Układy równań - Przykłady

Transkrypt

1 Układy równań - Prykłady Dany układ równań rowiąać trea sposobai: (a) korystając e worów Craera, (b) etodą aciery odwrotnej, (c) etodą eliinacji Gaussa, + y + = y = y = (a) Oblicy wynacnik deta aciery danego układu ora wynacniki aciery A, A y, A, gdie deta = = 6 0, deta = = 6, deta y = =, deta = = 8 Z twierdenia Craera wynika, że = deta deta = = 6 6 =, = deta deta = = 8 6 = y = deta y deta = = 6 =, (b) Z definicji nożenia aciery wynika, że roważany układ równań ożey apisać w postaci y =

2 Wynika stąd, że Ale = y y = = , Zate =, y =, = więc = (c) Za poocą prekstałceń eleentarnych na wiersach aciery uupełnionej nasego układu równań, uyskay postać schodkową aciery Macier uupełniona a postać Ponóży pierwsy wiers tej acier pre i dodajy do wiersa drugiego Następnie ponóży pierwsy wiers pre i dodajy do wiersa treciego Dostaniey 0 0 Podiely drugi wiers pre Wówcas otryay 0 0 Ponóży tera drugi wiers pre i dodajy do wiers treciego Otryay acier Napisy postać nasego układu równań odpowiadajacą tej aciery + y + = y + = = 6 Ponieważ = 6, to = Dalej y = = + =, = y = 4 =

3 Rowiąać układ równań dwiea etodai: (a) etodą Gaussa, (b) etodą astosowanie pojęcia rędu aciery (a) Macier uupełniona układu a postać 0 0 Ponóży pierwsy wiers tej acier pre i dodajy do wiersa drugiego, a następnie do wiers treciego Dostaniey Wierse drugi i treci są proporcjonalne Wykreśly ate wiers drugi Otryujey acier [ ] Układ równań równoważny naseu układowi równań a postać y t = 0 + t = Macier układu a dwa schodki Zate rowiąanie jest ależne od dwóch paraetrów Ponieważ schodek odpowiadający niewiadoy i y jest podwójny, podobnie schodek odpowiadający niewiadoy i t jest podwójny, to ożey pryjąć y = α, t = β Wówcas = α, y = α, = β, = β, α, β R (b) Zauważy, że rąd aciery układu i rąd aciery uupełnionej nasego układu są jednakowe i równe ilości schodków, cyli )Wynika, to roważań preprowadonych w cęści (a) adania) Różny od era jest np inor stopnia drugiego postaci = odpowiadający niewiadoy ora t w równaniu pierwsy i drugi Odrućy układu równanie trecie i pryjijy a paraetry = µ i t = ν Układ równań a tera postać = µ + ν + = µ ν = µ, y = µ, = ν, t = ν, µ, ν R

4 Rowiąać układ równań w ależności od paraetru p R p + p = 0 + y + = + py + = Oblicy wynacnik aciery roważanego układu p 0 p deta p = p = p p = p (p ) deta p 0 dla p 0 i p Onaca to, że układ posiada dokładnie jedno rowiąanie dla p 0 i p, gdyż jest wtedy układe Craerowski Tera najdiey to rowiąanie Oblicy 0 0 p deta p = p = p (p ), deta p 0 p py = = p, p 0 0 deta p = = p ( p) p = p (p ), y = (p ), =, dla p 0 i p (p ) (p ) Jeśli p = 0, to układ a postać + y + = + = Układ w tej sytuacji posiada rowiąanie układu ależne od jednego paraetru, gdyż ay try niewiadoe, a wspólny rąd aciery układu i aciery uupełnionej jest równy Wynacnik odpowiadający niewiadoy ora : jest równy pryjując niewiadoą y a paraetr y = α otryujey Jeśli p =, to układ prybiera postać = α, y = α, = + α, α R + = 0 + y + = + y + = 4

5 Rąd aciery układu 0 jest równy, a rąd acier uupełnionej jest równy Zate w tej sytuacji układ nie a rowiąania Ostatecnie 0 0 dla p 0 i p układ posiada dokładnie jedno rowiąanie postaci: = p (p ), y = (p ), = (p ) (p ), dla p = 0 układ posiada wiele rowiaań ależnych od jednego paraetru, postaci: = α, y = α, = + α, α R, dla p = układ jest sprecny 4 Zbadać rowiąalność układu równań w ależności od paraetru R ( ) + y + = + ( + ) y + = + y = Macier uupełniona układu a postać + 0 Ponóży pierwsy wiers tej acier pre i dodajy do wiersa drugiego Następnie ponóży pierwsy wiers pre i dodajy do wiersa treciego Dostaniey Możey skreślić ostatni wiers i wówcas otryujey [ 0 Widiy, e rąd aciery układu i rąd aciery uupełnionej tego układu jest równy Wynacnik 0 = Pryjijy niewiadoą y a paraetr Onacy y = λ Usuńy układu ( ) ostatnie równanie Wówcas układ pryjie postać ] Zate + y + = + ( + ) y + = + = λ + = ( + ) λ = (λ + ), y = λ, = + λ + λ λ R