..7. Płaskie ramy i łuki paraboiczne Wstęp W bieżącym podpunkcie omówimy kika przykładów zastosowania metody sił do obiczeń sił wewnętrznych w płaskich ramach i łukach paraboicznych statycznie niewyznaczanych, obciążonych w dowony sposób. Przypomnijmy, że wzór okreśający stopień statycznej niewyznaczaności ma w przypadku ramy płaskiej postać gdzie: r iczba składowych reakcji podpór, a iczba obwodów zamkniętych (patrz podpunkt..), "" iczba równań równowagi, n= r+ a g, (..80) g suma przegubów (z uwzgędnieniem ich krotności patrz podpunkt..). Rys...6 Istotnymi eementami ram anaizowanych w niniejszym podpunkcie są łuki paraboiczne, przy czym L jest rozpiętością łuku, a f miarą wyniosłości łuku. W daszym opisie przyjmiemy oznaczenie f η =. Rozważania ograniczymy do łuków o osi paraboicznej, opisanej funkcją ( ) y( ξ ) = 4 L η ξ ξ, (..8) x gdzie ξ = jest zmienną bezwymiarową taką, że ξ [0,] przy x [0, L]. L 0
J W anaizie łuków skorzystamy również z oznaczenia µ=, gdzie J oznacza moment bezwładności przekroju łuku, natomiast A jest poem przekroju łuku. Przyjmiemy, że obie wiekości są stałe AL na długości łuku. Wiekość µ charakteryzuje smukłość pręta. Niech δ oznacza dowone przemieszczenie statycznie wyznaczanego układu zastępczego ramy płaskiej z eementami łukowymi powstałe w wyniku działania sił nadiczbowych o wartości jednostkowej w miejscach zwonionych więzów ub w wyniku działania obciążenia zewnętrznego. Przemieszczenie obiczymy, korzystając ze wzoru Maxwea-Mohra δ = M ds+ Nεds R = O S S M α t N = + + + α t M ds M ds N ds N t tds R h EA S S S S O (..8) przy czym: w eementach prostoiniowych mamy ds= dx= Ldξ, w eementach łukowych zachodzi osi łuku w punkcie (, y( )) Ldξ ds=, gdzie ϕ = ϕ( ξ ) jest kątem nachyenia stycznej do cosϕ ξ ξ, (por. rys...6). W anaizie łuków małowyniosłych (tj. przy stosunkowo niewiekich wartościach parametru η) przyjmiemy, że cosϕ oraz ds Ldξ, czyi całkowanie wzdłuż osi łuku S zastąpimy całkowaniem wzdłuż cięciwy łuku. Dodatkowo przyjmiemy, że przemieszczenia ramy wynikające z podłużnych odkształceń prętów prostych pracujących w złożonym stanie sił wewnętrznych ( M 0, N 0 ) są pomijanie małe w stosunku do odkształceń zgięciowych tych eementów. Odkształcenia odpowiadające siłom N uwzgędnimy jedynie w odniesieniu do prętów kratowych anaizowanej ramy i przy równomiernym przyroście temperatury. Rozważania dotyczące zaeżności przemieszczeń łuku paraboicznego od wartości parametrów µ (wpływ sił N) oraz η (wyniosłość) są zamieszczone w podpunkcie.. tego opracowania. Przyjęte we wzorze (..8) założenie o niezaeżności przemieszczeń ramy płaskiej od sił po- L przecznych w prętach prostych jest słuszne, gdy 0, gdzie h jest wysokością przekroju pręta, a h L jego rozpiętością. W łukach założenie to jest dodatkowo ograniczone, (por. podpunkt..). 0
Zadanie 9 W pokazanej na rys...64 ramie z prętami kratowymi wyznacz: a) wartość momentu w utwierdzeniu A, b) przemieszczenie poziome punktu B. W obiczeniach przyjmij, że = const. Pręty F-C, A-G, B-D są niewydłużane i nieskracane ( EA ), sztywności prętów F-G i G-B są stałe i wynoszą EA s - pręty te nie będą zginane. Przyjmujemy, że EA = s 0. Rys...64 Przyjmijmy statycznie wyznaczany układ zastępczy pokazany na poniższym rysunku. Rys...65 0
Przemieszczenia układu zastępczego obiczymy na podstawie wykresów momentów zginających w prętach ramy (ub sił podłużnych w przypadku prętów kratowych) odpowiadających niezaeżnie działającym siłom =, = oraz obciążeniu zewnętrznemu q. Pomijamy wykresy N, N N, 0, gdyż istotne są tyko wartości tych sił na prętach F-G i G-B. Rys...66 Rys...67 Rys...68 04
Obiczone z wykorzystaniem techniki mnożenia wykresów przemieszczenia δ, δ = δ, δ oraz δ 0, δ 0 wynoszą odpowiednio: δ= [ 5 ] +, 4, 4 6 4,8 4,8 EA + = s = 5 5, 76 46, 08 5,4, + + = 0 δ = δ= 6 4,8 ( 6 ) = 57, 6, δ = [ ] + 6 6 6 44 EA = + = 0 44,, s (..8) δ0 = = 4 δ = 0. 0 q 4 4,5q, 4 8,, (..84) Równania zgodności przemieszczeń układu wyjściowego (rys...64) oraz układu zastępczego (rys...65) mają postać δ + δ + δ0 = 0, δ + δ + δ0 = 0. (..85) Rozwiązując układ równań (..85) otrzymamy wartości nadiczbowych = 0, 76 q, = 0, q. (..86) Wykresy M, T, N w ramie wyjściowej znajdziemy anaizując konstrukcję zastępczą z rys...65 poddaną działaniu obiczonych powyżej nadiczbowych oraz obciążenia q. W ten sposób otrzymamy wykresy ostateczne, por. rys...70..7. 05
Rys...69 Rys...70 Rys...7 06
Rys...7 Na podstawie wykresu z rys...70 znajdujemy odpowiedź do części a) zadania. Czytenikowi pozostawiamy okreśenie wartości x, x (czy będą one różne?) oraz wartości ekstremanych momentów zginających z rys...70,..7. Obiczenia sprawdzimy, wykorzystując twierdzenie Maxwea-Mohra, przyjmując we wzorze (..8) koejno: M M = M w prętach zginanych oraz N = N w prętach kratowych, = M w prętach zginanych oraz N = N w prętach kratowych i wykorzystując technikę mnożenia wykresów M, N (rys...70) i (rys...7) odpowiednio z wykresami M, N (rys...66) M, N i (rys...67). W ten sposób otrzymujemy S S +,88q.4 q( ), 4 + + 8 q + q [ q ] + = EAs M N M dx+ N dx= EA S M N M dx+ N dx= EA 4 6 0, 665 4,8 0, 76 5 0, 0 0, S 4 q + 6 0, 665q 6+ 6 0, 66 6 [ 0, ] 0, 07 0. q + q = EAs 07 (..87) W rozwiązaniu części b) zadania ponownie skorzystamy ze wzoru Maxwea-Mohra oraz twierdzenia redukcyjnego. W ceu obiczenia poziomego przemieszczenia punktu B ramy statycznie niewyznaczanej obciążamy konstrukcję z rys...64 odpowiednio skierowaną siłą u, por. rys...7.a. Bezpośrednie zastosowanie wzoru Maxwea-Mohra do obiczenia u B wymaga wyznaczenia roz-
kładu sił wewnętrznych pochodzących od obciążenia wirtuanego przy użyciu pełnego agorytmu metody sił. Probem obiczenia przemieszczeń konstrukcji statycznie niewyznaczanej w większości przypadków upraszcza się po zastosowaniu twierdzenia redukcyjnego, pozwaającego na okreśenie wirtuanych sił wewnętrznych w konstrukcji o dowonym schemacie statycznie wyznaczanym (por. uwagi pod koniec p...). Poniżej, do wyznaczenia M przyjmiemy układ z rys...65. w ceu uproszczenia obiczeń. Mamy zatem wykres M wyłącznie na słupie B-D (rys...7). a) b) Rys...7 Przemieszczenie u B obiczymy metodą mnożenia wykresów (rys...7.b) i (rys...70) u q 4 q = 7,9 u B = 6 0, 66 6 u B (..88) Zadanie 0 W pokazanej na rys...74 ramie z prętami kratowymi wyznacz siłę podłużną w pręcie AB wywołaną: a) działaniem siły P, b) równomierną zmianą temperatury t. Niech sztywność prętów zginanych wynosi = const i kratowych EA s = const oraz EA = 0. s 08
Rys...74 Rys...75 Przyjmijmy siłę podłużną w pręcie A-B jako nadiczbową, zdefiniujmy układ zastępczy (rys...75) i narysujmy wykresy sił wewnętrznych, które posłużą do obiczeń przemieszczeń układu zastępczego Rys...76 09
Przemieszczenie δ wynosi 6 6 δ= 5 4 6,79, EA + s 5 5 + = 5 5 (..89) natomiast przemieszczenia δ 0 P, 0 t δ wywołane działaniem obciążeń zewnętrznych są równe 5 6 P δ0 = 5 P P EA + 7 5 7 + s P + 4 P 4 P 4, 6, + = 5 7 5 7 6 t δ0 = αt t=,6 αt t. 5 (..90) Nadiczbowa przyjmuje przy obciążeniu statycznym (siłą P) wartość P P δ0 = = 0,847P (..9) δ t oraz przy obciążeniu równomiernym przyrostem temperatury t δ α t t = = 0, 4. (..9) t 0 t δ Wykresy momentów zginających i sił podłużnych powstałych w wyniku działania obciążenia statycznego i termicznego pokazano poniżej. 0
Rys...77 Rys...78 Obiczenia sprawdzamy wykorzystując wzór Maxwea-Mohra, przyjmując M = M, N = N we wzorze (..8). W ten sposób otrzymujemy S M N M dx+ N dx= EA S s + 4 0, 8P 4 0,8P + + 5 5 6 +, 74P 5 ( 0,847P) 5 ( 0,P) 0,588P + EA + + s 5 = P = 0, 0055 0 (..9)
M N M dx+ N dx+ Nα tdx= EA S S s S αtt = 4 0,54 5 + αtt 6 αtt + 5 0,4 0, 57 EA + s 5 + 6 + α t t+= 0,004 αt t ~ 0 5 t (..94) Zadanie W przedstawionej na rys...79 ramie z prętem kratowym wyznacz wykresy sił przekrojowych wywołanych obciążeniem P. W obiczeniach przyjmij, że = const, EA s = const oraz EA = s 5. Rys...79 Przyjmijmy statycznie wyznaczany układ zastępczy pokazany na rys...80. Rys...80
Narysujmy wykresy momentów zginających w prętach zginanych oraz wyznaczmy wartości siły podłużnej w pręcie kratowym, pochodzące od niezaeżnie działających sił =, = oraz obciążenia zewnętrznego P. Rys...8 Rys...8 Rys...8 Przemieszczenia δ, δ = δ, δ oraz δ 0, δ 0 obiczamy na podstawie wykresów (rys...8 rys...85) wykorzystując technikę mnożenia wykresów. Otrzymujemy w ten sposób następujące współczynniki:
δ= 650, 67, δ = δ= 76, δ = 5,6, (..95) P δ0 = 0, P δ0 =,. (..96) Równania zgodności przemieszczeń układu wyjściowego (rys...79) oraz układu zastępczego (rys...80) mają postać δ + δ + δ0 = 0, δ + δ + δ0 = 0, (..97) skąd możemy wyznaczyć nadiczbowe = 0, 046 P, = 0, 657 P. (..98) Wykonanie rysunków sił wewnętrznych w układzie wyjściowym oraz sprawdzenie obiczeń pozostawiamy Czytenikowi. Zadanie W pokazanej na rys...84 ramie z prętami kratowymi wyznacz wykres momentów zginających. W obiczeniach przyjmij = const, EA s = const oraz EA = s 5. 4
Rys...84 Wobec symetrii zadania, układ wyjściowy z rys...84. możemy zastąpić zmodyfikowanym układem zredukowanym z odpowiednio dobranym warunkiem brzegowym na osi symetrii, tzw. schematem połówkowym na podstawie którego przyjmiemy schemat zastępczy przedstawiony na rys...86. Rys...85 5
Rys...86 Narysujmy wykresy sił wewnętrznych niezbędne do daszych obiczeń. Rys...87 Rys...88 6
Rys...89 Przemieszczenia układu zastępczego wywołane działaniem sił jednostkowych i obciążenia zewnętrznego obiczamy na podstawie wykresów M, M, N, M 0 i otrzymujemy: δ= 5, 6, δ = δ= 4,95, δ = 5, 4, (..99) P δ0 = 5,05, P δ0 =, 489. (..00) Z rozwiązania układu zgodności przemieszczeń otrzymujemy wartości nadiczbowych = 0, 70 P, = 0, 7 P. (..0) Następnie, korzystając ze wzoru superpozycyjnego M = M+ M + M 0, wyznaczamy wykres momentów zginających i wartości sił normanych w prętach kratowych w układzie wyjściowym. 7
Rys...90 Proponujemy Czytenikowi samodziene sporządzenie wykresu sił poprzecznych i sprawdzenie obiczeń. Zadanie W ramie pokazanej na rys...9 wyznacz wykres momentów zginających wywołanych obciążeniem geometrycznym. W obiczeniach przyjmij, że sztywność prętów wynosi = const. Rys...9 W rozwiązaniu skorzystamy z możiwości reprezentacji dowonego obciążenia jako sumy części antysymetrycznej i symetrycznej: a) Rys...9 8
Łatwo zauważyć, że antysymetryczna część obciążenia geometrycznego (rys...9.a) działającego na konstrukcję jest ruchem sztywnym, a więc nie powodującym powstania sił wewnętrznych w prętach ramy. W związku z tym, do rozwiązania zadania wystarczy przyjąć symetryczną część obciążenia z rys...9.b. Wprowadźmy uwzgędniający symetrię konstrukcji i obciążenia układ zredukowany do połowy ramy (rys...9), w którym przyjmiemy nadiczbowe według schematu przedstawionego na rys...94. Rys...9 Rys...94 Obiczenia wykonamy na podstawie wykresów momentów zginających w stanach obciążenia układu zastępczego nadiczbowymi o wartościach = oraz =. 9
Rys...95 Rys...96 Wykorzystując technikę mnożenia wykresów obiczymy wartości przemieszczeń spowodowanych działaniem momentów jednostkowych δ= 78,555, δ = δ=,, δ = 7, 667, (..0) a przemieszczenia spowodowane działaniem obciążenia zewnętrznego okreśimy ze wzoru Maxwea-Mohra jako 7 7 δ0 = δ0 =, 6 (..0) δ0 = δ 0 =. Nadiczbowe wyznaczamy z rozwiązania układu równań zgodności przemieszczeń układu wyjściowego i zastępczego. Wynoszą one 0
= 0, 0, = 0, 096. (..04) Poszukiwany wykres momentów zginających połowę ramy ma zatem postać przedstawioną na rys...97. Rys...97 Sprawdzenie obiczeń wymaga ponownego skorzystania z twierdzenia Maxwea-Mohra. Proponujemy Czytenikowi samodziene wykonanie tego kroku agorytmu metody sił. Zadanie 4 W konstrukcji łukowej z rys...98 wyznacz wykresy momentów zginających pochodzących od: a) obciążenia statycznego, b) obciążenia geometrycznego. W obiczeniach przyjmij, że sztywność łuków na zginanie jest stała i wynosi. Rys...98
Zauważmy, że rama jest symetryczna o sztywnych węzłach B i C, z zaznaczoną na rys...98 osią symetrii przecinającą środkowy łuk w punkcie o maksymanej wyniosłości (tj. w kuczu łuku). Anaizując tego typu przypadki nie będziemy wprowadzać schematów zredukowanych do połowy ramy. Zamiast tego, przyjmiemy układ zastępczy z tzw. niewiadomą grupową. Rys...99 Narysujmy wykres momentów zginających w stanie = (przyjmiemy konwencję odnoszenia wykresów momentów zginających do cięciwy łuku) Rys...00 Da wszystkich łuków mamy η = 0, 5, a rozwiązanie zadania wymaga okreśenia sumy wzajemnych kątów obrotu przekrojów w punktach zaczepienia nadiczbowych. Wykresy momentów zginających pochodzących od obciążenia = oraz od obciążenia P (rys...0) są prostoiniowe (. rodzaj obciążenia w Tabei.., podpunkt..). W związku z tym, do daszych obiczeń przyjmiemy założenie o małej wyniosłości pomijając jednocześnie wpływ sił podłużnych na przemieszczenia łuku zastępczego. A zatem, przemieszczenie δ obiczamy korzystając z techniki mnożenia wykresów, dopuszczanej w przypadku anaizy łuków mało wyniosłych i otrzymujemy 5 δ= + =. (..05) Rozwiązanie części a)
Rys...0 Narysujmy wykres momentów zginających pochodzących od obciążenia zewnętrznego siłą P i obiczmy przemieszczenie δ 0 P δ0 = P. = 4 8 (..06) Wartość nadiczbowej wynosi zatem δ = = = 0, 075, (..07) 0 δ 40 P P a wykres M odpowiadający obciążeniu statycznemu ma postać pokazaną na poniższym rysunku. Rys...0 Rozwiązanie części b) Przemieszczenie δ 0 odpowiadające obciążeniu geometrycznemu jest równe wo δ0 = wo δ0 =, (..08)
a więc nadiczbowa przyjmuje wartość 6 w = o. (..09) 5 Wykonanie rysunku M da tego przypadku obciążenia oraz sprawdzenie obiczeń w obu częściach zadania pozostawiamy Czytenikowi. Zadanie 5 W ramołuku pokazanym na rys...0 wyznacz wykres momentów zginających. W obiczeniach przyjmij, że sztywność prętów prostych na zginanie jest równa sztywności łuku i wynosi. Rys...0 Przyjmijmy układ zastępczy da schematu zredukowanego do połowy ramy (rys...04) i narysujmy wykresy momentów zginających w poszczegónych stanach obciążenia (rys...05-07). Rys...04 4
Rys...05 Wykres M wzdłuż osi łuku jest dany wzorem M ( ξ ) = ξ, x ξ =, (..0) Rys...06 natomiast wykres M wzdłuż łuku jest okreśony funkcją M ( ξ ) = ξ. (..) 5
Rys...07 Wykres M 0 przedstawiono na rys...07; na łuku wykres ten jest dany funkcją M 5 0( ξ ) = ξ ξ P. (..) Zauważmy, że da parametr wyniosłości łuku wynosi η = 0,67 (por. rys...0). Wykresy momentów zginających pochodzących od obciążeń =, = są prostoiniowe, natomiast wykres pochodzący od obciążenia zewnętrznego jest opisany funkcją drugiego stopnia (por.. i. rodzaj obciążenia w Tabei..., podpunkt..). W związku z tym, do daszych obiczeń przyjmiemy założenie o małej wyniosłości i pominiemy wpływ sił podłużnych na przemieszczenia łuku w ramie zastępczej. Przemieszczenia układu zastępczego spowodowane działaniem obciążeń obiczamy korzystając z techniki mnożenia wykresów i otrzymujemy: oraz δ= 4, δ = δ=, δ = 4, 7655, P δ0 = 4, P δ0 =, 65. (..) (..4) 6
Nadiczbowe wyznaczone z układu równań zgodności przemieszczeń układu wyjściowego i zastępczego wynoszą = 0,9 P, = 0, 68 P. (..5) a wykres momentów zginających pokazano na rysunku poniżej. Rys...08 Funkcja opisująca moment zginający na łuku jest okreśona równaniem ( ) M ( ξ ) = ξ, ξ P. (..6) Czytenikowi pozostawiamy sprawdzenie obiczeń. Zadanie 6 W ramołuku pokazanym na rys...09 wyznacz wykresy sił przekrojowych wywołanych nierównomiernym wzrostem temperatury t w łuku. W obiczeniach przyjmij, że sztywność prętów prostych na zginanie jest równa sztywności łuku i wynosi = const. Rys...09 7
Przyjmijmy układ zastępczy jak na rys...0. Rys...0 Równanie łuku w przyjętym układzie współrzędnych ma postać Widzimy, że: x y( ξ ) = 4 ξ ( ξ ), ξ =. (..7) 6 przemieszczenie δ jest wzajemnym poziomym przesunięciem punktów przyłożenia sił wywołanych działaniem sił jednostkowych przyłożonych w tych samych punktach, przemieszczenie δ ( δ ) = jest wzajemnym poziomym przesunięciem punktów przyłożenia sił wywołanych działaniem sił jednostkowych przyłożonych w punktach działania sił, przemieszczenie δ 0 jest wzajemnym poziomym przesunięciem punktów przyłożenia sił wywołanych działaniem obciążenia t. Sens wiekości δ, δ 0 jest anaogiczny. Anaizując czwarty wiersz Tabei... w podpunkcie... dochodzimy do wniosku, że wobec η = 0,67, obiczenie każdego z tych przemieszczeń możemy przeprowadzić przy założeniu małej wyniosłości łuku. Wykresy momentów zginających odpowiadające poszczegónym stanom obciążenia układu zastępczego siłami jednostkowymi mają postać przedstawioną na rys... przy czym na łuku funkcja momentu zginającego dana jest wzorem M ( ξ ) = 4 ξ ( ξ ) = y( ξ ). (..8) Rys... 8
Rys... Funkcja M (ξ) zapisana wzorem (..8) jest funkcją drugiego stopnia, a więc w obiczeniu przemieszczenia δ wykorzystamy całkowanie anaityczne wzdłuż cięciwy łuku. Pozostałe przemieszczenia obiczymy stosując technikę mnożenia wykresów. Otrzymamy w ten sposób współczynniki oraz δ= + + + + M ( ξ )6 dξ = 69,98, 0 δ = δ=, 78, + = δ =, 78, + = 4 α t t αt t δ0 = 6 = 4, h h δ = 0. 0 (..9) (..0) Z warunku zgodności przemieszczeń układu wyjściowego z rys...09. i układu zastępczego z rys...0. otrzymujemy Sprawdzenie obiczeń pozostawiamy Czytenikowi. αt t = 0, 08, h (..) α t t = 0, 08. h Zadanie 7 9
W ramołuku pokazanym na rys... wyznacz wykres momentów zginających oraz kąt obrotu ψ A w przekroju łuku w sąsiedztwie przegubu A, pochodzące od równomiernego obciążenia temperaturą t. W obiczeniach przyjmij, że sztywność prętów prostych na zginanie jest równa sztywności łuku. Rys... Przyjmijmy następujący statycznie wyznaczany układ zastępczy: Rys...4 Narysujmy wykres momentów zginających w stanie obciążenia siłą = (rys...5). Rys...5 Na łuku mamy M ( ξ ) = y ( ξ ) = 4 ηξ ( ξ ) = ξ ( ξ ) (..) 0
Wobec dość znacznej wyniosłości łuku ( η = 0, 5) przemieszczenie δ obiczymy jako δ= + M ( ξ ) ( ξ ) dξ 0,9 + = (..) 0 por.. rodzaj obciążenia w Tabei..., podpunkt... W obiczeniach przemieszczeń spowodowanych równomiernym obciążeniem termicznym wyniosłość łuku nie ma znaczenia, a więc otrzymujemy Z warunku zgodności przemieszczeń otrzymujemy δ0 = αt t. (..4) αt = 8, 40. (..5) Wykonanie pozostałych kroków agorytmu zostawiamy Czytenikowi. Nadiczbowa obiczona przy założeniu małej wyniosłości przyjmuje wartość αtt = 8,57, a więc wzgędny błąd obiczenia nadiczbowej wynosi.4 %. Wpływ wynio- słości eementu łukowego na obiczenia wiekości statycznych jest w tym przypadku pomijanie mały, ponieważ podatność prętów prostych na zginanie jest dość znaczna w porównaniu z podatnością łuku pod wpływem obciążenia =, por. (..). Obiczenie kąta obrotu ψ A wymaga wprowadzenia jednostkowego obciążenia wirtuanego i obiczenia momentów zginających w tym stanie obciążenia Rys...6 a zatem wartość ψ A wynosi gdzie ψ A = M ( ξ ) M ( ξ ) + ( ξ ) dξ = 0,764α t t, (..6) 0 αtt M ( ξ ) = 8, 40 ξ ( ξ ) (..7)
oraz M ( ξ ) = ξ. (..8) Przyjmując założenie o małej wyniosłości łuku otrzymamy ψ = 0, 74 α, czyi wzgędny błąd A obiczeń wynosi 6,5%. Widać więc, że wyniosłość łuku ma w tym wypadku istotne znaczenie. t t Zadanie 8 W ramołuku pokazanym na rys...7 wyznacz wykres momentów zginających. W obiczeniach przyjmij, że sztywność prętów prostych na zginanie jest równa sztywności łuku i wynosi. Rys...7 Rys...8 Wprowadźmy statycznie wyznaczany układ zastępczy z rys...8 przy czym, z uwagi na symetrię ramołuku, przed przystąpieniem do daszych obiczeń możemy założyć, że = 0. W przeciwnym przypadku i wobec symetrii wykresów M, M, M 0 (por. rys...9,..0...), wykres momentów zginających ramę z rys...7 wyznaczony ze wzoru superpozycyjnego M = M+ M + M byłby asymetryczny. Wykresy niezbędne do daszych obiczeń pokazano na rys...9-.
Na łukach zapisujemy funkcję: x gdzie η =, ξ =. 6 6 Rys...9 M ( ξ ) = y ( ξ ) = 4 η 6 ξ ( ξ ), (..9) Rys...0 Rys... W świete rozważań zamieszczonych w podpunkcie..., łuki możemy potraktować jako mało wyniosłe, więc w obiczeniach przemieszczeń δ = δ, δ, δ 0, δ 0 skorzystamy z techniki mnożenia wykresów. Wyznaczając przemieszczenie δ zastosujemy całkowanie anaityczne wzdłuż cięciwy łuku, ponieważ M (ξ) jest funkcją drugiego stopnia. Otrzymamy w ten sposób
oraz δ= 4, 067, δ = δ= 60, δ = 7, P δ0 = 7, P δ0 = 6. (..0) (..) Wartości nadiczbowych obiczamy z warunków zgodności przemieszczeń układu wyjściowego z układem zastępczym i otrzymujemy = 0, P, = 0,7 P. (..) Szczegółowe obiczenia przemieszczeń we wzorach (..0), (..) i wykonanie pozostałych kroków agorytmu metody sił pozostawiamy Czytenikowi. Zadanie 9 W ramołuku pokazanym na rys... wyznacz wykres momentów zginających i kąt obrotu przekroju łuku w przekroju A. W obiczeniach przyjmij, że sztywność prętów prostych na zginanie jest równa sztywności łuków i wynosi. Ponadto przyjmij, że pręty proste są nieodkształcane podłużnie. Rys... 4
Ramołuk jest obciążony antysymetrycznie, przy czym oś antysymetrii konstrukcji pokrywa się z osią środkowego pręta ramy. Do rozwiązania przyjmiemy układ zredukowany do połowy ramy. Nastepnie, skrajny pręt kratowy zastąpimy podporą przesuwną, niepodatną w kierunku pionowym. Taka zamiana jest dopuszczana jedynie przy założeniu o podłużnej nieodkształcaności zastępowanego pręta. Jednocześnie, działające na skrajny pręt obciążenie równomierne zastąpimy siłą skupioną w punkcie łączenia pręta z łukiem. Obciążenie działające na pręt eżący na osi antysymetrii ramy oraz sztywność tego pręta również zredukujemy do połowy. W wyniku tych działań otrzymamy na układ zredukowany pokazany na rys.... Rys... Układ zastępczy przyjmiemy w postaci przedstawionej na rys...4. Rys...4 Równania osi łuków w układach współrzędnych z rys...4 wyrażają się równaniami oraz y ( ξ ) = 4 ηξ ( ξ ), t ξ =, η = (..) 5
t y( ξ ) = 4 ηξ ( ξ ), ξ =, η =. (..4) 6 Narysujmy wykresy momentów zginających w poszczegónych stanach obciążenia układu zastępczego, zapisując funkcje momentów zginających na łukach: M ( ξ ) ξ = (..5) Rys...5 Rys...6 M ( ξ ) = q y ( ξ ). (..6) o Przed obiczeniem przemieszczeń δ, δ 0 (wzajemnych obrotów przekrojów, w których działa obciążenie ) zwróćmy uwagę na to, że wyniosłości łuków wynoszą odpowiednio η = 0,, η = 0,67. Na podstawie Tabei... w podpunkcie... (. typ obciążenia) stwierdzamy, że łuk 6
. nie może być traktowany jako małowyniosły, co wiąże się z wprowadzeniem pod całkę wyrażenia cos ϕ( ξ ) = 6 η ( ξ ). Otrzymujemy zatem: oraz 6 δ= M ( ) ( ) d 0, 764 ξ + ξ ξ+ = (..7) 9 0 δ ξ ξ ξ ξ 6 q 0 = M( ) M0( ) ( ) d q 0,84 + + = 9 6 0. (..8) Wartość nadiczbowej wynosi δ 0 = = 0,4q, (..9) δ a wykres momentów zginających ramę statycznie niewyznaczaną ma postać pokazaną na rysunkach poniżej. Rys...7 Na łukach obowiązują funkcje 4 M( ξ ) = 0, 4 q ξ q ξ ( ξ ) (..40) oraz M ( ξ ) = 0,4 q ξ q ξ ( ξ ) (..4) Sprawdzenie obiczeń pozostawiamy Czytenikowi. 7
Dodajmy, że przy założeniu o małej wyniosłości łuku nr. otrzymaibyśmy δ = 0,667, 0 0,67 q δ =, = 0, 5q, a więc wzgędny błąd obiczeń wymienionych trzech wiekości wyniósłby odpowiednio,7 %, 9,4% oraz,7%. Przemieszczenie ψ A obiczymy korzystając z twierdzenia redukcyjnego. Przyjmijmy obciążenie wirtuane i narysujmy wykres momentów zginających (rys...8). Rys...8 Na łuku mamy obowiązuje funkcja M ( ξ ) = ( ξ ) (..4) Szukane przemieszczenie wynosi zatem 6 q ψ A = M ( ξ ) M( ξ ) ( ξ ) dξ 0,0888 + =. (..4) 9 0 Przyjęcie założenia o małej wyniosłości obu łuków prowadzi do wzgędny błąd obiczeń ψ A wynosi 5,%. q ψ A = 0, 06944, a więc Zadanie 0 Obicz poziomą składową reakcji podpór łuku mało wyniosłego o stałym przekroju, poddanego działaniu nierównomiernego obciążenia termicznego t. Rys...9 8
Przyjmijmy układ zastępczy pokazany na rys...0. Rys...0 Na podstawie rozważań zamieszczonych w p...., łuk możemy traktować jako mało wyniosły. Jednocześnie zauważmy, że nie możemy pominąć wpływu sił podłużnych w obiczeniach przemieszczenia δ. Na podstawie (..7), (..9) wyznaczamy oraz 8 5 δ= η + µ (..44) αt t δ0 = η. (..45) Poszukiwana wartość składowej poziomej reakcji podpór łuku wynosi zatem 5 α t t = 4 h η 5. (..46) + µ 8 5 Ostatecznie, da η = oraz µ 0 =, por. (..), otrzymujemy 0 η αt t = 0, 5. (..47) h Pominięcie wpływu sił podłużnych na wartość δ (tj. przyjęcie µ = 0we wzorze (..46)) prowa- α t t dzi do =,5, a więc wzgędny błąd obiczeń wynosi 8,75%. h 9