Chemiateoretyczna. Monika Musiał. Elementy teorii grup

Transkrypt

1 Chemiateoretyczna Monika Musiał Elementy teorii grup

2 Grup a G nazywamy zbiór elementów {A,B,C,...} o nastȩpuja cych własnościach: zdefiniowane jest działanie przyporza dkowuja ce każdej parze elementów zbioru inny element zbioru, np. A B =C działanie spełnia prawo ła czności: A (B C) = (A B) C Monika Musiał Chemia teoretyczna 2/ 37

3 zdefiniowany jest element jednostkowy E: A E =A dla każdego elementu grupy A istnieje element odwrotnya 1 A A 1 =A 1 A =E Monika Musiał Chemia teoretyczna 3/ 37

4 Operacja symetrii przeprowadza ciało w położenie rónoważne, nieodróżnialne od pocza tkowego, chociaż niekoniecznie identyczne z nim. Element symetrii jest to obiekt geometryczny, taki jak linia, płaszczyzna lub punkt, wzglȩdem którego dokonuje siȩ operacji symetrii. Monika Musiał Chemia teoretyczna 4/ 37

5 Elementy symetrii w cz asteczkach elementtożsamościowy:c 1 lube n-krotnaośobrotu(ośwłaściwa)c n płaszczyzna symetrii prostopadła do osi symetriionajwyższejkrotnościσ h płaszczyzna symetrii, w której leży oś symetrii onajwyższejkrotnościσ v płaszczyzna symetrii, w której leży oś symetrii o najwyższej krotności, a która dzieli na połowy ka t miȩdzy osiami dwukrotnymi prostopadłymi doosinajwyższejkrotnościσ d ośprzemienna(ośniewłaściwa)s n środek symetrii i Monika Musiał Chemia teoretyczna 5/ 37

6 Operacje symetrii obrótwokółosic n oka t 360o n odbicie w płaszczyźnie symetrii działanieosia przemienna S n :obrótoka t 360o n i odbicie w płaszczyźnie prostopadłej do osi odbicie wzglȩdem centrum symetrii Monika Musiał Chemia teoretyczna 6/ 37

7 Grupy punktowe symetrii Operacje symetrii tworza grupȩ: tzw. grupȩ punktowa symetrii Przykłady grup punktowych (w nawiasie rza d grupy): C 1 : E(1) C s :E,σ h (2) C i :E,i(2) C n : C n,...,c n n (n) D n : C n,...,c n n,nc 2 (2n) Monika Musiał Chemia teoretyczna 7/ 37

8 Grupy punktowe symetrii C nv : C n,...,cn,nσ n v (2n) C nh (n-parzyste): C n,...,cn,s n n,s 1 n,...,s 3 n,s n 1 n,s3 n,...,sn 1 n C nh (n-nieparzyste): C n,...,cn n,s1 n,s3 n,...,s2n 1 n (2n) (2n) Monika Musiał Chemia teoretyczna 8/ 37

9 Grupy punktowe symetrii D nh (n-parzyste): C n,...,cn n,nσ v,nc 2,S1 n,s3 n,...,sn n,s1 n,s3 n,...,sn 1 n (4n) D nh (n-nieparzyste): C n,...,cn n,nσ v,nc 2,S1 n,s3 n,...,s2n 1 n (4n) D nd : C n,...,cn,nσ n d,nc 2,S 2n,S 1 2n,...,S 3 2n 2n 1 (4n) Monika Musiał Chemia teoretyczna 9/ 37

10 Grupy punktowe symetrii C v : E,C, σ v D h : E,C,S, C 2,σ h, σ v,i Monika Musiał Chemia teoretyczna 10/ 37

11 Grupy punktowe symetrii Monika Musiał Chemia teoretyczna 11/ 37

12 osiewłaściwe:c m n -mkrotnewykonanieobrotu C n (czyliobrótoka tm 2π/n). PonadtoC n n =E,C n+1 n =C n,c n+2 n =C 2 n,etc. Np.C 3 3 =E,C4 3 =C 3. OperacjeC m n zapisujesiȩzwyklewnajprostszej postaci,tzn.bierzemymintakie,abyułamek (m/n) w wyrażeniu (m/n)2π był nieprzywiedlny. Np.zamiastC 3 6 mamyc 2czyteżzamiast C 4 6 mamyc2 3. Monika Musiał Chemia teoretyczna 12/ 37

13 osieniewłaściwe:s n -nparzyste. S n n =Cn n =E,Sn+1 n =S n,s n+2 n =S 2 n,etc. Ponadtodlaparzystychm,S m n =Cm n. Np.zbióroperacjiS 6,S 2 6,S3 6,S4 6,S5 6,S6 6 możnazapisać:s 6,S 2 6 =C2 6 =C 3, S 3 6 =S 2 =i,s 4 6 =C4 6 =C2 3,S5 6,S6 6 =C6 6 =E. osieniewłaściwe:s n -nnieparzyste. S n n =S 1 =σ h Monika Musiał Chemia teoretyczna 13/ 37

14 Monika Musiał Chemia teoretyczna 14/ 37

15 Grupy punktowe symetrii Monika Musiał Chemia teoretyczna 15/ 37

16 Grupy punktowe symetrii Monika Musiał Chemia teoretyczna 16/ 37

17 Grupy punktowe symetrii C v :LiH,OH,HF,NaH,HCl,LiC,CN,CO, NO,LiF,BF,CF,MgO,MgOH,LiK,NaK, CuO,NCO,OCS,SCN,etc. D h :H 2,Li 2,B 2,C 2,N 2,O 2,F 2,Mg 2,Si 2, Cl 2,BeH 2,CO 2,etc. C 2v :BH 2,CH 2,NH 2,H 2 O,SiH 2,H 2 S,H 2 CO, NO 2,O 3,CF 2,SO 2,CCl 2,SiCl 2,etc. C 3v :NH 3,SiH 3,PH 3,CF 3,NF 3,PF 3,CCl 3,etc. Monika Musiał Chemia teoretyczna 17/ 37

18 Każdązoperacjisymetrii(E,σ,iC n,s n )można opisać za pomocą macierzy. Tożsamość(rozważmy punkt o współrzędnych x,y,z) x y z = czyli operację tożsamościową opisuje macierz jednostkowa. x y z Monika Musiał Chemia teoretyczna 18/ 37

19 Odbicia(rozważmy jedną z płaszczyzn współrzędnych układu kartezjańskiego, tj. xy, yz, xz; odbicie dowolnego punktu w tej płaszczyźnie będzie związane ze zmianą znaku współrzędnej prostopadłej do tej płaszczyzny) σ(xy) : σ(xz) : σ(yz) : x y z x y z x y z = = = Monika Musiał Chemia teoretyczna 19/ 37 x y z x ȳ z x y z

20 Inwersja x y z = czyli żeby zmienić znak wszystkich współrzędnych ale nie zmienić ich kolejności posłużymy się macierzą jednostkową pomnożoną przez-1. x ȳ z Monika Musiał Chemia teoretyczna 20/ 37

21 Obroty właściwe(rozważmy obrót właściwy wokółosizokątφwkierunkuruchu wskazówek zegara) cosφ sinφ 0 sinφ cosφ Monika Musiał Chemia teoretyczna 21/ 37

22 Obroty niewłaściwe(rozważmy obrót niewłaściwywokółosizokątφwkierunku ruchu wskazówek zegara) cosφ sinφ 0 sinφ cosφ Monika Musiał Chemia teoretyczna 22/ 37

23 Pojęcie klasy Klasa to pełny zbiór elementów sprzężonych każdy z każdym. Aby wskazać, które elementy należą do tej samej klasy trzeba zbadać je pod działaniem transformacji podobieństwa. B =X 1 AX ( ) czylidwaelementygrupyaibnazywanesąelementami wzajemnie sprzężonymi jeżeli istnieje element X spełniający związek(*)(tj. B otrzymuje się w wyniku przekształcenia podobieństwa elementu A elementem X). Monika Musiał Chemia teoretyczna 23/ 37

24 Reprezentacja grupy jest to zbiór macierzy przyporządkowanych poszczególnym elementom grupy w taki sposób, by iloczynowi każdych dwóch elementów grupy odpowiadał iloczyn przyporządkowanych im macierzy. Podział reprezentacji przywiedlne(redukowalne) nieprzywiedlne(nieredukowalne) Monika Musiał Chemia teoretyczna 24/ 37

25 Centralną wielkością w teorii reprezentacji grup jest charakter. Każdy element grupy związany jest z macierzą. Charakter reprezentacji jest śladem czyli sumą elementów diagonalnych tej macierzy. Reguły dotyczące reprezentacji nieprzywiedlnych i ich charakterów 1. Suma kwadratów wymiarów nieprzywiedlnych reprezentacji grupy równa się rzędowi tej grupy: l 2 i =l 2 1 +l2 2 +l =h Monika Musiał Chemia teoretyczna 25/ 37

26 2. Suma kwadratów charakterów dowolnej reprezentacji nieprzywiedlnej równa się h: R [χ i (R)] 2 =h 3. Wektory o składowych równych charakterom dwóch różnych reprezentacji nieprzywiedlnych są ortogonalne: R χ i (R)χ j (R) =0 gdyi j Monika Musiał Chemia teoretyczna 26/ 37

27 4. Charaktery macierzy reprezentacji (przywiedlnej lub nieprzywiedlnej) elementów należących do tej samej klasy są równe. 5. Liczba reprezentacji nieprzywiedlnych danej grupy równa się liczbie klas występujących w tej grupie. Monika Musiał Chemia teoretyczna 27/ 37

28 Wyznaczanie krotności występowania danej reprezentacji nieprzywiedlnej n i = 1 h R χ i (R)χ(R) n i liczbawskazującailerazyi-tareprezentacja nieprzywiedlna występuje w reprezentacji przywiedlnej h rządgrupy R elementgrupy χ(r) charakter R w reprezentacji przywiedlnej χ i (R) charakterrwreprezentacjinieprzywiedlnej Monika Musiał Chemia teoretyczna 28/ 37

29 Wyznaczanie krotności występowania danej reprezentacji nieprzywiedlnej n i = 1 h Q Nχ i (R)χ(R) Q klasagrupy N liczbaelementówwklasieq Monika Musiał Chemia teoretyczna 29/ 37

30 Notacja dla reprezentacji nieprzywiedlnych Symbole Mullikena 1. Reprezentacje jednowymiarowe: A lub B Reprezentacje dwuwymiarowe: E Reprezentacje trójwymiarowe: T 2. A jest zarezerwowane dla reprezentacji symetrycznych ze względu na obroty wokół osi głównej, B zaś dla operacji antysymetrycznych. Charakter operacji symetrycznych jest więc +1 a dla antysymetrycznych-1. Monika Musiał Chemia teoretyczna 30/ 37

31 3.IndeksygiudodajesiędoAlubB wtedy, gdy reprezentacja jest parzysta (g)lubnieparzysta(u)zewzględuna operację inwersji. 4.Znak( )lub( )dodanydosymbolu reprezentacji informuje czy jest ona symetryczna czy antysymetryczna ze względu na odbicie w horyzontalnej płaszczyźnie zwierciadlanego odbicia. Monika Musiał Chemia teoretyczna 31/ 37

32 5.Indeksy1lub2dodawanesąwtedygdy reprezentacja jest symetryczna(1) lub antysymetryczna(2)względemosic 2 prostopadłej do osi głównej albo jeśli nie maosic 2 towzględempionowej (wertykalnej) płaszczyzny zwierciadlanej. Monika Musiał Chemia teoretyczna 32/ 37

33 C 2v E C 2 σ v σ v A A B B Monika Musiał Chemia teoretyczna 33/ 37

34 C 2h E C 2 i σ h A g B g A u B u Monika Musiał Chemia teoretyczna 34/ 37

35 C 3v E 2C 3 3σ v A A E Monika Musiał Chemia teoretyczna 35/ 37

36 Pytania Definicja i własności grupy. Wymień i scharakteryzuj elementy i operacje symetrii w cza steczkach. Reguły dotycza ce reprezentacji nieprzywiedlnych i ich charekterów. Omówić symbole Mullikena. Podaj rza d grupy oraz wszystkie elementy symetrii dla grupypunktowejc 3v,C 4v,C 3,C 4,D 4. Monika Musiał Chemia teoretyczna 36/ 37

37 Podaj grupȩ punktowa i minimalna liczbȩ operacji symetrii pozwalaja ca określić jaka to grupa punktowa dla nastȩpuja cychcza steczek:n 2,CO,H 2 S,naftalenu,H 2 O 2 w konformacji cis i trans, trans-butadienu, cis-butadienu, etylenu,benzenu,amoniaku,nali,na 2,CH 2. Dokonaj podziału reprezentacji przywiedlnej na nieprzywiedlne w bazie orbitali 1s dla cza steczki trans-butadienu,cis-butadienu,h 2 O 2 wkonformacji trans,h 2 O 2 wkonformacjicis,wody,amoniaku, Obliczyćiloczynyprostereprezentacji,np.A 2 B 1 w grupiec 2v,A u B u wgrupiec 2h. Monika Musiał Chemia teoretyczna 37/ 37