji Γ: Wektor takie mają sereg waŝnch własności. χ( I) χ( ) χ( Γ ) = A χ( B ). (1.9)... 1. Dla kaŝdej repreentacji nieprwiedlnej Γ kwadrat długości wektora charakterów tej repreentacji jest równ rędowi grup, n, χ( Γ) = n. (1.30) PoniewaŜ jest to warunek koniecn i dostatecn nieprwiedlności repreentacji Γ, wiąkiem (1.30) moŝna się posługiwać jako krterium nieprwiedlności repreentacji - dla repreentacji prwiedlnej wektor charakterów ma awse więksą długość 15. ortogonalne,. Wektor charakterów dwóch róŝnch repreentacji nieprwiedlnch są χ( Γ ) χ( Γ ) =. (1.31) 1 0 3. Omawiając róŝne repreentacje grup smetrii, auwaŝliśm, Ŝe jedna nich składa się samch macier jednostkowch. Macier jednostkowa dowolnego rędu k ma juŝ ocwiście postać blokową i moŝna ją rołoŝć na k identcnch, jednowmiarowch repreentacji nieprwiedlnch łoŝonch samch jednek. Taka trwialna repreentacja, nawana repreentacją jednostkową, najduje się awse wśród repreentacji nieprwiedlnch dowolnej grup; ocwiście wsstkie składowe jej wektora charakterów są równe jedności. Jeśli tera w relacji ortogonalności (1.31) jedną repreentacji będie repreentacja jednostkowa, drugą aś dowolna inna repreentacja nieprwiedlna, łatwo auwaŝm, Ŝe suma charakterów dowolnej niejednostkowej repreentacji nieprwiedlnej musi bć równa eru. 17
4. Rokład repreentacji prwiedlnej ϒ na repreentacje nieprwiedlne Γ i moŝna uprościć, jeśli tlko nam wektor charakterów repreentacji ϒ i wektor charakterów wsstkich repreentacji nieprwiedlnch danej grup. Zamiast sprowadać maciere repreentacji ϒ do postaci blokowej, wstarc rołoŝć charakter tej repreentacji na kombinację liniową charakterów repreentacji nieprwiedlnch: χ( ϒ) = α i χ( Γ i ). (1.3) i Istnieje pr tm prost wór na współcnniki rokładu: α i = 1 χ( ϒ) χ( Γ i ), (1.33) n gdie n jest ponownie rędem badanej grup. Współcnnik α i określa, ile ra w macierach repreentacji ϒ sprowadonch do postaci blokowej wstępuje blok macier repreentacji nieprwiedlnej Γ i - chociaŝ nie musim nać jawnej postaci Ŝadnej tch macier! Po takiej dawce abstrakcjnch rowaŝań warto ilustrować je prkładami. W prpadku grup C v wsstkie repreentacje nieprwiedlne są jednowmiarowe, więc tabela repreentacji 1.5 jest jednoceśnie tabelą charakterów. MoŜem sprawdić ich podstawowe własności: - kwadrat długości kaŝdego wektora charakterów równa się 4 (tle wnosi teŝ rąd grup); - wektor charakterów są wajemnie ortogonalne, np. 1 1 χ( A ) χ( B ) = 1 1 = 11 1+ 1 = 0 ; (1.34) 1 1 1 - dla wsstkich repreentacji, poa repreentacją jednostkową A 1, suma charakterów równa jest eru, np. dla repreentacji B 1 mam 1-1-1+1=0. Dla grup C 3v charakter repreentacji nieprwiedlnch moglibśm łatwo uskać oblicając ślad macier tabeli (1.6). Warto jednak prekonać się, Ŝe do konstrukcji tabeli charakterów wcale nie jest koniecna najomość macier repreentacji nieprwiedlnch. MoŜem postępować w następując sposób: (i) W kaŝdej grupie istnieje jednostkowa repreentacja nieprwiedlna - repreentacja jednowmiarowa łoŝona samch jednek: 15 Inn poŝtecn sprawdian nieprwiedlności danej repreentacji opiera się na tw. lemacie Schura: repreentacja Γ jest nieprwiedlna wted i tlko wted, gd jedne maciere premienne e wsstkimi 18
Tabela 1.7 C 3v E C 3 C 3 σ 1 σ σ 3 Γ 1 1 1 1 1 1 1 (ii) PoniewaŜ w kaŝdej repreentacji (prwiedlnej bądź nieprwiedlnej) operację toŝsamości opisuje macier jednostkowa, charakter odpowiadając E jest równ wmiarowi repreentacji. W nasm prpadku jedna brakującch repreentacji nieprwiedlnch jest jednowmiarowa, a druga dwuwmiarowa. Stąd Tabela 1.8 C 3v E C 3 C 3 σ 1 σ σ 3 Γ 1 1 1 1 1 1 1 Γ 1 Γ 3 (iii) Zajmijm się tera repreentacją Γ. Po pierwse auwaŝm, Ŝe maciere repreentacji jednowmiarowej teŝ musą bć macierami ortogonalnmi, więc w scególności ich kolumn, traktowane jako wektor, musą mieć długość jednostkową (patr prpis 3). Ale dla macier 1 1 onaca to po prostu, Ŝe moŝe bć ona tlko licbą +1 lub 1. Charakter repreentacji jednowmiarowej są identcne sammi macierami, więc drugi wiers tabeli moŝem uupełnić tlko plus lub minus jednkami. (iv) Charakter odpowiadające operacjom tej samej klas są sobie równe; prpomnijm, Ŝe w grupie C 3v klas stanowią {E}, {C 3, C 3 } ora {σ 1, σ, σ 3 }. (v) Warunki (iii) i (iv) nie stwarają wielu moŝliwości wboru charakterów repreentacji Γ, a tlko jedna nich daje wektor charakterów ortogonaln do wektora charakterów repreentacji Γ 1 : Tabela 1.9 macierami repreentacji Γ są postaci α I (gdie α jest pewną licbą). 19
C 3v E C 3 C 3 σ 1 σ σ 3 Γ 1 1 1 1 1 1 1 Γ 1 1 1-1 -1-1 Γ 3 mieć postać (vi) Zgodnie punktem (iv) charakter ostatniej brakującej repreentacji Γ 3 musą Tabela 1.10 C 3v E C 3 C 3 σ 1 σ σ 3 Γ 1 1 1 1 1 1 1 Γ 1 1 1-1 -1-1 Γ 3 a a b b b śądając prostopadłości χ( Γ 3 ) do χ( Γ 1 ) i do χ( ), otrmujem układ równań Γ + a + 3b = 0 + a 3b = 0, (1.35) skąd a=1, b=0. Ostatecnie tabela charakterów repreentacji nieprwiedlnch grup C 3v predstawia się następująco: Tabela 1.11 C 3v E C 3 C 3 σ 1 σ σ 3 Γ 1 A 1 1 1 1 1 1 1 Γ A 1 1 1-1 -1-1 Γ 3 E -1-1 0 0 0 co moŝna bło takŝe oblicć na podstawie odpowiednich macier repreentacji (tab.1.6). Tabelę tę apisuje się najcęściej skrótowo, podając tlko klas elementów smetrii (i licbę elementów w klasie): 0
Tabela 1.1 C 3v E C 3 3σ A 1 1 1 1 A 1 1-1 R E -1 0 (,), (R,R ) 1